第01章 本章复习(课时练习)-2015-2016学年高一数学下册(必修5)(解析版)

必修五 第一章 本章综合检测题
一、选择题
1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b ＝( )
A ．5 2
B ．102 C.1063
D ．5 6 【答案】D ．
【解析】由正弦定理得，10sin45°＝b sin60°，∴b ＝sin60°sin45°·10＝3
22
2
×10＝5 6. 2．某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为 3 km ，那么x 的值为( )
A. 3 B ．23 C ．23或 3 D ．3
【答案】C ．
【解析】根据余弦定理可得：(3)2＝x 2＋32－2×3x ×cos(180°－150°)，即x 2－33x ＋6＝0.∴x ＝23或 3.
3．在△ABC 中，若(a －a cos B )sin B ＝(b －c cos C )sin A ，则这个三角形是( )
A ．底角不等于45°的等腰三角形
B ．锐角不等于45°的直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【答案】D ．
【解析】由正弦定理得a sin B ＝b sin A ，故a sin B cos B ＝c sin A cos C ，sin A sin B cos B ＝sin C sin A cos C ，
∴sin2B ＝sin2C .故B ＝C 或2B ＝π－2C ，即B ＋C ＝π2
.∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形． 4．在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos2C ＝72
，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为( )
A.332
B.32
C.34
D.334
【答案】A ．
【解析】因为4sin 2A ＋B 2－cos2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72
，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12，故sin C ＝32.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab
，ab ＝a 2＋b 2－7， 3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6.所以S ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332
. 二、填空题
5．△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________．
【答案】a 2＋b 2<c 2．
【解析】∵cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
，且∠C 为钝角，∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0.故a 2＋b 2<c 2. 6．在△ABC 中，A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2，BC ＝23，则△ABC 的面积为________． 【答案】3．
【解析】由⎩⎨⎧ 3sin A ＋cos A ＝1，sin 2A ＋cos 2A ＝1，得⎩⎨⎧ sin A ＝32，cos A ＝－12.∴A ＝120°.由正弦定理得2sin C ＝23sin A ，∴sin C ＝12
. ∴C ＝30°，∴B ＝30°，∴S ＝12AB ×BC ×sin B ＝12
×2×23×sin30°＝ 3.
7．在锐角△ABC 中，若BC ＝1，B ＝2A ，则AC cos A
的值等于________，AC 的取值范围为________． 【答案】2 (2，3)．
【解析】由正弦定理得AC sin2A ＝BC sin A ，即AC 2sin A cos A ＝1sin A .∴AC cos A ＝2.∵△ABC 是锐角三角形，∴0<A <π2
，0<2A <π2，0<π－3A <π2，解得π6<A <π4
.由AC ＝2cos A 得AC 的取值范围为(2，3)． 三、解答题
8. 如图，某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向，从城A 出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C 处观测到距离C 处31 km 的公路上的B 处有一辆汽车正沿公路向A 城驶去，行驶了20 km 后到达D 处，测得C ，D A 城多少千米？
千米．
【解析】在△BCD 中，BC ＝31，BD ＝20，CD ＝21，由余弦定理cos ∠BDC ＝DB 2＋DC 2－BC 22DB ·DC ＝202＋212－312
2×20×21
＝－17，所以c os ∠ADC ＝17，sin ∠ADC ＝437
，在△ACD 中，由条件知CD ＝21，A ＝60°，所以sin ∠ACD ＝sin(60°＋∠ADC )＝32×17＋12×437＝5314，由正弦定理AD sin ∠ACD ＝CD sin A ，所以AD ＝2132
×5314
＝15，故这时此车距离A 城15千米．。