2022-2023学年河北省石家庄市辛集市高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年河北省石家庄市辛集市高一（下）期末数学试卷
一、单选择题（每题5分，共40分）
1．在复数范围内，有下列命题：①﹣1的平方根只有i ；②i 是1的平方根；③若复数a +bi （a ，b ∈R ）是某一元二次方程的根，则a ﹣bi 一定是方程的另一个根；④若z 为纯虚数i ，则z 的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．0
D ．1
2．下列命题中成立的是（ ）
A ．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B ．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C ．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D ．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
3．在所有的两位数（10﹣99）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是（ ） A ．1
3
B ．2
3
C ．1
2
D ．5
6
4．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ） A ．1
4
B ．1
3
C ．1
2
D ．3
4
5．已知按从小到大顺序排列的两组数据： 甲组：27，30，37，m ，40，50； 乙组：24，n ，33，44，48，52．
若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m
n 等于（ ）
A ．4
3
B ．
107
C ．
127
D ．7
4
6．某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天PM 2.5的浓度（单位：μg /m 3），数据依次为53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，m （m ＞50）．已知这组数据的极差为40，则这组数据的第m 百分位数为（ ） A ．71
B ．75.5
C ．79
D ．72
7．在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点（不包括端点A ，B ，C ），且M ，N ，G 三点共线，若AM →
=λAB →
，AN →
=μAC →
，则λ+4μ的最小值为（ ） A ．3
2
B ．5
2
C ．2
D ．9
4
8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA =b−c
2c ，则2c
c+b
的取值范围是（ ）
A ．(23
，1)
B ．(12
，1)
C ．（1，+∞）
D ．(1
2
，+∞)
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，则下列命题中正确的是（ ） A ．若sin A ＞sin B ，则A ＞B
B ．若△AB
C 是边长为1的正三角形，则AB →
⋅BC →
=√3
2 C ．若B =π6
，b =√2，c ＝2，则△ABC 有一解 D ．若0＜tan A tan B ＜1，则△ABC 是钝角三角形
10．设有两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，下列命题中错误的命题是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α
D ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥β
11．若z （1+i ）＝2i ，其中i 为虚数单位，则（ ） A ．|z |＝1
B ．z 2＝2i
C ．z 的共轭复数为1+i
D ．z 的实部为1
12．甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是13
，从乙盒中摸出一个红球的概率是1
2，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说
法中正确的是（ ） A ．小明得6分的概率为5
6
B ．小明得分低于6分的概率为5
6
C ．小明得分不少于3分的概率为56
D ．小明恰好得3分的概率为1
2
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知OA →=（﹣2，m ），OB →，＝（n ，1），OC →
=（5，﹣1），若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，则m +n ＝ ．
14．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8＝3+5，在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是 （用分数表示）．
15．在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“出现不大于4的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则事件A +B 发生的概率为 ．（B 表示B 的对立事件）
16．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC =2√7，∠ABC ＝120°，则BC ＝ ． 四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17．（10分）已知a →
，b →
是两个单位向量，且a →
与b →
的夹角为π
4
．
（1）求|√2a →
+b →
|；
（2）求a →
与√2a →
+b →
的夹角的余弦值． 18．（12分）已知复数z 1=
1
a+2
+（a 2﹣1）i ，z 2＝2+2（a +1）i （a ∈R ，i 是虚数单位）． （1）若复数z 1﹣z 2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若虚数z 1是实系数一元二次方程4x 2﹣4x +m ＝0的根，求实数m 值． 19．（12分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠A ＝60°． （1）求sin ∠ACB ；
（2）若D 为BC 的中点，求AD 的长度．
20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠BAD =∠BCD =π
2
，AB ＝BC ＝1，P A ＝BD ＝2．过点作直线AB 的平行线交AD 于F ，G 为线段PD 上一点． （1）求证：平面P AD ⊥平面CFG ；
（2）求平面PBC 与平面PDC 所成二面角的余弦值．
21．（12分）甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为1
2，负的概
率为1
3
，且每局比赛之间的胜负相互独立．
（1）求第三局结束时乙获胜的概率； （2）求甲获胜的概率．
22．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （单位：吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．（结果保留到小数点后三位）
2022-2023学年河北省石家庄市辛集市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选择题（每题5分，共40分）
1．在复数范围内，有下列命题：①﹣1的平方根只有i ；②i 是1的平方根；③若复数a +bi （a ，b ∈R ）是某一元二次方程的根，则a ﹣bi 一定是方程的另一个根；④若z 为纯虚数i ，则z 的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．0
D ．1
解：对于①，﹣1的平方根有两个，分别为i 和﹣i ，故①错误； 对于②，1的平方根是﹣1和1，故②错误；
对于③，令a ＝1，b ＝0，则a +bi ＝1是方程x 2+x ﹣2＝0的一个根，但方程x 2+x ﹣2＝0的另一个根是x ＝﹣2，并非a ﹣bi ＝1，
实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；
对于④，设z ＝i 的平方根为x +yi （x ，y ∈R ），则（x +yi ）2＝i ，即x 2﹣y 2+2xyi ＝i ， 故{x 2
−y 2
=02xy =1
，解得{x =√2
2y =√22或{x =−√2
2y =−√22
，
所以z ＝i 的平方根为√22+√22
i 或−√22−√2
2i ，显然z 的平方根是虚数，故④正确；
综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为1． 故选：D ．
2．下列命题中成立的是（ ）
A ．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B ．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C ．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D ．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
解：对A ，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，
所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，如图，故A 错误；
对B ，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直， 则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B 正确； 对于C ，如图所示，若AB ＝AC ＝CD ＝BD ＝4，BC ＝AD ＝3，
满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面BCD 不是正三角形，故C 错误；
对D ，各个侧面都是矩形的棱柱不一定是长方体， 比如底面为三角形的直三棱柱，故D 错误． 故选：B ．
3．在所有的两位数（10﹣99）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是（ ） A ．1
3
B ．2
3
C ．1
2
D ．5
6
解：在所有的两位数（10﹣99）共有90个，其中被2整除的有10，12，14，…，98，共计45个． 被3整除的有12，15，18，…，99，共计30个，被6整除的有12，18，24，…，96，共计15个， 故能被2或3整除的数有45+30﹣15＝60个． 任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为 6090
=2
3
，
故选：B ．
4．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ） A ．1
4
B ．1
3
C ．1
2
D ．3
4
解：从3，4，5，6四个数中任取三个数，所有基本事件为（3，4，5），（3，4，6），（4，5，6），（3，5，6）共4个，
构成的三角形是锐角三角形的基本事件有：（4，5，6）共1个， 所以构成的三角形是锐角三角形的概率是1
4．
故选：A ．
5．已知按从小到大顺序排列的两组数据： 甲组：27，30，37，m ，40，50； 乙组：24，n ，33，44，48，52．
若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m
n
等于（ ）
A ．4
3
B ．
107
C ．
127
D ．7
4
解：因为甲乙两组都有6个数据，30%×6＝1.8，50%×6＝3， 所以第30百分位数为n ＝30， 第50百分位数为37+m 2
=
33+442
，
所以m ＝40， 所以
m n
=
4030
=4
3
．
故选：A ．
6．某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天PM 2.5的浓度（单位：μg /m 3），数据依次为53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，m （m ＞50）．已知这组数据的极差为40，则这组数据的第m 百分位数为（ ） A ．71
B ．75.5
C ．79
D ．72
解：数据依次为53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，m （m ＞50）．而这组数据的极差为40，数据中最小值为41，故m 应为最大值81，则81%×11＝8.91，
将数据从小到大排列：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81， 故这组数据的第m 百分位数为79， 故选：C ．
7．在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点（不包括端点A ，B ，C ），且M ，N ，G 三点共线，若AM →
=λAB →
，AN →
=μAC →
，则λ+4μ的最小值为（ ） A ．3
2
B ．5
2
C ．2
D ．9
4
解：由题意AG →
=1
2
AD →
=12(AB →
+BD →
)=12
（AB →
+12BC →
）=12
AB →
+14
（AC →−AB →
）=14
AB →
+14
AC →
， 设MG →
=xMN →
，0＜x ＜1，
则AG →
=AM →
+MG →
=AM →
+xMN →
=AM →
+x(AN →
−AM →
)=x AN →
+（1﹣x ）AM →
=λ（1﹣x ）AB →
+μxAC →
，
所以λ(1−x)=14，μx =14
，得14(1λ
+1
μ
)=1，
所以λ+4μ=1
4
（λ+4μ）（1λ
+1
μ
）=14（5+
4μλ+λμ）≥14(5+4)=94
， 当且仅当
4μλ
=
λμ
，即λ=34，μ=3
8时等号成立，
∴λ+4μ的最小值为94
． 故选：D ．
8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA =b−c
2c ，则2c c+b
的取值范围是（ ） A ．(2
3
，1)
B ．(1
2
，1)
C ．（1，+∞）
D ．(1
2
，+∞)
解：因为cosA =b−c
2c ，
所以2sin C cos A ＝sin B ﹣sin C ＝sin （A +C ）﹣sin C ， 则2sin C cos A ＝sin A cos C +cos A sin C ﹣sin C ， 则sin C ＝sin （A ﹣C ）， 则C ＝A ﹣C 或C +A ﹣C ＝π， 则A ＝2C 或A ＝π（舍）， 由正弦定理可得
2c c+b
=
2sinC sinC+sinB
=
2sinC sinC+sin(A+C)
=
2sinC
sinC+sin(2C+C)
=2sinC
sinC+sin2CcosC+cos2CsinC =2sinC sinC+2sinCcos 2C+(2cos 2C−1)sinC =1
2cos 2C
， 又因为△ABC 是锐角三角形，
所以{ 0＜2C ＜π
2
0＜π−3C ＜π
20＜C ＜
π2，解得π6＜C ＜π4，则√22＜cosC ＜√32，
则2
3＜
12cos 2C
＜1，即23
＜
2c c+b
＜1．
故选：A ．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，则下列命题中正确的是（ ） A ．若sin A ＞sin B ，则A ＞B
B ．若△AB
C 是边长为1的正三角形，则AB →⋅BC →
=√3
2 C ．若B =π
6，b =√2，c ＝2，则△ABC 有一解 D ．若0＜tan A tan B ＜1，则△ABC 是钝角三角形
解：A ，∵sin A ＞sin B ，由正弦定理可得a ＞b ，∴A ＞B ，∴正确，
B ，∵△AB
C 是边长为1的正三角形，∴AB →
•BC →
=1×1×（−12）=−1
2，∴错误，
C ，∵B =π
6，b =√2，c ＝2，由余弦定理得，2＝4+a 2﹣2×2×a ×√3
2，即a 2﹣2√3a +2＝0， ∴a =√3−1或a =√3+1，则△ABC 有两解，∴错误， D ，∵tan A tan B ＞0，∴tan A ＞0，tan B ＞0，即A ，B 都为锐角， ∵tan A tan B ＜1，∴
sinAsinB cosAcosB
＜1，∴cos A cos B ﹣sin A sin B ＞0，cos （A +B ）＞0，
∴cos C ＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形，∴正确． 故选：AD ．
10．设有两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，下列命题中错误的命题是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α
D ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥β
解：对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m ，n 可能平行、异面或相交，A 错误； 对于B ，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，m ，n 不一定为相交直线， 只有当m ，n 为相交直线时，才可得到α∥β，故B 错误；
对于C ，当m ∥n ，m ⊂α时，可能是n ⊂α，推不出一定是n ∥α，C 错误； 对于D ，若α∥β，m ⊂α，根据面面平行的性质可知m ∥β，D 正确． 故选：ABC ．
11．若z （1+i ）＝2i ，其中i 为虚数单位，则（ ） A ．|z |＝1
B ．z 2＝2i
C ．z 的共轭复数为1+i
D ．z 的实部为1
解：由题意，z =2i
1+i =2i(1−i)
(1+i)(1−i)=1+i ， 则|z |=√1+1=√2，选项A 错误； z 2＝（1+i ）2＝2i ，选项B 正确； z 的共轭复数为1﹣i ，选项C 错误； z 的实部为1，选项D 正确． 故选：BD ．
12．甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是1
3，从乙盒中摸出一个红球
的概率是1
2
，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说
法中正确的是（ ）
A ．小明得6分的概率为5
6
B ．小明得分低于6分的概率为5
6
C ．小明得分不少于3分的概率为56
D ．小明恰好得3分的概率为1
2
解：对选项A ，小明得6分的概率为13
×12
=1
6，故A 错误；
对选项B ，小明得分低于6分的概率为1−1
6=5
6，故B 正确； 对选项C ，小明得分不少于3分的概率为1−2
3×1
2=2
3，故C 错误； 在D 中，小明恰好得3分的概率为1
3×
12
+
23
×
12
=1
2
，故D 正确．
故选：BD ．
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知OA →
=（﹣2，m ），OB →
，＝（n ，1），OC →
=（5，﹣1），若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，则m +n ＝
92
．
解：∵m ＝2n ； ∴OA →
=(−2，2n)；
A ，
B ，
C 三点在同一条直线上； ∴存在λ使AB →
=λBC →
； ∴OB →
−OA →
=λ(OC →
−OB →
)；
∴（n ，1）﹣（﹣2，2n ）＝λ[（5，﹣1）﹣（n ，1）]； ∴{n +2=(5−n)λ1−2n =−2λ； ∴解得n ＝3，或3
2；
∴m +n ＝3n ＝9，或9
2
．
故答案为：9，或9
2
．
14．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8＝3+5，在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是
35
（用分数表示）．
解：因为不超过11的素数有2，3，5，7，11五个数，
从中选取两个不同的数的基本事件有（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11）共10件，
其中和为偶数的基本事件有（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11）共6件， 所以和为偶数的概率为610
=3
5
．
故答案为：3
5．
15．在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“出现不大于4的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则事件A +B 发生的概率为
23
．（B 表示B 的对立事件）
解：随机掷一个骰子一次共有6种不同的结果，
事件A 表示“出现不大于4的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”， 则事件A 包括2，4两种结果，P （A ）=
26=1
3
， 事件B 包括1，2，3，4四种结果，P （B ）=46=23，P （B ）=13
， 且事件A 和B 是互斥事件，
∴事件A +B 发生的概率为P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）=13+13=2
3
． 故答案为：2
3．
16．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC =2√7，∠ABC ＝120°，则BC ＝ 4 ． 解：在△ABC 中，已知AB ＝2，AC =2√7，∠ABC ＝120°， 利用余弦定理：AC 2＝AB 2+BC 2﹣2•AB •BC cos ∠ABC ， 整理得28=4+BC 2+2⋅2⋅BC ⋅1
2，即BC 2+2BC ﹣24＝0， 解得：BC ＝﹣6或4． 故BC ＝4． 故答案为：4．
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17．（10分）已知a →
，b →
是两个单位向量，且a →
与b →
的夹角为π
4
．
（1）求|√2a →
+b →
|；
（2）求a →
与√2a →
+b →
的夹角的余弦值．
解：（1）因为a →
，b →
是两个单位向量，且a →
与b →
的夹角为π
4
，
所以a →
⋅b →
=|a →
|×|b →
|cos π4=√2
2，
所以|√2a →
+b →|=√(√2a →+b →)2=√3+2√2a →⋅b →
=√3+2√2×2
2=√5．
（2）设a →与√2a →
+b →
的夹角为θ， 因为a →
⋅(√2a →
+b →
)=√2a →
2+a →
⋅b →
=
3√2
2
， 所以cosθ=
a →
⋅(√2a →+b →
)
|a →
||√2a →+b →
|
=
3√22
5
=3√10
10． 18．（12分）已知复数z 1=1
a+2+（a 2﹣1）i ，z 2＝2+2（a +1）i （a ∈R ，i 是虚数单位）． （1）若复数z 1﹣z 2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若虚数z 1是实系数一元二次方程4x 2﹣4x +m ＝0的根，求实数m 值．
解：（Ⅰ由已知得到z 1﹣z 2=1
a+2− 2+（a 2﹣2a ﹣3）i ，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以
{1
a+2
−2＞0a 2−2a −3＞0
，解得{−2＜a ＜−
3
2
a ＞3或a ＜−1，所以−2＜a ＜−3
2；
（Ⅱ）因为虚数z 1是实系数一元二次方程4x 2﹣4x +m ＝0的根，所以z 1是方程的另一个根，所以z 1+z 1=2
a+2=1，所以a ＝0， 所以z 1=
12−i ，z 1=1
2
+i ， 所以z 1⋅z 1=m
4=5
4，所以m ＝5．
19．（12分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠A ＝60°． （1）求sin ∠ACB ；
（2）若D 为BC 的中点，求AD 的长度．
解：（1）∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠A ＝60°．
∴由余弦定理可得：BC =√AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cosA =√32+12−2×3×1×1
2=√7，
∴由正弦定理：AB
sin∠ACB =BC
sinA
，可得：sin ∠ACB =AB⋅sinA BC =3×√3
27=3√21
14；
（2）∵D 为BC 的中点， ∴可得：CD =12BC =√7
2，
又∵cos C =AC 2+BC 2
−AB 22AC⋅BC =1+7−9
2×1×√7
=−√714，
∴在△ACD 中，由余弦定理可得：
AD =√AC 2+CD 2−2AC ⋅CD ⋅cosC =√1+74−2×1×√72×(−√714)=√13
2．
20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠BAD =∠BCD =π
2，AB ＝BC ＝1，P A ＝BD
＝2．过点作直线AB 的平行线交AD 于F ，G 为线段PD 上一点． （1）求证：平面P AD ⊥平面CFG ；
（2）求平面PBC 与平面PDC 所成二面角的余弦值．
解：（1）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AB ， 因为∠BAD =π
2， 所以AB ⊥AD ，
因为P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ， 因为CF ∥AB ， 所以CF ⊥平面P AD ， 因为CF ⊂平面CFG ， 所以平面CFG ⊥平面P AD ；
（2）连结AC ，过点B 作BE ⊥PC 于点E ，连接DE ，如图，
P A ⊥平面ABCD ，AD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AD ，P A ⊥AC ，
因为∠BAD =∠BCD =π
2，AB ＝BC ＝1，P A ＝BD ＝2， 由勾股定理得：AD =√BD 2−AB 2=√3，
则∠ADB ＝30°，
同理可得CD =√3，∠CDB ＝30°， 故∠ADC ＝60°，
所以三角形ACD 为等边三角形，AC =CD =√3，
故PB =√PA 2+AB 2=√5，PC =√PA 2+AC 2=√7，PD =√PA 2+AD 2=√7，
在△BCP 中，由余弦定理得：cos ∠BCP =BC 2
+CP 2−PB 22BC⋅CP =1+7−52√7=3
2√7
， 则CE =BCcos ∠BCP =
3
27
，BE =√BC 2−CE 2=
√19
27
，
在△CDP 中，由余弦定理得：cos ∠PCD =PC 2
+CD 2−DP 22PC⋅CD =7+3−72√3×√7=√327
， 在△CDE 中，DE 2=CE 2+CD 2−2CE ⋅CDcos∠PCD =928+3−2327×√3×√327=75
28
， 因为CE 2+DE 2＝3＝CD 2， 所以DE ⊥PC ，
所以∠BED 为平面PBC 与平面PDC 所成二面角的平面角，
由余弦定理得：cos ∠BED =BE 2+DE 2−BD 22BE⋅DE =1928+75
28−42×√192√7×5√32√
7
=−3√5795． 21．（12分）甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为1
2，负的概
率为1
3
，且每局比赛之间的胜负相互独立．
（1）求第三局结束时乙获胜的概率； （2）求甲获胜的概率．
解：（1）设事件A 为“第三局结束乙获胜”．
由题意知，乙每局获胜的概率为1
3
，不获胜的概率为2
3
．
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 故P(A)=1
3×2
3×1
3+2
3×1
3×1
3=4
27． （2）设事件B 为“甲获胜”．
若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率P 1=
12×12=1
4
． 若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
此时的概率P2=1
2
×
1
2
×
1
2
+
1
2
×
1
2
×
1
2
=
1
4
，
若第四局结束甲以积分（2分）获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．
此时的概率P3=1
2
×
1
6
×
1
6
×
1
2
×3+
1
2
×
1
6
×
1
3
×
1
2
×6=
5
48
．
若第四局结束甲以积分（1分）获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．
此时的概率P4=1
2
×
1
6
×
1
6
×
1
6
×4=
1
108
．
故P(B)=P1+P2+P3+P4=265 432
．
22．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．（结果保留到小数点后三位）
解：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5）中的频率为0.08×0.5＝0.04，
同理在[0.5，1），[1，1.5），[1.5，2），[2，2.5），[2.5，3），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]
中的频率分别为0.08，0.5×a，0.20，0.26，0.5×a，0.06，0.04，0.02；
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02＝1，
解得a＝0.30；
（2）由（1）知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02＝0.12；
由以上样本的频率分布，可以估计全市50万居民中月均用水量不低于3吨的人数为50万×0.12＝6（万）；
（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88＞0.80，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73＜0.80，
所以2.5≤x＜3；
由0.3×（x﹣2.5）＝0.80﹣0.73，解得x≈2.733；
所以估计月用水量标准为2.733吨时，80%的居民每月的用水量不超过标准．。