圆例题讲解

圆例题讲解（圆的基本元素～圆周角）
资料编号:202212121934
例1. 如图所示,以□ABCD 的顶点A 为圆心,AB 的长为半径作圆,分别交AD 、BC 于点E 、F ,延长BA 交⊙A 于点G . 求证: 弧GE =弧EF . 证明: 连结AF
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC AD //
∴32,1∠=∠∠=∠B ∵AF AB = ∴3∠=∠B ∴21∠=∠ ∴弧GE =弧EF .
例2. 如图,AB 、AC 是⊙O 的两条弦,弧AB =弧AC . （1）求证: AO 平分BAC ∠;
（2）若8,54==BC AB ,求半径OA 的长. （1）证明: 连结OB 、OC ∵弧AB =弧AC ∴AC AB =
在△AOB 和△AOC 中
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧===OC OB OA OA AC AB ∴△AOB ≌△AOC （SSS ） ∴OAC OAB ∠=∠ ∴AO 平分BAC ∠;
（2）解:延长AO 交BC 于点D . ∵AC AB =, AD 平分BAC ∠
∴BC AD ⊥,42
1
==
BC BD 在Rt △ABD 中,由勾股定理得:
()
845422
22=-=
-=
BD AB AD
设r OB OA ==,则r OD -=8 在Rt △BOD 中,由勾股定理得:
222OB OD BD =+
∴()22
284r r =-+
解之得:5=r ∴5=OA .
例3. 如图,在⊙O 中,弧AC =弧CB ,OB CE OA CD ⊥⊥,. 求证:BE AD =.
证明:连结OC ∵弧AC =弧CB ∴BOC AOC ∠=∠ ∴OC 平分AOB ∠ ∵OB CE OA CD ⊥⊥, ∴CE CD =
在Rt △COD 和Rt △COE 中
∵⎩
⎨⎧==CE CD OC OC
∴Rt △COD ≌Rt △COE （HL ）
∴OE OD = ∵OB OA =
∴OE OB OD OA -=- ∴BE AD =.
证明二: 连结OC 、AC 、BC ∵弧AC =弧CB
∴BOC AOC ∠=∠,BC AC = ∴OC 平分AOB ∠ ∵OB CE OA CD ⊥⊥, ∴CE CD =
在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
∵⎩
⎨⎧==CE CD BC AC
∴Rt △ACD ≌Rt △BCE （HL ） ∴BE AD =.
例4. 如图,C 、D 是以AB 为直径的⊙O 上的两点,且BC OD //. 求证:DC AD =.
证明:连结OC ,∵OC OB = ∴1∠=∠B ∵BC OD //
∴1,∠=∠∠=∠COD B AOD ∴COD AOD ∠=∠ ∴DC AD =.
图 1
图 2
例5. 如图,︒=∠90AOB ,点C 、D 是弧AB 的三等分点,连结AB 分别交OC 、OD 于点E 、F .
求证:CD BF AE ==.
F
E
C D
A
O B
证明:连结AC 、BD
∵点C 、D 是弧AB 的三等分点
∴︒=∠=∠=∠=∠3031
AOB BOD COD AOC ,BD CD AC ==
∵OC OA = ∴︒=︒
-︒=∠-︒=
∠752
301802180AOC ACE
∵OB OA =,︒=∠90AOB ∴︒=∠45OAE
∴︒=︒+︒=∠+∠=∠753045AOC OAE AEC ∴ACE AEC ∠=∠ ∴AC AE = 同理可证:BD BF =
∴CD BF AE ==.
例6. 如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,弧AC =弧CB . （1）若D 、E 分别是半径OA 、OB 的中点,如图1, 求证:CE CD =;
（2）如图2,⊙O 的半径为4,︒=∠90AOB ,P 是线 段OA 上的一个动点（与点A 、O 不重合）,将射 线CP 绕点C 逆时针旋转︒90,与OB 相交于点Q ,
连结PQ ,求出PQ 的最小值.
图 5
图
3
图 4
（1）证明:连结OC ,如图3所示. ∵弧AC =弧CB
∴BOC AOC ∠=∠,即EOC DOC ∠=∠ ∵D 、E 分别是半径OA 、OB 的中点,OB OA = ∴OE OD =
在△COD 和△COE 中
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=OE OD EOC DOC CO CO ∴△COD ≌△COE （SAS ） ∴CE CD =;
（2）解:由题意可知:︒=∠90PCQ
取PQ 的中点D ,连结CD 、OD 、OC ,如图4所示.
∴PQ CD 2
1
=
∵︒=∠90AOB
∴PQ OD 2
1
=
∵PQ PQ PQ OD CD =+=+2
1
21≥OC
∴当O 、D 、C 三点共线时,PQ 取得最小值,最小值为4==OC PQ . 点评 当PQ 取得最小值时,如图5所示,此时四边形OPCQ 是正方形. （图5中︒=∠=∠45BOC AOC ）
垂径定理的应用
例7. 如图,在⊙O 中,直径6=AB ,BC 是弦,︒=∠30ABC ,点P 在BC 上,点Q 在⊙O 上,且PQ OP ⊥.
（1）如图1,当AB PQ //时,求PQ 的长;
（2）如图2,当点P 在BC 上移动时,求PQ 的长的最大值.
图 1
图 2
解:（1）连结OQ .
32
1
==
=AB OB OQ ∵PQ OP ⊥,AB PQ // ∴AB OP ⊥
在Rt △BOP 中,∵︒=∠30ABC ∴3
3
3tan ===
∠OP OB OP ABC ,∴3=OP 在Rt △QOP 中,由勾股定理得:
()
6332
222=-
=-=OP OQ PQ ;
（2）易知,当OP 取得最小值时,PQ 的长取得最大值. 当BC OP ⊥时,OP 取得最小值,此时2
3
213sin =⨯
=∠⋅=ABC OB OP ∴2332332
222=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-==OP OB PB PQ
∴PQ 的长的最大值为
2
3
3.
例8. 如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度60=AB 米,拱高18=PD 米. （1）求圆弧所在圆的半径r 的长;
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4米,即4=PE 米时,是否要采取紧急措施?
分析 认真审题,读懂题目的意思,弄清题目所给的条件,是我们解决问题的先决条件和关键所在.
在解决圆中弦长、半径或弦心距的问题时,常常通过连半径或作弦心距来构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理来解决. 解:（1）连结OA . 由题意可得:AB OP ⊥ ∴302
1
==
AB AD 米 在Rt △AOD 中,由勾股定理得:
222OA OD AD =+
∴()22
21830r r =-+
解之得:34=r
∴圆弧所在圆的半径r 的长为34米; （2）连结'OA
由（1）可知:30434=-=-=PE OP OE 米 在Rt △OE A '中,由勾股定理得:
163034''2222=-=-=OE OA E A 米 ∴32'2==E A AB 米30>米
∴当4=PE 米时,不需要采取紧急措施.
例9. 如图,在⊙O 中,DE 是⊙O 的直径,AB 是⊙O 的弦,AB 的中点C 在直径DE 上.已知8=AB cm,2=CD cm. （1）求⊙O 的面积;
（2）连结AE ,过圆心O 向AE 作垂线,垂足为F ,求OF 的长.
解:（1）连结OA ∵点C 是AB 的中点 ∴AB DE ⊥,42
1
==
AB AC cm 设x OD OA ==cm,则()2-=x OC cm 在Rt △AOC 中,由勾股定理得:
222OA OC AC =+
∴()22
224x x =-+
解之得:5=x ∴5=OA cm
∴S ⊙O ππ2552=⨯=cm 2;
（2）由（1）可知:8210=-=-=CD DE CE cm 在Rt △ACE 中,由勾股定理得:
54842222=+=+=CE AC AE cm ∵AE OF ⊥ ∴522
1
==
AE AF cm 在Rt △ACE 中,由勾股定理得:()
55
252
2=-=OF cm.
例10. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 、D 为⊙O 上的点,且AD 平分CAB ∠,过点D 作
AB DE ⊥于点E . （1）求证:OD AC //; （2）若4=OE ,求AC 的长.
B
（1）证明:∵AD 平分CAB ∠ ∴OAD CAD ∠=∠ ∵OD OA = ∴ODA OAD ∠=∠ ∴ODA CAD ∠=∠ ∴OD AC //;
（2）解:作AC OF ⊥,则AF AC 2=. 由（1）可知:OD AC // ∴DOE OAF ∠=∠ ∵AC OF ⊥,AB DE ⊥ ∴OED AFO ∠=∠ 在△AOF 和△ODE 中
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠DO OA OED AFO DOE OAF ∴△AOF ≌△ODE （AAS ） ∴4==OE AF ∴82==OE AC .
例11. 如图,D 是⊙O 的弦BC 的中点,A 是⊙O 上的一点,AO 与BC 交于点E ,已知12,8==BC AO . （1）求线段OD 的长;
（2）当BE OE 2=时,求DE 的长.
解:（1）连结OB . ∵D 是弦BC 的中点 ∴62
1
,==
⊥BC BD BC OD 在Rt △BOD 中,由勾股定理得:
72682222=-=-=BD OB OD ; （2）设x BE =,则x DE x OE -==6,2 在Rt △DOE 中,由勾股定理得:
222OE DE OD =+
∴()
()()2
2
2
2672x x =
-+
解之得:16,421-==x x （舍去） ∴2466=-=-=x DE .
例12. 如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,且
︒=∠53COB ,OB CD ⊥,当AB OD 2
1= 时,求OBA ∠的度数.
解:作AB OE ⊥,则AB BE 2
1
= ∵AB OD 2
1
=
∴OD BE =
在Rt △BOE 和Rt △OCD 中
∵⎩⎨⎧==OD
BE OC BO ∴Rt △BOE ≌Rt △OCD （HL ）
∴︒=∠=∠53COD OBE ,即︒=∠53OBA . 圆周角定理及其推论的应用
例13. 如图,AB 为⊙O 的直径,AC AB =,BC 交⊙O 于点D ,AC 交⊙O 于点E ,连结BE ,︒=∠45BAC . （1）求EBC ∠的度数; （2）求证:CD BD =.
（1）解:（1）∵AC AB =,︒=∠45BAC ∴︒=︒
-︒=∠-︒=
∠5.672
451802180BAC ABC
∵AB 为⊙O 的直径 ∴︒=∠90AEB
∴︒=∠-︒=∠4590BAC ABE
∴︒=︒-︒=∠-∠=∠5.22455.67ABE ABC EBC ; （2）证明:连结AD . ∵AB 为⊙O 的直径 ∴︒=∠90ADB ,即BC AD ⊥
∵AC AB =,BC AD ⊥ ∴CD BD =.
例14. 如图,在△ABC 中,BC AB =,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ,交BC 于点E ,连结ED .
（1）求证:DC ED =;
（2）若34,6==EC CD ,求AB 的长.
（1）证明:∵BC AB = ∴C A ∠=∠
∵︒=∠+∠︒=∠+∠180,180BED DEC BED A ∴DEC A ∠=∠ ∴DEC C ∠=∠ ∴DC ED =; （2）解:连结BD . ∵AB 为⊙O 的直径 ∴︒=∠90ADB ∵BC AB =,AC BD ⊥ ∴122==CD AC ∵DEC A C C ∠=∠∠=∠, ∴△ABC ∽△EDC ∴
3
412
6,==AB EC AC ED AB ∴36=AB .
例15. 如图, AB 为⊙O 的直径,弦AB CD ⊥于点E ,点P 在⊙O 上,弦PB 与CD 交于点F ,且FB FC =,连结PD . （1）求证:CB PD //;
（2）若8,26==BE AB ,求CD 的长.
（1）证明:∵FB FC = ∴21∠=∠ ∵D ∠=∠2 ∴D ∠=∠1 ∴CB PD //; （2）解:连结AC . ∵AB 为⊙O 的直径 ∴︒=∠+∠=∠901ACE ACB ∵AB CD ⊥
∴CE CD CEB AEC 2,90=︒=∠=∠ ∴︒=∠+∠90ACE A ∴1∠=∠A ∴△ACE ∽△CBE ∴
CE
CE CE AE BE CE 8
268,-== ∴12=CE ∴242==CE CD .
例16. 如图,⊙O 的半径为1,A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四个点,︒=∠=∠60CPB APC . （1）请判断△ABC 的形状,并说明理由;
（2）当点P 在弧AB 的什么位置时,四边形APBC 的面积最大?请说明理由,并求出最大面积.
备用图
解:（1）△ABC 是等边三角形. 理由如下:∵︒=∠=∠60CPB APC ∴︒=∠=∠60BAC ABC ∴△ABC 是等边三角形;
（2）当点P 在弧AB 的中点时,四边形APBC 的面积最大. 理由如下:易知当△ABP 的面积最大时,四边形APBC 的面积最大. 作AB PD ⊥,当PD 最大时,△ABP 的面积最大
显然,当点P 在弧AB 的中点时,PD 最大,此时CP 为⊙O 的直径,且AB CP ⊥ ∴AD AB 2= 在Rt △AOD 中 ∵︒=∠30DAO
∴2
3
231cos =⨯=∠⋅=DAO OA AD ∴32==AD AB ∵AB CP ⊥ ∴3322
1
21=⨯⨯=⋅=
AB CP S APBC 四边形 ∴四边形APBC 的最大面积为3.。