苏尼特右旗实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

苏尼特右旗实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数y=e cosx （﹣π≤x ≤π）的大致图象为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． －2sin 80°的值为（ ）
sin 15°sin 5°A ．1 B ．－1C ．2
D ．－2
3． 已知函数f （x ）=x 2﹣
，则函数y=f （x ）的大致图象是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 已知函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差
数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（ ）
A ．f ′（x 0）＜0
B ．f ′（x 0）=0
C ．f ′（x 0）＞0
D ．f ′（x 0）的符号无法确定
5． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知集合M={x|x 2＜1}，N={x|x ＞0}，则M ∩N=（ ）
A ．∅
B ．{x|x ＞0}
C ．{x|x ＜1}
D ．{x|0＜x ＜1}
可．
7． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点是边上的动点，记四面体的体M AB FMC E -积为，多面体的体积为，则
（ ）1111]1V BCE ADF -2V =2
1
V V
A ．
B ．
C ．
D ．不是定值，随点的变化而变化
4
1
3
1
2
1
M
8． =（ ）
A ．2
B ．4
C ．π
D ．2π
9． 如图，在△ABC 中，AB=6，AC=4，A=45°，O 为△ABC 的外心，则•等于（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
10．若函数f （x ）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f （﹣3）=0，则（x ﹣2）f （x ）＜0的解集是（ ）
A ．（﹣3，0）∪（2，3）
B ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
D ．（﹣3，0）∪（2，
+∞）
11．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S 的值为（
）
A ．9.6
B ．7.68
C ．6.144
D ．4.9152
12．在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ）
A ．120°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
二、填空题
13．
17．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
14．设满足约束条件，则的最大值是____________．　
,y x 2110y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
3z x y =+15．
的展开式中
的系数为 （用数字作答)．
16．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线上x
C y e ：＝一点，直线经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________．20l x y c ：＋＋＝17．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测的15﹣64岁劳动人口所占比例：
年份20302035204020452050年份代号t 12345所占比例y
68
65
62
62
61
根据上表，y 关于t 的线性回归方程为
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =
﹣．
18．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数（为常数）的导函数为
()2
f x ax bx c =++,,a b c ，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．
()f x 'x R ∈()()f
x f x ≥'2
22b a c
+三、解答题
19．已知函数f （x ）=2x ﹣，且f （2）=．
（1）求实数a 的值；（2）判断该函数的奇偶性；
（3）判断函数f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并证明．
20．本小题满分10分选修：几何证明选讲
41-如图，是⊙的内接三角形，是⊙的切线，切点为，交于点，交⊙于点，
ABC ∆O PA O A PB AC E O D ，，，．
PE PA =︒=∠45ABC 1
=PD 8=DB Ⅰ求的面积；ABP ∆Ⅱ求弦的长．
AC
21．已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是PA 、PB 、BC 的中点．（I ）求证：EF ⊥平面PAD ；
（II ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．
22．（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，过点作垂直
1C 14
82
2=+y x 21F F 、1F 于轴的直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.
2l P 2PF 2l M （1）求点的轨迹的方程；
M 2C （2）过点作两条互相垂直的直线，且分别交椭圆于，求四边形面积2F BD AC 、D C B A 、、、ABCD 的最小值.
23．（本小题满分12分）在多面体中，四边形与均为正方形，平面
ABCDEFG ABCD CDEF CF ⊥，平面，且．
ABCD BG ⊥ABCD 24AB BG BH ==
（1）求证：平面平面；AGH ⊥EFG （2）求二面角的大小的余弦值．
D FG
E --
24．已知函数f （x ）=x 2﹣（2a+1）x+alnx ，a ∈R （1）当a=1，求f （x ）的单调区间；（4分）
（2）a ＞1时，求f （x ）在区间[1，e]上的最小值；（5分）（3）g （x ）=（1﹣a ）x ，若
使得f （x 0）≥g （x 0）成立，求a 的范围.
苏尼特右旗实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：函数f （x ）=e cosx （x ∈[﹣π，π]）
∴f （﹣x ）=e cos （﹣x ）=e cosx =f （x ），函数是偶函数，排除B 、D 选项．令t=cosx ，则t=cosx 当0≤x ≤π时递减，而y=e t 单调递增，
由复合函数的单调性知函数y=e cosx 在（0，π）递减，所以C 选项符合，故选：C ．
【点评】本题考查函数的图象的判断，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．　
2． 【答案】
【解析】解析：选A.－2 sin 80°
sin 15°sin 5°
＝－2cos 10°＝
sin （10°＋5°）sin 5°
sin 10°cos 5°＋cos 10°sin 5°－2 cos 10°sin 5°
sin 5°＝＝＝1，选A.
sin 10°cos 5°－cos 10°sin 5°sin5 °sin （10°－5°）
sin 5°
3． 【答案】A
【解析】解：由题意可得，函数的定义域x ≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f （﹣1）=f （1）=1，可排除B 、C 两个选项．
∵当x ＞0时，t==
在x=e 时，t 有最小值为
∴函数y=f （x ）=x 2﹣，当x ＞0时满足y=f （x ）≥e 2﹣＞0，
因此，当x ＞0时，函数图象恒在x 轴上方，排除D 选项
故选A
4． 【答案】 A
【解析】解：∵函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），
∴
，
∴存在x 1＜a ＜x 2，f '（a ）=0，∴
，∴
，解得a=
，
假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0．
∵，
∴，
∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，
∴x0＞a，
又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f''（x）递减，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．
5．【答案】D
【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m
则由题意知，
解得d=．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．　
6．【答案】D
【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}，
N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，
故选D．
【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，
7．【答案】B
【解析】
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
8．【答案】A
【解析】解：∵（﹣cosx﹣sinx）′=sinx﹣cosx，
∴==2．
故选A．
9．【答案】A
【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点，
可得，，则•==16﹣18=﹣2
；
故选A．
【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题
10．【答案】A
【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，
∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，
又∵f（﹣3）=0，
∴f（3）=0
∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；
∴（x﹣2）•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3）
故选：A．
11．【答案】C
【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）x，
结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4=6.144．
故选：C．
12．【答案】A
【解析】解：根据余弦定理可知cosA=
∵a2=b2+bc+c2，
∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）
∴cosA=﹣
∴A=120°
故选A
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：∵f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），
∴=a x，
又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
∴（）′=＞0，
∴=a x是增函数，
∴a＞1，
∵+=．
∴a1+a﹣1=，解得a=或a=2．
综上得a=2．
∴数列{}为{2n}．
∵数列{}的前n项和大于62，
∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，
即2n+1＞64=26，
∴n+1＞6，解得n＞5．
∴n 的最小值为6．故答案为：6．
【点评】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．　
14．【答案】73
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最大值为.12,
33A ⎛⎫
⎪⎝⎭
73
考点：线性规划．15．【答案】20
【解析】【知识点】二项式定理与性质【试题解析】通项公式为:令12-3r=3，r=3．
所以系数为：故答案为：
16．【答案】－4－ln2
【解析】
点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。

17．【答案】　y=﹣1.7t+68.7　
【解析】解： =
， =
=63.6．
=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．
=4+1+0+1+2=10．
∴
=﹣
=﹣ 1.7.
=63.6+1.7×3=68.7．
∴y 关于t 的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7．故答案为y=﹣1.7t+68.7．
【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．　
18．
【答案】2
-【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R
()'2f x ax b =+()()'f x f x ≥()2
20ax b a x c b +-+-≥上恒成立，等价于：，可解得：，则：0
{
a >≤A ()22444
b a
c a a c a ≤-=-，令，，222222241441c b ac a a a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭
1,(0)c t t a =-
>2
4422222t y t t t t ==≤=++++
故的最大值为．2
22
b a c
+2考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=2x ﹣，且f （2）=，
∴4﹣
=，
∴a=﹣1；（2分）（2）由（1）得函数，定义域为{x|x ≠0}关于原点对称…（3分）
∵=
，
∴函数
为奇函数．…（6分）
（3）函数f （x ）在（1，+∞）上是增函数，…（7分）任取x 1，x 2∈（1，+∞），不妨设x 1＜x 2，则
=
…（10分）
∵x 1，x 2∈（1，+∞）且x 1＜x 2∴x 2﹣x 1＞0，2x 1x 2﹣1＞0，x 1x 2＞0∴f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在（1，+∞）上是增函数
…（12分）
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　
20．【答案】
【解析】Ⅰ是⊙的切线，切点为 ∴ PA O A PAE ∠=45ABC ∠=︒又∵ ∴，
PE PA =PEA ∠=45︒APE ∠=90︒由于，，所以由切割线定理可知，既1=PD 8=DB 92
=⋅=PB PD PA 3
==PA EP 故的面积为
． ABP ∆12PA BP ⋅=
27
2
Ⅱ在中，由勾股定理得
Rt APE ∆APE AE =由于，，所以由相交弦定理得
2=-=PD EP ED 6=-=DE DB EB
所以，故． EC EA EB ED ⋅=⋅12=222
312
==EC =AC
21．【答案】
【解析】解：（I ）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵E 、F 为PA 、PB 的中点，∴EF ∥AB ，
∴EF ⊥平面PAD ；
（II ）解：过P 作AD 的垂线，垂足为O ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD ．取AO 中点M ，连OG ，EO ，EM ，∵EF ∥AB ∥OG ，
∴OG 即为面EFG 与面ABCD 的交线
又EM ∥OP ，则EM ⊥平面ABCD ．且OG ⊥AO ，故OG ⊥EO
∴∠EOM 即为所求 在RT △EOM 中，EM=OM=1
∴tan ∠EOM=
，故∠EOM=60°
∴平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是60°．
【点评】本题主要考察直线与平面垂直的判定以及二面角的求法．解决第二问的难点在于找到两半平面的交线，进而求出二面角的平面角．　
22．【答案】（1）；（2）.x y 82
9
64【解析】
试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接，由垂直平分线的性质可得，运用抛物线的定2MF 2MF MP =义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四AC BD 边形面积．当直线和的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，则直
ABCD 2
2b S =AC BD AC ()2-=x k y 线的方程为．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得，BD ()21
--
=x k
y AC ．
利用四边形面积即可得到关于斜率的式子，
再利用配方和二次函数的最值求法，BD ABCD BD AC S 2
1
=即可得出．
（2）当直线的斜率存在且不为零时，直线的斜率为，，，则直线的斜率为，AC AC ),(11y x A ),(22y x C BD k
1
-
直线的方程为，联立，得.111]
AC )2(-=x k y ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148
)2(22y x x k y 0888)12(2
222=-+-+k x k x k ∴，.2221218k k x x +=+2
221218
8k
k x x +-=.由于直线的斜率为，用代换上式中的。

可得1
2)1(324)(1||22212
212++=-+⋅+=k k x x x x k AC BD k 1-k 1-
.
2
)
1(32||22++=k k BD ∵，∴四边形的面积.BD AC ⊥ABCD )12)(2()1(16||||212
22
2+++=⋅=k k k BD AC S 由于，∴，当且仅当，即222222
2
]2)1(3[]2)12()2([)12)(2(+=+++≤++k k k k k 9
64≥
S 1222
2+=+k k 时取得等号.
1±=k 易知，当直线的斜率不存在或斜率为零时，四边形的面积.AC ABCD 8=S 综上，四边形面积的最小值为.ABCD 9
64考点：椭圆的简单性质．1
【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得,运用抛物线的定义,即可得所求的||||2MF MP =轨迹方程.第二问分类讨论,当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为.当直线
AC BD 2
2b
和的斜率都存在时,分别设出的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得
AC BD BD AC ,,从而利用四边形的面积公式求最值.
BD AC ,23．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
∵平面，∴平面平面．……………………………5分
GH ∈AGH AGH ⊥EFG
24．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞），
∴…（2分）
（，1），
函数是减函数．…（4分）
（2）∴，∴，
当1＜a＜e时，
∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）
当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数，
∴
综上…（9分）
（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间上有解
即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在上有解，
∵当时，lnx≤0＜x，
当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0，
∴在区间上有解．
令…（10分）
∵，∴x+2＞2≥2lnx∴时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，x∈（1，e]，h（x）是增函数，
∴，
∴时，，∴
∴a的取值范围为…（14分）。