2021-2022学年福建省龙岩市新罗区九年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年福建省龙岩市新罗区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列事件是不可能事件的是( )
A. 明天会下雨
B. 小明数学成绩是92分
C. 一个数与它的相反数的和是0
D. 明年一年共有400天
2.如图所示的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.已知一元二次方程x2+4x−3=0，下列配方正确的是( )
A. (x+2)2=3
B. (x−2)2=3
C. (x+2)2=7
D. (x−2)2=7
4.点P(3,2)关于原点O的对称点P′的坐标是( )
A. (3,−2)
B. (−3,2)
C. (−3,−2)
D. (2,3)
5.把抛物线y=−1
2
x2向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为( )
A. y=−1
2x2+2 B. y=−1
2
(x+2)2C. y=−1
2
x2−2 D. y=−1
2
(x−2)2
6.如图，点B，C分别是反比例函数y=6
x (x>0)与y=−2
x
(x>0)
的图象上的点，且BC//y轴，过点C作BC的垂线交y轴于点A，则
△ABC的面积为( )
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
7.若A，B，C是⊙O上三点，B是弧AC的中点，∠ABC=120°，AC=6，则⊙O的半径是( )
A. 2√3
B. 3√2
C. 6
D. 6√2
8.如图，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂
足为M，OM：OC=3：5，则AB的长为( )
A. √91cm
B. 8cm
C. 6cm
D. 4cm
9.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程正确的是( )
A. (3x)2+(7x)2=102
B. (3x)2+102=(7x)2
C. (3x)2+102=(7x−10)2
D. (3x+10)2+102=(7x)2
10.如图，正方形ABCD的边长为2，点E和点F分别在BC和CD上运动，
且保持∠EAF=45°.若设BE的长为x，EF的长为y，则y与x的函数图
象是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.方程(x−3)(x+2)=0的根是______．
12.已知经过某闭合电路的电流I(单位：A)与电路的电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，当I=
5时，R=20，则当R=40时，I=______．
13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，
∠CDM=71°，则∠AOC=______．
14.若点P(x,y)(x≠y)中x，y可在−2，3，4中取值，则点P落在第二象限的概率是______．
15.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=4.将扇形AOB沿过
点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点C处，折痕交OA于点D，则
图中阴影部分的面积为______．
16.直线l1：y=kx+2与y轴交于点A，直线l1绕点A逆时针旋转45°得到直线l2，若直线l2与抛
物线y=x2+3x+2有唯一的公共点，则k=______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
解下列方程：
(1)x2−10x=24；
(2)2x2+3x−1=0．
18.(本小题8.0分)
已知关于x的方程x2+(m−3)x−3m=0．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
(2)如果该方程有一个根小于1，求m的取值范围．
19.(本小题8.0分)
如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y=n
x
(n≠
0)的图象在第一象限交于点C，若OA=OB，B是线段AC的中点．求反比例函数的解析式．
20.(本小题8.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，小丽将△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到△ADE．
(1)当α=______°时，AD⊥BC；
(2)在旋转过程中，小丽发现当α=50°时，线段BC与DE交于点F，且四边形AEFB是菱形，请你给予证明．
21.(本小题8.0分)
在学习了《用频率估计概率》后，小东和学习小组的同学设计了一个实验，他们用一个黑箱子装有红、白两种颜色的球共4只，它们除颜色外，其他都相同．小东将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸出白球的频率，并将多次实验结果画出如下统计图．
(1)根据统计图，结合所学的频率与概率的相关知识，从箱子中随机摸一次球，摸到白球的概率是______(精确到0.01)；
(2)从该箱子里随机同时摸出两个球．用树状图或列表法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率．
22.(本小题10.0分)
如图，将圆心角为120°的扇形AOB绕着点A按逆时针方向旋转一定的角度后，得到扇形AO′B′，使得点O′恰在AB⏜上．
(1)求作点O′；(尺规作图：保留作图痕迹，不写作法和证明过程)
(2)连接BB′，AB′，B′O′，证明：B′O平分∠AB′B．
23.(本小题10.0分)
某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若在每件降价幅度不超过10元的情况下，每件降价1元，则每天可多售5件．
(1)如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
(2)每天是否可以获得3000元的利润？若可以，请确定每件应降价多少元；若不可以，请说明理由．
24.(本小题12.0分)
如图1，AB是⊙O的直径，AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，连接BC交⊙O于点D，过D作DE⊥AC于E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)过D作DF⊥AB，交⊙O于点F，直线AC交⊙O于点G，连接FG，DG，BF．
①如图2，证明：FG//BD；
②当AC旋转到如图3的位置，在BF上取一点H，使得DH=DF.若BF⊥DG，证明：D，O，H在同一条直线上．
25.(本小题14.0分)
已知抛物线y=x2+bx+c经过A(m,n)，B(2−m,n)，C(2,−1)三点，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果△PAB是等边三角形，求△PAB的面积；
(3)若直线l1：y=k1x−k1与抛物线交于D，E两点，直线l2：y=k2x−k2与抛物线交于F，G两点，DE的中点为M，FG的中点为N，且k1k2=−3.求点P到直线MN距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、明天会下雨，是随机事件，不符合题意；
B、小明数学成绩是92分，是随机事件，不符合题意；
C、一个数与它的相反数的和是0，是必然事件，不符合题意；
D、明年一年共有400天，是不可能事件，符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】B
【解析】解：对于A，该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
对于B，该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
对于C，该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
对于D，该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．
3.【答案】C
【解析】解：方程移项得：x2+4x=3，
配方得：x2+4x+4=7，即(x+2)2=7，
故选：C．
方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：点P(3,2)关于原点O的对称点P′的坐标是(−3,−2)．
故选：C．
根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵把抛物线y=−1
2
x2向右平移2个单位，
∴平移后所得抛物线的解析式为：y=−1
2
(x−2)2．
故选：D．
直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图形与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：过点B作BD⊥y轴于点D，记BC交x轴于点E，
∵BC//y轴，AC⊥BC，
∴S
矩形AOEC =|−2|=2，S
矩形DOEB
=|6|=6，
∴S
矩形ACBD =S
矩形AOEC
+S
矩形DOEB
=2+6=8，
∴S△ABC=1
2S
矩形ACBD
=4．
故选：B．
过点B作BD⊥y轴于点D，记BC交x轴于点E，利用反比例函数比例系数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，利用矩形的性质求出△ABC的面积．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点引x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，解题的关键是过点B作BD⊥y轴于点D构造矩形．
7.【答案】A
【解析】解：⊙O的优弧AC上取一点D，连接AD、CD、OA、OC，连接OB交AC于点M，
∵∠ABC=120°，
∴∠ADC=180°−∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°，
∵B是弧AC的中点，∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，AM=3
∴OA=3
√3
×2=2√3
∴⊙O的半径是2√3．
故选：A．
⊙O的优弧AC上取一点D，连接AD、CD，连接OA、OC，∠ADC=180°−∠ABC=60°，根据圆周角定理求得∠AOC=2∠ADC=120°，根据等边三角形的判定定理知△AOB是等边三角形，即可求解．
本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质．解答该题时，利用圆周角定理要注意圆心角与圆周角的定义，只有三个点都在圆上所组成的角才称之为圆周角．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示，连接OA．
⊙O的直径CD=10cm，
则⊙O的半径为5cm，
即OA=OC=5，
又∵OM：OC=3：5，
所以OM=3，
∵AB⊥CD，垂足为M，
∴AM=BM，
在Rt△AOM中，AM=√52−32=4，
∴AB=2AM=2×4=8．
故选B．
由于⊙O的直径CD=10cm，则⊙O的半径为5cm，又已知OM：OC=3：5，则可以求出OM=3，OC=5，连接OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式)2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
r2=d2+(a
2
9.【答案】C
【解析】解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB=3x，
甲共行AC+BC=7x，
∵AC=10，
∴BC=7x−10，
又∵∠A=90°，
∴BC2=AC2+AB2，
∴(7x−10)2=102+(3x)2，
故选：C．
设甲、乙二人出发后相遇的时间为x，然后利用勾股定理列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．
10.【答案】A
【解析】解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
∴BH=DF，AH=AF，∠HAB=∠FAD，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠HAE=∠HAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=90°−∠FAE=
45°，
∴∠FAE=∠HAE，
在△HAE和△FAE中，
{AE =AE ∠FAE =∠HAE AH =AF
∴△HAE≌△FAE(SAS)，
∴EF =HE =y ，
∵BE =x ，
∴BH =DF =y −x ，
∵正方形的边长为2，
∴EC =2−x ，CF =2−(y −x)，
在Rt △CEF 中，EC 2+FC 2=EF 2，
∴(2−x)2+[2−(y −x)]2=y 2，
化简得，y =4+x 22+x =(x +2)+8x+2−4=(√x +2−√2√x+2)2−4+4√2，
∴当√x +2=√2√x+2
，即x =2√2−2时，y 有最小值， 故选：A ．
将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，从而得到BH =DF ，AH =AF ，∠HAB =∠FAD ，然后由∠EAF =45°和∠BAD =90°得到∠HAE =∠FAE =45°，得到△HAE≌△FAE ，进而得到EF =HE =y ，由BE =x ，得到BH =DF =y −x ，结合正方形的边长为2得到EC =2−x ，
CF =2−(y −x)，然后利用勾股定理列出关于x 和y 的关系式求得y 与x 的函数解析式，最后得到对应的函数图象． 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，得到全等三角形．
11.【答案】x =3或x =−2
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 先把一元二次方程转化成一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】
解：∵(x −3)(x +2)=0．
∴x −3=0或x +2=0，
解得：x=3或x=−2，
故答案为：x=3或x=−2．
12.【答案】2.5
【解析】解：∵经过某闭合电路的电流I(单位：A)与电路的电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，∴设I=U
，
R
∵当I=5时，R=20，
∴U=5×20=100，
∴当R=40时，I=100
=2.5．
40
故答案为：2.5．
，再把(5,20)代入可得U的值，进而可得函数解析式，求出答案．根据题意设函数解析式为I=U
R
此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．
13.【答案】142°
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B=∠CDM=71°，
∴∠AOC=2∠B=2×71°=142°，
故答案为：142°．
根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角即可得到∠B=71°，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍求得答案即可．
此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
14.【答案】1
3
【解析】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中点P落在第二象限的结果有2种，即(−2,3)、(−2,4)，
∴点P落在第二象限的概率为2
6=1
3
，
故答案为：1
3
．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中点P落在第二象限的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查了列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】4π−16√3
3
【解析】解：连接OC，
∵OB=BC=CO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBD=30°，
∵∠BOD=90°，OB=OA=4，
∴OD=OB⋅tan30°=4×√3
3=4√3
3
，
∴△BOD的面积是：OD⋅OB
2=
4√3
3
×4
2
=8√3
3
，
∴△BCD的面积是8√3
3
，
∴阴影部分的面积是：90π×42
360−8√3
3
−8√3
3
=4π−16√3
3
，
故答案为：4π−16√3
3
．
根据题意和图形，可以得到△OBC是等边三角形，从而可以得到∠OBD的度数，然后即可得到OD的长，从而可以得到△BOD的面积，根据折叠的性质，△BOD的面积和△BCD的面积一样，然后即可得到阴影部分的面积就是扇形OAB的面积减去△OBD和△BCD的面积．
本题考查扇形面积的计算、折叠的性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】1或1
2
．
【解析】解：由y=kx+2，y=x2+3x+2可得直线l2与抛物线交于点A(0,2)，
①直线l2与y轴重合满足题意，则直线l1与y轴夹角为45°，如图，
∵OB=2，∠ABO=45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB=2，
∴点B坐标为(−2,0)，
将(−2,0)代入y=kx+2得0=−2k+2，解得k=1．
②设直线l2解析式为y=mx+2，
令mx+2=x2+3x+2，
Δ=(3−m)2，
当m=3时满足题意．
∴y=3x+2，
把y=0代入y=3x+2得x=−2
3
，
∴直线l2与x轴交点D坐标为(−2
3,0)，即OD=2
3
，
作DE⊥AD交直线y=kx+2于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，∵∠EAD=45°，
∴AD=DE，
∵∠ADO+∠EDF=90°，∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠EDF，
又∵∠EFD=∠AOD=90°，
在△EFD和△DOA中，
{AD=DE
∠DAO=∠EDF ∠AOD=∠EFD
∴△EFD≌△DOA(AAS)，
∴FD=AO=2，EF=DO=2
3
，
∴OF=FD+AO=8
3
，
∴点E坐标为(−8
3,2 3 ).
将(−8
3,2
3
)代入y=kx+2得2
3
=−8
3
k+2，
解得k=1
2
．
故答案为：1或1
2
．
根据直线解析式可得l1，l2都经过点(0,2)，分别讨论直线l2与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线y=kx+2上的点坐标，进而求解．
本题考查二次函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过添加辅助线分类讨论求解．
17.【答案】解：(1)∵x2−10x=24，
∴x2−10x−24=0，
则(x−12)(x+2)=0，
∴x−12=0或x+2=0，
解得x1=12，x2=−2；
(2)∵a=2，b=3，c=−1，
∴Δ=32−4×2×(−1)=17>0，
则x=−b±√b2−4ac
2a =−3±√17
4
，
∴x1=−3+√17
4，x2=−3−√17
4
．
【解析】(1)先移项，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(2)利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18.【答案】解：(1)证明：∵Δ=(m−3)2−4×1×(−3m)=m2−6m+9+12m=m2+6m+ 9=(m+3)2≥0，
∴不论m为何值，方程总有实数根；
(2)解：∵x2+(m−3)x−3m=0，
∴(x−3)(x+m)=0，
∴x1=3，x2=−m，
根据题意，−m<1，
∴m>−1．
【解析】(1)根据根的判别式Δ=(m−3)2−4×1×(−3m)=(m+3)2≥0，即可得到结果；(2)利用因式分解法求得方程x2+(m−3)x−3m=0的两个根x1=3，x2=−m，根据题意得到−m<1，解得m>−1．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac.当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
19.【答案】解：作CD⊥x轴于D，
∵一次函数y=kx+2的图象与y轴相交于B点，
∴B(0,2)，
∴OB=2，
∴OA=OB=2
∵B是线段AC的中点，OB//CD，
∴OB是△ACD的中位线，
∴OA=OD=2，CD=2OB=4，
∴C(2,4)，
(n≠0)的图象在第一象限交于点C，
∵反比例函数y=n
x
∴n=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=8
．
x
【解析】根据条件可先求得OA=OB=2，再根据中点，可求得C点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形中位线的性质，数形结合是解题的关键．
20.【答案】解：(1)40
(2)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，且△ADE由△ABC旋转得到，
∴∠DAE=∠BAC=80°，∠ABC=∠AED=50°，
∵∠BAD=∠CAE=α=50°，∠BAE=∠BAC+∠CAE=130°，
∴∠BAE+∠B=∠BAE+∠E=130°+50°=180°，
∴AB//DE，AE//BC，
∴四边形AEFB是平行四边形，
又∵AB=AC=AE，
∴平行四边形AEFB是菱形．
【解析】解：(1)∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠C=∠B=50°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=180°−90°−∠C=90°−50°=40°，
∴α=40°，
故答案为：40．
(2)见答案．
(1)由AB=AC，∠BAC=80°，推出∠C=∠B=50°，根据AD⊥BC，推出∠DAC=180°−90°−∠C=90°−50°=40°，即α的值．
(2)先证明AB//DE，AE//BC，则四边形AEFB是平行四边形，又根据AB=AC=AE，得出四边形AEFB是菱形．
本题考查了旋转的性质，熟练运用三角形内角和定理和等腰三角形的性质，以及菱形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)0.75
(2)由(1)知，黑箱子中白球的个数约为4×0.75=3，红球的个数为4−3=1，
列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中摸到一个红球一个白球的有6种结果，
∴摸到一个红球一个白球的概率为6
12=1
2
．
【解析】解：(1)由折线统计图知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，
从箱子中摸一次球，摸到白球的概率为0.75，
故答案为：0.75；
(2)见答案
(1)当试验次数达到1500次时，摸到白球的频率接近于0.75，据此可得答案；
(2)用总数量乘以摸到白球的频率求出其个数，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得答案．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．也考查了列表法与树状图法．
22.【答案】解：(1)如图所示，点O′即为所求．
(2)证明：如图，连接OO′，由旋转的性质知AO=AO′，又∵OO′=OA，
∴OO′=OA′，
∴△AOO′是等边三角形，
∴∠BAB′=∠OAO′=60°，
由旋转的性质可知AB=AB′，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB′=BB′，
在△AOB′和△BOB′中，
{OA=OB AB′=BB′OB′=OB′
,
∴△AOB′≌△BOB′(SSS)，
∴∠AB′O=∠BB′O，
∴OB′平分∠AB′B．
【解析】(1)连接AB′，作线段AB′的垂直平分线，与AB⏜的交点即为所求；
(2)连接OO′，先证△ABB′是等边三角形，得AB′=BB′，再利用“SSS”证△AOB′≌△BOB′得
∠AB′O=∠BB′O，从而得证．
本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握圆的基本性质、等边三角形和全等三角形的判定与性质．
23.【答案】解：(1)设每件应降价x元(0<x≤10且x为整数)，则每件盈利(44−x)元，每天可售出(20+5x)件，
依题意得：(44−x)(20+5x)=1600，
整理得：x2−40x+144=0，
解得：x1=4，x2=36(不合题意，舍去)．
答：每件应降价4元．
(2)每天不可以获得3000元的利润，理由如下：
设每件应降价y元(0<y≤10且y为整数)，则每件盈利(44−y)元，每天可售出(20+5y)件，
依题意得：(44−y)(20+5y)=3000，
整理得：y2−40y+424=0，
∵Δ=(−40)2−4×1×424=−96<0，
∴此方程无实数根，
∴每天不可以获得3000元的利润．
【解析】(1)设每件应降价x元(0<x≤10且x为整数)，则每件盈利(44−x)元，每天可售出(20+ 5x)件，利用每天获得的总利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)不可以，设每件应降价y元(0<y≤10且y为整数)，则每件盈利(44−y)元，每天可售出(20+ 5y)件，利用每天获得的总利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=−96<0，即可得出此方程无实数根，进而可得出每天不可以获得3000元的利润．本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)牢记“当Δ<0时，方程无实数根”．
24.【答案】解：
(1)证明：如图1，连接OD、AD，
∵AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴BD=CD且AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC，
∴DE是⊙O的切线；
(2)①证明：如图2，连接BG、AD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠BGA=∠BDA=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∴BD=GD，
∴BD⏜=GD⏜，
∵DF⊥AB，
∴BD⏜=BF⏜，
∴GD⏜=BF⏜，
∴∠1=∠2，
∴FG//BD；
②证明：如图3，连接OD，
∵DF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴AD⏜=AF⏜，
∴∠3=∠4=∠5，
∵AB=AC，
∴∠3=∠C，
∴∠5=∠C，
∴FG//DB，
∴BG⏜=DF⏜，
∴∠DBF=∠BDG，
∵BF⊥DG，
∴∠DBF=∠BDG=45°，BD⏜=BF⏜，
∠DBF=22.5°，
∴∠3=∠4=1
2
∴∠7=90°−∠4=67.5°，
∴∠6=∠7=67.5°，
∴∠BDH=∠6−∠DBF=22.5°，
∵OB=OD，
∴∠3=∠BDO=22.5°，
∴∠BDH=∠BDO，
∴D，O，H在同一条直线上．
【解析】(1)如图1，连接OD、AD，根据旋转可证得△ABC是等腰三角形，根据直径所对的圆周角是直角可得出AD⊥BC，根据三角形中位线性质可得OD//AC，进而推出OD⊥DE，再运用切线的判定定理即可；
(2)①如图2，连接BG、AD，根据直径所对的圆周角是直角可得出AD⊥BC，再运用弦、弧、圆周角的关系即可证得结论；
②如图3，连接OD，运用圆周角定理及三角形内角和定理证明∠BDH=∠BDO，即可证得结论．本题是圆的综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，圆周角定理，垂径定理，圆周角、弧、弦的关系等，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系及圆的性质是解题关键．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(m,n)，B(2−m,n)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
=1，
∴−b
2
∴b=−2，
∵抛物线y=x2−2x+c经过C(2,−1)，
∴4−4+c=−1，
∴c=−1，
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−1；
(2)由(1)得抛物线的解析式为：y=x2−2x−1，对称轴为直线x=1，
令x=1，则y=1−2−1=−2，
∴P(1,−2)，
∵A(m,n)，B(2−m,n)，
不妨设点A 在点B 左侧，即m <1，如图，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，
则AB =2−2m ，PQ =n +2，且n =m 2−2m −1，
∵△PAB 是等边三角形，
∴∠ABP =60°，BQ =12
AB =1−m ， 在Rt △BPQ 中，∠ABP =60°，
∴PQ =√3BQ ，即m 2−2m −1+2=√3(1−m)，
解得m =1(舍)或m =1−√3．
∴AB =2−2m =2√3，BQ =√3，
∴PQ =√3BQ =3，
∴S △PAB =12⋅AB ⋅PQ =12×2√3×3=3√3．
(3)联立直线l 1：y =k 1x −k 1和抛物线y =x 2−2x −1，
∴{y =k 1x −k 1y =x 2−2x −1
， 整理得，x 2−(2+k 1)x −1+k 1=0，
∴x D +x E =2+k 1，
同理可得，x F +x G =2+k 2，
∵点M 是DE 的中点，点N 是FG 的中点，
∴x M =
x D +x E 2=1+k 12，x N =x F +x G 2=1+k 22， ∴y M =
k 1⋅(1+k 12)−k 1=k 122，y N =k 2⋅(1+k 22)−k 2=k 222， ∴M(1+k 12,k 122)，N(1+k 22,k 222)，
∴直线MN 的解析式为：y =(k 1+k 2)(x −1−k 12)+k 122， ∵k 1k 2=−3，
∴直线MN 的解析式为：y =(k 1−3k 1)(x −1−k 12)+k 122=(k 1−3k 1
)(x −1)+32， ∴当x =1时，y =32，即直线MN 过定点K(1,32
)， ∴点P 到直线MN 距离的最大值为PK 的长，即为72．
【解析】(1)根据点A 和点B 的坐标，可得出抛物线的对称轴为直线x =1，由此可得出b 的值，把点C 坐标代入即可求出c ；
(2)由A ，B 的坐标可知AB//x 轴，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，根据等边三角形的性质可得出m 和n 等量关系，由此求出n 的值，进而可求出△PAB 的面积；
(3)分别联立直线l 1，直线l 2和抛物线的解析式，根据根与系数的关系分别表示出点M 和点N 的坐标，求出直线MN 的解析式，得出直线MN 过定点(1,32
)，根据三角形三边关系可得点P 到直线MN 距离的最大值．
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线的对称性，等边三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，(3)关键得出直线MN 过定点K ．。