上海市52中学2018-2019学年高一上学期数学期中考试试题(解析版)

上海市2018-2019学年52中学高一上学期数学期中考试
一、填空题（本大题满分40分）本大题共10题，每题4分。

1.已知集合，若，则________
【答案】
【解析】
【分析】
利用元素与集合的关系得到x的值，经检验即可得到结果.
【详解】∵集合，且，
∴
当x=1时，，不满足互异性，舍去；
当时，，适合题意；
当时，经检验：适合题意，
故答案为：
【点睛】本题考查元素与集合的关系，考查元素的特征，属于基础题.
2.已知集合，，则___________
【答案】
【解析】
【分析】
求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可.
【详解】由题意可得：，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．
3.求函数的定义域是____________
【答案】
【解析】
【分析】
在该函数中，x应使根式下的代数式大于等于0，同时分式的分母不能为0.
【详解】要使原函数有意义，则需，
解之可得：
故答案为：
【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
4.函数，则_______
【答案】
【解析】
【分析】
分别先求函数的定义域，函数的定义域，而两式相加即得f（x）+g（x），别忘记写出定义域．
【详解】由题意可得，函数的定义域{x|x≤1}
函数的定义域{x|x≤1}
∴F（x）=f（x）+g（x）==，且定义域为{x|x≤1}
故答案为：
【点睛】本题考查函数解析式的求法，易错点忽视函数的定义域，属于基础题.
5.命题“在整数集中，若都是偶数，则是偶数”的否命题是：___________
【答案】在整数集中，若，不都是偶数，则不是偶数
【解析】
【分析】
直接利用命题的否定形式写出结果即可．
【详解】命题“在整数集中，若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是：在整数集中，若x，y不都是偶数，则x+y不是偶数．
故答案为：在整数集中，若x，y不都是偶数，则x+y不是偶数．
【点睛】本题考查命题的否命题，属于基础知识的考查．
6.已知，则的最小值为______________
【答案】5
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求函数的最小值.
【详解】∵x＞0
=x+=4=5
当且仅当x=即x=2时取等号
故函数的最小值为5
故答案为：5．
【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
7.命题“”是命题“”的____________条件。

（可填：充分必要、充分非必要、必要非充分或非充分非必要）
【答案】必要非充分
【解析】
【分析】
由于原命题与逆否命题等价,易判断“x=1或x=-3”是“x=1”的必要不充分条件.
【详解】“”则“”的逆否命题是：“若=0”则“x=1”，显然，
“x=1或x=-3”是“x=1”的必要不充分条件，由于原命题与逆否命题等价，
故命题“”是命题“”的必要非充分条件；
故答案为：必要非充分
【点睛】利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
8.如图设全集是实数集，与都是的子集，则阴影部分所表示的集合为____________。

【答案】{x| x≤-2或x≥3}
【解析】
【分析】
先化简M集合，再求得其补集，再与N集合求交集即可
【详解】∵，∴ C I M═{x|x≤-2或x≥2}，
又
∴C I M∩N={x| x≤-2或}
【点睛】本题考查了Venn图，集合的运算，是一道基础题．
9.已知不等式的解集是，则不等式的解集是_______________。

【答案】
【解析】
【分析】
由不等式的解集是，能够推导出m=﹣9，n=﹣20，由此能求出不等式的解集．【详解】∵不等式的解集是，
∴4和5是方程 =0的两个实数根，
∴，解得m=﹣9，n=﹣20，
∴不等即为：20x2+9x+1＜0，
解方程20x2+9x+1=0，得x1=，x2=，
∴不等式的解集为．
故答案为：
【点睛】（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式。

（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
10.若正数满足，则的取值范围_______________。

【答案】
【解析】
【分析】
先根据基本不等式可知a+b≥2 ，代入题设等式中得关于不等式a+b的方程，进而求得a+b的范围．
【详解】∵正数a，b满足a+b≥2 ，∴ab≤．
又ab=a+b+3，∴a+b+3≤，即（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0．
解得a+b≥6．
故答案为：[6，+∞）．
【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共5题，每题4分
11.满足条件的所有集合的个数是（）
A. 4个
B. 8个
C. 16个
D. 32个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行反向求解即可．
【详解】∵{1，3，5}∪M={1，3，5，7，9}
∴7∈M，且9∈M
∴的集合M可能为{7，9}或{1，7，9}或{3，7，9}或{5，7，9}或{1，3，7，9}或{1，5，7，9}或{3，5，7，9}或{1，3，5，7，9}
故选：B．
【点睛】本题考查了并集概念的灵活应用，属于基础题.
12.若，则下列不等式中，不能成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
项．∵，
∴，两边同除以，则，故正确；
项．∵，
∴，且，两边同除以，则，故错误；
项．∵，
∴，
∴，故正确；
项．函数在上单调递减，
∴若，则，故正确．
故选．
13.下列各组函数与表示同一函数的是（）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判定它们是同一个函数．
【详解】对于A，f（x）（x∈R）与g（x）==（x≠0），两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B，与，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数；
对于C，与，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数；
对于D，与（x∈R），两个函数的定义域不同，不是同一函数；
故选：B
【点睛】本题考查了判断两个函数是否表示同一函数的问题，解题时应熟练掌握同一函数的定义，即两个函数的定义域和解析式均一致或两个函数的图象一致，是基础题目．
14.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数f（x）=，不等式的解集为⇔a＜f（x）min，利用绝对值不等式可求得f（x）
，从而可得答案．
min
【详解】令f（x）=，
∵不等式的解集为，
∴a＜f（x）min，
又f（x）=≥|1﹣x+x+2|=3，即f（x）min=3，
∴a＜3．
故选：D．
【点睛】本题考查绝对值三角不等式，考查构造函数的思想与恒成立问题，属于中档题．
15.设全集，（为常数），且，则下列成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出A=，B={x|5﹣a＜x＜5+a}，由11∈B，得a＞6，从而5+a＞6且5﹣a，由此能求出．
【详解】∵全集U=R，A={x|x2﹣5x﹣6}=，
B={x||x﹣5|＜a（a为常数）}={x|5﹣a＜x＜5+a}，
∵11∈B，∴，解得a＞6，
∴5+a＞11，且5﹣a，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查交集、补集、并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、补集、并集的定义的合理运用．
三、解答题（本大题满分50分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤
16.已知集合，
（1）若，求实数的取值范围；
（2）是的必要条件，求实数的取值范围。

【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）化简集合Q，由可得：，从而得到结果；
（2）根据x∈P是x∈Q的必要条件，得到两个集合之间的关系，从而得到不等式两个端点之间的关系，得到结果．
【详解】（1），{x|1＜x＜3}
∵，∴
即
∴实数的取值范围；
（2）P={x|a﹣4＜x＜a+4}，Q={x|1＜x＜3}．
∵x∈P是x∈Q的必要条件
∴x∈Q⇒x∈P，即Q⊆P
∴⇒，解得﹣1≤a≤5．
∴实数的取值范围．
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
17.已知命题，命题关于的不等式的解集为。

若命题和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围。

【答案】{a|}
【解析】
【分析】
关于x的不等式求出a的范围，再利用的解集为解不等式求得a的范围，然后通过交集、补集运算求出为真命题为假命题与为假命题为真命题时实数a的取值集合，取并集得到实数a的取值范围．【详解】若命题为真时，，即A=；
若命题为真时，的不等式的解集为等价于
即，，,；
若命题为真命题为假命题时，A∩（∁R B）={a|}；
若命题为假命题为真命题时，（∁R A）∩B={a|﹣1}．
∴命题和中有且只有一个是真命题，实数的取值范围{a|}
【点睛】本题考查命题的真假判断与运用，考查了转化思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．
18.已知。

（1）比较，在的大小关系；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围。

【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用作差法比较大小即可；（2）利用变量分离转化为，即求的最小值即可.
【详解】（1）
= ，
即
（2）∵在上恒成立，
∴在上恒成立，
即，又在上递增，
∴
∴，即
∴
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.。