西安铁一中分校高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(含答案解析)

一、选择题
1．点P 的直角坐标为(，那么它的极坐标可表示为（ ） A ．52,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．32,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．51,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．31,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
.
2．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
轴的交点，则圆C 的极坐标方程为 A ．4cos ρθ=
B ．4sin ρθ=
C ．2cos ρθ=
D ．2sin ρθ=
3．在极坐标系中，设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4
l R π
θρ=∈交于A B ，两点，则以线
段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）
A ．4πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．4πρθ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D ．4πρθ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
4．圆22cos 4sin 30ρρθρθ++-=上到直线cos sin 10ρθρθ++=点共有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
到直线sin 16πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
的距离是( )
A B ．3 C ．1
D ．2
6．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－3
π
)＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为（ ）
A ．(1,)3
B ．(,)36
π C ．3π⎫⎪⎪⎝⎭， D ．2⎛ ⎝⎭
7．曲线cos 104
π
ρθθ+==关于对称的曲线的极坐标方程是( )
A ．sin 10ρθ+=
B ．sin 10ρθ-=
C ．cos 10ρθ-=
D ．cos 10ρθ+=
8．在极坐标系中，曲线1C 的方程为2sin 3πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，曲线2C 的方程为sin 43πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，以极点O 为原点，极轴方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy 。

设,A B 分别是12,C C 上的动点，则AB 的最小值是( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．3
9．在极坐标系中，过点2,3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
且与极轴平行的直线的方程是（ ）
A ．cos ρθ=
B ．sin ρθ=
C ．ρθ=
D ．ρθ
10．将正弦曲线sin y x =的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的1
3
，所得曲线的方程为 A ．3sin y x = B ．sin 3y x = C ．1sin
3y x = D ．1
sin 3
y x =
11．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为 A ．1ρ= B ．cos ρθ= C ．2cos ρθ= D ．2sin ρθ=
12．若曲线2 1x t
y t =-⎧⎨=-+⎩
（t 为参数）与曲线ρ=B ， C 两点，则BC 的值
为（ ）
A
B C D 二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2
π
θαα=<<
，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为
,A B
中点.若||||AB OP ⋅，则α=________.
14．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．
15．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos x a y sin θ
θ=+⎧⎨
=⎩
(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
sin 42
πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭
若直线l 与圆C 相切，则实数a =______.
16．在极坐标系中，已知(2,)6
A π
，5(4,
)6
B π
，则A ，B 两点之间的距离AB 为__________．
17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则
a =__________．
18．（坐标系与参数方程选做题）已知圆C 的圆心为(6,
)2
π
，半径为5，直线
(,)2
r π
θαθπρ=≤<∈被圆截得的弦长为8，则α=_____．
19．在极坐标系中，O 是极点，设点1,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，2,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OAB 的面积是__________．
20．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (1sin x y ϕ
ϕϕ
=⎧⎨
=+⎩为参数，[0,2]ϕπ∈），若以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方
程为__________．
三、解答题
21．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos ρθ=，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系.
（1）求圆C 在直角坐标系下的标准方程； （2）直线l 的极坐标方程是2sin 633πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，射线:(0)6
OM π
θρ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()2
2625x y ++＝．
（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是()θαρ∈R ＝，l 与C 交于A B ，两点，||10AB =，求l 的斜率．
23．在平面直角坐标系
中，已知曲线
与曲线
（为参
数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）写出曲线
的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中，已知与
,
的公共点分别为,，当在区间
上
变化时，求
的最大值．
24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线()2
2
110C x y y =+=≥，曲线2
2
2:13
y C x +=.
（I ）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C 的参数方程和2C 的极坐标方程； （II ）若直线cos :sin x t l y t α
α
=⎧⎨
=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B 两点，且21AB ，求
α的值.
25．已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t α
α=+⎧⎨=⎩
（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极
点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线
,4
44π
ππθφφθφ⎛⎫=-<<=+ ⎪⎝⎭，4πθφ=-分别与曲线C 交于、、A B C 三点（不包括
极点O ）.
(Ⅰ)
求证：OB OC OA +=；
(Ⅱ)当12
π
φ=
时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值.
26．已知曲线C 在平面直角坐标系xOy
下的参数方程为1x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），
以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的普通方程及极坐标方程； （2）直线l
的极坐标方程是cos 6πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭OT ：()03
π
θρ=>与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求OA OB ⋅的值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据直角坐标化极坐标的方法求解即可. 【详解】
设它的极坐标为(,)ρθ
222(4,2ρρ=+==
tan 1θ=
=- θ在第二象限，且[)0,2θπ∈
34
πθ∴=
则它的极坐标可表示为32,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
故选：B 【点睛】
本题主要考查了直角坐标化极坐标，属于中档题.
2．A
解析：A 【分析】
求出圆C 的圆心坐标为（2，0），由圆C 经过点6P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，得到圆C 过极点，由此能求
出圆C 的极坐标方程． 【详解】
在sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
0θ=，得2ρ=， 所以圆C 的圆心坐标为（2，0）. 因为圆C 经过点6P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，
所以圆C 的半径2r =，
于是圆C 过极点，
所以圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. 故选A 【点睛】
本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先把极坐标方程化为直角坐标方程，进一步求出圆心坐标和半径，再把直角坐标方程化为极坐标方程，即可得到答案． 【详解】
由题意，圆8:sin C ρθ=化为直角坐标方程，可得22(4)16x y +-=， 直线():4
l R π
θρ=
∈化为直角坐标方程，可得y x =，
由直线与圆交于,A B 两点，把直线y x =代入圆22(4)16x y +-=，解得0
0x y =⎧⎨
=⎩
或4
4x y =⎧⎨=⎩
，
所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为(2,2)
，半径为 则圆的方程为22(2)(2)8x y -+-=，即22440x y x y +--=，
又由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，代入可得24cos 4sin 0ρρθρθ--=，
即4cos 4sin 4θπρθθ⎛⎫
=+= ⎝
+⎪⎭
，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程的求解，其中解答中把极坐标方程互为直角坐标方程，得到以线段AB 为直径的圆的标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
把圆和直线方程化为直角坐标方程，结合点到直线的距离公式与直线与圆的位置关系求解。

【详解】
因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆的直角坐标方程为22(1)(2)8x y +++=， 这是一个以()1,2--
为圆心，以10x y ++=. 圆的圆心到直线10x y ++=
的距离d == 易知圆上有3个点满足题意. 【点睛】
本题主要考察极坐标方程化为直角坐标方程，直线与圆的位置关系。

5．C
解析：C 【解析】 【分析】
先将点的极坐标化成直角坐标，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离求解． 【详解】
在极坐标系中，点2,6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
1）， 直线ρsin （θ﹣
6
π
）＝1化为直角坐标方程为x
+2＝0，
1）到x
+2＝0
的距离1=，
即点（2，6π）到直线ρsin （θ﹣6
π
）＝1的距离为1， 故选C ． 【点睛】
本题考查直角坐标和极坐标的互化，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.
6．B
解析：B 【分析】
先求出曲线C 的平面直角坐标系的方程，求出M N 、中点在平面直角坐标系的坐标，然后再求出其极坐标 【详解】
由cos 13πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭可得：1cos sin 12ρθρθ=
∴曲线C 的直角坐标方程为112x y =，即20x -=
故点M N 、在平面直角坐标系的坐标为()200⎛ ⎝⎭，，
∴点P 坐标为13⎛ ⎝⎭，
则极坐标为6P π⎫⎪⎪⎝⎭
， 故选B 【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系与极坐标之间的转化，只要掌握转化方法然后就可以计算出答案，较为基础．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
先把两曲线极坐标方程化为普通方程，求得对称曲线，再转化为极坐标方程。

【详解】
化为标准方程可知曲线cos 10ρθ+=为10x +=，曲线4
π
θ=
为y x =，所以对称直线为
10y +=，化为极坐标方程为sin 10ρθ+=，选A.
【点睛】
由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标
的相互转化。

8．A
解析：A 【解析】
分析：先根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.
详解：由题意，根据极坐标与直角坐标的互化公式，
可得曲线221:0C x y y +-=
，表示以1
)2
为圆心，以1为半径的圆， 曲线2C
80y +-=，
则圆心到直线的距离为
3
d =
=，所以AB 的最小值为2，故选A.
点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离公式的应用问题，其中熟记直角坐标与极坐标的互化公式和合理的转化圆的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
9．B
解析：B 【解析】
分析：将2,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
化为直角坐标为(
，过点(与x
平行的直线方程为y =为极坐标方程即可. 详解：将2,
3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
化为直角坐标为(
，
过点(与x
平行的直线方程为y =
将y =
sin ρθ=， 所以过点2,
3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
且与极轴平行的直线的方程是sin ρθ= B. 点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222
tan x y y x
ρθ
⎧+=⎪
⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互
化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
10．B
解析：B 【解析】
伸缩变换为1'3'x x y y
⎧=⎪
⎨⎪=⎩，变形得3''x x y y =⎧⎨
=⎩，代入sin y x =，得'sin3'y x =，即所求曲线方程为sin3y x =．故选B ．
11．C
解析：C 【解析】
由题意知圆的极坐标方程为221rcos cos ρθθ==⨯⨯，即2cos ρθ=．故选C ．
12．C
解析：C 【分析】
分析：把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相交的弦长处理方法计算． 详解：曲线21x t
y t
=-⎧⎨
=-+⎩的普通方程为10x y +-=
，曲线ρ=228x y +=，圆心O
到直线的距离为d ==
r =∴BC
＝
=C ． 点睛：直线与圆相交的弦长有两种方法：一是代数方法，一是几何方法，代数法就是由直线与圆方程联立方程组解得交点坐标，再由两点间距离公式求得弦长，常用的是几何方法：用垂径定理，即求出圆心到直线的距离d
，则弦长l =
二、填空题
13．或【分析】把圆方程化为极坐标方程设对应的极径是用表示出则由此计算可得结论【详解】由题意圆的一般方程为化为极坐标方程将代入得成立设对应的极径是则∴∴∴（舍去）又∴或∴或故答案为：或【点睛】本题考查直角
解析：
12
π
或
512
π 【分析】
把圆方程化为极坐标方程，设,,A B P 对应的极径是120,,ρρρ，用α表示出12,ρρ，则
12AB ρρ=-，12
2
OP ρρ+=
，由此计算可得结论．
【详解】
由题意圆的一般方程为222210x y x y +--+=，化为极坐标方程
22(cos sin )10ρρθθ-++=，
将θα=代入得22(cos sin )10ρραα-++=，24(cos sin )40αα∆=+->成立， 设,,A B P 对应的极径是120,,ρρρ，则122(cos sin )ρραα+=+，121ρρ=，∴12
0cos sin 2
ρρραα+=
=+，
∴AB 12ρρ=-=
==
0cos )AB OP ραα==+=4sin 2(1sin 2)3αα+=，
(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=，∴1sin 22α=
（3
2
-舍去）， 又(0,)2
πα∈，∴26πα=或526π
α=．
∴12
π
α=
或512
πα=
． 故答案为：12
π
或
512
π． 【点睛】
本题考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标的应用，以极点为顶点的射线上两点,A B 对应的极径是12,ρρ，则12AB ρρ=
-，线段AB 中点对应的极径为
12
2
ρρ+．
14．【分析】先求公共点的极坐标再根据极径含义得结果【详解】（负舍）故答案为：【点睛】本题考查公共点的极坐标以及极径含义考查基本分析求解能力属基础题
解析：1【分析】
先求公共点的极坐标，再根据极径含义得结果. 【详解】
sin 2ρθ=+,sin 2ρθ=,2
21ρρρ
=
+∴=+（负舍）
故答案为：1【点睛】
本题考查公共点的极坐标以及极径含义，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．【解析】【分析】首先将参数方程化为普通方程将极坐标方程化为直角坐标方程然后利用直线与圆相切的充分必要条件得到关于a 的方程解方程即可确
定a 的值【详解】圆C 的参数方程为(为参数)化为普通方程：直线l 的极
解析：1-【解析】 【分析】
首先将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用直线与圆相切的充分必要条件得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】
圆C 的参数方程为cos sin x a y θ
θ=+⎧⎨
=⎩
,(θ为参数)， 化为普通方程：()2
2
1x a y -+=.
直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫
-= ⎪
⎝
⎭，
()sin cos θθ-=
， 可得直角坐标方程：x −y +1=0.
∵直线l 与圆C 相切，则圆心到直线的距离等于半径，
1
=,解得1a =-
故答案为：1- 【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系即利用ρcosθ=xρsinθ=y 进行代换将极坐标化成直角坐标再在直角坐标系中算出两点间的距离即可【详解】根据x=ρcosθy=ρsinθ点的直角坐标为：故答案
解析：【分析】
先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，进行代换将极坐标化成直角坐标，再在直角坐标系中算出两点间的距离即可． 【详解】
根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，点52,
,4,66
A B ππ⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，的直角坐标为：
A B AB -∴==），（）， ，
故答案为 【点睛】
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位
置的区别，本题解题的关键是能进行极坐标和直角坐标的互化．
17．【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化简即可；
解析：1【分析】
根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】
因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，
由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，
1101a a a =∴=>∴=，，
【点睛】
（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
18．【解析】设圆C 上任一点坐标为P （ρθ）圆心C （6）圆的半径r=5所以|PC|==5化简得：ρ2﹣12ρsinθ+11=0即为圆C 的极坐标方程把直线θ=α代入圆C 的方程得：ρ2﹣12ρsinα+11= 解析：
23
π
【解析】
设圆C 上任一点坐标为P （ρ，θ），圆心C （6，
2
π
），圆的半径r=5，
所以，
化简得：ρ2﹣12ρsinθ+11=0，即为圆C 的极坐标方程， 把直线θ=α代入圆C 的方程得：ρ2﹣12ρsinα+11=0， 设直线与圆交于（ρ1，α1）（ρ2，α2）， 根据韦达定理得：ρ1+ρ2=12sinα，ρ1ρ2=11，
所以直线被圆截得的弦长m=|ρ1﹣ρ2
==8，即（12sinα）2=64+44，
化简得：sin 2α=34
，
解得α∈（,2ππ），
则α=
23
π
． 故答案为
23
π． 19．【解析】
20．【解析】根据题意曲线C 的参数方程为则曲线C 的普通方程为x2+(y−1)2=1即x2+y2−2y=0若以O 为极点以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系则有x=ρcosθy=ρsinθ则有(ρcosθ)2+(ρ 解析：2sin ρθ=
【解析】
根据题意,曲线C 的参数方程为1x cos y sin ϕ
ϕ=⎧⎨=+⎩
，
则曲线C 的普通方程为x 2+(y−1)2=1,即x 2+y 2−2y=0， 若以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 则有x=ρcosθ，y=ρsinθ， 则有(ρcosθ)2+(ρsinθ)2−2ρsinθ=0， 变形可得：ρ=2sinθ； 故答案为：ρ=2sinθ.
三、解答题
21．(1) 22(1)1x y -+= (2) 【解析】 【分析】
（1）由题得22cos ρρθ=，再化成直角坐标方程；（2）设()()12,,,P Q ρθρθ，由题得
1ρ=2ρ=，即得12||PQ ρρ=-=.
【详解】
解：（1）圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，两边同时乘ρ，得2
2cos ρρθ=，
又222,cos x y x ρρθ=+=，所以有222x y x +=， 于是圆C 在直角坐标系下的标准方程为22(1)1x y -+=. （2）由题意得6
π
θ=
，设()()12,,,P Q ρθρθ，由圆C 的极坐标方程2cos ρθ=得
1ρ=
由直线l 的极坐标方程2sin 633πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
得233ρ=， 从而12||23PQ ρρ=-=.
【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标互化，考查极坐标下线段长度的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22．(1) 212cos 110ρρθ++＝ (2) 15± 【解析】 【分析】
(1)将x 、y 的极坐标值代入圆C 的直角坐标方程，化简可得答案；
（2）根据已知条件可以求出圆心到直线的距离值，代入距离公式，可得tan α的值，可得斜率. 【详解】
解：（1）由圆C 的方程为()2
2
625x y ++＝，得2212110x y x +++＝，
把222x y ρ+＝，cos x ρθ=代入，得C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++＝； （2）把θα＝代入212cos 110ρρθ++＝，
得212cos 110ρρα++＝，则12cos ?11A B A B ρραρρ+＝﹣，＝． ()
2
2||4144cos 4410A B A B A B AB ρρρρρρα∴=-=
+-=-=•.
则2
22355
cos ,sin ,tan 883
ααα=
∴==， 15tan α∴=±
，即l 的斜率为15
±． 【点睛】
本题主要考察极坐标和参数方程,需牢记他们之间转换的公式，属于中等题型. 23．（1）
； （2）
.
【分析】
（Ⅰ）由曲线 C 1：x+y=1，能求出曲线 C 1的极坐标方程；∵曲线 C 2的参数方程消去参数φ，得到曲线C 2的普通方程，由此能求出曲线C 2的极坐标方程． （Ⅱ）
， ，由此利用
，求出当
时，
有最大值．
【详解】
（Ⅰ）曲线 的极坐标方程为 ，即
．
曲线的普通方程为 ，即，
所以曲线的极坐标方程为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
由，知，当 ，
即
时，
有最大值
．
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 24．（I ）cos x y sin αα
=⎧⎨
=⎩,[]0,απ∈,[]()2
222
330,3cos sin 2cos 1ρθπθθθ==∈++；（II ）3π
或
23
π. 【解析】
分析：（I ）由三角函数的性质可得曲线1C 的参数方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ==，即可求得2C 的极坐标方程；（II ）先将直线l 化为极坐标方程，分别联立直线l 与12,C C 的方程，即可求得A ρ与B ρ，再根据21AB =，即可求得α的值.
详解：（I ）曲线1C 的参数方程为x cos y sin α
α=⎧⎨
=⎩
（α为参数，[]0,απ∈），
2C :()2
2
103
y x y +=≥， 令cos ,sin x y ρθρθ==，
所以2C 的极坐标方程为[]()2
22233
0,3cos sin 2cos 1
ρθπθθθ=
=∈++.
（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.
1
ρθα
=⎧⎨
=⎩，得1A ρ=. 由2
232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩
，得2
3
2cos 1B ρα=+
∵
23
1212cos 1
α-=-+
∴1cos 2α=± ∵
[]0,απ∈
∴3
π
α=
或
23
π. 点睛：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化.直角坐标方程转化为极坐标方程，只要运用公式cos ,sin x y ρθρθ==，直接代入并化简即可， 25．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)22,3
m πα==. 【解析】 试题分析：
(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程可得点A B C 、、的极径，即得到,,OA OB OC ，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据12
π
φ=
可求得点B,C 的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC
的直角坐标方程，结合方程可得m 与α的值．
试题
（Ⅰ）证明：依题意，
，
，，
则．
（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，
故两点的直角坐标为，
.
所以经过点的直线方程为
，
又直线经过点，倾斜角为，
故
，
．
26．（1）()2
213x y -+=，22cos 20ρρθ--=；（2）12. 【解析】 【分析】
(1)首先将参数方程转化为普通方程，然后将直角坐标转化为极坐标方程即可； (2)首先求得交点的极坐标，然后结合极坐标的几何意义求解OA OB ⋅的值即可. 【详解】
（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
消去参数得曲线的普通方程为，
又，，
∴曲线的极坐标方程为.
（2）由，
故射线与曲线的交点的极坐标为；
由，
故射线与直线的交点的极坐标为，
∴.=12.
【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的互化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。