2012.1朝阳区理科--答

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷答案（理工类） 2012.1
二、填空题：
三、解答题：（15）（本小题满分13分）
解：2sin 0b A -=，
2sin sin 0A B A -=， ……………………………………………… 2分
因为sin 0A ≠，所以2
3
sin =B . …………………………………………………3分 又B 为锐角， 则3
B π
=. …………………………………………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3
B π
=
．因为b =
根据余弦定理，得 2
2
72cos
3
a c ac π
=+-，………………………………………7分
整理，得2()37a c ac +-=．
由已知 5a c +=，则6ac =．
又a c >，可得 3a =，2c =． ……………………………………… 9分
于是222cos
2b c a A bc +-===
， ………………………… 11分
所以cos cos 21AB AC AB AC A cb A ==== ． …………… 13分 （16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）记事件A ：某个家庭得分情况为(5,3)．
111
()339
P A =⨯=．
所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为1
9
．……………………………… 4分
（Ⅱ）记事件B ：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)
共3类情况．
所以1111111()3333333
P B =⨯+⨯+⨯=．
所以某个家庭获奖的概率为1
3
． ………………………………………… 8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是1
3
，所以1~(5,)3X B ．
0055
1232(0)()()33243
P X C ==⋅=，
1145
1280(1)()()33243
P X C ==⋅=，
2235
1280(2)()()33243
P X C ==⋅=
，
3325
1240(3)()()33243
P X C ==⋅=
，
4415
1210(4)()()33243
P X C ==⋅=
，
5505
121
(5)()()33243
P X C ==⋅=
. ………………………………… 11分
所以533EX np ==⨯
=． 所以X 的数学期望为5
3
． ……………………………………………… 13分
（17）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）因为平面SAD ⊥平面ABCD ， CD AD ⊥，且面SAD 面ABCD AD =， 所以CD ⊥平面SAD . 又因为SA ⊂平面SAD
所以CD SA ⊥． …………………………………………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD SA ⊥.
在SAD ∆中，SA SD a ==
，AD =， 所以SA SD ⊥，
所以SA ⊥平面SDC . 即SA SD ⊥，SA SC ⊥,
所以CSD ∠为二面角C SA D --的平面角．
在Rt CDS ∆中，
tan CD
CSD SD ∠=== 所以二面角C SA D --的大小
3
π
． …………………………………… 13分 法二：取BC 的中点E , AD 的中点P ．
在SAD ∆中，SA SD a ==，P 为AD 的中点，所以，SP AD ⊥． 又因为平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD 平面ABCD AD =
所以，SP ⊥平面ABCD ．显然，有PE AD ⊥． ……………………………… 1分 如图，以P 为坐标原点，P A 为x 轴，PE 为y 轴，PS
为z 轴建立空间直角坐标系，
则)S
，,0,0)A ，
,0)B
，(,0)C ，
(,0,0)D ． ………………………………………………………………3分
（Ⅰ）易知(0,,0),,0,)CD SA ==
因为0CD SA ⋅=
，
所以CD SA ⊥． …………………………………………………………… 6分
（Ⅱ）设(,,)x y z =n 为平面CSA 的一个法向量，则有0
SA CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n n ，
即00=⎪-=⎩
，所以=n ． ……………………………… 7分
显然，EP ⊥平面SAD ，所以PE
为平面SAD 的一个法向量，
所以(0,1,0)=m 为平面SAD 的一个法向量．……………………………………… 9分 所以
1cos ,2
<>=
=n m ， 所以二面角C SA D --的大小为
3
π
． ………………………………………… 13分
（18）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln(1)1x
f x x x
-=+++， 则2
12
()1(1)f x x x -'=
+
++. ………………………………………………… 2分 所以(1)0f '=.又(1)ln 2f =，因此所求的切线方程为ln 2y =. ………… 4分
（Ⅱ）222
22
()1(1)(1)(1)
a ax a f x ax x ax x -+-'=+=++++. ………………………… 5分 （1）当20a -≥，即2a ≥时，因为0x ≥，所以()0f x '>，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增. ………………………………………………………………… 6分
（2）当20a -<，即02a <<时，令()0f x '=，则2
20ax a +-=（0x ≥），
所以x =
.
因此，当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>.
所以函数()f x 的单调递增区间为)+∞，函数()f x 的单调递减区间为
. ………………………………………………………………… 10分 （Ⅲ）当2a ≥时，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则()f x 的最小值为(0)1f =，满足题意. ………………………………………………………………… 11分
当02a <<时，由（Ⅱ）知函数()f x 的单调递增区间为)+∞，
函数()f x
的单调递减区间为，则()f x 的最小值为f ，而(0)1f =，不合题意.
所以a 的取值范围是[)2,+∞. ………………………………………………… 13分
（19）（本小题满分14分）
解: （Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.………… 1分
因为
1
2
c a =，所以2a c =
，b =. 设椭圆方程为22
22143x y c c
+=,
由22
22240,1,43x y x y c c
+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=. 又因为直线l 与椭圆C 相切,所以221244(123)0c ∆=-⨯-=,解得2
1c =.
所以椭圆方程为22
143
x y +=. ……………………………………………… 5分 （Ⅱ）易知直线m 的斜率存在,设直线m 的方程为(4)y k x =-，…………………… 6分
由22(4),
1,4
3y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(34)3264120k x k x k +-+-=. ………… 7分
由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=-+->，
解得11
22
k -
<<. ……………………………………………………………… 8分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则21223234k x x k +=+，212
26412
34k x x k -=+. …… 9分 又直线:240l x y +-=与椭圆22
:
143
x y C +=相切， 由22240,
1,4
3x y x y +-=⎧⎪
⎨+=⎪
⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P . ……………………………10分
则2
454AP =
. 所以364581
3547
AM AN ⋅=
⨯=.
又AM AN ⋅=
=
2
12(1)(4)(4)k x x =+--
21212(1)(4()16)k x x x x =+-++
22
2
22
641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++ 22
36
(1)
.34k k
=++ 所以2
2
3681(1)
347k k +=+
，解得4
k =±.经检验成立. …………………… 13分 所以直线m
的方程为4)4
y x =±-. …………………………………… 14分 （20）（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：因为011=+b a ，所以112-==a a ,02
1
12=+=
b a b . 因为0122<-=+b a ,所以2
1
2223-=+=b a a ,023==b b . 因为331
02
a b +=-
<,所以334124a b a +==-,430b b ==.
所以123411
1,1,,24
a a a a =-=-=-=-. …………………………………… 2分
由此猜想，当2≥k 时,011<+--k k b a ，则2
21
11---=+=
k k k k a b a a ，10k k b b -==.… 3分 下面用数学归纳法证明：
①当2k =时，已证成立.
②假设当k l =（l *
∈N ，且2l ≥）猜想成立，
即110l l a b --+<，10l l b b -==，1
02
l l a a -=<. 当1k l =+时，由1
02
l l a a -=
<， 10l l b b -==得0l l a b +<，则10l l b b +==，
1022
l l l
l a b a a ++=
=<. 综上所述，猜想成立.
所以2
2
22
1111(2)222n n n n a a n ---⎛⎫
⎛⎫
=⨯=-⋅=-
≥ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
.
故211,1
2.
2
n n n a n --=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. ……………………………………………… 6分
（Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，
与s b b b >>> 21矛盾，因此110k k a b --+<不成立， …………… 7分 所以有110k k a b --+≥，从而有1k k a a -=，所以1a a k =. 当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ，2
1
1--+=k k k b a b , 所以111111
()22
k k k k k k k a b b a a b a -----+-=
-=-; …………………… 8分 当s k ≤≤2时，总有111
()2
k k k k b a b a ---=-成立.
又110b a -≠，
所以数列}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为
1
2
的等比数列, 1
1121)(-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s = ,
又因为1a a k =，所以11
1121)(a a b b k k +⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=-. …………………………… 10分
（Ⅲ）证明：由题意得22
12m n n n m
c c c ma -+=-+
n n c c m
+=
2
1. 因为211n n n c c c m +=
+，所以211
0n n n c c c m
+-=>. 所以数列{}n c 是单调递增数列. …………………………………… 11分 因此要证)(1m n c n ≤<,只须证1<m c . 由2≥m ，则n n n c c m c +=
+211<n n n c c c m ++11，即1111
n n c c m
+->-.…… 12分 因此
1
122111
)11()11()11(1c c c c c c c c m m m m m +-++-+-=--- m m m m 1
21+=+--
>. 所以11
m m
c m <
<+. 故当m n ≤,恒有1<n c . …………………………………………………14分。