吉林省长春市普通高中2018届高三质量检测(三)数学(理)试卷

长春市普通高中 届高三质量监测（三）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）
简答与提示： 【命题意图】本题考查集合的运算
【试题解析】 {|11},{|03},(1,3)A x x B x x A
B =-<<=<<=- 故选
【命题意图】本题考查复数
【试题解析】 ,||1z i z == 故选
【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题
【试题解析】 由算筹含义 故选
【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质
【试题解析】 由函数是偶函数，排除 ， ，当(0,)2
x π
∈，tan 0x > 故选
【命题意图】本题考查三角函数的相关知识
【试题解析】 由题意知，,12
a k k π
π=-+∈Z 故选
【命题意图】本题主要考查算法的相关知识
【试题解析】 根据程序框图 故选
【命题意图】本题考查计数原理的应用
【试题解析】 由题意知232
23224A A A = 故选
【命题意图】本题主要考查三视图问题
【试题解析】 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，
1
23V =⋅=故选
【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识
【试题解析】 由题意知60B =︒，由余弦定理，22
4ac a c =+-，故
22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1
sin 2
ABC S ac B ∆=
≤故选
【命题意图】本题主要考查球的相关问题
【试题解析】 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，
5π 故选 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识
【试题解析】 由双曲线可知122213,4PF F S m m ∆=-==，从而e = 故选
【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用
【试题解析】 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为
2
(log |31|)3|31|-<--x x f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令
2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，
从而0|31|2x
<-<，解得1,<x 且0≠x 故选 二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）
9 1.7 (,1][4,)-∞-+∞ 48-简答与提示：
【命题意图】本题考查线性规划问题
【试题解析】由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9 【命题意图】本题考查回归方程的相关知识
【试题解析】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1y
x =+可得 4.2y =，则4 6.7m =， 解得 1.675m =，即精确到 后m 的值约1.7 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识
【试题解析】当1
0,()2,12
x x x ≤≥≤-，当20,log 2,4x x x >≥≥，故
(,1][4,)-∞-+∞
【命题意图】本题考查平面向量的相关知识
【试题解析】由题意可知其最小值为48-
三、解答题
本小题满分 分
【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和 【试题解析】解：（ ）
2n S n n =-，∴令1n =，10a =
()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥
∴()21n a n =-
又数列{}n b 为等比，222b a ==，458b a ==
∴
24
2
4b q b ==，又各项均为正∴2q =，∴12n n b -= （ ）由（ ）得：()12n
n c n =-⋅
∴()()()23021231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅()23122212n n =⋅+⋅++-⋅
()()341212222212n n n T n n +=
⋅+⋅+
+-⋅+-⋅
()2341222212n n n T n +-=+++
+--⋅
()
()2112121212
n n n -+-=
--⋅-()112124n n n ++=--⋅-
∴()1224n n T n +=-⋅+
本小题满分 分
【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识
【试题解析】解：（ ）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，
（ ）第 ， ， 组的人数分别为 人， 人， 人，从第 ， ， 组中用分层抽样的方法抽取 人，则第 ， ， 组抽取的人数分别为 人， 人， 人
设从 人中随机抽取 人，第 组已被抽到 人为事件A ，第 组抽到 人为事件B ，
则()()12
27
3
121221
210210312
21
|.()
50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ （ ）从所有参与调查的人中任意选出 人，关注“生态文明”的 概率为4
,5
P =
X 的可能取值为 ， ， ，
()0
334
10(1)5
125P X C ∴==-=
，()11
2344121()(1)55125
P X C ==-= ()221344482()(1)55125P X C ==-=，()33
34643()5125
P X C ===
4~(3,)5X B ，()412
3.55E X np ==⨯=
本小题满分 分
【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识
本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 【试题解析】答案：（ ）取PC 中点M ，连接MF DM ,
F M , 分别是PB PC ,中点， CB MF CB MF 21
,//=∴，
E 为DA 中点，ABCD 为矩形，CB DE CB DE 21
,//=∴，
DE MF DE MF =∴,//，∴四边形DEFM 为平行四边形
⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面RDC
（ ）⊥PA 平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A -
则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D 111(0,0,),(,,0)2
22
E F
设平面EFC 法向量为1(,,)n x y z =，111(,,)222EF =-，11
(,,1)22
FC =-
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011
n n ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+021
2
10z y x z y x ，取()2,1,31-=n
则设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =，(1,0,1)PD =-，(1,1,1)PC =-
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
22n n ， 即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ， 取()1,0,12=n
12
1212311021cos ,14||||n n n n n n ⨯+-⨯+⨯⋅<>=
==⋅
∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为
14
7
5 本小题满分 分
【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻 辑思维能力和运算求解能力
【试题解析】解： 设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+ 从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为 的椭圆，
并去 除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为22
1(2)43
x y x +=≠- （ ）设l 的方程为1x my =+，联立22
143
1x y x my ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
， 消去x 得2
2
(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y
，
有121222
69,,3434
m y y y y m m --+==++
则2212(1)||34
m AB m +==+， 点(2,0)
P -到直线l
(2,0)Q 到直线l
从而四边形APBQ
的面积22112(1)234m S m +=⨯=+ 令1t t ≥，有2
2424
1313t S t t t
==++，函数13y t t =+在[1,)+∞上单调递增， 有134t t +≥，故2242461
313t S t t t
==≤++，即四边形APBQ 面积的最大值为6
本小题满分 分
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力
【试题解析】解：（ ）
()f x 的定义域为x R ∈且单调递增，
∴在x R ∈上，()240x a
f x x e
'=-+
≥恒成立，即：(42)x a x e ≥- ∴设()(42)x h x x e =- x R ∈ ，∴()(22)x h x x e '=-，
∴当(,1)x ∈-∞时()0h x '>，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时()0h x '≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴
max ()(1)2h x h e ==
max [(42)]x a x e ≥-，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞
（ ）
()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-
()()()
122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，
∴()()()1222
2112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+- ∴()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+
∴设()()245x x x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=， ∴()()210x x x e ϕ'=-≥ ∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'=
令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞
∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，()0,x ∈+∞ ∴()()()2
2
11m x m x F x m x e m x e +-'=+----
0x >
∴0m x m x e e +->>，()()()2
2
112220m x m x m x +----=-≥
∴()0F x '≥，()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴()()()02F x F m ϕ>=， ∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞，令1x m x =-
∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+>
又
12()()2()x x m ϕϕϕ+=，
∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ->
1x m <，2x m >∴12m x m ->，
()x ϕ在x R ∈上递增
∴122m x x ->，即：122x x m +<，得证
本小题满分 分
【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求
【试题解析】 （ ）联立⎩⎨⎧==θ
ρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤ ，6πθ=， 32=ρ
交点坐标)6
π （ ）设()θρ,P ，()00,θρQ 且.cos 400θρ=0[0,)2πθ∈，由已知,3
2= 得⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为10cos ,[0,)2πρθθ=∈ 本小题满分 分
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容 本小题重点考查化归与转化思想
【试题解析】（ ）当2m =-时，()41(0)32232=1(0)2345()2
x x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=++--⎨⎪⎪--≤-⎪⎩＜＜ 当4130
x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立 当45332
x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1[2]2-， ()43+(0)3223=3(0)2343()2x m x f x x x m m x x m x ⎧+≥⎪⎪⎪=++++-⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩（2）＜＜
当(,0)x ∈-∞时，()33(0)2223=343()2
m x f x x x m x m x ⎧+-⎪⎪=+++⎨⎪--+≤-⎪⎩＜＜
当302x -＜＜时，()=3+f x m ，当()3=432x f x x m ≤---+，单调递减，
的最小值为 ，设()()20g x x x x =+<
当20,x x x ->-+≥-，当且仅当2=x x --时，取等号2x x ∴+≤
即x 取得最大值
要使()2f x x x
≥+恒成立，只需3m +≥-m ≥-。