高考数学重难点第8讲 不等式与复数8大题型(解析版)(全国通用)(新高考专用)(老师专用)

重难点第8讲 不等式与复数8大题型
——每天30分钟7天掌握不等式与复数8大题型
【命题趋势】
1、不等式
不等式的性质、求解、证明以及应用时每年高考的必考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值问题。

但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中利用不等式求解、范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。

2、复数
复数是高考数学的必考题，常见考查复数的四则运算、共轭复数、实部、虚部、模等概念，偶尔考查几何意义-复数与平面内的点对应，基本出现在前2题的位置，难度不大，属于容易题。

第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型
【满分技巧】
一、解一元二次不等式的步骤
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：
①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②0∆=时，求根a
b
x x 221-==； ③0∆<时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集. 二、含参数的一元二次不等式讨论依据
1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；
2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；
3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。

三、分式、高次、绝对值不等式的解法
1、分式不等式的解法：解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。

设A 、B 均为含x 的多项式 （1）
00>⇔>A AB B （2）00<⇔<A
AB B
（3）
000≥⎧≥⇔⎨
≠⎩AB A B B （4）000
≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB A
B B 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。

2、高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：
（1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；
（2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如(
)()()120
--->…n x x x x x x 的形式，其中各因式中未知
数的系数为正；
（3）求根：求如()()()120---=…n x x x x x x 的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）
（4）穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）
（5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；
若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间
3、绝对值不等式：
（1）(0)<>x a a 的解集是{|}-<<x a x a ，如图1． （2）(0)>>x a a 的解集是{|}<->或x x a x a ，如图2．
（3）(0)+<>⇔-<+<ax b c c c ax b c ．
（4）(0)+>>⇔+>ax b c c ax b c 或ax b c +<- 四、利用基本不等式求最值
1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数；
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大
（1）设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 2
4
.
（2）设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值),则当x=y 时，和x ＋y 有最小值,且这个值为2p .
【热点题型】
第2天 掌握不等式性质应用和一元二次不等式的解法
【题型1 不等式的性质应用】
【例1】（2022·山东菏泽·高三期中）（多选）已知x y z >>，0x y z ++=，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A ．xy xz >
B ．xz yz >
C ．x y z y >
D ．y y z z > 【答案】AD
【解析】因为x y z >>，0x y z ++=，则303x z >>，所以，0x >，0z <，y 的符号不确定.对于A 选项，由不等式的性质可得xy xz >，A 对；对于B 选项，由不等式
的性质可得xz yz <，B 错；对于C 选项，若0y =，则x
y z y
=，C 错；对于D 选项，
构造函数()f t t t =，则()22,0
,0t t f t t t ⎧-≤=⎨>⎩
，函数()f t 在(],0-∞上为增函数，在[)0,∞+上
也为增函数，且函数()f t 在R 上连续，故函数()f t 在R 上为增函数，因为y z >，则()()f y f z >，即y y z z >，D 对.故选：AD.
【变式1-1】（2022·山东德州·高三期中）（多选）若110a b
<<，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．33a b <
B ．22a b ab >
C ．2b a a b
+> D ．a b ab +< 【答案】BCD 【解析】
11
0a b
<<，0b a ∴<<；对于A ，()()3322a b a b a ab b -=-++，0a b ->，
220a ab b ++>，330a b ∴->，
则33a b >，A 错误；对于B ，0b a <<，0ab ∴>，22a b ab ∴>，
B 正确；对于
C ，0b a <<，0b a ∴>，0a b
>，2b a a
b
∴+≥=（当且仅当a b =时
取等号），又a b ，∴等号不成立，即
2b a
a b
+>，C 正确；对于D ，0b a <<，
0a b ab ∴+<<，D 正确.故选：BCD.
【变式1-2】（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）若0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ） A ．
11a b a <- B ．11
b b a a -<- C ．11a b b a +>+ D ．()()11a b
a b -<- 【答案】ABD
【解析】对A ：()11b
a b a a a b -=--，∵0a b <<，则0a b -<，∴()110b a b a a a b -=<--，则11a b a <-，A 正确；对B ：()111b b a b a a a a ---=--，∵0a b <<，则0,10a b a -<-<，∴
()1011b b a b a a a a ---=<--，则11b b a a -<-，B 正确；对C ：()()111a b ab a b b a ab -+⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，∵0a b <<，则0,0,10a b ab ab -<>+>，∴()()1110
a b ab a b b a
ab
-+⎛⎫⎛⎫
+-+=
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，则
11
a b b a
+
<+，C 错误；对D ：∵0a b <<，则111a b ->->，且()0a y x a =<在()0,∞+上单调递减，∴()()11a
a
a b -<-，又∵()()111x
y b b =-->在R 上单调递增，则
()
()11a
b b b -<-，∴()()11a b
a b -<-，D 正确；故选：ABD.
【变式1-3】（2022·江苏南通·高三期中）设a ，b ，c ∈R ，下列命题正确的是（ ）
A ．若a b >，则22a b >
B ．若22ac bc >，则a b >
C ．若0a b <<，则1
1a b > D ．若c a b >>，则a b
c a c b
>-- 【答案】BC
【解析】12->-，但()()2
2
12-<-，A 错.222
0a b ac bc c >⎧>⇔⎨
≠⎩
，B 对.0a b <<，则11
a b >，C 对.()()()()()
a b c a b ac ab bc ab
c a c b c a c b c a c b ---+-==------，无法判断c 的符号，从而无法判断二者大小关系，D 错.故选：BC.
【变式1-4】（2022·湖北·宜都二中高三期中）（多选）已知0a b >>，则下列
说法正确的是（ ）
A ．22b b a
a +>
+ B ． C ．11a b a b
+>+ D ．lg ln lg 22a b a b
++> 【答案】BD
【解析】因为2
2()
0,02(2)b
b b a a b a a a a +->>-=<++，故A 错误；0a b >>
因为0a b >>>，所以，故B 正确； 当1
2,2a b ==时，11a b a b
+=+，故C 错误；因为0a b >>，所以
lg lg
lg
22
a b a b
++>==，故D 正确.故选：BD
【题型2 一元二次不等式的解法】
【例2】（2022·全国·高三专题练习）()()2
1f x x a x a =-++，()R a ∈．解关于x 的
不等式：()0f x >． 【答案】答案见解析
【解析】由题意，()()2
1(1)()f x x a x a x x a =-++=--，对应的二次函数开口向上
令()0f x =，121,x x a ==，由()0f x >得()(1)0x a x -->，①当1a <时，解集为{|x x a <或1}x >；②当1a =时，解集为{|1}x x ≠；③当1a >时，解集为{|1x x <或}x a >.
【变式2-1】（2022·安徽·肥东县综合高中高三阶段练习）已知函数
()()()1f x ax x b =-+，如果不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么不等式()20f x ->的
解集为（ ）
A ．31,,22⎛
⎫
⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
B ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．13,,22
⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ D ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】因为不等式()0f x >的解集为()1,3-，所以1-和3是方程()()10ax x b -+=的
两个根，且a<0，所以(1)(1)0
(31)(3)00
a b a b a ---+=⎧⎪
-+=⎨⎪<⎩
，解得13a b =-⎧⎨=-⎩，所以
()()()21323f x x x x x =---=-++，由()20f x ->，得2(2)2(2)30x x --+-+>，
24430x x --+>，即24430x x +-<，(23)(21)0x x +-<，解得31
22x -<<，
所以不等式的解集为31
,22
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，故选：B
【变式2-2】（2022·上海奉贤·高三期中）若关于x 的不等式2(3)30x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】[)(]1,06,7-
【解析】由题意，2(3)3(3)()0x m x m x x m -++=--<，①若3m >，则不等式的解为：
3x m <<，因为不等式2(3)30x m x m -++<的解集中恰有3个整数，所以67m <≤；
②若3m =，则不等式无解，不满足题意；③若3m <，则不等式的解为：3m x <<， 因为不等式2(3)30x m x m -++<的解集中恰有3个整数，所以10m -≤<.综上所述，实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-.故答案为：[)(]1,06,7-.
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）不等式2+>0ax bx c -的解集为{}|2<<1x x -,则函数2y ax bx c =++的图像大致为（ ）
A ．
B ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据题意，20ax bx c -+>的解集为{|21}x x -<<，则方程20ax bx c -+=的
两个根为2x =-和=1x ，且a<0.则有2+1=(2)1=<0b a c a a ⎧-⎪⎪
⎪
-⨯⎨⎪
⎪⎪⎩
，变形可得==2b a c a -⎧⎨-⎩，
故函数()()22
221y ax bx c ax ax a a x x =++=--=-+是开口向下的二次函数，
且与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(2,0).对照四个选项，只有C 符合.故选：C ．
第3天 掌握其他不等式的解法和一元二次不等式恒成立问题模型
【题型3 其他不等式的解法】
【例3】（2022·江苏淮安·高三期中）已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪
=⎨+->⎪
⎩
，则使得()1
f x ≥的x 的取值范围为（ ）
A ．[]1,1-
B ．()1,1-
C ．()1,-+∞
D ．[)1,-+∞ 【答案】D
【解析】当1x ≤时，由()1f x ≥可得，221x -+≥，21x ≤，解得11x -≤≤.
当1x >时，由()1f x ≥可得，111x x
+-≥，即()2
22110x x x -+=-≥恒成立，所以1x >.
综上可得，使得()1f x ≥的x 的取值范围为[)1,-+∞.故选：D.
【变式3-1】（2022·河南安阳·高三期中（文））已知函数()32
f x x bx cx =++，不
等式()0f x x
<
的解集为(
(3131,00,22⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则不等式()27f x ≤-的解集为（ ）
A ．{3x x ≤-或}3x =
B ．{}3x x ≤
C ．{}3x x ≥-
D ．{3x x ≥或}3x
=- 【答案】A
【解析】依题知20x bx c ++=，则两根之和为3，两根之积
为9-，∴3,9,b c -=⎧⎨=-⎩即3,
9,
b c =-⎧⎨=-⎩ ∴()27f x ≤-可化为3239270x x x --+≤，即
()()2
330x x -+≤，解得3x =，或3x ≤-，∴不等式的解集为{3x x ≤-或}3x =.故选：
A.
【变式3-2】（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）不等式
247
11
x x x -->-的解集为（ ）
A ．()1,6-
B ．()()1,11,6-⋃
C ．[)[)1,16,-⋃+∞
D ．()()1,16,-⋃+∞ 【答案】D
【解析】原式可化为256
01x x x -->-，即256>01>0x x x ---⎧⎨⎩或256<01<0
x x x ---⎧⎨⎩，解得：()6,x ∈+∞
或()1,1x ∈-．∴不等式解集为：()()1,16,-⋃+∞．故选：D ．
【变式3-3】（2022·江苏南通·高三期中）已知()33f x x x =++-，则不等式
()()21f x f x ≤-的解集为（ ）
A ．(],1-∞-
B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
D ．33,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【答案】D
【解析】函数()2,3
33=6,332,3x x f x x x x x x >⎧⎪
=++--≤≤⎨⎪-<-⎩
其图如图所示
当13x -≤，即24x -≤≤，不等式等价于()()21f x f x =-，
323x -≤≤，解得
33
22
x -≤≤ 当13x ->，即>4x 或<2x -，
因为()()21f x f x ≤-，所以21x x ≤-，解得113
x -≤≤．
综上，不等式()()21f x f x ≤-的解集为33
,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
．故选：D.
【变式3-4】（2022·上海市嘉定区安亭高级中学高三期中）设x ∈R ，使不等式
12132x x x -+-≥-取等号的x 的取值范围__________.
【答案】[)1
,1,2⎛⎤
-∞+∞ ⎥⎝
⎦
【解析】由绝对值三角不等式知：()()12121132x x x x x -+-≥---=-，当且仅当
()()2110x x --≤，即1
2
x ≤或1x ≥时取等号，∴使不等式12132x x x -+-≥-取等号
的x 的取值范围为[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
.故答案为：[)1
,1,2⎛⎤
-∞+∞ ⎥⎝
⎦
.
【变式3-5】（2022·广西·模拟预测（理））满足不等式
()()()()2
2
2
2
1232000x x x x ---⋅⋅⋅-≤的整数解的个数为（ ）
A ．1500
B ．5100
C ．20100
D ．20200 【答案】D
【解析】利用穿针引线法解不等式，在221,2⎡⎤⎣⎦有22211121-+=++个；在223,4⎡⎤⎣⎦有
22431341-+=++个；…在22199,200⎡⎤⎣⎦有2220019911992001-+=++个.所以整数解的
个数为：
()()()()121341199200112320010020200++++++⋅⋅⋅+++=+++⋅⋅⋅++=.
故选：D
【题型4 一元二次不等式恒成立问题】
【例4】（2022·辽宁·鞍山一中二模）若对任意的2(0,),10x x mx ∈+∞-+>恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．(2,2)-
B ．(2,)+∞
C ．(,2)-∞
D ．(,2]-∞ 【答案】C
【解析】21(0,),10x x mx m x x ∀∈+∞-+>⇔<+，而当0x >时，12x x +≥=，当
且仅当1
x x
=，即1x =时取等号，则2m <，所以m 的取值范围是(,2)-∞.故选：C
【变式4-1】（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））设p ：
()0,x ∀∈+∞，220x x a --≥，则使p 为真命题的一个充分非必要条件是（ ）
A ．1a <-
B ．0a ≤
C ．1a ≤
D ．2a > 【答案】A
【解析】p ：()0,x ∀∈+∞，220x x a --≥，若p 为真命题，则()2
2211a x x x ≤-=--恒
成立，由于()0,x ∈+∞，所以()2
min
111x ⎡⎤--=-⎣⎦，则1a ≤-.则使p 为真命题的一个充分非必要条件是1a <-.故选：A.
【变式4-2】（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）若关于x 的不等式240x x a -->在区间()1,5内有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(),5-∞
B ．()5,+∞
C ．()4,-+∞
D ．(),4-∞- 【答案】A
【解析】不等式240x x a -->在区间()1,5内有解，即24a x x <-，设
()()2
2424f x x x x =--=-，()()55f x f <=，故5a <.故选：A
【变式4-3】（2022·北京四中高三期中）若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间
[]0,4上有解，则实数a 的取值范围是______.
【答案】(,1]-∞
【解析】因为[]0,4x ∈，所以由220ax x a -+≤得221
x
a x ≤
+，因为关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,4上有解，
所以只需a 小于等于221
x
x +的最大值，当0x =时，
2
201
x x +＝，当0x ≠时，222
1
11x x x x
=≤++，当且仅当1x =时，等号成立， 故2
21
x
x +的最大值为1，所以1a ≤，即实数a 的取值范围是(,1]-∞.
【变式4-4】（2022·河北·开滦第一中学高三阶段练习）若()()2
40ax x b -+≥对
任意(],0x ∈-∞恒成立，其中a ，b 是整数，则+a b 的可能取值为（ ） A ．7- B ．5- C ．6- D ．17- 【答案】BCD
【解析】当0b ≥时，由()()2
40ax x b -+≥可得40ax -≥对任意(],0x ∈-∞恒成立，
即4a x
≤对任意(],0x ∈-∞恒成立，此时a 不存在；
当0b <时，由()()2
40ax x b -+≥对任意(],0x ∈-∞恒成立，
可设()4f x ax =-，()2
g x x b =+，作出()(),f x g x 的图象如下，
由题意可知<04=a b a
--⎧⎪
⎨⎪⎩a ，b 是整数
可得=1
=16a b --⎧⎨
⎩或=4=1a b --⎧⎨⎩或=2=4a b --⎧⎨⎩
所以+a b 的可能取值为17-或5-或6-，故选：BCD
第4天 掌握基本不等式求最值和基本不等式恒成立问题模型
【题型5 基本不等式求最值】
【例5】（2022·山东济南·模拟预测）若正数,a b 满足()221a b ab ++=，则ab 的最大值为（ ）
A ．1
B ．4
C ．9
D ．16 【答案】C
【解析】因为0,0a b >>,所以a b +≥()212a b ab ab =++≥，即
)
3
70≤，解得09ab <≤．当且仅当3a b ==时，等号成立，
所以当3a b ==时，ab 的最大值为9.故选：C.
【变式5-1】（2022·辽宁·高三期中）若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋xy ＝7，则x ＋y 的最小值为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 【答案】D
【解析】因为x ＋2y ＋xy ＝7，所以72
x
y x -=
+，所以799
123222
x x y x x x x x x -+=+
=+-=++-+++．因为0x >，则20x +>
所以
92336332x x ++-≥=-=+，当且仅当922x x =++，即x ＝1，y ＝2时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为3．故选：D
【变式5-2】（2022·四川资阳·一模（理））已知a ，b 均为正数，且121
122
a b +=+-，则2a b +的最小值为（ ）
A ．8
B ．16
C ．24
D ．32
【答案】B
【解析】当()0,2b ∈时，
212b <--，111a <+，故12
012
a b +<+-，不符合题意，故2b >， ()()()()1
212221222128281221a b a b a b a b a b b a +-⎛⎫+=++-=++-+=++⎡⎤ ⎪⎣⎦+--+⎝⎭
816≥=，当128221a b b a +-=-+，即3,10a b ==时等号成立.故选：B
【变式5-3】（2022·湖北襄阳·高三期中）已知实数x 、y 满足22231x y xy --=，则2223x y +的最小值为__________.
【解析】因为22231x y xy --=，所以()()231x y x y -+=，令23m x y =-，n x y =+，则35m n x +=
，25
n m
y -=，且1mn =
，所以2222222
2
218123121262325255m n mn m n mn m n x y +++-++=+=≥=
当且仅当2m =
2n =.因此，2223x y +
.
【变式5-4】（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）设,R a b ∈，
0,0a b >>，则
3
33
ab
a b ab ++的最大值为 ______．
【解析】0,0a b >>，32231
3
3a b
b a b a a ab b =
++++
，对于22332a b ab ab ab
++
≥+≥
故
223
3
133ab a b ab a b ab
=++++a b =且3
2ab ab
=
时，等号成立，此时1
43()2
a b ==.
【变式5-5】（2022·湖北·高三阶段练习）已知0x >，0y >，若
()
12y x =，则22log log x y ⋅的最大值为（ ）
A ．1
B ．1
2 C ．14
D ．0 【答案】C
【解析】因为()
12y x =，所以
12y x =设()f t t =0t >，则
()1
2f f y x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，易知()f t t =()0,∞+上单调递增，从而12=y x ，即12xy =，
所以2
2222log log 1
log log 24x y x y +⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2
2
x
y
时取等号，即22log log x y 的最大值为
1
4
.故选:C.
【变式5-6】（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）已知
0,210xy x y >+=
的最小值为______；
()()
1020x y xy
++的最小值为
______．
【答案】14
21
x y
++
=
≥
=12
xy=
的最小值为
0,210
xy x y
>+=，所以()
2220
x y
+=，则
()()()()()()
10202242225
x y x x y y x y x y x y
xy xy xy
++++++++
==
2222
41014410410
14141414 x y xy x y x y
xy xy x x
+++
==+=++≥=，
当且仅当22
410
x y
=，
即
()(
105204
,
1111
x y
==时，取等号，所以
()()
1020
x y
xy
++
的最小值为14.
【题型6 基本不等式恒成立问题】
【例6】（2022·江苏淮安·高三期中）当02,
x a
<<不等式()2
2
11
1
2
x a x
+≥
-
恒成立，则实数a
的取值范围是（）
A．)
+∞ B．(0 C．(]0,2 D．[)
2,+∞
【答案】B
【解析】()2
2
11
1
2
x a x
+≥
-
恒成立，即
()2
2
min
11
1
2
x a x
⎡⎤
+≥
⎢⎥
-
⎢⎥
⎣⎦
02,20
x a a x
<<∴->
，
又222
2
1122
2
(2)(2)(
2
2
)
x a x
x a x x a x a
+≥=≥=
+-
--，上述两个不等式中，等号均在2
x a x
=-时取到，
()
m
2
2
2
in
112
2
x a
a x
⎡⎤
∴+=
⎢⎥
-
⎢⎥
⎣⎦
，
2
1
2
a
∴≥
，解得a
≤≤
0a ≠，又0a >，实数a 的取值范围是(
0.故选：B.
【变式6-1】（2022·山西忻州·高三阶段练习）对任意的正实数x ，y ，
≤k 的最小值为（ ）
A
．【答案】B
【解析】依题意得k ≥
2
=，
5x y ≤+，所以2
556x y x y
x y +++=≤=+，
当且仅当5y x =时，等号成立，所以k ≥k 故选：B.
【变式6-2】（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知正数x ，y 满足()()212x y --=，若不等式2x y m +>恒成立，则实数m 的取值范围是_________． 【答案】m < 8
【解析】由()()212x y --=得222xy x y --+=，即2x y xy +=，又因为x ，y 为正数，
所以1
2
1y x +=，则有()12422448x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，当且仅当
24x y ==时，等号成立，则由不等式2x y m +>恒成立得()min 28m x y <+=，即实数m
的取值范围为m <8.
【变式6-3】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））若两个正实数
,x y 满足3x y +=，且不等式
2416
351m m x y
+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为___________． 【答案】(1,4)-
【解析】因为两个正实数,x y 满足3x y +=，所以(1)4x y ++=，
故
(41614164(1)()[]514111)x y x x y x y x y y ++=+=+++++++59≥=， 当且仅当18,33
x y ==时取等号，由不等式2
416
351m m x y +>-++恒成立，
则22359,340m m m m -+<∴--<，解得14-<<m ，即实数m 的取值范围为(1,4)-，
第5天 掌握复数的简单运算和复数的几何意义及应用
【题型7 复数的简单运算】
【例7】（2022·重庆八中高三阶段练习）复数12i
3i
z -=
+的虚部为（ ） A ．710-
B ．7
i 10- C ．75
- D ．7i 5-
【答案】A 【解析】因为()()()()12i 3i 12i 17i 3i 3i 3i 1010
z ---===-++-，所以复数12i 3i z -=+的虚部为710-.故选：A
【变式7-1】（2022·江苏·南京市天印高级中学高三期中）设复数z 满足1
+2i 1+i z =，则z =（ ）
A ．2 B
．52
【答案】C
【解析】∵()()11i 1i 13
+2i +2i +2i i 1+i 1+i 1i 222z --====+-
，z =
.故选：C.
【变式7-2】（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）已知复数
232023
i i i i 1i
z +++⋅⋅⋅+=-，z 是z 的共轭复数，则z 的虚部为（ ）
A ．12
- B ．1
i 2- C ．1
2 D ．1
i 2 【答案】C
【解析】在复数中：123451i i,i 1,i i,i 1,i i i ==-=-===，故周期为4， 则1234i i i i 0+++=且202345053=⨯+所以
()()()232023231i i i i i i i i 11i 11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z -++++⋅⋅⋅+++---======------+，则11
i 22
z =-+，所
以z 的虚部为1
2.故选：C.
【变式7-3】（2022·山东济南·模拟预测）（多选）若11i z =+，22i z =，则（ ）
A ．2
12z z = B ．121z z z -=
C ．2
1
z z 在复平面内对应的点在第二象限 D ．122z z -+是实数
【答案】ABD
【解析】因为()2
2211i 12i i 2i z =+=++=，所以A
正确；因为121i z z -=-=
11i z =+B 正确；因为()()()2212i 1i 2i 2i 2i 1i 1i 1i 1i 2
z z --=
===+++-，它在复平面内对应的点为()1,1，所以2
1
z
z 在复平面内对应的点在第一象限，所以C 错误；
因为()12221i 2i 2z z -+=-++=-，所以122z z -+是实数，所以D 正确．故选：ABD.
【变式7-4】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）下列关于复数的四个命题正确的是（ ）
A ．若2z =，则4z z ⋅=
B ．若()7
2i 3i z +=+，则z 的共轭复数的虚部为1
C ．若1i 1z +-=，则1i z --的最大值为3
D ．若复数1z ，2z 满足12z =，22z =
，121z z +=
，则12z z -=【答案】ACD
【解析】设i,(,R)z a b a b =+∈，对A ，22
24z a b =⇒+=，
22i)(i (4)z a b a b a z b +-=+⋅==，故正确；对B ，()7
2i 3i z(2i)3i z +=+⇒-=+，所以3i (3i)(2i)55i
z 1i 2i (2i)(2i)5++++====+--+，
z 1i =-，其虚部为1-，故错误；对C ，由1i 1z +-=的几何意义，知复数z 对应的
动点Z 到定点(1,1)-的距离为1，即动点Z 的轨迹为以(1,1)-为圆心，1为半径的圆，1i z --表示动点Z 到定点(1,1)
的距离，由圆的性质知，
max 1i 13z --==，故正确；对D ，设12=+i,=+i,(,,,R)z m n z c d m n c d ∈，
因为12z =，22z =，所以22224+=4m n c d +=，
，又121z z +=
，所以
+=1,+m c n d +=2mc nd -
，所以12=|()+(z z m c n d ---
.故选：ACD
【题型8 复数的几何意义及应用】
【例8】（2022·江苏南通·高三期中）在复平面内，复数
|2i |
2i
-+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D
【解析】因为)()())2i 2i |2i |2i 2i 2i 5---==++-，
所以复数|2i |
2i -+在复平面内对应的点为⎝⎭
，位于第四象限；故选：D
【变式8-1】（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）设13i
2i
z -+=+，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D 【解析】复数()()()()13i 2i 13i 17i 2i 2i 2i 55
z -+--+=
==+++-，所以z 的共轭复数17
i 55z =-， 所以在复平面内z 的共轭复数对应的点位于第四象限.故选：D.
【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）若复数z 在复平面对应的点为Z ，则下列说法正确的有（ ）
A ．若i z =，则23141i z z z z ++++=-+
B ．若12z -=，则Z 在复平面内的轨迹为圆
C ．若i z x y =+，满足2i 1z -=，则y
x
的取值范围为⎡⎤⎣⎦
D ．若=3z ，则44z z ++-的取值范围为[]8,10 【答案】ABD
【解析】对于A ，若i z =，则21z =-，3i =-z ，41z =，依次循环，所以
231421i z z z z z z ++++=+=-+，故A 正确；对于B ，设i z x y =+，,R x y ∈，则有
()2
21214z x y -=
=⇒-+=，可知Z 在复平面内的轨迹为圆，故B 正确；
对于C ，因为复数z 满足2i 1z -=，故点(),x y 轨迹为以()02,为圆心，以1为半径
的圆，设y k
x =，即0kx y 1=，解得k =
所以y
x
的取值范围为(),-∞⋃+∞，故C 不正确；对于D ，设i z x y =+，,R x y ∈，若=3z ，则有229x y +=，令
44t z z =++-=
=)25033t x =+-≤≤.令22
2564y x =-，可得
22725y ≤≤，所以264100t ≤≤，于是得810t ≤≤，故D 正确.故选：ABD
【变式8-3】（2022·全国·高三专题练习）已知C,22i 1,i z z ∈--=为虚数单位，则22i z +-取到最小值时，z 的值为___________． 【答案】12i +
【解析】设复数i(,R)z x y x y =+∈，则
()()22i 22i 1z x y --=-+-=
，
得()
()2
2
221x y -+-=，表示以()2,2C 为圆心，1r =为半径的圆，
()()22i 22i z x y +-=++-=C 上的点(,)A x y 到定点
(2,2)B -的距离，当点(,)A x y 、(2,2)B -、()2,2C 三点共线时，(,)A x y 到(2,2)B -的距
离最小，即22i +-z 取到最小值，此时(1,2)A ，所以12z i =+.
【变式8-4】（2022·全国·高三专题练习）已知复数1z ，2z 满足111122z z ++-=，
22i 2z -=，（其中i 是虚数单位），则12z z -的最大值为（ ）
A ．3
B ．5
C ．25
D ．222+ 【答案】B
【解析】复数1z 在复平面的对应点的轨迹为焦点分别在()1,0-，()1,0的椭圆，
方程为2
212
x y +=；复数2z 在复平面的对应点的轨迹为圆心在()0,2，半径为2的
圆，方程为()2
224x y +-=，
12z z - 即为椭圆 2
212
x y += 上的点A 与圆22(2)4x y +-=
上的点B 的距离.12z z -的最大值即为点A 到圆心 (0,2)C 的距
离的最大值加半径.
设(2cos ,sin )A θθ.22222||2cos (sin 2)2cos sin 4sin 4OC θθθθθ=+-=+-+
226sin 4sin (sin 2)10[1,9]θθθ=--=-++∈，所以 ||[1,3]OC ∈.12max 325z z -=+=，故选：
B
第6天 融会贯通限时训练（1）
1．（2022·江苏·南京市天印高级中学高三期中）若集合
{}
{}
0,2A x x B x x =>=>∣，则()R A B ⋂=（ ）
A ．{}12x x <≤
B ．{}12x x <<
C ．{}2x x >
D ．{}12x x ≤≤ 【答案】A
【解析】{}()01,A x x ∞==+,{}()()2,22,B x x =>=-∞-+∞∣,[]R 2,2B =-,则(){}R 12A B x x ⋂=<≤故选：A.
2．（2022·北京·汇文中学高三期中）已知,,R a b c ∈，那么下列命题中正确的是（ ）.
A ．若a b >，则22ac bc >
B ．若a b c c
>，则a b >
C ．若a b >且0ab <，则11a
b
> D ．若22a b >，则1
1a b
< 【答案】C
【解析】A ．若a b >，当0c 时， 22ac bc =，所以选项A 不成立；
B ．若
a b
c c
>，当0c <时，则a b <，所以选项B 不成立； C ．因为0ab <，将a b >两边同除以ab ，则
11
a b
>，所以选项C 成立； D ．如果2,1,a b ==-满足22a b >，但是
11
a b
>，所以选项D 不成立．故选：C ． 3．（2022·江西·临川一中高三期中（文））设命题():0ln 2ln3p x <-≤，命题
()():30q x m x m ---≤，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[)2,3
B ．(]2,3
C ．[]2,3
D ．()2,3 【答案】C
【解析】由()0ln 2ln3x <-≤得：123x <-≤，解得：35x <≤，即(]:3,5p x ∈； 由()()30x m x m ---≤得：3m x m ≤≤+，即[]:,3q x m m ∈+；q 是p 的必要不充分条
件，(]3,5∴ [
],3m m +，335m m ≤⎧∴⎨+≥⎩
，解得：23m ≤≤，即实数m 的取值范围为[]2,3.故选：C.
4．（2022·天津市军粮城中学高三期中）设a 为常数，对于x ∀∈R ，210ax ax ++>，则a 的取值范围是（ ）
A ．()0,4
B ．[)0,4
C ．()0,∞+
D ．(),4-∞ 【答案】B
【解析】当0a =时，原不等式等价于10>，满足题意；当0a ≠时，若要满足题意，需0a >且240a a ∆=-<，解得()0,4a ∈，综上所述：[)0,4a ∈.故选：B.
5．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式
2
056
ax b
x x +>--的解集为（ ） A ．{|11x x -<<或6}x > B ．{|1x x <-或16}x << C ．{|1x x <-或23}x << D ．{|12x x -<<或3}x > 【答案】A
【解析】因为关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >0
a a
b >⎧∴⎨
+=⎩， 则()()()()()()()21
0006110566161ax b ax a x x x x x x x x x x +-->⇔>⇔>⇔-+->---+-+ 所以不等式的解为11x -<<或6x >.故选：A.
6．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知正项等比数列{}n a 满足2022202120202a a a =+，若215log a +是2log m a 和2log n a 的等差中项，则
9n m
mn
+的最小值为（ ）
A ．43
B ．138
C ．85
D ．34
21
【答案】A
【解析】正项等比数列{}n a 满足2022202120202a a a =+，所以22q q =+，且0q >，解得
2q
，又因为215log a +是2log m a 和2log n a 的等差中项，
所以()212225log log log m n a a a +=+，得10222
2121log (2)log (2
)m n a a +-=，即12m n +=，
()9119191410101212123n m m n m n mn m n n m ⎛+⎛⎫⎛
⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当39n m ==时，等号成立.故选：A.
7．（2022·福建·莆田一中高三期中）已知0,0,1a b a b >>+=，则以下不等式正确的是（ ）
A ．221a b +≥
B ．221
4ab a b +≥ C ．114a b +≤ D ≥【答案】D
【解析】因为0,0,1a b a b >>+=，所以()()2
2222221a b a b ab a b +≥++=+=，
故22
12a b +≥，当且仅当12
a b ==时，等号成立，A 错误；
()2
2
ab
a b ab a b ab +=+=，因为0,0,1a b a b >>+=，由基本不等式得：()2
1
4
4
a b ab +≤
=
， 当且仅当1
2a b ==时，等号成立，故2214
ab a b +≤，B 错误；因为0,0,1a b a b >>+=，
所以()1
1
1
1
1124a
b
a b a b a b b a ⎛⎫
+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1
2a b ==时，等号成
立，故114a b
+≥，C 错误；因为0,0,1a b a b >>+=，所以
==()2
144
a b ab +≤=，所以
1
2
<≤
2≥+≥12a b ==时，等号成立，故D 正确.故选：D
8．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知0,0a b >>，则2
4
2b
a b
a +
+的最小值为（ ）
A ．．．1 D ．1 【答案】B
【解析】因为0,0a b >>，所以244222b a a a b
a a +
+≥=+≥=
当且仅当
24b b
a =且42a a =，即a
b ==即2
42b
a b a ++的最小值为故选：B.
9．（2022·江苏·高三专题练习）若对(0,)t ∀∈+∞，都有22
(1)3x t x t
+<+成立，则x 的取值范围是（ ）
A ．()2,6-
B ．(,3)(2,6)-∞--
C ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞
D ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞ 【答案】B
【解析】令()2(1)t t t f +=，()0,t ∈+∞，()2)2(11
t t f t t t
=
=+++，因为()0,t ∈+∞，所以()1
224f t t t =++≥=，当1
t t =即1t =时取等号，又因为(0,)t ∀∈+∞，都有
22(1)3x t x t +<+，所以243x x <+即可.由243x x <+得()243033x x x x +-<++，即2412
03
x x x --<+， ()()2
41230x
x x --+<，所以()()()6230x x x -++<，解得3x <-或26x -<<.故选：
B.
10．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（理））已知正数,x y 满足()()212x y --=．若不等式222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．()(),42,-∞-+∞
B ．()(),24,-∞-+∞
C ．(-4，2)
D ．()2,4- 【答案】C
【解析】由题意知：2min (2)2x y m m +>+，(2)(1)2x y --= 即：2y x xy +=，∴2
1
1x y += ∴2142(2)()4y x x y x y x y x y +=+⨯+=++，又∵0x >，0y >，∴40y x
>，0x y >
∴44y x x y +≥当且仅当4y x x y =即42x y =⎧⎨=⎩ 时等号成立.∴当42x y =⎧⎨=⎩
时，2x y
+取得最小值为8.∴228m m +<解得：42m -<<，故选：C.
第7天 融会贯通限时训练（2）
1．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）欧拉公式i e cos isin (i x x x =+为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i a e 为纯虚数，则复数sin21
1i
a ++在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】因为i e cos isin x x x =+，所以i e cos isin a a a =+，因为i a e 为纯虚数，所以cos 0a =，
sin 0a ≠，故sin 22sin cos 0a a a ==，所以()()sin2111i 1i 11
i 1i 1i 1i 1i 222
a +--====-+++-， 则复数sin211i a ++在复平面内对应的点为11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则其在第四象限，故选：D.
2．（2022·江苏扬州·高三期中）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A ．若0a b >>，则1
1a b
< B ．若0,a b c d <<<，则ac bd < C ．若,a b c d <<，则a d b c -<- D ．若33a b <，则22a b < 【答案】AC
【解析】对于A ，若0a b >>，则11a b
<，A 正确；对于B ，若0,a b c d <<<，当0,0c d 时，ac bd >，B 错误；对于C ，若,a b c d <<，则a d b c -<-，C 正确； 对于D ，若33a b <，则a b <，不一定有22a b <，D 错误.故选：AC.
3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）（多选）设0,0,1a b a b >>+=，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．114a b +≥
B ．22
12a b +≥ C ．3314
a b +≥
【答案】ABD
【解析】对于A ：因为001a b a b >>+=，，，所以
()11111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取
等号，所以1
14a b
+≥成立.故A 正确；对于B ：因为001a b a b >>+=，，，所以
2
124
a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号.所以()222
12122a b a b ab ab +=+-=-≥成立.故B 正确；对于C ：因为001a b a b >>+=，，，所以()()113a b +++=，
所以()()
311a b =+++≥
记u =0u >，所以21111336u a b
b =+++++≤+
=，
所以0u <≤故C 错误；对于D ：因为0,0,1a b a b >>+=， 所以，()()()2
332222313a b a b a ab b a ab b a b ab ab +=+-+=-+=+-=-，由B 选项知
2
124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
，所以1134ab -≥，即33
14a b +≥，故D 选项正确.故选：ABD 4．（2022·安徽·合肥一六八中学高三阶段练习）（多选）已知a ，b 均为正实数，下列结论正确的有（ ）
A ．若2a b +=
，则112a
b
+≥ B ．若2a b +=，则
11b
ab
+≥
C ．若1a b +=
D ．当且仅当
a 时，22a
b a b a b
+++取得最大值4-【答案】ABCD
【解析】对于A ：由2
1
11
2
a b
a
b
+≤
=+，∴112a b +≥，故A 正确．对于B ：∵a ，b 为正实数，且2a b
+=，∴
()2
11111311242244244a b b a b b a b b a ab a ab a ab a b a a b +
++=+=+=+++
+=++≥3a =b
=等号成立．故B 正确；
对于C ：由1a b +=，即
2
2
1+=
，
≤C 正确；对于D ：因
为a ，b 均为正数，所以
2212112b
a b a
b b a b a b a a
+=+++++，令0b t a
=>，
则222122412112231
a b t t t a b a b t t t t +++=+=+++++
+2
1
114123123t t t t t
=+=+≤-++++
等号成立．条件为a ，故D 正确．故选：ABCD.
5．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）命题“对任意[]12x ∈，
，230-≤x a ”为真命题的一个充分不必要条件是__________． 【答案】12a >（答案不唯一）
【解析】对任意[]12x ∈，
，230-≤x a 为真命题，则对任意[]12x ∈，，23x a ≤， 当[]12x ∈，
，23[3,12]x ∈，12a ∴≥，则命题“对任意[]12x ∈，，230-≤x a ”为真命题的一个充分不必要条件可以是12a >，故答案为：12a >．
6．（2022·全国·高三专题练习）若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是________．
【解析】∵2
2
41x y xy ++=，∴2
2
2
2
325(2)31(2)(2)228
x y x y xy x y x y +⎛⎫+-=≥+-=+ ⎪⎝⎭ ， 当且仅当2x y =时，等号成立，此时2
8(2)5
x y +≤
，所以2x y +2x y +的
.
. 7．（2022·安徽·高三阶段练习）已知C z ∈，且i 1z -=，i 为虚数单位，则|2|z -的最大值是_____．
1
【解析】满足i 1z -=的z 对应的点Z 在复平面上以(0,1)M 为圆心，1为半径的圆上，
2z -表示点Z 到点(2,0)N
的距离，MN =
max 1ZN =
1．
8．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））已知p ：2120x x --≤，
q ：()()120x m x m +-+≤⎡⎤⎣⎦，（0m >），若p 是q 的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是______． 【答案】[)3,+∞
【解析】由不等式2120x x --≤，解得34x -≤≤，设命题p 对应的集合为A ，则
[]3,4A =-，由不等式()()120x m x m +-+≤⎡⎤⎣⎦，解得()210m x m m -≤≤+>，
设命题q 对应的集合为B ，则[](),210B m m m =-+>，因为p 是q 的充分非必要条件，所以A 是B 的真子集，则3
214
m m -≤-⎧⎨
+≥⎩（不同时取等号），解得3m ≥，
所以实数m 的取值范围是[)3,+∞.故答案为：[)3,+∞.
9．（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））已知函数()123f x x x =---. （1）求不等式()()112
f x x ≥-的解集；
（2）若函数()f x 的最大值为m ，且2(0,0)a b m a b +=>>，求21a
b
+最小值.
【答案】（1）75
53⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，；（2）18
【解析】（1）由已知得2,13()12334,1232,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪-<⎪
⎪
=---=-≤≤⎨⎪
⎪
-+>⎪⎩
，当1x <时，
1()2(1)2f x x x =-≥-，不等式无解；当312x ≤≤时，1
()34(1)2f x x x =-≥-，解得
73
52x ≤≤；当32x >时，1()2(1)2f x x x =-+≥-，解得3523x <≤.综上所述，不等式的
解集为75
53⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，.
（2）由（1）中的分段函数解析式可知，()f x 在3(,]2-∞上单调递增，在3(,)2
+∞上
单调递减，故max 31()()2
2
f x f m ===，从而12(0,0)2
a b m a b +==>>，
故2121222()(2)2(41)b a a b a
b
a
b
a b +=++=++
+104()10418b a a b =++≥+⨯， 当且仅当b
a
a b =时，即1
6
a b ==时，不等式取等号，故2
1a
b
+的最小值为18. 10．（2022·江苏淮安·高三期中）（1）已知1,x >-求函数()()
231
x x y x ++=+最小值，
并求出最小值时x 的值；
（2）问题：正数,a b 满足1a b +=，求12a b
+的最小值.其中一种解法是：
12122
()()123b a a b
a b a b a b +=++=+++≥+当且仅当2b a a b
=且1a b +=时，即1a =且
2b =.学习上述解法并解决下列问题：若实数,,,a b x y 满足
2222
1x y a b -=，试比较22
a b
-和2()x y -的大小，并指明等号成立的条件；
（3）利用（2）的结论，求M =M 最小的m 的值.
【答案】（1）当
1x 函数最小值为3（2）()2
22a b x y -≤-，当且仅当
222222b x a y a b =且x ，y 同号时等号成立.（3）当1312m =时，M 【解析】（1）1x >-10x ∴+>，
()()
11122
131
1
x x y x x x ++++=
=++
+++33≥=当且仅当2
1
1
x x +=
+1x ∴时取“=”所以当1x =函数最小值为3
（2）()()2222222
2
2
2
2
2
22
22221x y b x a y a b a b a b x y a b a
b ⎛⎫⎛⎫-=-⨯=--=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
又2222222b x a y xy a b +≥，当且仅当222222b x a y a b =时等号成立， 所以()222222
2
2222
2222b x a y x y x y xy x y xy x y a
b ⎛⎫+-+≤+-≤+-=- ⎪⎝⎭，
所以()2
2
2
a b x y -≤-，当且仅当2222
22b x a y a b
=且x ，y 同号时等号成立.
此时x ，y 满足22
221x y
a b
-=；
（3）令x =y =22
221x y a b
-=求出21a =，214b =，
因为M =()1,431321,0m m m m m M ≥-=-+->->，
所以M =x y -≥40x y =>解的x =y =，即
1312m =
，所以1312m =时，M。