小振幅重力波的特性

小振幅重力波
小振幅重力波，亦称正弦波，是一种简单波动。

简单波动的特性可近似地说明实际海洋波动的许多现象。

小振幅重力波系指波动振幅相对波长为无限小，重力是其唯一外力的简单海面波动。

理论上解决的办法是：根据流体力学的连续方程、运动方程和边界条件，在假定流体无粘滞性，运动是无旋的，波面上的压力为常数的条件下求解。

本章只引用已有理论的结论，着重于一些基本概念的论述。

以下就小振幅波动的波形传播与水质点的运动、波速、周期与波长的关系，波动能量，波动的叠加等问题加以讨论。

波形传播与水质点的运动
取右手直角坐标系，z轴向上为正，将x—y平面放在海面上，设波动是二维的，只在x方向上传播，则波剖面方程可用下列正弦曲线表示，即：
ζ＝αsin(kx-σt) (6-1)
式中α为波动的振幅，ζ为波面相对平均水面的铅直位移。

显然它是地点x与时间t的函数，式中
分别称为波数和频率。

当水深为h时，可证明它们的关系为
σ2＝kgtanh(kh)＝kgtanh(2πh/λ)① (6-2)
称为频散关系。

式中g为重力加速度。

由式(6-1)可见，当(kx-σt)=π/2时，ζ＝a，即为波峰。

相速
为
亦即
波形向前传播完全是由水质点的运动而产生的，但是它们二者却绝非一回事。

正如麦田中麦浪滚滚向前，而麦株并不向前运动的道理一样。

若水深h大于波长的一半(h/λ≥0.5)，此时的波动称为深水波或者短波。

可以证明水质点在x与z方向上的速度分量u，w分别为
可见，在水平方向与铅直方向上的速度分量都是周期性变化的，且随深度增加(-z)而指数减小。

在自由表面，水质点的速度分量为
由于小振幅波中假定其振幅相对波长无限小，因此水质点的运动路程极短，故式(6－3)中水质点的实际坐标(x,z)可近似地以其平衡位置(x0，z0)代替。

从而得到
对以上两式积分后，两边平方相加，消去t得
(x-x0)2+(z-z0)2=a2exp(2kZ0) (6-6)
说明水质点的运动轨迹为圆，半径为aexp(kZ0)，轨迹半径随深
度的增大(z＜0)迅速减小。

在自由表面z0=0，其半径为其振幅a，当深度增大至
已可忽略不计。

比较(6－1)与(6－3)，不难看出，水质点在波峰处(kx－σ
最大水平速度，且其铅直速度分量w皆为零。

处在平均水面上的水质点，水平速度分量皆为零。

铅直速度分量最大。

而且波峰前部为正(向上)，波峰后部为负(向下)。

因此，波峰前部为水质点的辐聚区，波面未来上升，而波峰后部则为辐散区，未来波面下降，从而使波形不断向前传播，而水质点却只围绕自己的平衡位置作圆周运动，见图6-3。

深水波中，无论水质点的运动速度还是轨迹半径(从而波高)都随深度的增大而呈指数减小。

当到达一个波长的深度时波动已近消失。

波。

长波中水质点的运动轨迹为椭圆，随深度的增加椭圆长轴几乎不变，
而短轴迅速减小，近海底处几乎只在水平方向上作周期性往复运动。

值得提出的是，无论长波还是短波，尽管它们的水质点运动轨迹不同，但是随深度(-z)的增大，它们的波长λ是不变的，即在自由水面的波长多大，随深度增大直至波动消失处的波长仍为多大。

→x，当x→∞，tanhx→1
波动公式与波动能量
一、波速、波长与周期公式
(一)波速与波长的关系将频散关系式σ2＝kgtanh(kh)代入
(二)波长与周期的关系
(三)波速与周期的关系
式(6—7)(6—8)(6—9)是波速、波长、周期之间的普遍关系，对长波与短波都适用。

=0.99626≈1，因此
可见对深水波而言，其波速与水深无关，仅与波长有关，对长波而言则与波长无关而只与水深h有关。

当相对水深h/λ界于1/2与1/20之间时，则必须考虑浅水订正项tanh(kh)。

图6—4给出了不同波长的波速随水深h的变化情况。

二、波动的能量
波动具有巨大的能量。

波动中水质点的运动产生动能，而波面相对平均水面的铅直位移则使其具有势能。

对于小振幅波不难证明，单位截面铅直水柱内的势能为
沿波峰线单位宽度一个波长内的势能
式中ρ为海水密度，H为波高。

取波峰线方向单位宽度，自表至波动消失处(深水波)，一个波长所具有的动能为
可见在一个波长内，波动的势能与动能相等，其总能量为
它与波高的平方成正比，即波动的能量以波高的平方增长。

在讨论波动的能量时，常以波高的平方作为能量的相对尺度。

以上指的是波动的总能量，至于能量的时空分布，在海水内部却是不断变化的。

事实上，由于波动随深度的迅速减小，因此总能量主要集中在水面附近。

在这种意义上称这种波动为表面波。

波动的能量沿波浪传播万向不断向前传递，在平均的意义下其传递速率为
即波动的总能量以半波速向前传递。

波动所具有的能量是相当可观的。

例如波高为3m、周期为7s的一个波动，跨过10km宽的海面，其功率为63×104kW，海浪能量之大
可见一斑。

三、正弦波的叠加
实际海洋中的波动远非简单波动的上述性质能够加以描述。

例如，在陡峭的海岸、码头附近和港湾内，由于波动的反射造成的驻波；在海洋中，波浪的传播往往是一群一群的，个别波动的振幅并不相等，且随时随地变化着等等。

诸如上述情况可用简单波动的叠加加以解释。

(一)驻波
设有两列振幅、周期、波长相等，但传播方向相反的正弦波
ζ1=asi n(kx－σt)和ζ2=asin(kx＋σt)
叠加，合成后的波剖面方程为ζ=ζ1+ζ2，则
ζ＝2acosσt·sinkx (6-16)
为方便起见，取下列几个特定时刻的波面加以讨论。

由式(6—16)可见，当
波面具有最大的铅直升降，其值为2a，即合成前振幅的两倍，这些点称为波
称为波节。

在波节与波腹之间的波面升降幅度均在0－2a之间。

随着时间的
外传播，故称为驻波。

波节处只有水质点的水平速度分量u，其方向指向波面上升的一侧。

波腹处只有水质点的铅直运动分量w，与波面升降方向相同。

波面上其他各点两种速度分量都存在。

当波面上各点|ζ|值达到最大值时，此时u＝w=0，而ζ＝0时，u，w达到最大值。

以上各点是驻波所具有的基本特点。

(二)波群
设两列振幅相等，波长与周期相近，传播方向相同的正弦波
ζ1=asin(kx-σt)和ζ2=asin(k'x-σ't)
叠加，其波剖面方程为ζ=ζ1+ζ2，则
上式表示合成后的波动以振幅
向前传播的波动，可见其传播速度与合成前简单波动速度相近，但其振幅A却仍然为x与t的函数，不断地周期性变化着，变化范围
在0～2a之间，变化的速度为
图6—5为上述波动的剖面图。

这种合成后的波动振幅由小到大(0→2a)，又由大到小(2a→0)形成群集分布，故称为群。

A即为群的包络线，显然cg就是群的传播速度，称为群速。

由关系式σ2＝kgtanh(kh)
式中sh为双曲正弦符号。

对深水波而言，2kh/sh2kh=0，故
对浅水波，2kh/sh2kh≈1，故 cg=c
也就是说，深水波的群速为波速的一半。

浅水波的群速与波速相等，群速也可视为波动能量的传递速度。