届数学一轮专题重组卷第二部分素养提升练一文含解析

素养提升练(一）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（2019·辽宁马鞍山一中三模)设集合M＝{x|x2－2x－3＜0｝，N＝｛x|2x＜2｝，则M∩（∁R N）等于(）
A．［－1,1］B．（－1，0）
C．[1,3) D．（0,1)
答案C
解析由M＝｛x|x2－2x－3＜0｝＝{x|－1＜x＜3}，又N＝{x｜2x＜2}＝｛x|x＜1}，全集U＝R，所以∁R N＝{x｜x≥1｝．所以M∩(∁
R N）＝｛x|－1＜x＜3｝∩{x|x≥1}＝[1,3）．故选C。

2．（2019·江西师大附中三模)已知i为虚数单位，复数z满足
（2－i)z＝3＋2i,则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案A
解析复数z满足(2－i）z＝3＋2i，z＝错误!＝错误!＝错误!，则z
在复平面内对应的点为错误!,在第一象限．故选A。

3．（2019·全国卷Ⅱ）已知向量a＝(2，3）,b＝（3，2),则｜a －b｜＝()
A.错误!B．2 C．5错误!D．50
答案A
解析∵a－b＝(2,3）－(3，2)＝（－1，1)，∴|a－b|＝错误!＝
错误!。

故选A.
4．（2019·咸阳二模）已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为错误!，错误!，错误!，且三人录取结果相互之间没有影响,则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）
A。

错误! B.错误!
C.错误!D。

错误!
答案B
解析甲、乙、丙三人去参加某公司面试,他们被公司录取的
概率分别为错误!，错误!，错误!,且三人录取结果相互之间没有影响，
他们三人中至少有一人被录取的对立事件是三人都没有被录
取，∴他们三人中至少有一人被录取的概率为P＝1－错误!错误!错误!
＝错误!.故选B.
5．（2019·全国卷Ⅲ）函数y＝
2x3
2x＋2－x在［－6,6]的图象大致
为（）
答案B
解析∵y＝f （x)＝错误!,x∈[－6，6］，∴f （－x）＝错误!＝－错误!＝－f (x），∴f （x)是奇函数，排除C。

当x＝4时,y＝错误!＝错误!∈（7,8)，排除A，D。

故选B。

6．（2019·三明一中二模）如图是某个几何体的三视图,根据图中数据（单位：cm）求得该几何体的表面积是(）
A.错误!cm2B。

错误!cm2
C。

错误!cm2D。

错误!cm2
答案A
解析由三视图可以看出，该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体．所以该几何体的表面积为2×(12＋15＋20）＋错误!×4π×32－3×错误!π×32＝94－错误!.故选A。

7．(2019·咸阳一模）执行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为b，则过定点(4,2)的直线l与圆(x－b)2＋y2＝16截得的最短弦长为（)
A．4错误!B．2错误!
C.错误!D．2错误!
答案A
解析模拟程序的运行,可得k＝1，S＝1，S＝1，不满足条件S＞6,执行循环体,k＝2，S＝2,不满足条件S＞6，执行循环体,k ＝3,S＝6，不满足条件S＞6，执行循环体，k＝4,S＝15，满足条件S＞6,退出循环．输出k的值为4,即b＝4,由题意过圆内定点P （4,2)的弦，只有和PC(C是圆心)垂直时才最短，定点P（4，2）是弦｜AB｜的中点，由勾股定理得，｜AB|＝242－22＝4错误!.
故选A。

8．（2019·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（)
A．a n＝2n－5 B．a n＝3n－10
C．S n＝2n2－8n D．S n＝错误!n2－2n
答案A
解析设首项为a1，公差为d.由S4＝0,a5＝5可得错误!解得错误!所以a n＝－3＋2（n－1)＝2n－5，S n＝n×(－3）＋错误!×2＝n2－4n。

故选A.
9．（2019·湖南百所重点中学诊测)若变量x，y满足约束条件
错误!且a∈(－6,3），则z＝错误!仅在点A错误!处取得最大值的概率为（)
A.错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!
答案A
解析z＝错误!可以看作点（x,y）和点（a，0)的斜率，直线
AB与x轴交点为(－2，0），当a∈（－2，－1)时，z＝错误!仅在
点A错误!处取得最大值，所以P＝错误!＝错误!.故选A.
10．（2019·北京高考）如图,A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()
A．4β＋4cosβ
B．4β＋4sinβ
C．2β＋2cosβ
D．2β＋2sinβ
答案B
解析解法一:如图1,设圆心为O,连接OA，OB，OP。

∵∠APB＝β，∴∠AOB＝2β，∴S阴影＝S△AOP＋S△BOP＋S扇形AOB ＝错误!×2×2sin∠AOP＋错误!×2×2sin∠BOP＋错误!×2β×22＝2sin∠AOP ＋2sin∠BOP＋4β＝2sin∠AOP＋2sin（2π－2β－∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2sin(2β＋∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2(sin2β·cos∠AOP＋cos2β·sin∠AOP）＋4β＝2sin∠AOP－2sin2β·cos∠AOP－2cos2β·sin∠AOP＋4β＝2(1－cos2β)sin∠AOP－2sin2β·cos∠AOP
＋4β＝2×2sin2β·sin∠AOP－2×2sinβ·cosβ·cos∠AOP＋4β＝4sinβ(sinβ·sin∠AOP－cosβ·cos∠AOP）＋4β＝4β－4sinβ·cos(β＋∠AOP)．∵β为锐角,∴sinβ〉0。

∴当cos（β＋∠AOP)＝－1，即β＋∠AOP＝π时，阴影区域面积最大，为4β＋4sinβ.故选B。

解法二：如图2，设圆心为O，连接OA,OB，OP，AB,则阴影区域被分成弓形AmB和△ABP。

∵∠APB＝β，
∴∠AOB＝2β.∵弓形AmB的面积是定值,∴要使阴影区域面积最大，则只需△ABP面积最大．∵△ABP底边AB长固定，∴只要△ABP的底边AB上的高最大即可．由图可知，当AP＝BP 时，满足条件，此时S阴影＝S扇形AOB＋S△AOP＋S△BOP＝错误!×2β·22＋2×1
2×22·sin错误!＝4β＋4sinβ.这就是阴影区域面积的最大值．故选B.
11．(2019·福州一模)已知函数f （x)＝错误!当x∈［m，m＋1］时，不等式f (2m－x)＜f (x＋m)恒成立，则实数m的取值范围是（)
A．（－∞，－4) B．（－∞，－2）
C．（－2,2）D．(－∞，0)
答案B
解析当x≤0时，f （x）＝错误!x＋4单调递减，且f (x)≥f （0)＝5；当x＞0时,f （x）＝－x3－x＋5，∴f′(x)＝－3x2－1＜0，f (x)单调递减，且f （x）＜f （0)＝5;所以函数f （x)＝错误!在x ∈R上单调递减，因为f （2m－x)＜f (x＋m)，所以2m－x＞x ＋m，即2x＜m，在x∈［m，m＋1］上恒成立，所以2(m＋1）＜m，解得m＜－2.即m的取值范围是(－∞，－2）．故选B.
12．（2019·攀枝花二模）已知双曲线C:错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M,N,若｜PF1|＝3|PF2|,且∠MF2N＝60°，则双曲线的离心率为（）
A.错误!B．3 C．2 D.错误!
答案D
解析由双曲线的定义可得｜PF1｜－|PF2｜＝2a，由|PF1|＝3|PF2｜，可得|PF2|＝a,｜PF1|＝3a，结合双曲线性质可以得到|PO｜＝｜MO|，而｜F1O｜＝｜F2O|，结合四边形对角线平分，可得四边形PF1MF2为平行四边形，
结合∠MF2N＝60°,故∠F1MF2＝60°，对△F1MF2用余弦定理，
得到｜MF1｜2＋|MF2|2－|F1F2|2＝2|MF1|·|MF2|·cos∠F1MF2,结合|PF1|＝3｜PF2｜，可得｜MF1|＝a，｜MF2|＝3a，|F1F2|＝2c，代入上式中,得到a2＋9a2－4c2＝3a2,即7a2＝4c2,结合离心率满
足e＝c
a,即可得出e＝错误!，故选D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2019·四川省二诊）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P（1，错误!）在角α的终边上，则sin错误!＝________.
答案错误!
解析∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P(1,错误!)在角α的终边上，
∴tanα＝错误!,∴α＝错误!＋2kπ，k∈Z，
则sin错误!＝sin错误!＝sin错误!＝错误!。

14．（2019·全国卷Ⅰ）曲线y＝3（x2＋x）e x在点（0,0)处的切线方程为________．
答案y＝3x
解析y′＝3（2x＋1）e x＋3(x2＋x）e x＝e x(3x2＋9x＋3），∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x。

15．（2019·石家庄一模)已知直线x＋ay＋3＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A,B两点（O为坐标原点），且△AOB为等边三角形,则实数a的值为________．
答案±2
解析圆心(0，0)到直线x＋ay＋3＝0的距离d＝错误!，依题意，cos30°＝错误!，即错误!＝错误!，解得a＝±错误!。

16．(2019·泉州市质检)如图所示，球O半径为R，圆柱O1O2内接于球O，当圆柱体积最大时，圆柱的体积V＝错误!π，则R＝________.
答案错误!
解析设小圆O1，O2的半径为r,
如图，作出球O及其内接圆柱的轴截面得到四边形ABCD，由题意得到AB＝CD＝2r，
当BC＝AD＝2r时，圆柱的体积最大,
此时R2＋R2＝4r2,即R＝错误!r，
圆柱体积V＝πr2·2r＝错误!π,
解得r＝错误!，∴R＝错误!r＝错误!.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一）必考题：60分．
17．（本小题满分12分)（2019·郑州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知△ABC的面积为S,且满足sin B＝错误!。

（1)求sin A sin C；
(2）若4cos A cos C＝3,b＝错误!，求△ABC的周长．
解(1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝错误!bc sin A，
∴2c sin B sin A＝b,由正弦定理可得2sin C sin B sin A＝sin B，∵sin B≠0，∴sin A sin C＝错误!。

（2）∵4cos A cos C＝3，∴cos A cos C＝3 4,
∴cos A cos C－sin A sin C＝错误!－错误!＝错误!，∴cos(A＋C)＝错误!，∴cos B＝－错误!，
∵0＜B＜π,∴sin B＝错误!,
∵错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝4，
∴sin A sin C＝错误!＝错误!，∴ac＝8，
∵b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B,
∴(a＋c）2＝15＋12＝27,∴a＋c＝3错误!.
∴a＋b＋c＝3错误!＋错误!.
18．（本小题满分12分）（2019·厦门一模)某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位:千万元)对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i(i＝1,2，…，10)的数据，得到如下散点图．
(1）利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c·x d（其中c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由)；
(2）对数据作出如下处理：令u i＝ln x i，v i＝ln y i，得到相关统计量的值如下表：
错误! u i v i 错误!
u i
错误!
v i
错误!
u
2，i
30。

151546.
根据(1)的判断结果及表中数据,求y关于x的回归方程；
（3)已知企业年利润z（单位：千万元)与x,y的关系为z＝错误! y－x（其中e＝2。

71828…)，根据(2)的结果，要使该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
附:对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2），…，(u n，v n），其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.
解(1）由散点图知,选择回归类型y＝c·x d更适合．
（2)对y＝c·x d两边取对数，得ln y＝ln c＋d ln x，即v＝ln c＋du.
由表中数据得，
错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

所以ln 错误!＝错误!－错误!错误!＝1.5－错误!×1.5＝1，所以错误!＝e。

所以年研发费用x与年销售量y的回归方程为y＝e·x错误!.
(3)由（2）知，z＝27x错误!－x，求导得z′＝9x错误!－1,
令z′＝9x错误!－1＝0,得x＝27，
函数z＝27x错误!－x在(0,27）上单调递增，在(27，＋∞）上单调递减，
所以当x＝27时，年利润z取最大值5.4亿元．
答：要使得年利润取最大值，预计下一年度投入2。

7亿元．19．（本小题满分12分)（2019·青岛二模）如图，在圆柱W 中，点O1，O2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，
点H在上底面圆周上(异于N,F），点G为下底面圆弧ME，︵
的
中点，点H与点G在平面MNFE的同侧,圆柱W的底面半径为1。

(1)若平面FNH⊥平面NHG，证明:NG⊥FH;
（2)若直线O1H∥平面FGE,求H到平面FGE的距离．
解(1)证明：由题知平面FNH⊥平面NHG,平面FNH∩平面NHG＝NH，
因为NH⊥FH，又因为FH⊂平面FHN，
所以FH⊥平面NHG，
所以FH⊥NG.
（2）连接O1O2,如图所示,
因为O1O2∥EF，O1O2⊄平面FGE，EF⊂平面FGE，
所以O1O2∥平面FGE；
又因为直线O1H∥平面FGE，O1H∩O1O2＝O1，
所以平面O1HO2∥平面FGE,
所以H到平面FGE的距离等于O2到平面FGE的距离；
取线段EG的中点V,连接O2V，
因为O2V⊥EG，O2V⊥EF，EG∩EF＝E,
所以O2V⊥平面FGE，
所以H到平面FGE的距离为O2V，
在等腰直角三角形EO2G中，O2E＝O2G＝1，
所以O2V＝错误!，所以所求的距离为错误!。

20．(本小题满分12分）（2019·福州一模）已知抛物线C1：x2＝2py（p＞0）和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点且与C2相切．
（1)求p的值；
（2)点M在C1的准线上，动点A在C1上，C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设错误!＝错误!＋错误!，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
解（1）依题意设直线l1的方程为y＝x＋错误!，由已知得：圆C2:(x＋1)2＋y2＝2的圆心C2(－1，0），半径r＝错误!，因为直线
l1与圆C2相切，所以圆心到直线l1：y＝x＋p
2的距离d＝错误!＝错误!，
即错误!＝错误!，解得p＝6或p＝－2（舍去)．
所以p＝6.
（2）证法一：依题意设M（m，－3)，由(1）知抛物线C1的方程为x2＝12y,
所以y＝错误!，所以y′＝错误!,设A(x1,y1),则以A为切点的切线l2的斜率为k＝错误!，所以切线l2的方程为y＝错误!x1(x－x1)＋y1.令x ＝0，y＝－错误!x错误!＋y1＝－错误!×12y1＋y1＝－y1，即l2交y轴于B点，坐标为（0，－y1），所以错误!＝(x1－m，y1＋3)，错误!＝(－m,－y1＋3)，∴错误!＝错误!＋错误!＝(x1－2m,6），∴错误!＝错误!＋错误!＝(x1－m,3)．
设N点坐标为（x，y），则y＝3，所以点N在定直线y＝3上．证法二：设M(m,－3）,由（1）知抛物线C1的方程为x2＝12y，①
设A（x1，y1),以A为切点的切线l2的方程为y＝k(x－x1）＋y1,②
联立①②得，x2＝12错误!,
因为Δ＝144k2－48kx1＋4x错误!＝0，所以k＝错误!，
所以切线l2的方程为y＝错误!x1(x－x1）＋y1。

令x＝0,得切线l2交y轴于B点，坐标为（0，－y1）,
所以错误!＝（x1－m，y1＋3），错误!＝(－m，－y1＋3），
∴错误!＝错误!＋错误!＝(x1－2m,6），
∴ON，→＝错误!＋错误!＝(x1－m,3)，
设N点坐标为(x，y），则y＝3，
所以点N在定直线y＝3上．
21．（本小题满分12分）(2019·长沙一模）已知函数f （x)＝ln x＋ax－错误!,g(x）＝x ln x＋（a－1）x＋错误!.
（1)试讨论f (x)的单调性；
(2)记f (x）的零点为x0，g（x）的极小值点为x1,当a∈（1，4)时，求证：x0＞x1。

解（1)f′（x)＝错误!＋a＋错误!＝错误!（x＞0）,
若a≥0，则f′(x）＞0,f （x）在(0，＋∞）递增．
若a＜0，则ax2＋x＋1＝0有一正一负两根，且正根是错误!，当x∈错误!时，f′(x)＞0，f (x）递增;
当x∈错误!时,f′(x)＜0，f （x)递减．
综上，a≥0时，f （x)在(0,＋∞)递增；
a＜0时，f （x）在错误!递增，在错误!递减．
（2)证明：g(x)＝x ln x＋(a－1）x＋错误!，则g′(x）＝ln x－错误!＋a（x＞0)，
故g′(x）在（0,＋∞）递增，
又g′(1)＝a－1＞0，g′错误!＝－ln 2－4＋a＜0，
故g′（x）存在零点x2∈错误!，且g（x）在(0，x2)递减,在(x2,＋∞）递增，x2即是g（x)的极小值点，
故x2＝x1，
由g′（x1)＝0知,ln x1－错误!＋a＝0,
故f （x1）＝ln x1＋ax1－错误!＝ln x1＋x1错误!－错误!＝(1－x1)ln x1，又x1＝x2∈错误!，故f （x1）＝（1－x1）ln x1＜0＝f (x0），
由(1)知，a＞0时,f (x)在(0,＋∞)递增，
故x0＞x1.
(二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）［选修4－4：坐标系与参数方程] (2019·咸阳二模)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为错误!＝错误!＋错误!。

（1)求曲线C的直角坐标方程；
（2）设过点P(1，0）且倾斜角为45°的直线l和曲线C交于A,B两点,求｜PA|＋|PB|的值．
解（1）曲线C的极坐标方程为错误!＝错误!＋错误!,
转换为直角坐标方程为错误!＋错误!＝1，
(2）过点P（1,0)且倾斜角为45°的直线l，
转换为参数方程为错误!(t为参数），
把直线l的参数方程代入错误!＋错误!＝1,
得到错误!t2＋3错误!t－9＝0(t1和t2为A,B对应的参数），
所以t1＋t2＝－错误!，t1t2＝－错误!，
则｜PA｜＋｜PB|＝|t1－t2|＝错误!＝错误!。

23．(本小题满分10分)［选修4－5：不等式选讲］
（2019·咸阳二模)已知函数f （x)＝|x－2｜－m（x∈R），且f （x＋2）≤0的解集为［－1，1］．
（1）求实数m的值；
（2)设a,b，c∈R＋，且a2＋b2＋c2＝m，求a＋2b＋3c的最大值．
解(1)由题意可得f (x＋2)＝｜x｜－m，故由f （x＋2）≤0，可得｜x｜≤m,解得－m≤x≤m。

再根据f （x＋2）≤0的解集为[－1,1],可得m＝1.
（2)若a，b,c∈R＋，且a2＋b2＋c2＝1，
∴由柯西不等式可得：
a＋2b＋3c≤错误!·错误!＝错误!，
故a＋2b＋3c的最大值为错误!.。