进才中学高一年级数学深广课程(二)二次函数与命题2

进才中学高一年级数学深广课程（二）二次函数与命题
【典例分析】
例1 设方程210x x -+=的两根是,αβ，求满足()f αβ=，()f βα=，(1)1f =的二次函数()f x 。

例2 已知2()f x ax c =-满足4(1)1,1(2)5f f -≤≤--≤≤，求(3)f 的取值范围。

例3 已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，若方程()f x x =无实根，求证：方程(())f f x x =也无实根。

例4 设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()f x x =的两根12,x x 满足1210x x a
<<<，
（Ⅰ）当1(0,)x x ∈时，求证：1()x f x x <<； （Ⅱ）设函数()f x 的图象关于0x x =对称，求证：102
x x <。

例5 已知关于x 的方程222(1)(1)(1)ax a x a +=->，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。

例6 当x 取何值时，函数42
2
2
5(1)
x x y x ++=+取最小值？求出这个最小值。

例7 设变量x 满足2(1)x bx x b +≤-<-，并且2x bx +的最小值是12
-，求b 的值。

例8 已知不等式组220
21
x x a a x a ⎧-+-<⎨+>⎩ 的整数解恰好有两个，求a 的取值范围。

例9 设定数,,A B C 使得不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥ ①
对一切实数,,x y z 都成立，问,,A B C 应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及
,,A B C 的等式或不等式表示条件）
【针对练习】
1.若方程2(2)50
x m x m
+-+-=的根满足下列条件，分别求出实数m的取值范围。

(1)方程两实根均为正数；
(2)方程有一正根一负根。

2. 若方程2(23)420
k x k x k
-+++=的根满足下列条件，分别求出实数k的取值范围。

（1）方程两实根均大于1；
（2）方程有一根比1大，一根比1小。

3.求实数k为何值时，方程21
0 4
x kx k
-++=的两个实根
（1）分别在区间（1，2）和（3，4）内；
（2）绝对值小于1。

4. 已知方程42
(3)30
mx m x m
--+=有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m的取值范围。

5.已知a b c <<，证明关于x 的方程
2
32()0x a b c x ab bc ca -+++++=
有两个不等的实根，且这两个根分别在区间(,)a b 和(,)b c 内。

6.若函数2
113()2
2
f x x =-+
在区间[,]a b 上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[,]a b 。

7. 设函数2()83(0),f x a x x a =++< 对于给定的负数a ，有一个最大的正数()l a ，使得在整个区间[0,()]
l a 上，不等式|()|5f x ≤都成立。

（1）求()l a 的表达式。

（2）当a 为何值时，()l a 最大？并求出这个最大值()l a 。

进才中学高一年级数学深广课程（二）二次函数与命题
【典例分析】
例1 设方程210x x -+=的两根是,αβ，求满足()f αβ=，()f βα=，(1)1f =的二次函数()f x 。

【解】 设2()(0)f x ax bx c a =++≠
2
2
()()[()1]0()f a b c a b f a b c αααβαβαββββα⎫=++=⎪
⇒-+++=⎬=++=⎪⎭
2
10x x -+=中△≠0，所以αβ≠，
所以()10a b αβ+++=
又1αβ+=,所以10a b ++=
又因为(1)1f a b c =++=，2c ∴=
2
()(1)2f x ax a x =-++
2
2
2
()(1)221(1)10f a a a a a a αααβαααβαα=-++=⇒-+=+=⇒-++-=
又210αα-+=
1a ∴=所以2
()22f x x x =-+。

例2 已知2()f x ax c =-满足4(1)1,1(2)5f f -≤≤--≤≤，求(3)f 的取值范围。

【解】
5858(3)9[][4](1)(2)3
333f a c a c a c f f =-=--+-=-
+
8585
(1)(3)5433
33
f ∴⨯-+
≤≤
⨯+
⨯，1(3)20f ∴-≤≤。

例3 已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，若方程()f x x =无实根，求证：方程(())f f x x =也无实根。

【证明】若0a >，因为()f x x =无实根，所以二次函数()()g x f x x =-图象与x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的,()0x R f x x ∈->即()f x x >，从而(())()f f x f x >。

所以(())()f f x f x x >>，所以方程(())f f x x =无实根。

若0a >，同理可证方程(())f f x x =无实根。

所以方程(())f f x x =无实根
例4 设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()f x x =的两根12,x x 满足1210x x a
<<<，
（Ⅰ）当1(0,)x x ∈时，求证：1()x f x x <<； （Ⅱ）设函数()f x 的图象关于0x x =对称，求证：1
02
x x <。

【证明】 因为12,x x 是方程()0f x x -=的两根，所以12()()()f x x a x x x x -=--，
即12()()()f x a x x x x x =--+
（Ⅰ）当1(0,)x x ∈时，1200x x x x -<-<，0a >所以()f x x >。

其次112121()()[()1]()[()]0f x x x x a x x a x x x x a
-=--+=--+<，
所以1()f x x <. 综上，1()x f x x <<
（Ⅱ）2121212()()()[1()]f x a x x x x x ax a x x x ax x =--+=+-++ 所以1212
0()1
122
2a x x x x x a
a
+-+==-,
所以120211102
2
22x x x x a
a ⎛⎫-
=
-
=
-< ⎪⎝⎭
，
所以10.2
x x <
例5 已知关于x 的方程222(1)(1)(1)ax a x a +=->，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。

【证明】 方程化为2222210a x ax a ++-= 令222()221f x a x ax a =++-
则222(1)(1)0(1)(1)0(0)10f a f a f a =+>-=->=-< 所以()f x 在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。

即方程的正根比1小，负根比-1大。

例6 当x 取何值时，函数42
2
2
5(1)
x x y x ++=+取最小值？求出这个最小值。

【解】 2
2
2
1511
(1)
y x x =-
+
++,令
2
11
u x =+,则01u <≤。

2
222
1
5
11919151(1)102020y u x x ⎛
⎫=-+=-+≥ ⎪++⎝
⎭, 且当110
u =即3x =±时，m in 1920
y =
.
例7 设变量x 满足2(1)x bx x b +≤-<-，并且2x bx +的最小值是12
-，求b 的值。

【解】 由2
(1)x bx x b +≤-<- 得0(1)x b ≤≤-+
ⅰ)当(1)2
b b -
≤-+，即2b ≤-时，2
2
m in 1()4
2
b
x bx b +=-=-
⇒=
ⅱ) 当(1)2
b b -
>-+，即2b >-时，2m in 13()12
2
x bx b b +=+=-⇒=-
，
综上，32
b =-.
例8 已知不等式组220
21x x a a x a ⎧-+-<⎨+>⎩
的整数解恰好有两个，求a 的取值范围。

【解】 220()[(1)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<,
（1）当0a ≤时 解集为1a x a <<-，
因为121a a -≥-，所以0a ≤,所以不等式组无解。

（2）当 0a >
ⅰ）当1
02
a <<
时，1a a <- 解集为1a x a <<-. 因为011a a <<-<，所以不等式组无整数解。

ⅱ）当12a =时，1a a =-，无解。

ⅲ）当1
2
a >
时，1a a >-，解集为1a x a -<<. 又12x a >-，所以不等式组的解集为1a x a -<<. 又不等式组的整数解恰有2个， 所以1(1)3a a <--≤
所以12a <≤，并且当12a <≤时，不等式组恰有两个整数解0，1。

综上，a 的取值范围是12a <≤。

例9 设定数,,A B C 使得不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥ ①
对一切实数,,x y z 都成立，问,,A B C 应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及
,,A B C 的等式或不等式表示条件）
【解】 充要条件为,,0A B C ≥且2222()A B C AB AC BC ++≤++. ()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥ ①
()[()()]()()[()()]()0A x y x y y z B y z y x C x y y z z y ∴--+-+----+--≥
22
()()()()()0A x y B A C y z x y C y z ∴------+-≥ ②
先证必要性，
若0A =，则由②对一切,,x y z R ∈成立，则只有B C =2(()()())0(x C B y z C y z y ---+-≥ 只能是关于x y -的水平直线），再由①知0B C ==，
若0A ≠，则因为②恒成立，所以0A >，222()()4()0B A C y z AC y z ∆=-----≤恒成立，
2
2
2
2()A B C AB AC BC ∴++≤++同理有,0B C ≥，所以必要性成立。

再证充分性，若,,0A B C ≥且2222()A B C AB AC BC ++≤++)，
1）若0A =，则由222B C BC +≤，所以B C =，原不等式①转化为00≥，所以①成立。

2）若0A >，则由③知0∆≤，所以②成立，所以①成立。

综上，充分性得证。

【针对练习】
1.若方程2(2)50x m x m +-+-=的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围。

(1)方程两实根均为正数； (2)方程有一正根一负根。

(1)4(2)5m m ≤->
2. 若方程2(23)420k x k x k -+++=的根满足下列条件，分别求出实数k 的取值范围。

（1）方程两实根均大于1；
（2）方程有一根比1大，一根比1小。

(1)6
k ≥
1(2)03
k <<
3.求实数k 为何值时，方程2104
x kx k -++
=的两个实根
（1）分别在区间（1，2）和（3，4）内； （2）绝对值小于1。

3765(1)812
k <<
5(2)28
k -
<<-
4. 已知方程42(3)30mx m x m --+=有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围。

解 方程42(3)30mx m x m --+=有一个根小于1-，其余三个根都大于1- （则其根必成对，且1423||||1,||||1x x x x =>=<。

）
设2x y =，原方程可化为2(3)30my m y m --+=。

由题意，此方程的两个根都是正根，且一根大于1，另一根小于1。

设 23()3m f y y y m
-=-
+，则
30(0)0103(1)0
130f m m f m >⎧>⎧⎪
⇒
⇒-<<-⎨
⎨<-+<⎩⎪
⎩。

所以，当10m -<<时，原方程的四个根中，有一个根小于1-，其余三个根都大于1-。

5.已知a b c <<，证明关于x 的方程
2
32()0x a b c x ab bc ca -+++++=
有两个不等的实根，且这两个根分别在区间(,)a b 和(,)b c 内。

解 令2()32()f x x a b c x ab bc ca =-+++++，则
()()()0()()()0()()()0
f a a b a c f b b a b c f c c a c b =-->=--<=--> 所以关于x 的方程
2
32()0x a b c x ab bc ca -+++++=
有两个不等的实根，且这两个根分别在区间(,)a b 和(,)b c 内。

6.若函数2
113()22
f x x =-
+
在区间[,]a b 上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[,]a b 。

解 （1）当0a b <<时，
由2
21132()222()2113222
a a
f a a f b b
b b
⎧-+=⎪=⎧⎪⇒
⎨
⎨=⎩⎪-+
=⎪⎩，即,a b 是方程24130x x +-=的两根。

但此方程两根异号，故
此时无解；
（2）当0a b ≤≤时，1313()|22
4
f x b b ==⇒=
最大值。

()|f x 最小值
若()|f x 最小值
=2
113()22222
f a a a a a =⇒-
+
=⇒=--；
若()|f x 最小值=2
113
13()2()20242
f b a a a =⇒-+
=⇒>（不合题意）。

因此，所求区间为13[2]4
--；
（3）当0a b <<时，
由221132()21,
22
()2113 3.22
2b a f b a a f a b b a b
⎧-+=⎪==⎧⎧⎪⇒⇒
⎨⎨
⎨==⎩⎩
⎪-+=⎪⎩ 因此，所求区间为[1,3]。

综上，所求区间为13[2]4
--或[1,3]。

7. 设函数2()83(0),f x a x x a =++< 对于给定的负数a ，有一个最大的正数()l a ，使得在整个区间[0,()]
l a 上，不等式|()|5f x ≤都成立。

（1）求()l a 的表达式。

（2）当a 为何值时，()l a 最大？并求出这个最大值()l a 。

（1） 22
4316()83()a f x ax x a x a
a
-=++=+
+
,
4(0)30(0)f a a
=->< ，即函数()f x 的图象的顶点位于y 轴的右方，()f x 的最大值为
316a a
-。

1 若3165a a
-≤，即 8a ≤-时，则()l a 是方程()5f x =-的较大的根。

由2
835ax x ++=-，解得
()l a a
=
（80a ≤-<）
2 若3165a a ->，即80a -<<时，则()l a 是方程()5f x =的较小的根。

由2
835ax x ++=，解得
()l a a
=
0a <）
所以，8,
()80.
a a
l a a a ≤-⎪=-<<⎩
解 （2）当8a ≤-时，
()2
l a a
=
=
=
=
≤
=
当80a -<<时，
4()21.
44
2l a a -+
=
==
<=+
综上，当8a =-时，()l a
2
解法二2）当8a ≤-
时，(u u =≥
2
2
424(2)4()44
2
2
2
u u l a u a
u u --+=
==
=
≤
=
---
当80a -<<
(04)u u =<<
2
2
42(4)221()1616
4
44
2
2
u u l a u a
u u -+-=
==
=
<
=
--++
综上，当8a =-时，()l a
的最大值为1.2
习题3
1．关于x 的方程2350x x a -+=的两根分别在区间(2,0)-和(1,3)内，求a 的取值范围。

2．二次函数2252(1)6y x m x m =-++- 的图像与x 轴的两个交点位于区间[-1，1]上，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围。

3．已知关于x 的方程22(23)2(1)0x m m x m -+-++=的两个实数根互为相反数 （1） 实数m 的值；
（2）关于x 的方程2()350x k m x m k -+---=的根均为整数，求出所有满足条件的实数k 。

4．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点(0,9)A ，其轨迹
方程为2(0)y ax c a =+<
（1）为使物体落在x 轴上给定的区间（6，7）内，求实数a 的取值范
围；
区间（6，7）
（2）若物体又经过(2,8.1)P ，问它能否落在x 轴上给定的内？说明理由。

5．设二次函数2()3f x x ax a =++-，若22x -≤≤时，()0f x ≥恒成立。

求实数a 的取值范围。

6．已知,,a b c 为实数，0ac <
0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=
小
于1的根。

7．对于二次函数()f x ，若存在实数0x ，使得00()f x x =成立，则称点00(,)x x x 为二次函数()f x 的不动点。

（1）二次函数2()f x ax bx b =+-有不动点（1，1）和（-3，-3）求,a b 的值；
（2）对于任意实数b ，二次函数2()f x ax bx b =+-总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围。

8．设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：
（1） 当x 为任意实数时，(4)(2)f x f x -=-，且()f x x ≥； （2） 当02x <<时，2
1()()2x f x +≤；
（3） ()f x 的最小值为0。

求
()f x 的解析式。

9．设二次函数2()(,,),f x ax bx c a b c Z =++∈ 已知方程()0f x =在区间(2,0)-内有两个不等的实根，且对任意实数恒有242()8124x f x x x +≤≤++，求,,a b c 。

10．已知关于x 的方程2220(0).x x a a a ---=> （1）证明：这个方程的一个根比2大，另一个根比2小； （2）若对于1,2,,2006a = ，相应的方程的两根分别为
112220062006,,,,,αβαβαβ ，
求1
1
2
2
2006
2006
1
1
1
1
1
1
αβαβαβ+
+
+
++
+
的值。

答案
情景再现
1． 设22()(1)2f x x a x a =+-+-。

由2(1)020f a a <⇒+-<，解得21a -<<。

所以，应选C 。

2． 设2()2f x x kx k =-+-。

由题意，得
2
1
7()0722421712222
()2024k f k b
k k k a
k R b k
f k a ⎧=->⎧
⎪
>⎪⎪
⎪
⎪-
=>⇒>⇒>
⎨⎨⎪⎪∈⎪⎪-=-+-≤⎩
⎪⎩。

所以，当72
k >时，原方程的两根都大于
12。

3．
设22()7(13)2f x x a x a a =-++--。

由题意，得
22
2
(0)2012(1)28024
03(2)30
f a a a a f a a a a a f a a ⎧=--><->⎧⎪⎪
=--<⇒
-<<⎨⎨⎪⎪<>=->⎩
⎩或或 所以，当2134a a -<<-<<或时，原方程的两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）上。

4． 2
2
2
13981
()32()4
2
4
a a f x x ax a x a +-=+-+=+
-。

（1）当302
a -
<即0a >时，m in 11()(0)20;4
8f x f a a ==
-=⇒=
（2） 当3012a ≤-
≤即203
a -
≤≤时，
2
m in 3981
1()()01(.2
4
9
a a f x f a a a +-=-
=-
=⇒=-=
或均舍去）
（3） 当312
a -
>即23
a <-
时，
m in 55()(1)0.4
4f x f a a ==+
=⇒=-
综上，所求a 的值为1584
a =-
或。

5． 设2()f x ax bx c =++，由20a ab ac ++<，得()0a a b c ++<。

（1）若0a >，则抛物线的开口向上，且0a b c ++<即(1)0f <。

由此得方程20ax bx c ++=有两实根，且一根比1大，一根比1小；
（2）若0a <，则抛物线的开口向下，且0a b c ++>即(1)0f >。

由此得方程20ax bx c ++=有两实根，且一根比1大，一根比1小。

综上，原命题得证。

6． 原方程可化为2()32()0f x x a b c x ab bc ca =-+++++=。

由a b c >>，得
2
()32()()()0f a a a a b c ab bc ca a b a c =-+++++=-->，
()()()0f b b a b c =--<， ()()()0f c c a c b =-->。

所以，原方程的两根分别在区间(c,b )和(b,a )上，即一根比b 大，一根比b 小。

7． 由题意，得22b m n b m n a
a
+-
=⇒
+=-。

所以，2()()()0b b
f m n a b a
a
+=-+-=。

8． 2222
33()2()24
4
f x x ax a x a a =---
=---。

10 当0a <时，2
m ax 2m in 1()(1)2114
0;32()(0)1
4f x f a a a f x f a ⎧==--≤⎪⎪⇒-≤<⎨
⎪==--≥-⎪⎩
又 (1)(0)12f f a -=-，
20 当102
a ≤≤时，
2
m ax 2m in 1()(1)214
034()()21
4f x f a a a f x f a a ⎧==--≤⎪⎪⇒≤≤⎨
⎪==--≥-⎪⎩
30 当112a <≤时，2
m ax 2m in 3()(0)14
3()()21
4f x f a f x f a a ⎧==--≤⎪⎪⎨⎪==--≥-⎪⎩，此时无解；
40 当1a >时，2m ax 2m in 3()(0)14
1()(1)21
4f x f a f x f a a ⎧==--≤⎪⎪⎨⎪==--≥-⎪⎩
，此时无解。

综上，所求a
的取值范围是12
4
a -≤≤。

习题3
1．
设2()35f x x x a =-+，由题意，得
(2)220,(0)0,120.(1)20,(3)120.
f a f a a f a f a -=+>⎧⎪=<⎪⇒
-<<⎨=-+<⎪⎪=+>⎩
所以，所求a 的取值范围是120a -<<。

2．
设22()52(1)6f x x m x m =-++-，由题意，得
22
2(1)210,(0)60,1(1)230f m m f m m f m m ⎧-=++>⎪=-<⇒-
<-⎨⎪=-->⎩。

所以，所求m 的取值范围是
1m <<-。

3。

（1）由题意，得21212
230,32(1)0.x x m m m x x m ⎧+=+-=⎪
⇒=-⎨
=+<⎪⎩； （2）由3m =-，得方程2(3)40x k x k --+-=。

由题意，得
1212121212
3,
1(1)(1)24.x x k x x x x x x x x k +=-⎧⇒++=⇒++=⎨
=-⎩。

因为12,x x 为整数，所以
112211,1,2,0,12,2.
3,
1.
x x x x +=-=-⎧⎧⇒
⎨
⎨
+=-=-⎩⎩
所求k 的值为2-或4。

4．
将（0，9）代入方程，得9c =。

设2()9f x ax =+。

（1） 由(6)3690,(7)4990.
f a f a =+>⎧⎨
=+<⎩ 得 194
49
a -
<<-
；
（2） 将（2，8.1）代入方程，得919(,)40
4
49
a =-
∈--
，所以物体能落在x 轴上给定的区间（6，
7）内。

5．
2
2
2
()3()32
4
a a
f x x ax a x a =++-=+
+--
，
10 当22
a
-<-即4a >时，
m in 7()(2)7303
f x f a a =-=-≥⇒≤
（舍去）；
20 当222
a -≤-≤即44a -≤≤时，
2
m in ()()3062,42;2
4
a a
f x f a a a =-
=--
≥⇒-≤≤∴-≤≤
30 当22
a
->即4a <-时，
min ()(2)70
7,
74.f x f a a a ==+≥⇒
≥-∴
-≤<-
综上，所求a 的取值范围是72a -≤≤。

6． 设2()f x ax bx c =++
，又b =, 所以，
2
3
(1)()()5
35].
f f a c a b c a a ac ⋅=++++-
==-
--
由2
0,0,ac a <≥ 得
)(1)0f f ⋅<。

所以，方程20ax bx c ++=
1的根。

7．（1）1,
1,
93 3. 3.a b b a a b b b +-==⎧⎧⇒⎨
⎨
--=-=⎩⎩
（2）由题意，b 为任意实数时，二次方程2ax bx b x +-=总有两个相异的实根，则
22
(1)42(12)10b ab b a b ∆=--=-++>恒成立。

由214(12)40
10.a a ∆=+-<⇒
-<<
因而，所求实数a 的取值范围是10a -<<。

8．
于(4)(2)f x f x -=-中，令3t x =-，则()(1)1f t f t -+=--。

所以，1x =-是原二次函数()f x 图象的对称轴。

又()f x 的最小值为0。

可设2()(1)f x a x =+。

由题意，当02x <<时，22
1(1)()2x x a x +≤+≤。

令1x =，得2
11141,()(1)44
a a f x x ≤≤⇒
=
∴
=
+。

9． 令12
x =-
， 由242()8124x f x x x +≤≤++，得
112042
4
b a a b
c c --
+=⇒=
由242()8124x f x x x +≤≤++，得不等式组
2
2216(8)(12)04
28(4)0
4a b a x b x a b ax b x -+⎧-+-+≥⎪⎪⎨
-+⎪+--≥⎪⎩
对任意实数x 恒成立。

因而，22
1222
80,
(12)(8)(216)(4)0,
0,(4)(28)(4)0.a b a a b a b a b a a b a b -≥⎧⎪∆=----+=-+≤⎪⎨>⎪
⎪∆=-+-+=-+≤⎩
化简得08,40.
a a
b <≤⎧⎨
-+=⎩
由,,a b c R ∈，得
1,2,3,4,5,6,7,8,5,
6,7,
8,9,
10,11,
12,3,
4.
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
因此，21()483f x x x =++，解1()0f x =得两根为12
-
和32
-
，符合题意；22()8124f x x x =++，
解2()0f x =得两根为12
-
和1-，也符合题意。

所以，4,8,3a b c ===或8,12,4a b c ===。

10． 22()2f x x x a a =---
（1）因为2(2)0f a a =--<，所以原方程的根一个比2大，一个比2小； （2）设,k k αβ是方程2220x x k k ---=的两根，则
2
112112(
)1k k k k k k
k k
k
k αβαβαβ++=
=
=--
--+。

所以，
1
1
2
2
2006
2006
1
1
1
1
1
1
αβαβαβ+
+
+
++
+
111112[(1)()(
)]
2
2
3
2006
2007
1
40122(1).
2007
2007
=--+-++-=--
=-。