甘肃省岷县第一中学2021届高三第二次模拟考试数学试卷Word版含答案

岷县一中高三模拟考试〔二〕
数学试卷
本试卷分为第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，共150分，考试用时120分钟．
第一卷 选择题(共45分)
参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)． ·如果事件A ，B 相互独立，那么P(AB)＝P(A)·P(B)． ·柱体的体积公式V ＝Sh ，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高． ·锥体的体积公式V ＝13
Sh ，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．
一、选择题(本大题共9小题，每题5分，共45分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)
1．设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{－1，2，3}，C ＝{x ∈R|－1≤x<1}，那么(A ∪B)∩C ＝( )
A ．{－1}
B ．{－1，0}
C ．{－1，1}
D ．{－1，0，1}
2．
3．i 为虚数单位，假设复数z ＝1＋ai
2－i (a ∈R)的实部为－1，那么|z|＝( )
A.13
B. 2
C.5
3
D.10 4．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x ＋x ＋a(a 为常数)，那么f(a)＝( )
A.12
B.32 C ．－3
2
D ．－2 5．假设sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3
2，θ∈(0，π)，那么cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝( ) A ．0 B.12 C ．1 D.3
2
6．设等差数列{an}的前n 项和为Sn, 假设S3＝9，S10＝100, 那么a7＝( )
A ．11
B ．13
C ．15
D ．17
7．a ＝log30.3，b ＝log0.32，c ＝30.2，那么a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>b>c B ．b>c>a C ．c>b>a D ．c>a>b
8．假设函数f(x)＝cos(2x ＋φ)(0<φ<π)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π6上单调递减，且在区间⎝⎛⎭⎫0，π6上存在零点，那么φ的取值范围是( )
A.⎝⎛⎦⎤π6，π2
B.⎣⎡⎭⎫2π3，5π
6 C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3 D.⎣⎡⎭
⎫π3，π2
9．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋176x ＋1，－2≤x<0，
lnx ，0<x ≤e ，函数g(x)＝kx.假设关于x 的方程f(x)－g(x)＝0
有3个互异的实数根，那么实数k 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫1e ，56
B.⎣⎡⎦⎤13，1
e C.⎣⎡⎦⎤13，56 D.⎝⎛⎭
⎫0，1e 第二卷 非选择题(共105分)
二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．) 10．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(5，0)，且一条渐近线方程是y ＝4
3x ，那么
该双曲线的方程是________．
11．假设⎝⎛⎭⎫x ＋a
x 6
的展开式中的常数项为－160，那么实数a ＝________． 12．点P(x ，y)在直线x ＋2y －3＝0上，那么2x ＋4y 的最小值为________．
13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.假设2asinC －ccos ⎝⎛⎭⎫A －π
4＝0，那么cosA ＝________．
14．如图，点O 是长方体ABCD －A1B1C1D1的中心，E ，F ，G ，H 分别为其所在棱的中点，且BC ＝BB1.记棱AB 的长度为l ，点O 到平面BCC1B1的距离为l0，那么l ＝________l0；假设该长方体的体积为120，那么四棱锥O －EFGH 的体积为________．
15．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2，CD ＝AD ＝1，假设点M 在线段BD 上，那么AM →·CM →的最小值为________．
三、解答题(本大题共5小题，共75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16．(本小题总分值14分)天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人〞的教育方针，促进学生各科平衡开展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科成立特色学科“兴趣学习小组〞(每位学生只能参加一个小组)，以便课间学生进行相互帮扶．该校某班的语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文、数学、英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．
(1)应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？
(2)假设抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．
①记X 表示随机抽取的4人中，语文、数学、英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
②设M 为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格〞，求事件M 发生的概率． 17．(本小题总分值15分)各项均为正数的数列{an}，满足2Sn ＝3(an －1)(n ∈N*)． (1)求证：{an}为等比数列，并写出其通项公式；
(2)设bn ＝(2n －1)an(n ∈N*)，求数列{bn}的前n 项和Tn.
18．(本小题总分值15分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面四边形ABCD 是直角梯形，PC ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝CD ＝1，∠ABC ＝45°，E 为PB 的中点．
(1)求证：BC ⊥平面PAC ；
(2)假设直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为
3
3
，求二面角P －AC －E 的余弦值． 19．(本小题总分值15分)F1、F2分别是椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，其焦
距为6，过F1的直线与C 交于A ，B 两点，且△ABF2的周长是12 2.
(1)求C 的方程；
(2)假设M(x0，y0)是C 上的动点，从点O(O 是坐标系原点)向圆(x －x0)2＋(y －y0)2＝6作两条切线，分别交C 于P ，Q 两点．直线OP ，OQ 的斜率存在，并分别记为k1，k2.
①求证：k1k2为定值；
②试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？假设是，求出该值；假设不是，请说明理由． 20．(本小题总分值16分)函数f(x)＝ex(sinx －cosx ＋4)，函数g(x)＝2x －cosx ，其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数．
(1)求曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)设函数h(x)＝f(x)－ag(x)(a ∈R)，讨论h(x)的单调性；
(3)假设对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，恒有关于x 的不等式cosx －x ＋m ex ≤0成立，求实数m 的取值范围．
数学答案
1．B [命题立意]此题考查集合的交集、补集运算．
[解析]∵A ∪B ＝{－1，0，1，2，3}，∴(A ∪B)∩C ＝{－1，0}，应选B. 2．C [命题立意]此题考查特称量词命题的否认．
[解析]∵特称量词命题的否认为全称量词命题，∴命题p 的否认是：x ∈R ，x2＋2x ＋3≥0，应选C.
3．D [命题立意]此题考查复数的除法运算、复数的模．
[解析]z ＝1＋ai 2－i ＝〔1＋ai 〕〔2＋i 〕〔2－i 〕〔2＋i 〕＝2－a ＋〔1＋2a 〕i 5，∵z 的实部为－1，2－a
5＝－1，
∴a ＝7，∴z ＝－5＋15i
5
＝－1＋3i ，∴|z|＝10，应选D.
4．D [命题立意]此题考查函数的奇偶性．
[解析]∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝20＋0＋a ＝0，∴a ＝－1，∴f(a)＝f(－1)＝－f(1)＝－(21＋1－1)＝－2，应选D.
5．A [命题立意]此题考查三角函数值求角、求值．
[解析]∵θ∈(0，π)，∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3，又∵sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝32，∴θ－π3＝π3，∴θ＝2π3，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝cos π
2
＝0，应选A. 6．B [命题立意]此题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式． [解析]设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
那么⎩⎪⎨⎪⎧S3＝3a1＋3d ＝9，S10＝10a1＋45d ＝100，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a1＝1，d ＝2.
∴a7＝a1＋(7－1)×d ＝13，应选B.
7．C [命题立意]此题考查指数、对数函数的单调性．
[解析]∵a ＝log30.3<log313＝－1，b ＝log0.32>log0.310
3＝－1，且b<0，c ＝30.2>1，∴c>b>a.
应选C.
8．D [命题立意]此题考查余弦型函数的性质．
[解析]当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6时，2x ＋φ∈⎣⎡⎦
⎤－π3＋φ，π
3＋φ， 又∵φ∈(0，π)，f(x)＝cos(2x ＋φ)在⎣⎡⎦⎤－π6，π6上单调递减，∴⎣⎡⎦⎤－π3＋φ，π
3＋φ[0，π]，
∴⎩
⎨⎧－π
3＋φ≥0π
3
＋φ≤π，∴π3≤φ≤2π3.
令f(x)＝0，得2x ＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，∴x ＝kπ2＋π4－φ
2，k ∈Z ，∵f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π6上存在零点，∴π4－φ2∈⎝⎛⎭⎫0，π6，解得π6<φ<π2，∴π3≤φ＜π
2
，应选D. 9．B [命题立意]此题考查分段函数图象，方程根的个数问题．
[解析]关于x 的方程f(x)－g(x)＝0有3个互异的实数根等价于y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象有3个不同的交点，画出图象如图：
当y ＝g(x)过点A ⎝⎛⎭⎫－2，－23时k ＝1
3，此时三个交点；当y ＝g(x)与y ＝f(x)＝lnx(x>0)相切时，设切点B(x0，y0)，那么k ＝1x0，∴y0＝1x0·x0＝1，∴x0＝e ，∴k ＝1
e ，此时有三个交点；
由图象可得当13≤k ≤1
e
时两图象有三个交点，应选B.
10.x29－y2
16＝1 [命题立意]此题考查双曲线的方程、几何性质． [解析]∵右焦点F(5，0)，∴c ＝5，∵渐近线方程是y ＝4
3
x ，
∴b a ＝43，又a2＋b2＝c2，解得a ＝3，b ＝4，∴双曲线方程为x29－y216＝1. 11．－2 [命题立意]此题考查二项展开式中的特定项．
[解析]⎝⎛⎭⎫x ＋a x 6
展开式的通项为Tr ＋1＝Cr6x6－r ⎝⎛⎭⎫a
x r
＝arCr6x6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为a3C36＝－160，
∴a ＝－2.
12．42[命题立意]此题考查根本不等式．
[解析]∵点P(x ，y)在直线x ＋2y －3＝0上，∴x ＋2y ＝3， ∴2x ＋4y ≥22x·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当2x ＝4y ，
即⎩⎨⎧x ＝3
2，y ＝34
时等号成立，∴2x ＋4y 的最小值为4
2.
13.
2
2
[命题立意]此题考查正弦定理、两角差的余弦公式． [解析]∵2asinC －ccos ⎝⎛⎭⎫A －π4＝0，∴2sinAsinC －sinC·2
2(cosA ＋sinA)＝0，∵sinC ≠0，∴sinA ＝cosA ，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，∴cosA ＝2
2
.
14．2 10 [命题立意]此题考查长方体的性质、棱锥的体积．
[解析]∵O 为长方体的中心，∴O 到平面BCC1B1的距离为AB 的一半，∴l ＝2l0.设AB ＝a ，BC ＝BB1＝b ，那么V 长方体＝ab2＝120.∴VO －EFGH ＝13·S EFGH·12AB ＝13×12b2×1
2a
＝1
12
ab2＝10. 15．－9
20
[命题立意]此题考查向量的数量积、向量共线．
[解析]如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，那么A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(1，1)．
设BM →＝λBD →
，M(x ，y)，那么(x －2，y)＝λ(－2，1)，∴x ＝2－2λ，y ＝λ，即M(2－2λ，λ)，∴AM →·CM →＝(2－2λ，λ)·(1－2λ，λ－1)＝(2－2λ)(1－2λ)＋λ(λ－1)＝5λ2－7λ＋2＝5⎝⎛⎭⎫λ－7102－920.∴当λ＝710时，AM →·CM →
的最小值为－920
. 16．[命题立意]此题考查分层抽样、超几何分布的分布列和期望、互斥事件的和事件的概率．
[解题思路](1)由分层抽样的抽样比确定各层所抽取人数；(2)①由题意知X 服从超几何分布，P(X ＝k)＝Ck5C4－k2
C47(k ＝2，3，4)，写出分布列，代期望公式得期望值；②将事件M 分
解为两个互斥的简单事件，由①中分布列得P(M)．
[解](1)依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2∶2∶3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别抽取2人、2人、3人．
(2)①依题意，得随机变量X 的所有可能取值为2，3，4.
所以，P(X ＝k)＝Ck5·C4－k2
C47(k ＝2，3，4)．
因此，所求随机变量X 的分布列为
X 2 3 4 P
1035
2035
535
故随机变量X E(X)＝2×1035＋3×2035＋4×535＝20
7
.
②依题意，设事件B 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格
的有2人〞；事件C 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人〞．
那么有M ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．
由①知，P(B)＝P(X ＝2)，P(C)＝P(X ＝3)， 所以P(M)＝P(B ∪C)＝P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝6
7.
故事件M 发生的概率为6
7
.
17．[命题立意]此题考查等比数列的证明、通项公式、错位相减法求和．
[解题思路](1)利用an ＝Sn －Sn －1(n ≥2)及整理得an
an －1＝3(n ≥2)得{an}为等比数列，由n
＝1求出a1，写出{an}的通项公式；(2)由(1)写出{bn}的通项公式，利用错位相减法求和即可．
[解](1)证明：因为2Sn ＝3(an －1)(n ∈N*)，① 所以，当n ≥2时，有2Sn －1＝3(an －1－1)，② ①－②得2(Sn －Sn －1)＝3(an －an －1)，
即2an ＝3an －3an －1，所以an
an －1＝3(n ∈N*，n ≥2)．
所以数列{an}是公比为3的等比数列． 又由①得2S1＝2a1＝3(a1－1)，所以a1＝3. 所以an ＝a1qn －1＝3×3n －1＝3n ，
(2)由题意及(1)得bn ＝(2n －1)an ＝(2n －1)3n. 所以Tn ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ，③ 所以3Tn ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －3)·3n ＋(2n －1)·3n ＋1，④ ③－④，得
－2Tn ＝1×31＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)·3n ＋1 ＝－31＋2(31＋32＋33＋…＋3n)－(2n －1)·3n ＋1 ＝－3＋2×3〔3n －1〕3－1
－(2n －1)·3n ＋1＝－6－2(n －1)3n ＋1，
故Tn ＝3＋(n －1)3n ＋1.
18．[命题立意]此题考查线面垂直的证明、线面角、二面角． [解题思路](1)只须证出BC ⊥AC ，BC ⊥PC ，即可由线面垂直的判定定理得BC ⊥平面PAC ；(2)由(1)知sin ∠BPC ＝
3
3
，得PB 值，在Rt △PBC 中求得PC 值，建立空间直角坐标系，分别求出平面PAC 与平面ACE 的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值．
[解](1)证明：因为AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，所以∠ADC ＝90°. 又因为AD ＝CD ＝1，所以△ACD 是等腰直角三角形，
所以AC ＝2，∠CAD ＝45°. 又因为∠BAD ＝90°，∠ABC ＝45°， 所以∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC.
因为PC ⊥底面ABCD ，BC 平面ABCD ， 所以PC ⊥BC.
又PC ∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面PAC.
(2)在Rt △ABC 中，∠ABC ＝45°，AC ＝2，所以BC ＝ 2. 由(1)知，BC ⊥平面PAC ，
所以∠BPC 是直线PB 与平面PAC 所成的角，那么sin ∠BPC ＝33
.
在Rt △PBC 中，PB ＝BC sin ∠BPC ＝2
3
3＝6，
所以PC ＝PB2－BC2＝2.
方法一：以点C 为原点，分别以AC →，CB →，CP →
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系C －xyz.
那么C(0，0，0)，P(0，0，2)，A(－2，0，0)，B(0，2，0)． 因为E 为PB 的中点，所以E ⎝
⎛⎭
⎫0，
22，1， 所以CA →＝(－2，0，0)，CE →
＝⎝⎛⎭⎫0，22，1.
设平面ACE 法向量为m ＝(x ，y ，z)， 那么⎩⎪⎨⎪⎧CA →·
m ＝0，CE →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＝0，22y ＋z ＝0.
令y ＝2，得x ＝0，z ＝－2，所以m ＝(0，2，－2)．
由BC ⊥平面PAC ，那么n ＝(0，1，0)为平面PAC 的一个法向量． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝26×1＝6
3.
故所求二面角P －AC －E 的余弦值为
6
3
. 方法二：以点C 为原点，分别以CB →，CA →，CP →
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系C －xyz.
那么C(0，0，0)，P(0，0，2)，A(0，2，0)，B(2，0，0)． 因为E 为PB 的中点，所以E ⎝⎛
⎭
⎫22，0，1， 所以CA →＝(0，2，0)，CE →
＝⎝⎛⎭⎫22，0，1.
设平面ACE 法向量为m ＝(x ，y ，z)， 那么⎩⎪⎨⎪⎧CA →·
m ＝0，CE →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，22x ＋z ＝0.
令x ＝2，得y ＝0，z ＝－ 2. 所以m ＝(2，0，－2)．
由BC ⊥平面PAC ，那么n ＝(1，0，0)为平面PAC 的一个法向量． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝26×1＝6
3.
故所求二面角P －AC －E 的余弦值为
6
3
. 19．[命题立意]此题考查椭圆方程、直线与圆、直线与椭圆的位置关系．
[解题思路](1)由列方程组求出a ，b 得椭圆方程；(2)①设直线OP 方程、OQ 方程．由OP 、OQ 分别与圆相切得k1、k2是一元二次方程的两实根，由韦达定理得k1k2为定值．②将直线
OP 、OQ 方程分别与椭圆方程联立求得P 、Q 坐标，从而得|OP|2＋|OQ|2表达式，利用①中结论整理得定值．
[解](1)设椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)，
那么2c ＝6，所以c ＝3.
因为直线AB 过C 的焦点F1，且△ABF2的周长是122，
所以|AB|＋(|AF2|＋|BF2|)＝(|AF1|＋|BF1|)＋(|AF2|＋|BF2|)＝4a ＝122， 所以a ＝32，
所以b2＝a2－c2＝18－9＝9， 所以，椭圆C 的方程是x218＋y2
9
＝1.
(2)①证明：由题意得，直线OP ：y ＝k1x ，直线OQ ：y ＝k2x. 因为直线OP ，OQ 与圆M 相切，
所以|k1x0－y0|1＋k21
＝6，
化简，得(x20－6)k21－2x0y0k1＋y20－6＝0； 同理，得(x20－6)k22－2x0y0k2＋y20－6＝0.
所以k1，k2是一元二次方程(x20－6)k2－2x0y0k ＋y20－6＝0的两实数根，那么有k1·k2＝y20－6
x20－6
. 又因为点M(x0，y0)在C 上， 所以x2018＋y209＝1，即y20＝9－1
2
x20，
所以k1k2＝3－12x20x20－6＝1
2〔6－x20〕
x20－6＝－1
2(定值)．
②|OP|2＋|OQ|2是定值，且定值为27.
理由如下：
方法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 联立方程组⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝k1x ，x218＋y29
＝1，
解得⎩
⎨⎧x21＝18
1＋2k21，
y21＝18k21
1＋2k21
，
所以x21＋y21＝18〔1＋k21〕
1＋2k21.
同理，得x22＋y22＝18〔1＋k22〕
1＋2k22.
由①知k1k2＝－1
2
，
所以|OP|2＋|OQ|2＝x21＋y21＋x22＋y22 ＝
18〔1＋k21〕1＋2k21＋18〔1＋k22〕
1＋2k22
＝18〔1＋k21〕1＋2k21＋18⎣⎡⎦⎤1＋⎝
⎛⎭⎫－1
2k12
1＋2⎝⎛⎭⎫－12k12＝27＋54k211＋2k21＝27，
所以|OP|2＋|OQ|2＝27(定值)．
方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 由①知k1k2＝－12，所以y21y22＝1
4x21x22.
因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C 上， 所以⎩⎨⎧x2118＋y21
9
＝1，x2218＋y229＝1，即⎩
⎨⎧y21＝9－1
2
x21，
y22＝9－12
x22.
所以(9－12x21)(9－12x22)＝1
4x21x22，整理得x21＋x22＝18，
所以y21＋y22＝⎝⎛⎭⎫9－12x21＋⎝⎛⎭
⎫9－1
2x22＝9. 故有|OP|2＋|OQ|2＝27(定值)．
20．[命题立意]此题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、恒成立问题． [解题思路](1)对f(x)求导，得切线斜率，点斜式写出切线方程；(2)对h(x)求导，分a ≤0和a>0两种情况讨论h(x)的单调性；(3)问题转化为excosx －x －m ≤0对x ∈⎣⎡⎦
⎤0，5π
12恒成立，求m 范围，构造函数φ(x)＝excosx －x －m ⎝⎛⎭
⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，对φ(x)求导，判φ(x)的单调性，由φ(x)max ≤0求得m 的取值范围．
[解](1)由题意，得f′(x)＝ex(sinx －cosx ＋4)＋ex(cosx ＋sinx)＝ex(2sinx ＋4)， 所以f′(0)＝4.
因为f(0)＝3，所以y －3＝4(x －0)，
即所求曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为： 4x －y ＋3＝0.
(2)易知，函数h(x)的定义域为R ，g′(x)＝2＋sinx ， 且有h′(x)＝f′(x)－ag′(x)
＝ex(2sinx ＋4)－a(sinx ＋2)＝(2ex －a)(sinx ＋2)． 由于sinx ＋2>0在x ∈R 上恒成立，所以
①当a ≤0时，2ex －a>0在x ∈R 上恒成立，此时h′(x)>0， 所以，h(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增．
②当a>0时，由h′(x)>0，即2ex －a>0，解得x>ln a
2；
由h′(x)<0，即2ex －a<0，解得x<ln a
2.
所以，h(x)在区间⎝⎛⎭⎫－∞，ln a
2上单调递减； 在区间⎝⎛⎭
⎫ln a
2，＋∞上单调递增．
(3)易知，cosx －x ＋m
ex
≤0等价于excosx －x －m ≤0.
设φ(x)＝excosx －x －m ，⎝⎛⎭
⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12. 由题意，对x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12时，不等式cosx －x ＋m
ex ≤0恒成立， 只需φ(x)max ≤0.
易得φ′(x)＝ex(cosx －sinx)－1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π
12. 令t(x)＝ex(cosx －sinx)－1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12， 所以t′(x)＝ex(－2sinx)．
显然，当x ∈⎣⎡⎦
⎤0，5π
12时，t′(x)≤0恒成立． 所以函数t(x)在x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π
12上单调递减，所以t(x)≤t(0)＝0， 即φ′(x)≤0在x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π
12恒成立． 所以，函数φ(x)在x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π
12上单调递减． 所以有φ(x)max ＝φ(0)＝1－m ≤0，所以m ≥1.
故所求实数m 的取值范围是[1，＋∞)．。