2019全国中考数学真题分类汇编之13：分式

一、选择题
1．（2019·江西）计算)1(12a
a -÷的结果为（ ） A.a B. -a C.31a -
D.31a 【答案】B 【解析】a a a
a a -=-⋅=-÷)(1)1(122. 2．（2019·衡阳）如果分式
11x +在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. ≠－ 1 B. ＞－1 C. 全体实数 D. ＝－1
【答案】A ．
【解析】由分式11
x +在实数范围内有意义，得＋1≠0，所以≠－1故选A ． 3．（2019·陇南）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
【答案】B 【解题过程】2222
22()()()()()()()()x y x x y y x y x xy xy y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y
+-+-++-=-==-+-+-+-+-，故第②步出现问题，故选：B ．
4. (2019·聊城) 如果分式
11x x -+的值为0,那么的值为 A.－1
B.1
C.－1或1
D.1或0 【答案】B
【解析】要想使分式的值为零,应使分子为零,即||－1＝0,分母不为零,即+1≠0,∴＝1,故选B.
5. （2019·达州）a 是不为1的有理数，我们把a -11称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-2
-11=，-1的差倒数
为2
11--11=）（，已知51=a ，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2019a 的值是（ ）
A. 5
B. 41-
C.34
D.5
4 【答案】D
【解析】∵51=a ， 2a 是1a 的差倒数， ∴415112-=-=a ，
∵3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数， ∴5
441-11
3=-=）（a ， ∴55411
4=-=a ，
根据规律可得n a 以5，41-，54为周期进行循环，因为2019=673×3，所以542019=a .
6. （2019·眉山） 化简2b a b a a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭
的结果是 A ．a -b B ．a +b C ．1a b - D ． 1a b
+ 【答案】B
【解析】原式=22a b a a a b
-⨯-=a+b ，故选B.
7. （2019·天津）计算1
21a 2+++a a 的结果等于 A. 2 B. 2a+2 C. 1 D.
1a 4+a 【答案】A
【解析】先同分母分式计算，分母不变把分子相加减；再把公因式（a+1)进行约分,故选A.
8. （2019·湖州）计算11a a a
-+，正确的结果是（ ） A ．1 B ．
12 C ．a D ．1a 【答案】A ．
【解析】∵11a a a -+＝11a a -+＝a a
＝1，∴选A ．
9.(2019·宁波) 若分式
12x -有意义,则的取值范围是 A.>2 B.≠2
C.≠0
D.≠－2 【答案】B
【解析】要使分式有意义,需要使分母不为零,即－2≠0,∴≠2,故选B.
10. （2019·重庆A 卷）若关于的一元一次不等式组11(42)423122
x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩的解集是≤a a ，且关于y 的分式方程24111y a y y y
---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为 （ ）
A ．0
B ．1
C ．4
D ．6
【答案】B ．
【解析】原不等式组可化为5x a x ≤⎧⎨<⎩
，而它的解集是≤a ，从而a ＜5；对于分式方程两边同乘以y －1，得2y －a ＋y －4＝y －1，解得y ＝32a +．而原方程有非负整数解，故302312
a a +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩且32a +为整数，从而在a ≥－3且a ≠－1且a ＜5的整数中，a 的值只能取－3、1，3这三个数，它们的和为1，因此选B ．
二、填空题
11．(2019·泰州) 若分式121
x -有意义,则的取值范围是______. 【答案】≠12
【解析】要使分式121x -有意义,需要使2－1≠0,所以≠12
. 12．（2019·山西）化简
211x x x x ---的结果是________. 【答案】
31x x - 【解析】2231111x x x x x x x x x +-==----.
13．（2019·衡阳）计算：
11x -＋11x -＝ ． 【答案】1 【解析】1x x -＋11x -＝1x x -－11x -＝11
x x --＝1，故答案为1． 14．（2019·武汉） 计算
411622---a a a
的结果是___________． 【答案】14
a +
【解析】原式＝ ()()244444a a a a a a +-+-+-（）（）＝ ()2444a a a a --+-（）＝ ()
444a a a -+-（）＝ 1a （+4）． 15. （2019·怀化）计算：111
x x x ---= ． 【答案】1. 【解析】111x x x ---=11
x x --=1. 故答案为1.
16. （2019·滨州）观察下列一组数：
a 1＝，a 2＝，a 3＝，a 4＝，a 5＝，…，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n ＝____________．（用含n 的式子表示）
【答案】()()1221n n n ++
【解析】这组分数的分子分别为1，3=2+1，6=3+2+1，10=4+3+2+1，15=5+4+3+2+1，…，则第n 个数的分子为
()12
n n +；分母分别为3=2+1，5=22+1，9=23+1，17=24+1，33=25+1，…，则第n 个数的分母是2n +1，所以第n 个数a n =()12n n +·()121n +=()()1221n n n ++．
17. （2019·衢州） 计算：1a +2a
= . 【答案】3a
【解析】由同分式加法法则得
1a +2a =3a .
三、解答题
18．（2019山东省德州市，19，8）先化简，再求值：（
﹣）÷（﹣）•（++2），其中+
（n ﹣3）2＝0． 【解题过程】（﹣）÷（﹣）•（++2）＝÷• ＝••＝﹣．
∵+（n ﹣3）2＝0．∴m +1＝0，n ﹣3＝0，∴m ＝﹣1，n ＝3．∴﹣＝﹣＝． ∴原式的值为．
19.（2019·遂宁）先化简，再求值b
a a a
b a b a b ab a +--÷-+-2222222 ，其中a,b 满足01)22=++-b a （ 解：b a a b a a b a b a b a +--÷-+-=2)())(2）（（原式=b a b a b a b a +--⨯+-21=b a +-1 ∵
01)22=++-b a （∴a=2,b=-1,∴原式=-1
20．（2019山东滨州，21，10分）先化简，再求值：（
－）÷，其中是不等式组
的整数解．
【解题过程】 解：原式＝[－]•
＝•
＝，………………………………………………………………………………5分
解不等式组，得1≤＜3，…………………………………………………………7分
则不等式组的整数解为1、2．……………………………………………………8分
当=1时，原式无意义；…………………………………………………………9分
当＝2，∴原式＝．……………………………………………………………10分
21．（2019·嘉兴）小明解答“先化简，再求值：+，其中＝+1．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：步骤①②有误.原式=12(1)(1)(1)(1)x x x x x -++-+-=1(1)(1)x x x ++-=11x -，
当1x =时，原式
. 22. （2019浙江省杭州市，17，6分）(本题满分6分) 化简：242142
x x x ---- 圆圆的解答如下：
()()
222421422442
2x x x x x x x x --=-+----=-+
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.
【解题过程】圆圆的解答错误，
正确解法：--1=--
===-．
23．（2019山东烟台，19，6分） 先化简2728(3)33
x x x x x -+-÷--，再从0≤≤4中选一个适合的整数代入求值． 【解题过程】
2728(3)33x x x x x -+-÷--
2(3)(3)73)3328x x x x x x x +--⎡⎤=-⨯⎢⎥---⎣⎦
(4)(4)332(4)x x x x x x +--=
⨯-- 42x x
+= 因为23028020x x x x -≠⎧⎪-≠⎨⎪≠⎩
，所以不能取0， 3，4，考虑到0≤≤4中选一个整数，故只能取1或2，
①当1x =时， 原式145212+=
=⨯
②当2x =时， 原式243222
+==⨯ （注意：①与②只写一种即可）
24．（2019江苏盐城卷，26，12）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
（1）完成上表；
（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元／千克、b 元／千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价x甲、乙x.比较甲x、乙x的大小，并说明理由.
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v所需时间为
1
t：
如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v-p），所需时间为
2
t请借鉴上
面的研究经验，比较
1
t、
2
t的大小，并说明理由.
【解题过程】解：（1）2, 1.5.
根据“均价＝总金额÷总质量”.菜价2元/千克，买1千克菜就是2元；3元钱能买1.5千克菜.
（2）根据“均价＝总金额÷总质量”，x甲＝（3+2）÷（1+1）＝2.5；乙x=（3+3）÷（1+1.5）＝2.4.
【数学思考】
x
甲
＝（am+bm）÷（m+m）＝
2
a b
+
；
乙
x=（n+n）÷（
n n
a b
+）＝
2ab
a b
+
.
【知识迁移】＜0，理由如下：
1
2s
v
t=,2s s
v p v p
t=+
+-,
2 12
22()()()()2
()
()()()()
s s s s v p v p sv v p sv v p sp
v v p v p v v p v p v v p v p t t+-+-++-
-=-+==
+-+-+-＜0
12
t t-
即1t ＜2t .
25．（2019·青岛）化简：m n m
-÷（22
m n m +-2n ） 【解题过程】解：原式=
m n m -·2()m m n -=1m n - 26．（2019·株洲）先化简，再求值：221(1)a a a a a -+--，其中a ＝12
． 【解题过程】a ＝12=2211(1)(1)1(1)(1)(1a a a a a a a a a a a a a a ++--+-=-==---（a-1)a-1），
当a ＝1
2时，上式= -4.
27．（2019·常德）先化简，再选一个合适的数代入求值：（21x x x -+－231
x x --）÷（2221x x x x ++-－1）． 【解题过程】解：原式＝（()()()2111x x x x -+-－()()()311x x x x x -+-）÷22221x x x x x x
++-+- ＝
()()111x x x x ++-·()()211x x x -+＝()211x + 取＝3代入()21
1x +中，得原式＝()2131+＝116
28．（2019·长沙）先化简，再求值：223144()11a a a a a a a
+++-÷---，其中a =3． 【解题过程】原式=22(1)1(2)a a a a a +-⨯-+=12a +，当a =3时，原式=132+=15
. 29．（2019·苏州） 先化简，再求值：
2361369x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中
3. 解：原式=()23
333x x x x --÷++=()23333x x x x -+⨯-+=13x +，
当
3时，原式
== 30．（2019·淮安）先化简，再求值：)21(42a
a a -÷-，其中a=5. 【解题过程】解：)21(42a a a -÷-)2(42a a a a a -÷-=a
a a a 242-÷-= 242-⋅-=a a a a 2
)2)(2(-⋅-+=a a a a a =a+2. 31. (2019·台州) 先化简,再求值：22332121x x x x x --+-+,其中＝12
. 解：原式＝
()()2231333211
1x x x x x x --==-+--,当＝时,原式＝3
1x -＝－6. 32．（2019·娄底）先化简，再求值：22211a ab b a b b a -+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭
，其中1a =
，1b =
解：∵1a =
，1b =，
∴
))112a b -=-=-
，
)
111ab == ＝22211a ab b a b b a -+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭
()2a b a b a b ab
--=+- a b a b ab
-=-+ 221
-=-+
4=- 33．（2019·黄冈）先化简，再求值.
a b b a a
b a ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭2222538+÷221a b ab -，其中a ＝2，b ＝1. 【解题过程】原式＝a b a a --22
55·ab （a+b ）=5ab ，
当a ＝2，b ＝1时，原式＝
34. （2019·重庆B 卷）计算：（2）m -1+2269m m --÷223m m ++.
解：m -1+2269m m --÷2
2
3m m ++
=m -1+()
()()2333m m m -+-÷()
213m m ++
=m -1+()
()()2333m m m -+-•()3
21m m ++
=m -1+1
1m +
=()()111
1m m m +-++ =211
1m m -++ =2
1m m +.
35. （2019·乐山）化简：111
2222+-÷-+-x x
x x x x . 解：原式)1)(1()1(2
-+-=x x x ÷1)1(+-x x x )1()1(+-=x x ×)1(1-+x x x x 1
=.
36. （2019·达州）先化简：x x
x x x x x x -÷++--+-4)44122
22（， 再选取 一个适当的的值代入求值.
解：原式=x
x x x x x x -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-4)2(1)2(22 =x
x x x x x x -⨯++--4)2(4222 =x
x x x x -⨯+-4)2(42 =221-）（+x .
当=1时，
221-）（+x =91-.
37. (2019·巴中)已知实数,y
2－4y+4＝0,求代数式222222
12x y x xy x xy y x y xy -赘-+-的值. 解：因为实数,y
满足+y 2－4y+4＝0,
即+yy －2)2＝0,所以－3＝0,y －2＝0,所以＝3,y ＝2,原式＝()()()
()21
x y x y x xy xy x y x y +-赘--＝+x y x ,把＝3,y ＝2代入可得原式＝+x y x ＝53
. 38. (2019·枣庄)先化简,再求值221111x x x ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭,其中,为整数且满足不等式组11522x x ->⎧⎨-≥-⎩
. 解：原式＝()()()()22111111111
x x x x x x x x x x x x +--÷=⋅=+--+-+,解不等式组,得722x <≤,取＝3,代入原式可得原式＝1x x +＝331+＝34.
39.(2019·泰安)先化简,再求值25419111a a a a a -⎛⎫⎛⎫-+÷-- ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭,其中,a
解：原式＝()()()()911125411111a a a a a a a a a -+-+⎛⎫⎛⎫-+÷- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝
⎭
＝2289251411111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫
----+÷- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ＝22
8+16411a a a a
a a --÷++
＝()
()2
4+1
14a a a a a -⨯+- ＝4
a a -.
当a ,原式＝4
a a -＝1-.
40. (2019·聊城)计算：22163
13969a a a a a +⎛⎫-+÷ ⎪+--+⎝⎭.
解：原式＝()()()2
3363
6
1133+3+3+3a a a a a a a a --+-
-⨯=-=+-.
41．（2019·益阳）化简：x x x x 24
)44
(22-÷-+. 【解题过程】解：x x x x 24
)44
(22-÷-+x x x x x x 24)44(22-÷-+=424422-⋅+-=x x
x x x
)2)(2(2)2(2
-+⋅-=x x x
x x )2()2(2+-=x x 24
2+-=x x .
42. （2019·滨州）先化简，再求值：（－）÷，其中是不等式组的整数
解．
解：原式＝[－]•
＝•
＝，………………………………………………………………………………5分解不等式组，得1≤＜3，…………………………………………………………7分则不等式组的整数解为1、2．……………………………………………………8分当=1时，原式无意义；…………………………………………………………9分
当＝2，∴原式＝．……………………………………………………………10分。