数学新教材同步提分教程人教A第二册测试：第六章 平面向量及其应用 6.2 6.2.3

A 级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列各式计算正确的个数是( )
①(－7)·5a ＝－35a ；②a －2b ＋2(a ＋b )＝3a ；③a ＋b －(a ＋b )＝0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C
解析 根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．
2．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →
＝( )
A.BC →－1
2BA →
B ．－B
C →＋1
2BA →
C ．－BC →－1
2BA →
D.BC →＋1
2BA →
答案 B
解析 解法一：∵D 是AB 的中点，∴BD →＝1
2BA →
， ∴CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋1
2BA →
.
解法二：由CD →＝12(CB →＋CA →)＝12[CB →＋(CB →＋BA →)]＝CB →＋12BA →＝－BC →＋1
2BA →
. 3．设A B →＝2
2(a ＋5b )，B C →＝－2a ＋8b ，C D →
＝3(a －b )，则共线的三点是( )
A ．A ，
B ，D B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，
D D ．A ，C ，D 答案 A
解析 ∵B D →＝B C →＋C D →＝a ＋5b ，A B →＝2
2B D →
，∴A ，B ，D 三点共线．故选A.
4．若AB →＝3e 1，CD →＝－5e 1，且|AD →|＝|BC →
|，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．菱形
C ．等腰梯形
D ．不等腰的梯形
答案 C
解析 因为AB →＝－3
5CD →，所以AB ∥CD ，且|AB →|≠|CD →|.而|AD →|＝|BC →
|，所以四边形ABCD 为等腰梯形．
5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →
等于( )
A.14a ＋12b
B.23a ＋13b
C.12a ＋14b
D.13a ＋23b 答案 B
解析 如图所示，∵E 是OD 的中点，∴OE →＝14BD →
＝1
4b .又△ABE ∽△FDE ，∴AE FE ＝BE DE ＝31.∴AE →＝3EF →，∴AE →＝34AF →，在△AOE 中，AE →＝AO →＋OE →
＝12a ＋14b ，∴AF →＝43AE →
＝23a ＋1
3b .故选B.
二、填空题
6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量k e 1＋2e 2与8e 1＋k e 2方向相反，则k ＝________.
答案 －4
解析 ∵k e 1＋2e 2与8e 1＋k e 2共线， ∴k e 1＋2e 2＝λ(8e 1＋k e 2)＝8λe 1＋λk e 2. ∴⎩⎨⎧
k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
λ＝12，k ＝4
或⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－12，
k ＝－4.
∵k e 1＋2e 2与8e 1＋k e 2反向，∴λ＝－1
2，k ＝－4.
7．若a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，则向量a 写为λ1b ＋λ2c 的形式是________．
答案 －118b ＋7
27c
解析 若a ＝λ1b ＋λ2c ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)，∴－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2.
∴⎩⎨⎧
4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ1＝－1
18，λ2＝727.
8．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n 的值为________．
答案 2
解析 解法一：因为AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，所以AM →＝1m AB →，AN →＝1
n AC →，则MN →
＝AN →－AM →＝1n AC →－1
m AB →
.
因为点O 为BC 的中点，连接AO ，所以AO →＝12AB →＋1
2AC →，则MO →＝AO →－AM →
＝
12AB →＋12AC →－1m AB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12－1m AB →＋12AC →，因为M ，O ，N 三点共线，所以可设MO →＝λMN →
，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫
12－1m AB →＋12AC →＝λn AC →－λm AB →
， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m ＋λm AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
12－λn AC →＝0， 由于AB →，AC →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧
12－1m ＋λ
m ＝0，
12－λ
n ＝0，
消去λ得12－1m ＋n
2m ＝0，变形整理可得m ＋n ＝2. 解法二：在△ABC 中，连接AO .由于O 是BC 的中点， 因此AO →＝12(AB →＋AC →)＝12AB →＋1
2AC →
. 由于AB →＝mAM →，AC →＝nAN →， 则AO →＝12mAM →＋1
2nAN →
.
由于M ，O ，N 三点共线，则12m ＋1
2n ＝1， 从而m ＋n ＝2. 三、解答题
9．设e 1，e 2是两个不共线的向量，如果AB →＝2e 1－e 2，BC →＝3e 1＋e 2，CD →
＝7e 1－6e 2.
(1)求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定λ的值，使2λe 1＋e 2和e 1＋λe 2共线； (3)若e 1＋λe 2与λe 1＋e 2不共线，试求λ的取值范围．
解 (1)证明：因为BD →＝BC →＋CD →
＝3e 1＋e 2＋7e 1－6e 2＝10e 1－5e 2＝5(2e 1－e 2)＝5AB →，
所以AB →与BD →
共线．
因为AB →与BD →
有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为2λe 1＋e 2与e 1＋λe 2共线，
所以存在实数μ，使2λe 1＋e 2＝μ(e 1＋λe 2)． 因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎨⎧ 2λ＝μ，1＝λμ.所以λ＝±22. (3)假设e 1＋λe 2与λe 1＋e 2共线， 则存在实数μ，使e 1＋λe 2＝μ(λe 1＋e 2)． 因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎨⎧
1＝λμ，
λ＝μ，所以λ＝±1.
所以当λ≠±1时，e 1＋λe 2与λe 1＋e 2不共线．
B 级：“四能”提升训练
1．如图所示，向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 在一条直线上，且AC →
＝－3CB →.设OA →＝p ，OB →＝q ，OC →
＝r ，则以下等式中成立的是( )
A ．r ＝－12p ＋3
2q B ．r ＝－p ＋2q C ．r ＝32p －1
2q D ．r ＝－q ＋2p
答案 A
解析 ∵OC →＝OB →＋BC →，AC →＝－3CB →＝3BC →，∴BC →＝13AC →.∴OC →＝OB →＋1
3AC →
＝
OB →＋13(OC →－OA →
)．∴r ＝q ＋13(r －p )．∴r ＝－12p ＋32q .
2．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2
3BC .若DE →
＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
答案 12
解析 由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－1
2BA →
＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋2
3AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝2
3， 从而λ1＋λ2＝1
2.
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