《余角和补角》作业讲评课教学思考

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②在运动类问题中，没有结合题意去弄清有关量的变化过程；
③在看图时，没有抓住一些关键点的实际意义，把图象中坐标轴、点所表达的实际意义与题意中所表达的实际意义割裂开．
因此本节复习课是围绕以上三个问题来设计的，例1、例2不仅突出了坐标轴的意义，还强调了审题的重要性．例3更是突出了纵坐标的意义，借助图象知识，明确1~3天每天跑的路程不变，从而提醒学生：在函数图象中获取信息时，不仅要定性分析，还要定量刻画．例4、例5主要突出的是由题目情景结合函数图象弄清运动过程，通过方程、不等式、函数等数学模型将实际问题转化成数学问题．同时复习课也是将有关内容进行整合，构建知识内在体系，感悟知识方法之间的普通联系．（2）在复习过程中，用问题启发联想来帮助学生学会思考
在课堂上，当学生遇到想不出如何解题或解题不全面时，教师往往会和盘说出自己的解题思路，或让学生继续思考，然后让优秀学生来说解题过程，其他学生只能感叹优秀学生比自己“聪明”．其实在学生解题遇“难”时，教师用适合的问题去启发
学生，让学生自然联想到相应的知识点去解决问题，从而培养学生的思考能力．例如例4中，如何
求Q点的坐标？有部分学生开始是茫然的，不知怎么解？教师就可以提问：“Q点在横坐标上，同时又是哪一条线段上的点？”学生回答：“在线段PQ 上．”“PQ所在的直线解析式又怎么求？”“知道直线上的两个点就可以求．”“直线解析式求出后呢？”“Q点的纵坐标为0，代入解析式就可以求出Q点的坐标．”在上课时经常设计启发式问题，经过长期的潜移默化，让学生形成严谨的思考习惯．
（3）归纳、反思帮助学生积累有效经验，提
升解题能力
解题后，要引导学生及时进行分析、归纳、反
思．如上文的例题都是要从图象中获取信息并结合
题目中的语境来解决实际问题，其核心是数形结
合，通过“以形助数”或“以数解形”把相对复杂的问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的
目的．从最简单的点坐标到求直线解析式，其中涉
及到相遇、追击等行程问题，任何一个问题定会有
多种不同的方法和途径去解决，但同一类的问题，
虽然有着不同形式的呈现，却有着类似的解题方
法，因此在平时的课堂教学中要引导学生进行反思
和总结，从而提高解题能力．
《余角和补角》作业讲评课教学思考林晓敏福建省莆田文献中学（351100）
余角和补角反映的是角的数量关系，这部分内容的学习对发展学生识图能力、计算能力和思辨能力至关重要．涉及余角和补角的问题丰富而灵活，学生初步涉足几何思考、规范表达，必然会出现“想不到”“想到写不出”“写出不准确”等问题，余角和补角的作业讲评课就十分必要．本文结合自己的教学实践，谈谈《余角和补角》作业讲评课的些许思考．
1 教学背景
互为补角和互为余角概念反映的是角的数量关系，而非角的位置关系．已知两组明确关系“同角或等角的余角（补角）”，引发对“余角（补角）”它们大小关系的思考分析，得出了关于补角和余角的重要性质“同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等．” 这些性质在学习对顶角相等、平行线的判定和性质时将作为知识基础，在后续内容学习中有广泛的应用．这阶段的学习，学生将开启“简单说理”的学习之旅，教学中要把“简单推理”作为学生经过“探索、思考、归纳发现”中的自然升华，既不能提出过高要求，避免拔苗助长，又要保证让学生能用比较规范准确的数学语言表达自己的思考过程；学生在这部分内容学习中，兴趣浓厚，但说理总会出现“言不由衷”“只言片语”“阴差阳错”等问题，这些问题若不能有效解决，将严重影响学生的学习兴趣的保持．为了顺利入门“推理”学习，那么《余角和补角》作业讲评课对于达成以上目的尤为关键．
26 福建中学数学 2021年第3期 2 关注思考偏差根源，走出解答错误泥沼 问题1 若一个角的余角比这个角的补角的一半还少8 ，那么这个角的余角是多少？
分析 本题考查了余角、补角的定义，同一个锐角的余角与补角的关系，一元一次方程的应用，知识综合性强，而解决本题的关键是对等量关系“余角是补角的一半还少8”的准确应用．学生给出了3种正确的解答如下：
解法1 设这个角的余角为x ， 则它的补角为(90)x + ，
则1(180)82
x x =−−，解得74x =，
所以这个角的余角为74 ． 解法2 设这个角的补角为y ，
则它的余角为(90)y − ，
则1
90(8)2
y y −=−，
解得164y =，1649074−=， 所以这个角的余角为74 ． 解法3 设这个角为z ， 则它的余角为(90)z − ，
它的补角为(180)z − ，
则1
90(180)82
z z −=−−，
解得16z =，901674−=， 所以这个角的余角为74 ．
思考 上述解法，尽显数学方法多样之奇、逻辑推理之美、数学表达之妙．方法1为直接设元，方法2、3为间接设元，学生在展示方法1过程中，有学生提出了2890x x ++的列法，遗憾的是，这种想法没有引起师生的共同关注，在教师强行引导问题“题目里是怎么说的？”干预下，导向对“余角比补角的一半少8”的直接应用．那么“28x += 90x +”错在哪？为什么会产生这样的错误？显然学生试图根据余角与补角的相对关系“余角是补角的一半少8”，写出补角是余角的多少，这个思考方向没问题，只是思考中数量关系出现错误．这种错误可不仅仅发生在一两个或几个学生身上，它是学生普遍存在的认知错误，如何帮助学生找到错误的根源，走出解答错误的泥沼？
初中阶段，对于两个量之间的相对关系，最常见的数量关系是“多与少、倍与分”，它们互为逆运
算，今后还会引入“乘方与开方”运算．两个量之间具有一种运算关系，即仅具备“倍、分”、“多、少”或“乘方与开方”关系，它们之间的相互转换比较容易，直接变成逆运算．比如甲是乙的2倍，反之乙
就是甲的1
2
；甲比乙多8，反之乙就比甲少8；甲
是乙的平方，反之乙就是甲的平方根．受此经验影响，学生在研究更加复杂关系时，进行简单的对等使用，就出现了上面的错误．如果两个量之间具有两种运算关系，即具备“多、少、倍、分、乘方开方”中的两种运算关系．又可以分为两种情况，情况1，同一级的两种运算，这种情况是一种存在，但不常使用，如甲比乙多3少8，甲是乙的一半的3倍，甲是乙的立方的算术平方根，因为它们可以直接转化成一种运算关系，即甲比乙少5，甲是乙的32，甲是乙的3
2
次方．情况2，不同级的两种运算．比如“甲是乙的一半少8”，那么乙会是字面含义的相反意义“甲的2倍多8”吗？从方程的角度看，
由“甲1
2
=乙8−”可得“乙2=（甲8+）”．如果借助
图形进行分析将更加直观，由图1可看到，如果“甲是乙的一半少8”，那么“乙是甲与8的和的2倍”，或者说“乙是甲的2倍多16”．再如“甲是乙与8的差的2倍”，从方程的角度看，由“甲2=（乙8−）”
可得“乙1
2
=甲8+”那么图2直观可见“乙是甲的一
半多8”．综上所述，方程和线段图是分析两个量之间数量关系的有效工具．
图1 图2
两个量间两种数量关系的相互转换，随着两个量主体位置的交换，两种运算随之成为其逆运算，且运算的顺序也随之互换．引领学生作数学分析研究，掌握两个量之间相对关系转换的有效方法，帮助学生认识到思考误区，才能真正走出解答错误的泥沼．当学生建立了正确认知，他们的思路才会更开阔、思维才会更严谨、解题之路程才会充满趣味．
3 系统整合同类问题，变幻可测出神入化 问题2 如图3和图4，在直线AB 上任取一点O ，
过点O 作射线OC OD ，，使OC ⊥OD ，当AOC ∠ 30= 时，BOD ∠的度数是( )．
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A ．60
B ．120
C ．60 或90
D ．60 或120
图3 图4
问题3 如图5所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O 处．
（1）①AOD ∠和BOC ∠相等吗？说明理由． ②AOC ∠和BOD ∠在数量上有何关系？说明理由．
（2）若将这幅三角尺按图6所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O 处．
①AOD ∠和BOC ∠相等吗？说明理由．
②AOC ∠和BOD ∠的以上关系还成立吗？说明理由．
图5 图6
问题2的思考难度并不不低于问题3，而且这
两个问题之间有着紧密的关联，遗憾的是在就题解题过程中忽略了它们之间的关联，把这两个问题整合成一个变式题组，解答起来就更加有意思了．
变式1 如图7所示，90AOB COD ∠=∠= ，COD ∠绕点O 旋转一周．探究AOC ∠与BOD ∠之间的数量关系．
变式2 如图8，在直线AB 上任取一点O ，
90COD ∠= ，COD ∠在绕点O 旋转一周，
探究AOC ∠与BOD ∠之间的数量关系．
变式3 点O 是直线AB 上一点，射线OC 平分平角AOB ，将直角DOE 绕点O 旋转一周，探究
AOE ∠与BOD ∠之间的数量关系，
亦可探究AOD ∠与BOE ∠之间的数量关系，还可探究COD ∠与BOE ∠之间的数量关系，当然还可以探索他们平分线的夹角．随着图形逐渐丰富，对学生的思辨能力训练呈阶梯式稳步上升，这种整体、有序的训练比就题解题更加有效．
几何学习的最大乐趣在于探究图形的空间形式与数量关系，理解与图形变换紧密联系的数量关系．通过一图多变、一题多变，感受几何图形的变幻莫测，同时在变化中探索出基本不变的数量关
系，从变幻莫测走向变幻可测，使复杂抽象的几何研究趣味横生、出神入化．这对提高学生学习兴趣、培养逻辑推理能力具有举足轻重的作用．
图7 图8 图9
4 注重解题方法归纳，难点问题鉴前毖后
问题4 如图9，O 是直线AB 上一点，AOE ∠= 90FOD ∠= ，OB 平分COD ∠，图中与DOE ∠互余的角有哪些？与DOE ∠互补的角有哪些？
解 90AOE FOD ∠=∠= ， 90AOF EOF ∠+∠= ， 90BOD DOF ∠+∠= ， 90DOE EOF ∠+∠= ． OB 平分COD ∠， BOD BOC ∴∠=∠．
DOE ∴∠互余的角有EOF BOD BOC ∠∠∠，，．
180AOF BOF ∠+∠= ， 180DOE BOF ∠+∠= ，
DOE ∴∠互补的角有BOF EOC ∠∠，
． 思考 从上述解法中，我们以寻找“DOE ∠的余角”为例，不难发现在复杂图形中找对找全余角的一般方法，有下列两个层次：一是直接找，具体为它与谁组成直角？如图中，EOF BOD ∠∠，分别与DOE ∠组成直角，因此他们是DOE ∠的余角．二是
间接找，具体又为两个方面．一方面找与自己相等角的余角，如图中与DOE ∠相等的角是AOF ∠，
EOF ∠与AOF ∠组成直角，
因此EOF ∠是AOF ∠的余角，也是DOE ∠的余角．虽然这个答案与前面重复，但这个思考步骤有其存在的意义与价值．另一方面找与已知余角相等的角，如图形中与BOC ∠与
BOD ∠相等，BOD ∠是DOE ∠的余角，
因此BOC ∠也是DOE ∠的余角．对于如果学生能明确上述这两个层次、三个细则，找对找全余角就不是难事了．对于寻找补角，方法亦是如此．
作业讲评课上，我们应该不仅满足于纠错改错，在此基础上注重学生解题方法的归纳总结，指引学生思考探索的方向与路径，这才是数学课堂意义非凡的关键，也只有这样做了，学生学习的难点问题才会真正鉴前毖后．
C O
D B
A。