江苏省徐州市睢宁县古邳中学2015_2016学年高二数学上学期第一次月考试卷(含解析)

2015-2016学年江苏省徐州市睢宁县古邳中学高二（上）第一次月考
数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写
在答题纸的指定位置上）
1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 ．
2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ．
3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机
摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．
4．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为 ．
5．如图，它是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））图象的一部分，则f（0）的值为 ．
6．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的
值为 ．
7．不等式的解集是 ．
8．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行则实数a=
．
9．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为 ．
10．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是 ．
11．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为
．
12．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是 ．
13．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是 （填序号）．
①若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
②若m∥α，n∥α，则m∥n；
③若m⊂α，n∥α，则m∥n；
④若m、n与α所成的角相等，则m∥n．
14．已知⊙A：x2+y2=1，⊙B：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，P是平面内一动点，过P作⊙A、⊙B 的切线，切点分别为D、E，若PE=PD，则P到坐标原点距离的最小值为 ．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
16．求圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程．　
17．已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥面SBC．
18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．
（1）求证：OE∥平面BCC1B1；
（2）求证：OE⊥面B1DC．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的周长为+1且sinA+sinB=sinC．
（1）求边c的长；
（2）若△ABC的面积为sinC，求角C的大小．
20．已知{a n}是等差数列，其前n项的和为S n，{b n}是等比数列，且
a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）记c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．
2015-2016学年江苏省徐州市睢宁县古邳中学高二（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为　5　．
【考点】并集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出A∪B，再明确元素个数
【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；
所以A∪B中元素的个数为5；
故答案为：5
【点评】题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题　
2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为　6　．
【考点】众数、中位数、平均数．
【专题】概率与统计．
【分析】直接求解数据的平均数即可．
【解答】解：数据4，6，5，8，7，6，
那么这组数据的平均数为： =6．
故答案为：6．
【点评】本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．
3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机
摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】概率与统计．
【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．
【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则
一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，
其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；
所以所求的概率是P=，
故答案为：．
【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．
4．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为　5　．
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=21，k=5时，不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
k=1，S=0
满足条件S＜20，S=21=2，k=2
满足条件S＜20，S=21+22=5，k=3
满足条件S＜20，S=5+23=13，k=4
满足条件S＜20，S=13+24=21，k=5
不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序考查，依次写出每次循环得到的S，k的值即可得解，属于基础题．
5．如图，它是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））图象的一部分，则f（0）的值为 ．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数y=f（x）的图象，由最值求出A，由周期求出ω，由图象过（﹣1，0）点，求出φ的值，写出f（x）的解析式，再求f（0）的值．
【解答】解：∵函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）的最大值为3，最小值为﹣3，
且A＞0，∴A=3；
又∵=3﹣（﹣1）=4，∴T=8；
∴=8，
解得ω=；
∴函数y=f（x）=3sin（x+φ）的图象经过（﹣1，0）点，
即×（﹣1）+φ=2kπ，k∈Z，
则φ=+2kπ，k∈Z，
又∵φ∈[0，2π）∴φ=，
故y=f（x）=3sin（x+），
f（0）=3sin=．
故答案为：．
【点评】本题考查了由函数y=Asin（ωx+φ）的图象求函数解析式的应用问题，是基础题目．
6．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为　﹣3　．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．
【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）
可得，解得m=2，n=5，
∴m﹣n=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．
7．不等式的解集是　（﹣1，2）　．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题．
【分析】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化成相同的形式，化底数为3，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系，得到未知数的范围．
【解答】解：∵，
∴，
∵y=2x是一个递增函数，
∴x2﹣x＜2，⇒﹣1＜x＜2．
故答案为：（﹣1，2）
【点评】本题考查指数函数的单调性，解题的关键是把题目变化成能够利用函数的性质的形式，即把底数化成相同的形式．
8．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行则实数a=　﹣1　．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】直线与圆．
【分析】由直线的平行关系可得a的方程，解方程验证可得．
【解答】解：∵直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，
∴a（a﹣1）﹣2×1=0，解得a=﹣1或a=2，
经验证当a=2时，直线重合，a=﹣1符合题意，
故答案为：﹣1
【点评】本题考查直线的一般式方程和直线的平行关系，属基础题．
9．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为　0或2　．【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题．
【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，根据点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．
【解答】解：把圆的方程化为标准式为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆心坐标为
（1，2）．
则圆心到直线x﹣y+a=0的距离d==，即|a﹣1|=1，化简得a﹣1=1或a﹣1=﹣1，解得：a=2或a=0．
所以a的值为0或2．
故答案为：0或2
【点评】考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程，灵活运用点到直线的距离公式化简求值．
10．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是 ．
【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．
【专题】直线与圆．
【分析】由题意知，直线2ax﹣by+2=0经过圆的圆心（﹣1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．
【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即 a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当 a=b=时取等号，故ab的最大值是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．
11．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知中，圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，分析圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式即可获得问题的解答．
【解答】解：∵圆锥的底面半径r=1，侧面积是底面积的2倍，
∴圆锥的母线长l=2，
故圆锥的高h==，
故圆锥的体积V===，
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆锥的体积求解问题．在解答的过程当中充分体现了圆锥体积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思．
12．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是　4　．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】①根据直线垂直的定义判断．②根据线面垂直的性质判断．③根据直线和平面所成角的定义判断．④根据异面直线的位置关系判断．
【解答】解：①垂直于同一直线的两条直线不一定平行，可能相交，可能是异面直线．∴①错误．
②垂直于同一平面的两个平面不一定平行，∴②错误．
③当直线l1，l2与同一平面平行时，满足与同一平面所成的角相等，但l1，l2不一定平行，∴③错误．
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线不一定是异面直线，可能是相交直线．∴④错误．
故错误的是①②③④．
故答案为：4个．
【点评】本题主要考查空间直线与平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的定义和性质定理．
13．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是　③　（填序号）．
①若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
②若m∥α，n∥α，则m∥n；
③若m⊂α，n∥α，则m∥n；
④若m、n与α所成的角相等，则m∥n．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】我们逐一对四个答案中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．
【解答】解：①若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，不正确；
②若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交，不正确；
③若m⊂α，n∥α，利用直线与平面平行的性质定理，可得m∥n，正确；
④m，n与α所成的角相等，则m与n可能平行、相交也可能异面，不正确．
故答案为：③．
【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间直线关系的判定方法，建立良好的空间想像能力是解答的关键．
14．已知⊙A：x2+y2=1，⊙B：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，P是平面内一动点，过P作⊙A、⊙B
的切线，切点分别为D、E，若PE=PD，则P到坐标原点距离的最小值为 ．
【考点】圆的切线方程；两点间的距离公式．
【分析】设出P（x，y），依题意，求出P的坐标的轨迹方程，然后求方程上的点到原点距离的最小值．
【解答】解：设P（x，y），依题意，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，PE=PD，所以x2+y2﹣1=（x﹣3）2+（y﹣4）2﹣4，整理得：3x+4y﹣11=0，
P到坐标原点距离的最小值就是原点到3x+4y﹣11=0它的距离，
∴P到坐标原点距离的最小值为．
故答案为：
【点评】本题考查圆的切线方程，两点间的距离公式，轨迹方程问题，转化的数学思想，是难度较大的题目．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
【考点】直线的一般式方程；直线的斜率．
【专题】待定系数法．
【分析】（1）由点斜式写出直线l的方程为y﹣5=﹣（x+2），化为一般式．
（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+c=0，由点到直线的距离公式求得待定系数c 值，即得所求直线方程．
【解答】解：（1）由点斜式写出直线l的方程为y﹣5=﹣（x+2），化简为
3x+4y﹣14=0．
（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+c=0，
由点到直线的距离公式，得，即，
解得c=1或c=﹣29，故所求直线方程 3x+4y+1=0，或3x+4y﹣29=0．
【点评】本题考查用点斜式求直线方程，用待定系数法求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，求出待定系数是解题的关键．
16．求圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），由圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2），可以构造a，b，r的方程组，解方程组可得
a，b，r的值，进而得到圆的方程．
【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）
由题意有：
解之得
∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，其中根据已知构造关于圆心坐标及半径的方程组，是解答本题的关键．
17．已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥面SBC．
【考点】直线与平面垂直的判定．
【专题】证明题．
【分析】要证线面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直，先由线面垂直得线线垂直，然后利用线面垂直的判定得线面垂直继而得到线线垂直AD⊥BC，问题从而得证．
【解答】证明：∵∠ACB=90°∴BC⊥AC
又SA⊥面ABC∴SA⊥BC
∴BC⊥面SAC
∴BC⊥AD
又SC⊥AD，SC∩BC=C∴AD⊥面SBC
【点评】本题考查了线面垂直的判定和线面垂直的定义的应用，考查了学生灵活进行垂直关系的转化，是个基础题．
18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．
（1）求证：OE∥平面BCC1B1；
（2）求证：OE⊥面B1DC．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】转化思想；数学模型法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，由于O，F分别是B1D与B1C的中点，利用三角形中位线定理可得，即四边形OEBF是平行四边形，可得OE∥BF，再利用线面平行的判定定理即可得出．
（2）由DC⊥面BCC1B1，可得BC1⊥DC，又可得BC1⊥面B1DC，而BC1∥OE，即可证明．
【解答】证明：（1）连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，
∵O，F分别是B1D与B1C的中点，
∴OF∥DC，
又E为AB中点，∴EB∥DC，
∴四边形OEBF是平行四边形，
∴OE∥BF，
又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，
∴OE∥面BCC1B1．
（2）∵DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，
∴BC1⊥DC，
又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C=C，
∴BC1⊥面B1DC，
而BC1∥OE，∴OE⊥面B1DC．
【点评】本题考查了空间线面位置关系、三角形中位线定理、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的周长为+1且
sinA+sinB=sinC．
（1）求边c的长；
（2）若△ABC的面积为sinC，求角C的大小．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】（1）由题意及正弦定理，得，且，两式相减即可得解．
（2）由已知及三角形面积公式可求ab的值，由余弦定理，得cosC的值，结合∠C是△ABC 的内角，即可求的C的值．
【解答】解：（1）由题意及正弦定理，得，…
又sinA+sinB=sinC，故，…
两式相减，得c=1．…
（2）由△ABC的面积，得…
由余弦定理，得，…
又∵∠C是△ABC的内角…
∴C=60°．…
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，熟练掌握公式及定理的应用是解题的关键，属于中档题．
20．已知{a n}是等差数列，其前n项的和为S n，{b n}是等比数列，且
a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）记c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】本题（1）利用数列的通项公式与前n项和公式，得到首项和公比、公差的方程，求出数列的首项公比和公差，得到数列的通项；（2）本小题是一个等差与等比的积形成的数列，可以利用错位相减法求和．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．
由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，S4=8+6d．…
由条件a4+b4=21，S4+b4=30，得方程组解得
所以a n=n+1，b n=2n，n∈N*．
（2）由题意知，c n=（n+1）×2n．
记T n=c1+c2+c3+…+c n．
则T n=c1+c2+c3+…+c n
=2×2+3×22+4×23+…+n×2n﹣1+（n+1）×2n，
2 T n=2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n+（n+1）2n+1，
所以﹣T n=2×2+（22+23+…+2n）﹣（n+1）×2n+1，
即T n=n•2n+1，n∈N*．
【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式，以及错位相减法求和，有一定的综合性，计算量也较大，属于中档题．。