高考数学二轮复习 限时训练8 导数 文

【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练8 导数 文
(建议用时45分钟)
1．设函数f (x )＝32
－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
π4. (1)求ω的值；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝
32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝
32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12
sin 2ωx ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω＝4×π4
. 因此ω＝1.
(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3
. 所以－32≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f (x )≤
32. 故f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 2．已知向量m ＝(sin 2x ，－1)，向量n ＝(3cos 2x ，－0.5)，函数f (x )＝(m ＋n )·m .
(1)求f (x )的最小正周期T ；
(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝13，c ＝2，且f (A )恰
是f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值，求A 和b . 解：(1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 22x ＋1＋3sin 2x cos 2x ＋12＝1－cos 4x 2＋1＋32sin 4x ＋12
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x －π6＋2， ∴T ＝2π4＝π2
. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋2，当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，－π6≤4x －π6≤5π6， ∴当4x －π6＝π2
时，f (x )取得最大值3， 此时x ＝π6.∴由f (A )＝3得A ＝π6
. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
∴(13)2＝b 2＋22－2×2b cos π6
，∴b ＝3 3. 3．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2
ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin
2ωx ＋λ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，
可得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13
(k ∈Z )． 又ω∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝0， 故λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－ 2. 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53
x －π6－2，
由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6
， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53
x －π6≤1， 得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53
x －π6－2≤2－2， 故函数f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－ 2 ]． 4．已知在平面直角坐标系中，角φ，2x 的终边分别与单位圆(以坐标原点O 为圆心)交于A ，
B 两点，函数f (x )＝OA →·OB →.
(1)若当x ＝2π3
时，函数f (x )取得最小值，求函数f (x )的解析式； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝12
，求sin 2φ. 解：因为角φ，2x 的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，
所以OA →＝(cos φ，sin φ)，OB →＝(cos 2x ，sin 2x )，
所以f (x )＝OA →·OB →＝cos 2x cos φ＋sin 2x sin φ＝cos(2x －φ)．
(1)因为当x ＝2π3
时，函数f (x )取得最小值， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－1，即cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×2π3－φ＝－1， 所以φ－4π3＝2k π－π，k ∈Z ，解得φ＝2k π＋π3
，k ∈Z ， 所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2k π－π3＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3， 即函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝12知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8－φ＝12
， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ＝12
， 所以sin 2φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2φ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ－1＝2×14－1＝－12.。