第五章 实际流体力学

2'
取恒定元流上的1-1和2-2两断面间的流段进行 分析：经过dt后,该段运动到1'-1'和2'-2'
1)1-1和2-2流段间的动能增量 液体不可压缩， dV1-1' =dV2-2' =dV。 则重量=γdV，dm =γdV/g
p1 z1
1 1'
2
2'
u z2
p2
2' 2 dA2
u1 2 dA1 1 1'
有
⎛ p ⎞ ⎜Z + ⎟udA γ∫ ⎜ A γ ⎟ ⎝ ⎠
= γ (Z +
p
γ
) ∫ udA = γ ( Z +
A
p
γ
)VA = ( Z +
p
γ
)γQ
---------------------------⑥
⎛ u3 ⎞ ⎟ dA 2、 γ ∫ A ⎜ ⎜ 2g ⎟ ⎝ ⎠
实际动能
⎛ u3 ⎞ ⎛ αV 2 γ αV 3 A = ⎜ γ ∫ ⎜ ⎟dA = ⎜ 2g A ⎜ 2g ⎟ 2g ⎝ ⎠ ⎝
设1-1'段流速为u1，2-2'段为u2，则动能的增量为： 1 1 1 γdV 2 2 2 2
dm ⋅ u 2 − dm ⋅ u1 = ⋅ 2 2 2 g
(u
2
− u1 LLLLL ⑵
)
2)1∼2段上所有外力作功的总和 液体所受的外力有：重力、边界周围的液体压 力和液体在流动过程中所受的摩擦阻力。
a.重力作功
现证明如下： 在过水断面上、任意两相邻流线间取微小柱体，长为 dn ，底面 积为 dA 。(如图示)。 分析该柱体所受轴线方向的作用力： 上下底面的压强:
p 与 p + dp
柱体自重沿轴线方向的投影 γdAdn cos α ，其中： 为重力 α 与轴线的夹角； 侧面上的动水压强以及侧面上的摩擦力趋于零；两底面上 的摩擦力因与柱轴垂直故在轴线方向投影为零； 在恒定渐变流条件下惯性力可略去不计。 根据达朗伯原理，沿轴线方向的各作用力与惯性力之代数 和等于零，
将②式、③式代入①式，得：
γdV
2g
(u
2 2
′ − u12 = γdV (Z1 − Z 2 ) + (P − P2 )dV − γdV ⋅ hw 1
)
除以 γ dV
2 u12 p2 u2 ′ Z = Z2 + + + hw 整理得： 1 + + γ 2g γ 2g
p1
………④
不可压缩实际液体恒定元流的能量方程，又称 伯努力方程。反映了恒定流中沿流各点的位置 高度z、压强p和流速u之间的变化规律。 2.能量方程的物理意义和几何意义 1)物理意义 伯努利方程中的三项分别表示单位重量液体的 三种不同的能量形式：
总水头线
ui 2g p
2
γi
z1
zi
z2
二、恒定总流的能量方程 单位时间内通过元流两过水断面的全部液体 的能量关系式为：
2 p2 u2 u1 (Z1 + + ) γ dQ = ( Z 2 + ′ + )γdQ + h w ⋅ γdQ γ 2g γ 2g
p1
2
§5.2
实际液体恒定总流的能量方程式
单位时间内通过元流两过水断面的全部液体的能量关系式 2 2 为： p u p u ( Z 1 + 1 + 1 ) γ dQ = ( Z 2 + 2 + 2 )γdQ + h w ⋅ γ dQ ′ γ 2g γ 2g 由于dQ= u1dA1 =u2dA2 得到总流两过水断面的总能量之间的关系为：
2
2'
dA1ds1=dA2ds2 =dV W2= p1dV -p2dV=（p1 -p2）dV
' c.摩擦阻力作功 2 2 1 1' p2 摩擦阻力对流体总是作负 u 功，用-hw'表示摩擦阻力对 p u1 2 2' 1 z2 2 单位重量液体所作的功， z1 dA2 dA1 1 1' W3 则：= -γdV hw' 所有外力作功之和为： ∑W=W1+W2+W3 ∑W= γdV(z1-z2)+(p1 -p2)dV -γdV hw' ………③
pdA − ( p + dp )dA + γdAdn cos α = 0
注意到
dn cos α = − dz
积分得
z+ p
代入化简为
= 常数
dp + γdz = 0
γ 上式说明了恒定渐变流中同一过水断而上的动水压强按静压规律 分布，但是对于不同的过水断面，上式中的常数一般是不同的。 若所取过水断面处于均匀流和渐变流中，则断面动水压强符合静 水压强分布规律。 p p 即： d ( Z + ) = 0 Z + 为常数 γ γ
hw1-i αiv2/2g pi/γ zi
测管水头线
能量（伯努力）方程的应用条件 1.流体必须是恒定流，并且为不可压缩液体； 2.作用于流体上的质量力只有重力，流体流 动边界是静止的，除了流动损失的能量以 外，在两个断面之间没有能量输入或输出；
若有能量输入或输出：
Z1 +
p1
γ
+
αV
2 1 1
2g
2 即为总流的能量方程式。 1 1 1 2 1 ( Z 1 + p1 + u1 )ρ g d Q = ∫
Q 2 2 2
将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，
2 2 2
2
w
Q
2 2 2 2 p1p1 ) ρ gdQ + αuV1ρ ρ gQ = ( Z + pp 2 ) ρ gdQ + αuV 2ρ gdQ + h ′ ρ gdQ 11 22 ( Z 1 + + ) ρ gQ ( ∫ ( Z1 ρ ρ g ∫ 2 g gdQ Q Z 2 2+ ρρ2 g) ρ gQ Q 2 g ρ gQ Q w gQ ∫ ∫ ∫ g g Q Q
上式包含三种类型的积分 1、第一类积分为
⎛ p⎞ γ ∫ ⎜ Z + ⎟udA A⎜ γ ⎟ ⎠ ⎝
它是单位时间内通过总流过水断面的液体势能的总和。为了 确定这个积分需要知道总流过水断面上的平均势能或者找出 p 总流过水断面上各点 z + 的分布规律，而这一分布规律与 该断面上的流动状况有关。 液体的流动可分为渐变流与急 变流两类 。 渐变流（又称缓变流）是指诸 流线接近于平行直线的流 动。
若总水头线是倾斜直线，则：
h w1− 2 H 2 − H1 J = = l l dh w dH J = = dl dl
若总水头线是曲线，水力坡度是变值，则：
若流速不变， 测管水头线与总水 头线平行；流速沿 程增大，总水头线 与测管水头线之间 的垂直距离沿程增 大；流速变小，则 垂直距离缩短。
总水头线
p (Z + ) ρ gdQ ∫ ρg Q
均匀流或渐变 流过水断面上 p (Z + )=C ρg
(Z +
p p ) ρ g ∫ dQ = ( Z + ) ρ gQ ρg ρg Q
α=
Q
∫
u ρ gdQ 2g
2
dQ = udA
ρg
2g
∫ u ห้องสมุดไป่ตู้A
3 A
∫u
A
3
V→u，
dA
V 3A
ρg
2g
动能修正系数,1.05~1.1
2 u12 p2 u2 ′ Z1 + + = Z2 + + + hw γ γ 2g 2g
p1
z为单位重量液体的势能（位能）。 u2/2g为单位重量液体的动能。 p/γ为单位重量液体的压能（压强势能） z+p/ γ=该质点所具有的势能
z+p/ γ+ u2/2g=总机械能 hw'为单位重量的流体从断面1-1流到2-2过程中由 于克服流动的阻力作功而消耗的机械能。这部分 机械能转化为热能而损失，因此称为水头损失。 单位重量机械能既转化又守恒的关系。 2)几何意义 2 2
⎛ p1 u 12 ⎞ ∫A1 ⎜ Z 1 + γ + 2 g ⎟γ ⋅ u 1 dA 1 = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ p2 u2 ⎞ ∫ A 2 ⎜ Z 2 + γ + 2 g ⎟γ ⋅ u 2 dA ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2
+
∫
Q
′ h w γ ⋅ dQ
可分别写成：
⎛ p1 ⎞ ⎟u1 dA1 + γ γ ∫ ⎜ Z1 + ⎜ A1 γ ⎟ ⎝ ⎠
1 1'
p2 W1= γdV（z1-z2） u 若z1>z2则重力作正功； p u1 2 2' 1 2 z 若z1<z2则重力作负功。 z1 ' 2 dA2 dA1 1 1 b.压力作功 断面1-1上的总压力为P1=p1dA1，移动距离为 ds1，作正功，为p1dA1ds1 断面2-2上的总压力为P2=p2dA2，移动距离为 ds2，作负功，为-p2dA2ds2 压力作功为：W2= p1dA1ds1 -p2dA2ds2
第五章 实际流体动力学
实际流体 具有粘性，流体运动时产生切应力，在作用 面上不仅有压应力（动压强），还有切应力。
第五章 实际流体动力学
§5.1 实际流体元流的伯努利方程
§5.2 理想流体总流的伯努利方程 §5.3 总流的动量方程
§5.1
实际流体元流伯努力方程
实际液体恒定流微小流束的能量方程式 2 2
⎛ u 13 ⎞ ∫ A 1 ⎜ 2 g ⎟ dA 1 = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 ⎛ u2 ⎞ ⎛ p2 ⎞ ′ γ ∫ ⎜ Z 2 + ⎟u 2 dA2 + γ ∫A ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2 g ⎟dA 2 + ∫Q h w γ ⋅ dQ ⎟ A2 2 γ ⎠ ⎝ ⎠ ---------------------------⑤ ⎝
u1 p2 u2 ′ Z1 + + = Z2 + + + hw γ γ 2g 2g p1
恒定元流伯诺力方程的各项表示了某种高度，具有 长度的量纲： z为元流过水断面上某点的位置高度，称为位置 水头 p/γ：压强水头。p为相对压强时也即测压管高度
u2/2g：流速水头。即液体 测管水头线 以速度u垂直向上喷射到空 气中时所能达到的高度 在水力学上称 z+p/ γ 为测 压管水头; z+p/ γ+ u2/2g 为总水头。
p1 u1 p2 u2 ′ + = Z2 + + Z1 + + hw ρg 2g ρg 2g
′ h w ——单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损失的
能量，称为水头损失。
′ hw
2 1
Z2 Z1
0
0
1.推导过程
2 2 1 1 2 W = dm ⋅ u 2 − dm ⋅ u12 ∑ 2 2
2 动能定理：运动物体在 ' 1 1 p2 某一时段内，动能的增 u2 量，等于作用在这个物 u1 体上全部外力所做的功 p1 2' 2 z2 之和。 z1 dA2 1' 1 1 dA1 1 2 2 ∑ W = mV2 − mV1 ⑴
几何线段表示
hw1-2 α1v2/2g hw1-3 α2v2/2g p2/γ α3v2/2g p3/γ hw1-4 α4v2/2g hw1-5
总水头线
hw1-6 测管水头线 α6v2/2g
p1/γ
p4/γ
α5v2/2g p5/γ
p6/γ z6
z1
z2
z3
z4
z5
总水头线的坡度称为水力坡度，表示沿程每单 位距离上的水头损失，通常用J表示。
式中 α = 3、
u 3dA ∫
A
⎞ ⎟γ Q ⎟ ⎠
∫
V A
3
（动能修正系数）
----------------⑦
Q
′ h w γ ⋅ dQ
∫
Q
′ hwγ ⋅ dQ =
hwγ ⋅ Q
---------------------------⑧
将⑥⑦⑧代入⑤。并注意到Q1=Q2=Q 再两边除以rQ,则
p αV p2 α V + = ZZ2 + p + u ++ h ′ ) ρ g d Q+ hw + Z + ( ρ ρ g2 g g ρ ρgg 2 g 2 g ∫ 2g
γ
这就是说，各流线的曲率很小(即曲率半径 R 很大)，而且 流线间的夹角 β 也很小。否则，就称为急变流。渐变流与 急变流没有明确的界限、往往由工程需要的精度来决定。 另外，渐变流的极限情况是流线为平行直线的均匀流。 渐变流过水断面具有下面 两个性质： (1)渐变流过水断面近似为 平面； (2)恒定渐变流过水断面 上，动水压强的分布与静 水压强的分布规律相同。
± H = Z2 +
p2
γ
+
αV
2 2 2
2g
+ hw1−2
3.计算断面应为渐变流断面或均匀流断面； 4.能量方程在推导过程中假定流量沿程不 变。实际对于有流量分出或汇入的情况仍适 用；
能量（伯努力）方程应用举例
例1：无固体边界约束。图示为一跌水。已知a=4.0米， h=0.5米，V1 =1.0米/秒，求水股2-2断面处的流速V2。 1 解：①选取基准面0-0 ②选计算断面1-1、2-2 ③计算点，即已知数最多的 点，该点可代表断面其他点。 总流的能量方程为：
αV A =
3
αV 2
2g
ρ gQ
Q
′ ∫ hw ρ gdQ
取平均的hw
hw ρ g ∫ dQ = hw ρ gQ
Q
能量（伯努力）方程的几何表示——水头线
Z：总流过水断面上某点的位置高度，称为位置水头
p/γ：压强水头。p为相对压强时也即测压 管高度，其量纲为 u2/2g：流速水头。量纲为 z+p/ γ称为测压管水头，以Hp表示； 显然：hw也具有长度的量纲 z+p/ γ+ u2/2g称为总水头，以H表示。