北师大数学必修四新素养同步练习：第一章 3正切函数的诱导公式 含解析

[A 基础达标]
1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪x ≠k π2－3π8，k ∈Z C.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z D.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2
，k ∈Z 解析：选C.由2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π
8(k ∈Z )．
2．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图像过点⎝⎛⎭⎫π
12，0，则φ可以是( ) A ．－π
12
B ．－π6
C.π12
D.π6
解析：选B.根据题意可得2×π
12＋φ＝k π，k ∈Z ，
所以φ＝－π
6＋k π，k ∈Z ，
取k ＝0，则φ＝－π
6.
3．函数f (x )＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π
2
的奇函数
D ．周期为π
2的偶函数
解析：选D.f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π
2.
4．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫
12x ＋π3的图像的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，0 B.⎝⎛⎭⎫2π
3，－33 C.⎝⎛⎭
⎫－2π
3，0 D ．(0，0)
解析：选C.因为y ＝tan x 的图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫
k π2，0，k ∈Z . 由12x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π－2π
3
，k ∈Z ， 所以函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图像的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－2π3，0，k ∈Z ，令k ＝0，得⎝⎛⎭
⎫－2π
3，0.
5．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＝3在区间[0，2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3
D ．2
解析：选B.由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＝3，得 2x ＋π3＝π
3＋k π(k ∈Z )，
所以x ＝k π
2(k ∈Z )，
又x ∈[0，2π)，
所以x ＝0，π2，π，3π
2
.故选B.
6．比较大小：tan 211°________tan 392°. 解析：tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°. tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°， 因为tan 31°<tan 32°， 所以tan 211°<tan 392°. 答案：<
7．函数f (x )＝tan x －1＋1－x 2的定义域为________． 解析：要使函数f (x )有意义，
需⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≥0，1－x 2
≥0，
即⎩⎨⎧tan x ≥1，
x 2≤1.
解得⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z ，
－1≤x ≤1，
故π
4
≤x ≤1. 答案：⎣⎡⎦⎤
π4，1
8．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π
4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是________．
解析：由题意知，f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，即T ＝π4
.
又因为T ＝πω，所以πω＝π
4，所以ω＝4.
所以f (x )＝tan 4x ，
所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan ⎝⎛⎭⎫4×π4＝tan π＝0. 答案：0
9．化简：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）
sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭
⎫α＋3π2.
解：原式＝tan （－α）·sin （－α）·cos （－α）sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝（－tan α）·（－sin α）·cos α
sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α
＝sin 2α
－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭
⎫π2－α
＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin α
cos α＝－tan α.
10．(1)求y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域；
(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，y ＝k ＋tan ⎝⎛⎭⎫π
3－2x 的值总不大于零，求实数k 的取值范围． 解：(1)设t ＝tan x ，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5， 所以y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[－5，＋∞)． (2)由y ＝k ＋tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x ≤0， 得k ≤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－2x ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以2x －π
3∈⎣⎡⎦⎤0，π3. 由正切函数的单调性， 得0≤tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3≤3， 所以要使k ≤tan ⎝⎛⎭⎫2x －π
3恒成立，只要k ≤0即可． 所以k 的取值范围为(－∞，0]．
[B 能力提升]
11．已知函数f (x )＝tan ωx 在区间⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2内是减函数，则ω的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(－∞，－1]
C ．[－1，0)
D ．(0，1]
解析：选C.根据题意可知，ω<0且函数f (x )＝tan ωx 的最小正周期T ＝π
|ω|≥π，所以－1≤ω<0，
故选C.
12．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1满足f ⎝⎛⎭⎫π5＝7，则f ⎝⎛⎭⎫995π＝________． 解析：依题意得f ⎝⎛⎭⎫π5＝a sin π5＋b tan π
5＋1＝7， 所以a sin π5＋b tan π
5
＝6，
所以f ⎝⎛⎭⎫995π＝a sin 995π＋b tan 99
5π＋1 ＝a sin ⎝⎛⎭⎫995π－20π＋b tan ⎝⎛⎭⎫99
5π－20π＋1 ＝－a sin π5－b tan π
5＋1
＝－⎝⎛⎭⎫a sin π5＋b tan π
5＋1 ＝－6＋1＝－5. 答案：－5
13．已知函数f (x )＝sin x |cos x |.
(1)求函数的定义域； (2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图像； (4)写出f (x )的最小正周期及单调性．
解：(1)因为由cos x ≠0，得x ≠k π＋π
2(k ∈Z )，
所以函数的定义域是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称． 又因为f (－x )＝sin （－x ）
|cos （－x ）|＝－sin x
|cos x |＝－f (x )，
所以f (x )是奇函数．
(3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，－π2<x <π
2
，
－tan x ，－π≤x <－π2或π
2<x ≤π，
则f (x )在其定义域上的图像如图所示．
(4)f (x )的最小正周期为2π，
递增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π
2＋2k π(k ∈Z )， 递减区间是⎝⎛⎭
⎫π2＋2k π，3π
2＋2k π(k ∈Z )． 14．(选做题)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，求函数y ＝1
cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 解：y ＝1
cos 2x ＋2tan x ＋1
＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋2tan x ＋1
＝tan 2x ＋2tan x ＋2 ＝(tan x ＋1)2＋1. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4， 所以tan x ∈[－3，1]， 所以当tan x ＝－1，
即x ＝－π
4时，y 取最小值1，当tan x ＝1，
即x ＝π
4时，y 取最大值5.。