人教中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．
（1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 （1）用每件的利润
()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即
()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()2
21203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2
212032002400x --+=．然后检验即可. 【详解】
（1）()()()80802320w x y x x =-=--+， 2248025600x x =-+-，
w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-； （2）()2
224802560021203200w x x x =-+-=--+， 2080160x -<≤≤，，
∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元． （3）当2400w =时，()2
212032002400x --+=． 解得：12100140x x ，．== ∵想卖得快，
2140x ∴=不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．
2．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为
6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示． （1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？
【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【解析】 【分析】
（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解； （2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；
（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润． 【详解】
解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：
2001530010k b
k b =+⎧⎨
=+⎩
， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩
，
即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；
（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大， 则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）， ∵﹣20＜0，故w 有最大值， 当x ＝﹣
2b a ＝31
2
＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190， 50×190＜12000，
故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，
由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13， w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）， 当x ＝13时，w ＝1680，
此时，既能销售完又能获得最大利润． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.
3．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加x 元．求：
（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）y=60-10
x
；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房
间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元． 【解析】
试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；
（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；
（3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10
x
），利用配方法化简可求最大值． 试题解析：解：（1）由题意得：
y =60﹣
10
x （2）p =（200+x ）（60﹣
10x ）=﹣
2
110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10
x ） =﹣2
110
x +42x +10800 =﹣
1
10
（x ﹣210）2+15210
当x =210时，w 有最大值．
此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．
点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
4．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．
（1）求点B ，C 的坐标；
（2）判断△CDB 的形状并说明理由；
（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；
(Ⅲ)22333(0)22
1933(3)2
22t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩.
【解析】 【分析】
（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标． （2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段： ①当0＜t≤3
2
时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当
3
2＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】
解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()2
1y x c =--+上，
∴()2
011c =---+，得4c =
∴抛物线解析式为：()2
14y x =--+，
令0x =，得3y =，∴()0,3C ； 令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B . (Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下： 由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4. 如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ， 则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.
过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=； 在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=； 在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.
∵222BC CD BD +=， ∴CDB ∆为直角三角形.
(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∵()()3,0,0,3B C ，
∴303k b b +=⎧⎨=⎩
，
解得1,3k b =-=，
∴3y x =-+，
直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，
∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++； 设直线BD 的解析式为y mx n =+， ∵()()3,0,1,4B D ， ∴30
4m n m n +=⎧⎨
+=⎩
，解得：2,6m n =-=，
∴26y x =-+.
连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 在COB ∆向右平移的过程中： (1)当3
02
t <≤
时，如答图2所示：
设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.
设QE 与BD 的交点为F ，则：26
3y x y x t =-+⎧⎨
=-++⎩. 解得32x t
y t =-⎧⎨=⎩
，
∴()3,2F t t -.
111
222
QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=
⋅-⋅-⋅ ()2
21113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当3
32
t <<时，如答图3所示：
设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .
∵CQ t =，
∴KQ t =，3PK PB t ==-.
直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.
11
22
PBJ PBK S S S PB
PJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()2
11362322
t t t =
---- 219322
t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：22333022193332
22t t t S t t t ⎧⎛
⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨
⎛⎫
⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.
5．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ，交x 轴正半轴于点C ． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值及此时动点M 的坐标；
（3）将点A 绕原点旋转得点A ′，连接CA ′、BA ′，在旋转过程中，一动点M 从点B 出发，沿线段BA ′以每秒3个单位的速度运动到A ′，再沿线段A ′C 以每秒1个单位长度的速度运动到C 后停止，求点M 在整个运动过程中用时最少是多少？
【答案】（1）y ＝﹣x 2
+2x +3；（2）S 与m 的函数表达式是S ＝252
m m
--，S 的最大值是
258，此时动点M 的坐标是（52，74）；（3）点M 在整个运动过程中用时最少是823秒． 【解析】
【分析】
（1）首先求出B 点的坐标，根据B 点的坐标即可计算出二次函数的a 值，进而即可计算出二次函数的解析式;
（2）计算出C 点的坐标，设出M 点的坐标，再根据△ABM 的面积为S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可. （3）首先证明△OHA ′∽△OA ′B ，再结合A ′H +A ′C ≥HC 即可计算出t 的最小值. 【详解】
（1）将x ＝0代入y ＝﹣3x +3，得y ＝3， ∴点B 的坐标为（0，3），
∵抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ， ∴3＝a +4，得a ＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；
（2）将y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x +3，得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴点C 的坐标为（3，0），
∵点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，点M 的横坐标为m ， ∴0＜m ＜3，点M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3）， 将y ＝0代入y ＝﹣3x +3，得x ＝1， ∴点A 的坐标（1，0）， ∵△ABM 的面积为S ，
∴S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ＝()
2123313222
m m m ⨯-++⨯⨯+-， 化简，得
S ＝252m m --＝2
1525228
m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，
∴当m ＝
52时，S 取得最大值，此时S ＝258，此时点M 的坐标为（52，74
）， 即S 与m 的函数表达式是S ＝252
m m
--，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是
（
52，7
4
）； （3）如右图所示，取点H 的坐标为（0，
1
3
），连接HA ′、OA ′， ∵∠HOA ′＝∠A ′OB ，13OH OA '
=，1
3
OA OB '=， ∴△OHA ′∽△OA ′B ，
∴3BA A H
'
'=，
即3
BA A H ''=，
∵A ′H +A ′C ≥HC ＝2
218233⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， ∴t ≥
82
3
， 即点M 在整个运动过程中用时最少是
82
3
秒．
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t 的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.
6．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.
【答案】(1)y=-22
4(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）
(2)m 、n 的值分别为 5，-5 【解析】
（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得： 4b+c-16=0，b+c-1="3" ， 解得：b="4" ， c=0．
所以抛物线的表达式为：2
4y x x =-+． y=-224(2)4y x x x =-+=--+，
所以抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）．
（2）由题可知，E、F点坐标分别为（4-m，n），（m-4，n）．三角形POF的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，
三角形AOP的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，
四边形OAPF的面积= 三角形POF的面积+三角形AOP的面积=20，所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0）
又n=-2
m+4m，
所以2
m-4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0)故所求m、n的值分别为 5，-5．
7．如图1，在平面直角坐标系中，直线1
2
2
y x
=+与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2
1
2
y x bx c
=++经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD、BD，设BD交直线AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为
S2．求：1
2
S
S的最大值；
②如图2，是否存在点D，使得∠DCA＝2∠BAC？若存在，直接写出点D的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）2
13
2
22
y x x
=--+；（2）①当2
a=-时，1
2
S
S的最大值是
4
5
；②点D 的坐标是(2,3)
-
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-
1
2
x2+bx+c，于是得到结论；
（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；
②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（-
3
2
，0），得到PA=PC=PB=
5
2
，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于
G ，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意得A （-4，0），C （0，2），
∵抛物线y=-12x 2+bx+c
经过A ．C 两点， ∴1016422b c c
⎧-⨯-+⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴3b=-2c=2
⎧⎪⎨⎪⎩，
抛物线解析式为：213222y x x =-
-+ ; （2）①令0y =，
∴2132022
x x --+= 解得：14x =- ,21x =
∴B （1，0）
过点D 作DM x ⊥轴交AC 于M ，过点B 作BN x ⊥轴交AC 于点N ，
∴DM ∥BN
∴DME BNE ∆∆∽
∴12S DE DM S BE BN
== 设：213222D a a a ⎛
⎫--+ ⎪⎝⎭
， ∴122M a a ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，
∵()10
B ，
∴
5
1,
2 N
⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴()
2
2
1
2
1
214
22
555
2
a a
S DM
a
S BN
--
===-++
∴当2
a=-时，1
2
S
S的最大值是
4
5
;
②∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=25，BC=5，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
取AB的中点P，
∴P（-3
2
，0），
∴PA=PC=PB=5
2
，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=4
3
，
过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，如图，
∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=1
2
，
即RC：DR=
1
2
，
令D（a，-
1
2
a2-
3
2
a+2），
∴DR=-a，RC=-1
2
a2-
3
2
a，
∴（-1
2a2-
3
2
a）：（-a）=1：2，
∴a1=0（舍去），a2=-2，∴x D=-2，
∴-1
2a2-
3
2
a+2=3,
∴点D的坐标是()2,3
-
【点睛】
本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．
8．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣1
2
t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由
S△PAB=S△PAN+S△PBN=1
2
PN•AG+
1
2
PN•BM=
1
2
PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数
的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣6）（x+2），
将点A （0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣1
2（x ﹣6）（x+2）=﹣12
x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，
设直线AB 解析式为y=kx+b ，
将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：
660
b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩
， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，
设P （t ，﹣
12
t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣
12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12
t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN
=12PN•AG+12
PN•BM =12
PN•（AG+BM ） =12
PN•OB =12×（﹣12
t 2+3t ）×6 =﹣32
t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272
， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；
（3）如图2，
∵PH⊥OB于H，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH∥AO，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE∥x轴、PD⊥x轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，﹣1
2
x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4，
即点P（4，6）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：
2
y mx2mx3m
=--（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．
【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．
（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2
=-
或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】
【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．
【详解】
解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，
∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．
∴A （，0）、B （3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），
把C （0，32-
）代入可得，12
a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22
--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23
327p 4216--+
（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716
． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），
∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，
解得：12m 2=-,22m 2
=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，
解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2m 2
=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．
10．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．
【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，
）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B 、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得P 点坐标及对称轴，可设出M 点坐标，表示出MC 、MP 和PC 的长，分MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，可分别得到关于M 点坐标的方程，可求得M 点的坐标；
（3）过E 作EF ⊥x 轴，交直线BC 于点F ，交x 轴于点D ，可设出E 点坐标，表示出F 点的坐标，表示出EF 的长，进一步可表示出△CBE 的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E 点的坐标．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，
∴B （3，0），C （0，3），
把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得
，解得，
∴抛物线解析式为y=x 2﹣4x+3；
（2）∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为x=2，P （2，﹣1），
设M （2，t ），且C （0，3），
∴MC=，MP=|t+1|，PC=，
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，
①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；
②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；
③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣
1+2）或（2，﹣1﹣2）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，
设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），
∵0＜x＜3，
∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，
∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），
即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．
考点：二次函数综合题．。