人教A版高中数学选修一第三章A卷.docx

第三章A 卷 A1 平均变化率
【名师点金】 1．我们称
1212
()()
f x f x x x --为()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率,它在数值上等于
1122(,()),(,())A x f x B x f x 连线的斜率.
2．当所研究的点(),()P x f x 及(),()Q x x f x x +∆+∆,x ∆越来越趋近于0时，()()()
f x x f x x x x
+∆-+∆-越来越
趋近于一个常数。

【双基再现】
1．★函数()31f x x =-+在区间[]0,2上的平均变化率为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4- 2．★函数2
()1f x x =-在区间[]1,m 上的平均变化率为3，则m 的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．4
3．★★ 在曲线2
y x x =+上取一点()1,2P 和它附近的点()1,2Q x y +∆+∆，那么
y
x
∆∆为（ ）A ．2x ∆+ B ．()22x x ∆+∆ C ．3x ∆+ D ．()2
3x x ∆+∆
4．★★设函数()y f x =，当自变量由0x 变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆= 。

5．★★已知函数2
y ax bx =+，则
y
x
∆∆= 。

6．★★物体作直线运动的方程为2
35s t t =-（位移单位是m ，时间单位是s ），求物体在2s 到4s 时的平均速度及2s 到3s 的平均速度。

【变式教学】
7．★★（教材P57例4的变式）设函数()21f x x =+在区间[]3,1--上的平均变化率为a ，在区间[]0,5上的平均变化率为b ，则下列结论中正确的是（ ）A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．不确定 8．★★（教材P57练习4（2）的变式）求函数2
y x =在区间[]1,2上的平均变化率。

【实践演练】
9．★★“神舟”六号发射后的一段时间内，第ts 时的高度()3
2
530454h t t t t =+++，其中h 的单位是m ，
t 的单位是s ，求发射后1s 到2s 间h 的平均变化率。

10．★★已知曲线2
()f x x =，试计算：（1）在()f x 在1到2，1到32，1到5
4
的平均变化率；（2）()f x 在此到
1
n n
+的平均变化率；（3）从以上计算，当n 无限增大时，你能得出什么结论？ A2 曲线上一点处的切线
【名师点金】
1．点P 附近的曲线，通过放大再放大，“局部可以以直代曲”，可被看成直线l ，从而可用直线l 的斜率刻画曲线经过点P 时上升或下降的变化趋势。

2．设曲线C 上一点(),()P x f x ，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点(),()Q x x f x x +∆+∆，则割线PQ 的斜率是()
()()PQ f x x f x k x x x +∆-=
+∆-=()()f x x f x x +∆-∆，当x ∆趋近于0时，()()
f x x f x x +∆-∆无限趋近于
点(),()P x f x 处的切线的斜率。

【双基再现】
1．★★已知点P 在曲线3
5y x x =-+上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）
A ．0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 2．★★已知函数2
()f x x x =-+的图象上一点()1,2--及邻近一点()1,2x y -+∆-+∆，则
y
x
∆∆等于（ ） A ．3 B ．2
3x x ∆-∆ C ．2
3x -∆ D ．3x -∆
3．★★函数()3
21y x =-的图象在()0,1-处的切线的斜率是( ) A ．3B ．6C ．12D ．1- 4．★★★曲线3
y x =在点()1,1处的切线与x 轴，直线2x =所围成的三角形的面积为 。

5．★★曲线3
y x =在点P 处切线的斜率为k ，当3k =时，点P 的坐标为 。

6．★★求曲线32
1()53
f x x x =-+在1x =处的切线的斜率。

【变式教学】
7．★★（教材P61练习3的变式）已知直线l 过点()1,2P ，()5,7Q ，则直线l 的斜率为（ ）
A ．
45 B ．45- C ．54 D ．54
-
8．★★（教材P59例1的变式）已知函数2
()f x x =，过曲线上点P 的切线的斜率为2，求P 点的坐标。

【实践演练】 9．★★若曲线2
312
y x =
+的切线垂直于直线2630x y ++=，试求这条切线的方程。

10．★★已知曲线2
2y x x =-上有两点()()2,0,1,1A B ，求（1）割线AB 的斜率；（2）过点A 的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程。

A3 瞬时速率和瞬时加速度
【名师点金】
1．瞬时速率可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度，瞬时加速度是反映了物体在某一时刻速度对于时间的瞬时变化率。

2．瞬时速率与瞬时加速度是导数概念在物理上的两个重要意义。

【双基再现】
1．★作直线运动的物体从时间t 到t t +∆时的位移为s ∆，则
s
t
∆∆是（ ） A ．从时间t 到t t +∆时的平均速度 B ．时刻t 时的瞬时速度
C ．时间t ∆时该物体的瞬时速度
D ．时间t t +∆时该物体的瞬时速度
2．★匀速运动规律常用s kt b =+表示，则该匀速运动的平均速度与任何时刻的瞬时速度（ ） A ．不等B ．相等C ．有时相等D ．视具体问题而定
3．★★一质点的运动方程是253s t =-，则在一段时间[]1,1t +∆内相应的平均速度为（ ）
A ．36t ∆+
B ．3t t -∆+
C ．36t ∆-
D ．36t -∆-
4．★★作直线运动的某物体所经路程s （米）与时间t （秒）间的函数关系式23
s t t
=+，则它在第4秒末的瞬时速度是 。

5．★★★某物体做匀速运动，其运动方程为s vt b =+，则该物体在运动过程中其平均速度及任何时刻的瞬时速度分别是 。

6．★★某物体在做自由落体运动，（1）求物体在下落3s 末的速度；（2）求物体下落0t 秒末的速度。

【变式教学】
7．★★★（教材P62例2的变式）若一汽车在公路上做加速运动，设ts 时的速度为2
1()52
v t t =
+，则该
车在2t =时的加速度为（ ）A ．1
2
B ．2
C ．1
D ．3 8．★★★（教材P62练习2的变式）一质点的运动方程为1
2
s t =，求该质点在0t t =时的瞬时速度。

【实践演练】
9．★★如果一个物体的位移s （单位是m ）是时间t （单位是s ）的函数是24.956s t t =-++，求该物体在时刻t 的速度v 和加速度a 。

10．★★一物体的运动方程为3
2
()3s t t t =-，试比较当t a =和1t a =+时的速度大小。

A4 导数
【名师点金】
1．设函数()y f x =在区间(),a b 上有定义，()0,x a b ∈，当x ∆无限趋近于0时，比值
y x ∆∆=00()()f x x f x x +∆-∆无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在点0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在点0x x =处的导数，记作'0()f x 。

2．导数'
0()f x 的几何意义就是曲线()y f x =在点()00,()x f x 处的切线的斜率。

3．我们要注意“函数在某一点的导数”、“导函数”、“导数”的区别和联系。

【双基再现】
1．★若对任意的x R ∈，'
()f x =3
4x ，(1)1f =-，则()f x 是（ ）
A ．4
()f x x = B ．4
()2f x x =+ C ．4
()2f x x =- D ．3
()45f x x =- 2．★★函数()()
2()11f x x x x =+-+的导数是（ ）
A ．2
1x x -+ B ．()()121x x +- C ．2
3x D ．2
31x +
3．★★★函数()sin f x x =在0x =处的导数是（ ）A ．不存在 B ．1- C ．1 D ．0 4．★★函数32()32f x ax x =++，若'
(1)4f -=，则a 的值是 。

5．★★已知函数2()f x x =，若'
()()f x f x =，则x = 。

6．★★用定义求函数2
y x =在1
2
x =-，1x =处的导数。

【变式教学】
7．★★（教材P63例3的变式） 求函数2
()3f x x =-在1x =处的导数。

8．★★（教材P63例3的变式）求函数1
()2f x x
=在2x =处的导数。

【实践演练】
9．★★求函数2
2y x x =-在2,0,2-处的导数。

10．★★已知y =
，求'y 。

A5 常见函数的导数
【名师点金】
1．要学会用求导函数的流程图求导，熟记常见函数的导数公式，并能运用公式求导。

2．我们不仅要理解常见函数导数公式的推导过程，对常见函数的求导公式要牢固、准确地记忆，它是我们求导的基础，是系统掌握导数知识的重要的一环。

【双基再现】
1．★已知2
()f x x =，则'
(3)f 的值为（ ）A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 2．★下列各式中正确的是（ ）
A ．()'
sin cos ()ααα=是常数B ．()'
cos sin αα=C ．()'
sin cos αα=D ．()'
56
15
x x --=-
3．★★曲线sin y x =在点1,62π⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线方程是（ ）
A 210y -+=
B 10++=
C 210y ++=
D 210y -+= 4．★★已知'
y =y 的表达式为（ ）A ．1
2
x B ．x - C ．12
x
-
- D ．12
x -
5．★已知()()7f x x R =∈，则'
()f x = 。

6．★★已知cos y x =，求0,,4
2
x x x π
π
===
时'
y 的值。

【变式教学】
7．★（教材P69练习2的变式）函数1
y x
=-
的图象在()1,1-处的切线的方程是（ ） A ．20x y --=B ．2230x y -+=C ．0x y +=D ．0x y -= 8．★（教材P69练习3的变式）函数14y x b =-+是函数1
y x
=的切线，求b 的值。

【实践演练】
9．★★如果曲线2
y x =的某一切线与直线43y x =+平行，求切点坐标。

10．★★★若直线y x b =-+为函数1
y x
=
图象的切线，求b 及切点坐标。

A6 函数的和差积商的导数（1）
【名师点金】
1．函数的和差积商的导数求导法则是:
[]'''()()()()f x g x f x g x ±=+；[]'
'()()Cf x Cf x =；
[]'
'
'
()()()()()()f x g x f x g x f x g x =+；'
''2
()()()()()
()()f x f x g x f x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。

2．综合运用基本函数的求导公式和求导的四则运算法则，可以快捷地对函数求导，简化求导运算。

【双基再现】
1．★函数2cos y x x =+，则'
y 等于（ ）A ．2cos x + B ．2sin x x + C ．2sin x + D ．2sin x - 2．★一物体作直线运动，其运动方程为2
()3s t t t =-+，其初速度为（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．0
D ．1 3．★★'21y x =
，则y
可以是下列各式中的（ ）A ．1x B ．1x x +- C ．3
2x -- D ．3
12x - 4．★★2
sin y x x =，则'
y 等于（ ）
A ．2sin x x
B ．2cos x x
C ．22sin cos x x x x +
D ．22cos cos x x x x + 5．★★曲线2
()23f x x x =+-在0P 处的切线垂直于直线1
12
y x =+，则0P 点的横坐标与纵坐标之和为 。

6．★★求过点()2,0且与曲线1
y x
=相切的直线方程。

【变式教学】
7．★★（教材P71习题3。

2练习6的变式）曲线3
38y x x =+-在2x =处的切线的方程是（ ）
A ．15240x y --=
B ．15880x y -+=
C ．15920y x +-=
D ．80x y +-=
8．★★（教材P71习题3。

2练习7的变式）求函数2
()1
x f x x =+的导数。

【实践演练】
9．★★求函数m n x nx y bx
++=()0b ≠的导数。

10．★★★曲线()3
0y ax bx a =-≠上有两不同点,A B 且,A B 两点处的切线都垂直于直线AB ，试判断
,A B 两点是否关于原点对称，并说明理由。

A7 函数的和差积商的导数（2）
【名师点金】
1．我们要能非常熟练地运用好函数导数的四则运算法则，并能快速地求出较为复杂的函数的导数。

2．要进行导数的四则运算，首先要保证每个函数都是可导的。

【双基再现】
1．★★已知函数3
2
1()2()2
f x x x m m =-
+为常数图象上A 处的切线与30x y -+=的夹角为045，则A 点的横坐标为（ ）A ．0 B ．1 C ．106或 D ．1
16
或
2．★★cos x
y x =的导数是（ ）
A ．2sin x x -
B ．sin x -
C ．2sin cos x x x x +-
D ．2
cos cos x x x x +-
3．★★2y
=，则'
y 等于（ ）
A ．1132223322x x x --+-
B ．113222332x x x -+-
C ．11322232x x x --+-
D ．11122233
222
x x x --++
4．★★sin sin x x y x x
=
+
，则'
y = 。

5．★★已知抛物线2
2y x =-在2x =处的切线l ，则l 与坐标轴围成的图形面积是 。

6．★★1y x x =+
在点52,2⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线的方程是 。

【变式教学】
7．★（教材P71练习1（3）的变式）函数()cos f x x x =-的导数是 。

8．★★（教材P71习题3。

2练习8的变式）已知'
(3)3,(3)2f f ==，'
(3)2,(3)1g g ==，()
()()
f x h x
g x =
，求'
(3)h 。

【实践演练】
9．★★★求证：当n 是负整数时，公式()'
1
n n x nx
-=仍成立。

10．★★★设曲线21y x =
和1y x
=在它们交点处的两切线夹角为α，求tan α。

A8 单调性（1）
【名师点金】
1．利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数'
()f x ，通过判断函数定义域被导数为零的点划分的各区间内'
()f x 的符号来确定函数在该区间上的单调性。

2．设函数()y f x =，在某个区间上，如果'
()0f x >，则()f x 为该区间上的增函数；如果'
()0f x <，则
()f x 为该区间上的减函数；如果在某区间上恒有'()0f x =，则()f x 为常函数。

【双基再现】
1．★函数2
y x =的增区间为（ ）A ．R B ．()1,1- C ．()0,+∞ D ．(),0-∞
2．★★当0x >时，2
()f x x x
=+
，则()f x 的单调减区间是（ ）
A ．()2,+∞
B ．
)
+∞ C ．( D ．()0,2
3．★★函数ln y x x =-的增区间为（ ）A ．()1,1- B ．()1,2 C ．(),1-∞- D ．()(),11,-∞-+∞U 4．★★函数2
1x
y x =
+的增区间为（ ）A ．(),1-∞- B ．()1,1- C ．()1,+∞ D ．(),2-∞ 5．★★函数3
y x x =-的单调减区间是 。

6．★★确定函数3
2
()267f x x x =-+f 在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是减函数。

解析：()f x 在(),0-∞和()2,+∞上是增函数，在区间()0,2上是减函数。

【变式教学】
7．★★（教材P74例2的变式）下列区间是函数3
2
267y x x =-+的一个减区间的是（ ）
A ．()3,3-
B ．()0,2
C ．()2,+∞
D ．(),0-∞
8．★★★（教材P74例2的变式）求函数2
()f x ax b =+（0a ≠）的单调区间。

【实践演练】
9．★★确定下列函数的单调区间：（1）3
2
924y x x x =-+ （2）3
y x x =-。

10．★★★讨论二次函数2
(0)y ax bx c a =++>的单调区间。

A9 单调区间（2）.
【名师点金】
1．利用导数求函数的单调区间的基本步骤：①确定函数()f x 的定义域；②求导数'
()f x ；③在函数()f x 的定义域内解不等式'
()0f x >和'
()0f x <；④确定函数的单调区间。

2．注意数与形的结合，对方法进行归纳提炼，提高应用数学思想、方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思维、简化解题过程的目的。

【双基再现】
1．★函数3
31y x x =-+的减区间为（ ）
A ．()1,1-
B ．()1,2
C ．(),1-∞-
D ．()(),11,-∞-+∞U
2．★★函数x
y x e =-的增区间为（ ）A ．()1,+∞ B ．()0,+∞ C ．(),0-∞ D ．(),1-∞
3．★★若函数()3
y a x x =-的递减区间为⎛ ⎝⎭
，则a 的取值范围是（ ）
A ．0a >
B ．10a -<<
C ．1a >
D ．01a <<
4．★★函数32
()f x x ax bx c =+++，其中,,a b c 为实数，当2
30a b -<时，()f x 在R 上是（ ）
A ．增函数
B ．减函数
C ．常数
D ．无法确定函数的单调性 5．★★3
()1f x x =-在区间 上是增函数。

6．★★已知0a >，若函数3
()f x x ax =-在()1,+∞上是增函数，求a 的取值范围。

【变式教学】
7．★（教材P74练习3（1）的变式）求函数()x
f x e =的单调区间。

8．★★（教材P74练习3（2）的变式）求函数()2x f x e x =-的单调减区间。

【实践演练】
9．★★已知函数3
2
()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的范围。

10．★★★讨论2()1
bx
f x x =
-(11,0)x b -<<≠的单调性。

A10 极大值和极小值（1）
【名师点金】
1．函数()y f x =图象在点()00,()P x f x 处从左侧到右侧由上升变化下降，这时在点P 附近，P 点的位置最高，（0()()f x f x <对0x 附近所有的点都成立）我们就说0()f x 是函数的一个极大值；记作
0()y f x =极大值；类似地，如果对0x 附近所有点，都有0()()f x f x >，我们就说0()f x 是函数()f x 的一个
极小值，记作()y f x 极小值。

极大值和极小值我们统称为极值。

2．极值与导数的关系：（1）极大值：
【双基再现】
1．★★函数42
()2f x x x =-有（ ）
A ．极小值1-，极大值0
B ．极小值0，极大值1-
C ．极小值1，极大值0
D ．极小值0，极大值1 2．★★函数3
2
()37f x x x =-+的极大值是（ ） A ．7- B ．7 C ．3 D ．3-
3．★★函数3
2
()23f x x x a =-+的极大值为6，则a 等于（ ）A ．6 B ．0 C ．5 D ．1 4．★★下列函数中，0x =是极值点的函数是（ ）
A ．3
y x =-B ．2
cos y x =C ．tan y x x =-D ．1y x
=
5．★★函数(
)2
2()1f x x =+的极值情况是： 极大值； 极小值（填“存在”或“不存
在”）。

6．★★★已知函数3
2
()f x x px qx =--的图象与x 轴切于()1,0点，求()f x 的极值。

【变式教学】
7．★（教材P75例1的变式）函数2
()2f x x x =-+的极值是（ ）
A ．94-
B ．74
C ．12
D ．1
2
- 8．★★（教材P76练习1（2）的变式）求函数2
()f x x x
=+的极值。

【实践演练】
9．★★★问常数,,,a b c d 为何值时，函数3
2
()f x ax bx cx d =+++在0x =处有极大值1，在2x =处有极小值0？ 10．★★求函数23
x
y x =
+的极值。

A11 极大值和极小值（2）
【名师点金】
1．求函数的极值的基本步骤是：①确定函数的定义域；②求导数'()f x ；③求方程'
()f x 0=的全部实根；④检查'()f x 在'
()f x 0=的根的左右两侧的符号，若左正右负（或左负右正），则()f x 在这个根处取得极大值（或极小值）。

2．要理解极值点的意义，提高自觉应用数学知识解决实际问题的能力。

【双基再现】
1．★函数3
()13f x x x =+-有（ ）
A ．极小值1-，极大值1
B ．极小值2-，极大值3
C ．极小值2-，极大值2
D ．极小值1-，极大值3
2．★函数1
y x x
=+
在0x >时有（ ） A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值，也有极小值D ．不存在极值 3．★★函数52
33852
y x x =
-+取极小值时，x 的值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2
4．★★函数3
2
y ax bx =+取得极大值或极小值时的x 的值分别为0和
1
3
，则（ ） A ．20a b -=B ．20a b -=C ．20a b +=D ．20a b +=
5．★★★已知()32()3321f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 。

6．★★★求函数4
2
()25f x x x =--的单调区间与极值。

【变式教学】
7．★（教材P78习题3。

3练习3的变式）求函数2
4
26y x x =-+的极值。

8．★★★（教材P76练习2的变式）设函数的极小值为()f a ，极大值为()f b ，()f a 一定小于()f b 吗？请举例说明。

【实践演练】
9．★★已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++，当1x =-时取得极大值7，当3x =时取得极小值，求极小值及其对应的,a b 的值。

10．★★★设函数3
2
y ax bx cx d =+++的图象与y 轴的交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为
24120x y +-=，若函数在2x =处取得极值16-，试求函数的解析式，并确定函数的单调减区间。

A 12 最大值和最小值（1）
【名师点金】
1．如果在函数的定义域I 内存在一个0x ，使得对任意的x I ∈都有0()()f x f x ≤，则称0()f x 为函数()f x 在定义域内的最大值；如果在函数的定义域I 内存在一个0x ，使得对任意的x I ∈都有0()()f x f x ≥，则称0()f x 为函数()f x 在定义域内的最小值；
2．极值是相对函数定义域内某一局部来说的，而最值是函数的定义域整体来说的，如果存在最大值，则最大值是唯一的，而极大值可能不唯一。

【双基再现】
1．★已知函数2
()f x x x =-，则()f x 在区间[]0,1上的最大值为（ ）
A ．0
B ．14-
C ． 12
D ．14 2．★★函数ln x y x
=的最大值是（ ）A ．1e - B ．e C ．2
e D ．10
3．★★★下列函数中，最小值为2的是（ ）
A ．2
y =
．1
y x x =+
C ．tan cot y x x =+
D ．1y x =+
- 4．★★函数4
3
()4f x x x =-的最小值是（ ）A ．0 B ．27- C ．27 D ．不存在
5．★★★函数x
y x e =g
的最小值为 。

6．★★★求下列函数的最值。

（1）3
2
362(11)y x x x x =-+--≤≤（2）4
2
25(22)y x x x =-+-≤≤ 【变式教学】
7．★★（教材P78练习2（3）的变式）求函数1()2f x x x =+
，1,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的最大值和最小值。

8．★★（教材P783。

3练习8（1）变式）求函数2
25y x x =-+，[]0,3x ∈的值域。

【实践演练】
9．★★★求函数4
2
()82f x x x =-+在区间[]1,3-上的最大值和最小值。

10．★★★已知函数3
2
()26f x x x m =-+在[]2,2-上有最大值3，试确定常数m ，并求这个函数在该闭
区间上的最小值。

A13 最大值和最小值（2）
【名师点金】
1．求函数在区间[],a b 上的最值的步骤是:①求函数()f x 在区间(),a b 的极值；②求函数()f x 在区间端点的函数值；③将函数的各极值与两端点的函数值比较，其中最大的一个是函数的最大值，最小的一个是函
数的最小值。

2．已知函数的最值而反求参数的值或范围等问题，仍要按研究函数最值的步骤去解决，要注意问题的等价转化。

【双基再现】
1．★设2
y x x =+，则在闭区间[]1,0-上的最小值是（ ）A ．0 B ．14-
C ．1
2
D ．2- 2．★★下列命题中正确的是（ ）
A ．一个函数的极大值总是比极小值大
B ．函数的导数为0时对应的点不一定是极值点
C ．一个函数的极大值总比最大值小
D ．一个函数的最大值可以比最小值小
3．★★4
()4f x x x =-在[]1,2-中的最大值和最小值分别是（ ）
A ．(1)(1)f f -与
B ．(1)(2)f f 与
C ．(1)(2)f f -与
D ．(2)(1)f f -与 4．★★函数()2cos f x x x =-在(),-∞+∞上（ ）
A ．是增函数
B ．是减函数
C ．有最大值
D ．有最小值
5．★★若函数2
()1f x x mx =-++在区间[]2,1--上的最大值就是函数的极大值，则m 的取值范围
是 。

6．★★★常数a 满足213a <<，求函数323
()12
f x x ax =-+(11)x -≤≤的最大值和最小值。

【变式教学】
7．（★★★教材P78习题3。

3练习9的变式）内接于半径为4的圆的矩形的面积的最大值是（ ）A ．32B ．16C ．16πD ．64
8．★★★（教材P78练习3。

3练习8（2）的变式）求函数3
2
32y x x =+-，[]2,3x ∈-的值域。

【实践演练】
9．★★已知函数32
1()2
f x x x bx c =-
++，
（1）若()f x 图象有与x 轴平行的切线，求b 的取值范围；（2）若()f x 在1x =时取得极值，且[]1,2x ∈-时，2
()f x c <恒成立，求c 的取值范围。

10．★★★已知a 为实数，()()2()4
f x x x a =--。

（1）求导数'
()f x ；（2）若'
(1)0f -=，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值；（3）若()f x 在(],2-∞-和[)2,+∞上都是递增函数，求a 的取值范围。

A14 导数在实际生活中的应用（1）
【名师点金】
1．解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把问题情景翻译为数学语言，并抽象成数学问题，有些实际问题可以选择求导方法来解决。

2．利用导数知识来求解有关实际问题，其关键是分清各量之间的关系，建立目标函数，在判断函数极值的基础上就可以确定出函数的最值情况。

【双基再现】
1．★★某物体的行走路程()s 单位米与运动时间(:)t 单位秒之间的关系满足3225s t t =-，则该物体在
2t =秒时的加速度为（ ）A ．14 B ．4 C ．10 D ．4-
2．★★要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则其高为多少厘米（ ）
A B ．100cm C ．20cm D ．203
cm
3．★周长为定值l 的矩形中，其面积的最大值为 。

4．★★★某工厂8年来生产某种产品的总产量y 与时间t （年）的函数关系如图所示，有下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③前三年中年产量保持不变；④第三年后，这种产品停止生产。

其中正确的说法是 （只要写出说法的序号）
5．★★★一面靠墙，三面用栏杆围成一个矩形场地，如果杆长40m ，要使围成的场地面积最大，则靠墙的边应该多长。

6．★★★已知矩形的两相顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线2
4y x =-在x 轴上方的部分，求面积最大时的矩形的边长。

【变式教学】
7．★★★（教材P83练习1的变式）把边长为60cm 的铁丝分成两段，围成一个正三角形和一个正方形，则正方形的边长为多少时，它和正三角形的面积之和最小。

【实践演练】
8．★★★用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大体积。

9．★★★★如图，把边长为a 的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设高为h ，所做成的盒子体积为V （不计接缝）。

（1）写出体积V 与高h 的函数关系式；（2）当
a
h
为多少时，体积V 最大，最大值是多少？A 15 导数在实际生活中的应用（2）
【名师点金】
1．解有关函数的最大值、最小值的实际问题时，要注意以下几点：（1）设出相关变量，依题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系；（2）确定函数关系式中自变量的定义区间；（3）根据实际问题的意义，惟一的极值点就是最值点。

2．体会数学来源于生活、应用于生活实践，提高学习数学的兴趣。

【双基再现】
1．★某汽车启动阶段的路程函数3
2
()25s t t t =-，则2t s =时，汽车的加速度是（ ）
A ．14
B ．4
C ．10
D ．6
2．★★某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品成本增加100元，已知总收益R 与
年产量x 关系是21400,(0400)()2
8000
(400)x x x R R x x ⎧-≤≤⎪
==⎨⎪>⎩，则总利润最大时，每年生产的产品数量是（ ） A ．100B ．150C ．200D ．300
3．★★将8分为两个数，使其和为8且立方之和最小，则这两个数为 。

4．★★★设一圆锥内接于半径为r 的球，则圆锥的体积最大时，该圆锥的高为 。

5．★★★体积为定值0V 的正三棱柱，当它的底面边长为 时，正三棱柱的表面积最小。

6．★★★一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，当圆半径与矩形的比为何值时，窗户周长最小？ 【变式教学】
7．★★★（教材P83练习3的变式）做一个容积为256L 的有盖方底的水箱，它的底边长为多少时，用料最省？
【实践演练】
8．★★★某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为P 元，则销售量(:)Q 单位件与零售价P （单位：元）有如下关系：2
8300170Q P P =--。

问该商品零售价定为多少时，毛利润L 最大，并求最大利润（毛利润=销售收入-进货支出）
9．★★★一火车锅炉每小时消耗的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20km 时，每小时消耗的煤价值40元，至于其他费用每小时要200元，问火车行驶的速度为多少时，才能使火车从甲城开往乙城的总费用最省？。