高考数学理科二轮复习考前回扣10概率与统计讲学案

回扣 10概率与统计
1．牢观点与公式
(1)概率的算公式①古典概
型的概率算公式
P(A)＝事件 A包括的基本领件数m；
基本领件数n
②互斥事件的概率算公式
P(A∪ B)＝P(A)＋ P(B)；
③ 立事件的概率算公式
P( A )＝ 1－ P(A)；
④几何概型的概率算公式
构成事件 A的地区度面或体
P(A)＝的所有果所构成的地区度面或体.
(2)抽方法
随机抽、分抽、系抽．
①冷静量N 的体中抽取容量n 的本，每个个体被抽到的概率都n ；N
②分抽上就是按比率抽，即按各个体数占体的比确立各抽取的本容
量．
(3)中四个数据特点①众数：在本数据中，出次数最
多的那个数据；
②中位数：在本数据中，将数据按大小摆列，位于最中的数据．假如数据的个数偶数，就取中两个数据的均匀数作中位数；
③均匀数：本数据的算均匀数，
1
即 x ＝n(x1＋ x2＋⋯ x n)；
④方差与准差
2＝1222]．
方差： s[(x1－ x ) ＋ (x2－ x )＋⋯＋ (x n－ x )
n
准差：
1
x1－ x22＋⋯＋ x n－ x2].
s＝[＋ x2－ x
n
(4)八公式①失散型随机量的散布列的
两个性
(ⅰ )p i≥0(i＝ 1,2，⋯， n)； (ⅱ)p1＋ p2＋⋯＋ p n＝ 1.
②希望公式
E(X)＝ x1p1＋ x2 p2＋⋯＋ x n p n.
③希望的性
(ⅰ )E(aX＋ b)＝ aE( X)＋ b；
(ⅱ )若 X～ B(n， p)， E(X)＝ np；
(ⅲ )若X 听从两点散布，E(X)＝ p.
④方差公式
D(X)＝ [x1－ E(X)] 2·p1＋ [x2－ E(X)] 2·p2＋⋯＋ [x n－ E(X)] 2·p n，准差 D X .
⑤方差的性
2
(ⅰ )D(aX＋ b)＝ a D(X)；
(ⅱ )若 X～ B(n， p)， D(X)＝ np(1－ p)；
(ⅲ )若 X 听从两点散布， D (X)＝ p(1－ p)．
⑥独立事件同生的概率算公式
P(AB )＝ P(A)P(B)．
⑦独立重复的概率算公式
k k n－ k
P n( k)＝ C n p (1－ p)
.
⑧条件概率公式
P AB
P(B|A)＝P A .
2．活用定理与
(1)直方的三个
率
①小方形的面＝距×＝率；
距
②各小方形的面之和等于1；
率1
③小方形的高＝距，所有小方形高的和距.
^^^
(2)性回方程 y＝ bx＋ a必定本点的中心( x ， y )．
2
(3)利用随机量K 2＝n ad－ bc来判断“两个分量有关系”的方法称独
a＋ b c＋ d a＋ c b＋ d
立性．假如K2的k 越大，明“两个分量有关系”的可能性越大．
2
(4) 假如随机量X 听从正散布，X～ N(μ，σ)．足正散布的三个基本概率的
是：① P(μ－σ<X≤ μ＋σ)＝ 0.682 6 ；② P(μ－ 2σ<X≤ μ＋ 2σ)＝ 0.954 4 ；③ P(μ－3σ<X≤ μ＋ 3σ)
＝0.997 4.
1．应用互斥事件的概率加法公式，必定要注意第一确立各事件能否相互互斥，而后求出各
事件分别发生的概率，再乞降．
2．正确差别互斥事件与对峙事件的关系：对峙事件是互斥事件，是互斥中的特别状况，
但互斥事件不必定是对峙事件，“互斥”是“对峙”的必需不充足条件．
3．混杂频次散布条形图和频次散布直方图，误把频次散布直方图纵轴的几何意义当作频次，
致使样本数据的频次求错．
4．要注意概率P(A|B)与 P(AB)的差别
(1) 在 P(A|B)中，事件A，B 发生有时间上的差别， B 先 A 后；在 P(AB)中，事件A，B 同时发生．
(2) 样本空间不一样，在P(A|B)中，事件 B 成为样本空间；在 P(AB)中，样本空间仍为Ω，因此有 P(A|B) ≥P(AB)．
5．易忘判断随机变量能否听从二项散布，盲目使用二项散布的希望和方差公式计算致误．
1．某学校有男学生400 名，女学生600 名．为认识男、女学生在学习兴趣与业余喜好方面
能否存在明显差别，拟从全体学生中抽取男学生40 名，女学生 60 名进行检查，则这类抽样方法是()
A ．抽签法
B ．随机数法
C．系统抽样法D．分层抽样法
答案D
分析整体由男生和女生构成，比率为400∶ 600＝ 2∶ 3，所抽取的比率也是2∶ 3，故拟从全体学生中抽取100 名学生进行检查，采纳的抽样方法是分层抽样法，应选 D.
2． 200 辆汽车经过某一段公路时的时速的频次散布直方图以下图，则时速的众数，中位
数的预计值为 ()
A ． 62,62.5
B ．65,62
C． 65,63.5 D ．65,65
答案分析和为
D
选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；
0.5 对应的横坐标即为中位数．最高的矩形为第三个矩形，
求出从左侧开始小矩形的面积
因此时速的众数为65；前两
(0.01 ＋ 0.02)× 10＝ 0.3，因为 0.5－ 0.3＝ 0.2，则
0.2
× 10＝ 5，因此中位数为 0.4
60＋ 5＝ 65.应选 D.
3．同时扔掷两枚硬币一次，那么互斥而不对峙的两个事件是() A ．“起码有 1 个正面向上” ，“都是反面向上”
B．“起码有 1 个正面向上” ，“起码有 1 个反面向上”
C．“恰有 1 个正面向上” ，“恰有 2 个正面向上”
D．“起码有 1 个反面向上” ，“都是反面向上”
答案C
分析同时扔掷两枚硬币一次，在 A 中，“起码有1 个正面向上”和“都是反面向上”不可
以
同时发生，且“起码有 1 个正面向上”不发生时，“都是反面向上”必定发生，故 A 中两个事件是对峙事件；在 B 中，当两枚硬币恰巧一枚正面向上，一枚反面向上时，“起码有 1 个正面向上”，“起码有1 个反面向上”能同时发生，故 B 中两个事件不是互斥事件；在 C 中，“恰有 1 个正面向上” ，“恰有2 个正面向上” 不可以同时发生，且此中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故 C 中的两个事件是互斥而不对峙的两个事件；在 D 中，当两枚硬币同时反面向上时，“起码有 1 个反面向上” ，“都是反面向上”能同时发生，故 D 中两个事件不是互斥事件．应选 C.
4．采纳系统抽样方法从学号为 1 到 50 的 50 名学生中选用 5 名参加测试，，则所选 5 名学生的学号可能是 ()
A ． 1,2,3,4,5B． 5,26,27,38,49
C． 2,4,6,8,10D． 5,15,25,35,45
答案D
分析采纳系统抽样的方法时，马上整体分红平衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔
一般为整体的个数除以样本容量，据此即可获得答案．采纳系统抽样间隔为50＝ 10，只有D 5
答案中的编号间隔为10.应选 D.
5．道路交通法例定：行人和车辆经过十字路口时一定依据交通讯号指示通行，绿灯行，红
灯停，碰到黄灯时，如已超出泊车线须持续前进，某十字路口的交通讯号灯设置时间是：绿灯 48 秒，红灯 47 秒，黄灯 5 秒，小张是个特别守纪的人，只有碰到绿灯才经过，则他经过该路口不等候的概率为 ()
A ． 0.95
B ．0.05
C ． 0.47
D ．0.48
答案
D
48
分析
由题意得小张经过该路口不等候的概率为
＝ 0.48.
48＋ 47＋ 5
6．A 是圆上固定的必定点，在圆上其余地点任取一点
B ，连结 A ，B 两点，它是一条弦，它
的长度大于等于半径长度的概率为
( )
2 1
A.3
B.4
5 1
C.6
D.2
答案 A
分析 在圆上其余地点任取一点 B ，设圆的半径为 R ，则 B 点地点所有状况对应的弧长为圆
的周长 2πR ，此中知足条件 AB 的长度大于等于半径长度的对应的弧长为
2
3· 2R π，则弦 AB
的
2
· 2R π
长度大于等于半径长度的概率
P ＝
3
＝ 2
.应选 A.
2πR 3
7．有 5 张卡片，上边分别写有数字 1,2,3,4,5.从这 5 张卡片中随机抽取 2 张，那么拿出的
2
张卡片上的数字之积为偶数的概率为
(
)
1 2 7
3
A.3
B.3
C.10
D.10
答案 C
分析 从 5 张卡片中随机抽 2 张的结果有 (1,2)，(1,3)，(1,4) ，(1,5) ，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，
7
(3,5) ， (4,5)，共 10 种， 2 张卡片上的数字之积为偶数有 7 种，故所求概率 P ＝10.
8．在以下图的电路图中，开关
a ，
b ，
c 闭合与断开的概率都是 1
，且是互相独立的，则灯
2
亮的概率是 ( )
1 3 1 7
A.8
B. 8
C.4
D. 8 答案 B
分析
设开关 a ，b ，c 闭合的事件分别为 A ，B ， C ，则灯亮事件 D ＝ ABC ∪AB C ∪ A B C ，
且 A ， B ， C 互相独立， ABC ， AB C ， A B C 互斥，因此 P(D )＝ P(ABC ∪AB C ∪ A B C)＝
1× 1× 1＋ 1× 1×
1 ＋ 1
× 1 × 1
P(A)P(B)P(C) ＋ P(A)P(B)P( C )＋ P(A)P( B )P(C)＝ 2 2 2 2
2
1－ 2
2
1－ 2
2
＝3
，应选 B. 8
9．为认识某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机检查了该社区 5 户家庭，获得如下统计数据表
收入 x(万元 )8.28.610.011.311.9
支出 y(万元 ) 6.27.58.08.59.8
^^^^^^
依据上表可得线性回归方程y＝bx＋ a，此中 b＝ 0.76，a＝ y － b x .据此预计，该社区一户年收入为 15 万元的家庭的年支出为()
A ． 11.4 万元
B ．11.8 万元
C． 12.0 万元 D ．12.2 万元
答案B
分析由题意知，x＝8.2＋ 8.6＋ 10.0＋ 11.3＋11.9＝10，
5
y＝6.2＋ 7.5＋ 8.0＋ 8.5＋9.8＝8，
5
^
∴a＝ 8－ 0.76× 10＝ 0.4，
^
∴当 x＝ 15 时， y＝ 0.76× 15＋ 0.4＝ 11.8(万元 )．
22
10．设 X～ N(1，σ)，其正态散布密度曲线( 随机变量ξ听从正态散布 N(1，σ)，则 P(μ－
σ<ξ
≤μ＋σ)＝ 68.26%，P(μ－ 2σ<ξ≤ μ＋ 2σ)＝ 95.44%) 以下图，且P(X≥ 3)＝ 0.022 8，那么向正方形 OABC 中随机扔掷 10 000 个点，则落入暗影部分的点的个数的预计值为()
A．6 038 C． 7 028答案B B ．6 587 D ．7 539
分析由题意知，
P(0< X≤1) ＝12× 0.682 6＝ 0.341 3，则落入暗影部分的点的个数的预计值为10 000× (1－ 0.341 3)＝ 6 587.应选 B.
11．如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到暗影部分的概率为________．
高考数学理科二轮复习考前回扣10概率与统计讲教案
2
答案e2
分析由题意知，所给图中两暗影部分面积相等，
由 e x＝ e，得 x＝ 1，故暗影部分面积为
1x x 1
S＝ 2?0(e－ e )dx＝ 2(ex－ e )|0
＝2[e －e－ (0－ 1)]＝ 2.
22
又该正方形面积为e，故由几何概型的概率公式可得所求概率为e2.
12．样本容量为 1 000 的频次散布直方图以下图，则样本数据落在[6,14) 内的频数为________．
答案680
分析依据给定的频次散布直方图可知，4× (0.02＋ 0.08＋ x＋ 0.03＋ 0.03) ＝ 1? x＝0.09，则在[6,14) 之间的频次为4× (0.08＋ 0.09)＝ 0.68，因此在[6,14) 之间的频数为 1 000× 0.68＝ 680. 13．已知x，y 的取值如表所示.
x0134
y 2.2 4.3 4.8 6.7
^^^
从散点图剖析，
答案 2.6
y 与x 线性有关，且y＝ 0.95x＋ a，则 a＝ ________.
^分析依据表中数据得x ＝ 2，y ＝ 4.5，又由线性回归方程知，其斜率为0.95，∴截距a＝
4.5－ 0.95×2＝ 2.6.
14．某商场在小孩节举行回馈顾客活动，凡在商场花费满 100 元者即可参加射击赢玩具活动，详
细规则以下：每人最多可射击 3 次，一旦击中，则可获奖且不再持续射击，不然向来射击
中的概率为p(p≠ 0)，射击次数为η，若η的希望 E(η)＞7
，则 p 的 4
取值范围是 ________．
1
答案
0，2
分析
由已知得 P(η＝1)＝ p ， P(η＝ 2)＝ (1－ p)p ，
P(η＝ 3)＝ (1－ p)2
，则 E(η)＝ p ＋ 2(1－ p)p ＋3(1－ p)2
＝p 2
－ 3p ＋ 3＞7，解得 p ＞ 5或 p<1
，
4
2
2
又 p ∈ (0,1) ，因此 p ∈ 0， 1
.
2
15．某工厂 36 名工人的年纪数据以下表 .
工人编号年纪
工人编号年纪
工人编号年纪
工人编号年纪
1 40 10 36 19 27 28 34
2 44 11 31 20 4
3 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43
4 41 13 39 22 37 31 38
5 33 14 43 23 34 32 42
6 40 15 45 24 42 33 53
7 45 16 39 25 37 34 37 8
42 17 38 26 44 35 49 9
43
18
36
27
42
36
39
(1) 按编号用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年纪数据为 44，列出样本的年纪数据；
(2) 计算 (1)中样本的均匀值 x 和方差 s 2；
(3) 求这 36 名工人中年纪在 ( x － s ， x ＋ s) 内的人数所占的百分比．
解
(1) 依据系统抽样的方法，抽取容量为 9 的样本，应分为 9 组，每组 4 人．
由题意可知，抽取的样本编号挨次为 2,6,10,14,18,22,26,30,34，
对应样本的年纪数据挨次为
44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2) 由 (1)，
得 x ＝ 44＋ 40＋ 36＋ 43＋ 36＋ 37＋ 44＋ 43＋37＝ 40，
9
s 2＝ 1 [(44 － 40)2＋ (40－ 40)2＋ (36－ 40)2＋ (43－ 40)2＋ (36－ 40)2＋ (37－ 40)2＋ (44－ 40)2＋ (43
9
－40) 2
＋(37 － 40) 2
100
] ＝ 9 .
10
(3) 由 (2)，得 x ＝ 40， s ＝ 3 ，
∴ x － s ＝ 362， x ＋s ＝ 431
，
33
由表可知，这36 名工人中年纪在( x － s， x ＋ s)内的共有23 人，
23
所占的百分比为× 100%≈ 63.89%.
16．某市文化馆在春节时期举行高中生“蓝天大海杯”象棋竞赛，规则以下：两名选手竞赛
时，每局胜者得 1 分，负者得0 分，竞赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时结束．假设选手甲与选手乙竞赛时，甲每局获胜的概率皆为
2，且各局竞赛输赢互不影响．
3
(1) 求竞赛进行 4 局结束，且乙比甲多得 2 分的概率；
(2) 设ξ表示竞赛停止时已竞赛的局数，求随机变量ξ的散布列和希望．
2 1
解(1) 由题意知，乙每局获胜的概率皆为1－3＝3.
竞赛进行 4 局结束，且乙比甲多得 2 分即前两局乙胜一局，3,4 局连胜，则11211
P＝ C2····＝
3333 4
81
.
(2)由题意知，ξ的取值为 2,4,6，
则 P(ξ＝ 2)＝2
32＋
1
32＝
5
9，
112 22 112 12 20 P(ξ＝ 4)＝ C2···3＋
C2···3＝，
333381
1 1 22＝16，
P(ξ＝ 6)＝ C2··
81
3 3
因此随机变量ξ的散布列为
ξ246
P 52016 98181
52016266则 E(ξ)＝ 2×＋ 4×＋6×＝.
98181 81。