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2020版试吧高中全程训练计划数学文天天练33

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2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)模拟考(一)

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)模拟考(一)

模拟考(一) 高考仿真模拟冲刺卷(A)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·陕西一检]设集合M ＝{x ||x －1|≤1}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}，则M ∩∁R N ＝( )A ．[1,2]B ．[0,1]C ．(－1,0)D ．(0,2)答案：B解析：M ＝{x ||x －1|≤1}＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}＝{x |x ＞1或x ＜－1}，∴M ∩∁R N ＝{x |0≤x ≤1}，故选B.2．[2019·陕西模拟]已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( )A.12B.22C. 2 D ．1答案：B解析：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i(1－i )2＝1＋i －2i ＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B.3．要计算1＋12＋13＋…＋12 017的结果，如图所示的程序框图的判断框内可以填( )A ．n <2 017B ．n ≤2 017C ．n ＞2 017D ．n ≥2 017答案：B 解析：通过分析知，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，S ＝1，n ＝1＋1＝2，第2次循环，S ＝1＋12，n ＝2＋1＝3，……当n ＝2 018时，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值．所以结合选项知，判断框内的条件应为n ≤2 017.故选B.4．[2019·广西柳州高中模拟]根据如下样本数据( )得到了回归方程y＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a <0，b >0C ．a >0，b <0D ．a <0，b <0答案：C解析：由表格数据可知y 与x 是负相关关系，所以b <0，且当x ＝0时，y >0，所以a >0，故选C.5．[2019·江西红色七校联考]下列说法正确的是( )A ．a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则綈p 是真命题答案：A解析：当a >1时，1a <1；而1a <1时，如a ＝－1，1a <1，但“a >1”不成立，所以a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件，故A 正确．p ∧q 为真命题时，p ，q 均为真命题，p ∨q 为真命题时，p ，q 中至少有一个为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故B 错误．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故C 错误．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”是真命题，所以綈p 是假命题，故D 错误．故选A.6．[2018·全国卷Ⅰ]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3答案：C解析：如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵ AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴ ∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴ ∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4，在Rt △ACC 1中，CC 1＝ AC 21－AC 2＝42－(22＋22)＝22，∴ V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×22＝8 2.故选C.7．[2019·江西联考]已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －y ＋m 2≥0，x ＋y －1≥0，若目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[0，3]C ．[－3，0]D ．[－3，3]答案：D解析：将z ＝－2x ＋y 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和目标函数在z ＝0时的直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向左上方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 增大，由图象可知，当直线y ＝2x ＋z 过点A 时，z 取得最大值，联立⎩⎨⎧ x －y ＋m 2＝0，x ＋y －1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－m 22，1＋m 22，则－2×1－m 22＋1＋m 22≤4，解得－3≤m ≤3，故选D.8．已知数列{a n }，{b n }，其中{a n }是首项为3，公差为整数的等差数列，且a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5，a n ＝log 2b n ，则{b n }的前n 项和S n ＝( )A ．8(2n －1)B ．4(3n －1)C.83(4n －1)D.43(3n －1)答案：C解析：设数列{a n }的公差为d (d ∈Z )，由题意，得a n ＝3＋(n－1)d ，由a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5可得⎩⎨⎧2d >3，2d <5，所以d ＝2，所以a n ＝2n ＋1.因为a n ＝log 2b n ，即2n ＋1＝log 2b n ，所以b n ＝22n ＋1＝8×4n －1，所以数列{b n }是以8为首项，4为公比的等比数列，所以S n ＝8(1－4n )1－4＝83(4n －1)，故选C. 9．[2019·河南开封模拟]函数f (x )＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案：D 解析：由解析式可知函数为偶函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝1＋ln x ，即0<x <1e 时，函数f (x )单调递减；当x >1e ，函数f (x )单调递增．故选D.10．[2019·四川绵阳南山中学二诊]若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，2＋3]B ．[－2－3，3－2]C ．[－2－3，2＋3]D ．[－2－3，2－3]答案：B解析：圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝18，则圆心为(－2,2)，半径为32，则由圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，得圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2，即|－2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2－4ab ≤0，若b ＝0，则a ＝0，故不成立，故b ≠0，则上式可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－4·a b ≤0，由直线l 的斜率k ＝－a b ，则上式可化为k 2＋4k ＋1≤0，解得－2－3≤k ≤－2＋ 3.故选B.11．[2019·广西两校联考(二)]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2答案：A解析：解法一 由题意可得，sin B ＋2sin C cos A ＝0，即sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，得sin A cos C ＝－3sin C cos A ，即tan A ＝－3tan C .又cos A ＝－b 2c <0，所以A 为钝角，于是tan C >0.从而tan B＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C ＝2tan C 1＋3tan 2C ＝21tan C ＋3tan C，由基本不等式，得1tan C ＋3tan C ≥21tan C ×3tan C ＝23，当且仅当tan C ＝33时等号成立，此时角B 取得最大值，且tan B ＝tan C ＝33，tan A ＝－3，即b ＝c ，A ＝120°，又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.解法二 由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.故选A.12．[2019·安徽淮南模拟]已知函数f (x )＝x 2e x ，若函数g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2＋e 24，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8e 2，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4e 2＋e 24 答案：B解析：f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝x (x ＋2)e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－2.∴当x <－2或x >0时，f ′(x )>0；当－2<x <0时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝4e 2，当x ＝0时，f (x )取得极小值f (0)＝0.∵f (x )＝x 2e x ≥0，∴作出f (x )的大致图象如右图所示．令f (x )＝t ，则当t ＝0或t >4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 只有1个解；当t ＝4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有2个解；当0<t <4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有3个解．∵g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2上有1个解，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞∪{0}上有1解，显然t ＝0不是方程t 2－kt ＋1＝0的解， ∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞上各有1个解，∴16e 4－4k e 2＋1<0，解得k >4e 2＋e 24.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．13．[2019·云南玉溪模拟]若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为________．答案：6＋2 3解析：根据几何体的三视图，得出该几何体是高为1的正三棱柱，其底面为边长等于2的正三角形，∴它的表面积为3×2×1＋2×12×22×32＝6＋2 3.14．在△ABC 中，若(AB→－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为________．答案：等边三角形解析：(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB→－2AC →·AB →＝0.(AC →－2AB →)⊥AC →，即(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，所以AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC→，即|AB →|＝|AC →|，而cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，所以∠A ＝60°，所以△ABC 为等边三角形． 15．[2019·广东广州联考]过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若|AF |＝6，|BF |＝3，则p 的值为________．答案：4解析：由题意，得1|AF |＋1|BF |＝2p ＝12，所以p ＝4.16．[2019·湖北荆州质检]函数f (x )＝ln x －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝1x －x －1>0可解得0<x <5－12.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(一)必考题：共60分17．(本小题满分12分)[2019·江西南昌三校第三次联考]已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(3，cos A ＋1)，n ＝(sin A ，－1)，m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的值．解析：(1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝3sin A ＋(cos A ＋1)×(－1)＝0，∴3sin A －cos A ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. ∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝423， ∴b ＝423.18．(本小题满分12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，得到数据分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数分别为2,3,11,14,11,9.(1)估计该企业的职工对该部门评分不低于80分的概率；(2)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在[40,50)的概率．解析：(1)∵50名受访职工评分不低于80分的频率为11＋950＝0.4.∴该企业职工对该部门评分不低于80分的概率估计值为0.4.(2)受访职工评分在[50,60)的有3人，分别记为A 1，A 2，A 3. 受访职工评分在[40,50)的有2人，分别记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求概率P ＝110.19．(本小题满分12分)[2017·全国卷Ⅰ]如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ； (2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．解析：(1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩DP ＝P ，所以AB ⊥平面P AD .因为AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . (2)如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E . 由(1)可知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin60°＝6＋2 3. 20．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅲ]已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m ＞0)．(1)证明：k ＜－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差． 证明：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12. (2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1， y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32，于是|F A →|＝ (x 1－1)2＋y 21＝ (x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列． 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128. 21．(本小题满分12分)[2019·贵州凯里一中模拟]已知f (x )＝2x ln x －mx ＋2e . (1)若方程f (x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，e 上有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若y ＝f (x )在[1，e]上的最小值为－4＋2e ，求实数m 的值．解析：(1)方程f (x )＝0可化为2x ln x ＝mx －2e .令g (x )＝2x ln x ，则g ′(x )＝2(ln x ＋1)．由g ′(x )＞0可得x ＞1e ；由g ′(x )＜0可得0＜x ＜1e .∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，∴g (x )的极小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2e ， 而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－ln2，g (e)＝2e ，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜g (e)． 由条件可知点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2e 与(e,2e)连线的斜率为2e 2＋2，可知点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2e 与⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－ln2连线的斜率为8e －4ln2，而2e 2＋2＞8e －4ln2，结合图象(图略)可得0≤m ＜2e 2＋2时，函数y ＝g (x )与y ＝mx －2e 有交点．∴方程f (x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，e 上有实数根时，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2e 2＋2.(2)由f (x )＝2x ln x －mx ＋2e 可得f ′(x )＝2ln x －m ＋2， ①若m ≥4，则f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，即f (x )在[1，e]上单调递减，则f (x )的最小值为f (e)＝2e －m e ＋2e ＝－4＋2e ，故m＝2＋4e ，不满足m ≥4，舍去；②若m ≤2，则f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，即f (x )在[1，e]上单调递增，则f (x )的最小值为f (1)＝－m ＋2e ＝－4＋2e ，故m ＝4，不满足m ≤2，舍去；③若2＜m ＜4，则x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，e m －22时，f ′(x )＜0；x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤e m －22，e 时，f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，e m －22上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤e m －22，e 上单调递增， ∴f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫e m －22＝－2e m －22＋2e ＝－4＋2e ， 解得m ＝2ln2＋2，满足2＜m ＜4.综上可知，实数m 的值为2ln2＋2.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[2019·福州模拟]在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．解析：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t 2＋y 2＝1(t >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，因为l 与曲线没有公共点，即0<t 2<3， 所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)<0， 又t >0，所以0<t <3， 故t 的取值范围为(0，3)．(2)由(1)知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0， 故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离 d ＝|t cos α＋sin α－2|2，故d 的最大值为t 2＋1＋22，由题设得t 2＋1＋22＝62＋2，解得t ＝±2， 又t >0，所以t ＝ 2. 23．(本小题满分10分)[2018·全国卷Ⅲ]选修4—5：不等式选讲 设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.。

2022年高考语文全程训练计划习题：天天练33 文言断句(一) Word版含答案

2022年高考语文全程训练计划习题：天天练33 文言断句(一) Word版含答案

2．动天之德莫大于孝/感物之道莫过于诚/诚孝既至/则归梓宫于陵寝/奉两宫于魏阙/绍大业/复境土/又何难焉原文：动天之德莫大于孝，感物之道莫过于诚。

诚孝既至，则归梓宫于陵寝，奉两宫于魏阙，绍大业，复境土，又何难焉。

【参考译文】何铸字伯寿，余杭人。

御史中丞廖刚举荐何铸操行刚正，可以作为拾遗补阙的人选。

于是命他当面回答皇上的问话。

何铸首先说：“感动上天的德行没有比孝更大的，感化万物的方法没有比诚更好的。

诚和孝都做到了，那么使先帝的灵柩归于陵墓，敬重地迎接两朝帝后回到朝廷，继承国家大业，恢复国境疆土，又有什么难的呢？”皇帝赞扬何铸并接受了他的意见。

3．杜亚居守东都/表致府中/亚尝疑牙将令狐运为盗/掠服之/藩争不从/辄去/后果获真盗/稍知名原文：杜亚居守东都，表致府中。

亚尝疑牙将令狐运为盗，掠服之，藩争不从，辄去，后果获真盗，稍知名。

【参考译文】李藩为父亲守丧时，他家里原来财物丰富，姻亲前来吊唁，有拿东西走的，他也不曾过问，更致力于赐予，过了数年家里的财物几乎没有了。

李藩四十多岁时，被困在广陵一带，不能自己振作起来，妻子追悔责怪，李藩平稳不在意。

杜亚镇守东都，上表将他召入幕府。

杜亚曾怀疑牙将令狐运是盗贼，经过拷打令狐运认罪了，李藩坚持说令狐运不是盗贼而杜亚不听从，李藩便离开了杜亚，后来果真抓到了真正的盗贼，李藩因此渐渐出名了。

4．烛邹/汝为吾君主鸟而亡之/是罪一也/使吾君以鸟之故杀人/是罪二也/使诸侯闻之/以吾君重鸟以轻士/是罪三也。

原文：烛邹，汝为吾君主鸟而亡之，是罪一也；使吾君以鸟之故杀人，是罪二也；使诸侯闻之，以吾君重鸟以轻士，是罪三也。

【参考译文】齐景公宠爱射鸟，让烛邹给他管鸟但鸟飞走了。

齐景公大怒，诏令官吏杀掉烛邹。

晏子说：“烛邹有三条罪状，请让我列出后依据他的罪状杀掉他。

”齐景公说：“可以。

”于是叫来烛邹并在齐景公面前列出他的罪状，说：“烛邹，你为我们的国君管鸟却让鸟飞走了，这是第一条罪；让我们的国君为了鸟而杀人，这是其次条罪；让诸侯们听到这件事，认为我们的国君重视鸟而轻视人，这是第三条罪。

高一数学天天练33期中复习(3)

高一数学天天练33期中复习(3)

高一数学天天练33 期中复习（3） 2021.4.10 班级 姓名 学号 得分 一、填空题（3’×14）1、36°角转化为弧度为2、若53sin -=α，α为第三象限角，则=+αα2cos tan3、若54cos =θ，则=θ2cos 4、函数xxy sin 1tan +=的定义域是5、函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如右图所示，则=)(x f6、A B C ∆中，5,105,45a B A ===，则c =7、已知扇形的圆心角为3π，弧长为54π，则该扇形的面积是 8、函数x x y cos 3sin +=的零点是9、函数x x y 3sin 43cos 62-=的值域是 10、函数()sin()6f x x π=-的单调减区间是11、函数ba x a x by ππsin cos sincos+=的最小正周期是 12、下列函数：①sin y x =；②3sin 1y x =+；③sin sin 2y x x =+；④2sin cos2y x x =+； ⑤)cos()22cos()(x x x f ++=ππ。

其中奇函数的有13、在△ABC 中，bc b a 322=-，B C sin 32sin =，则A=14、在锐角ABC △中，若tan 1A t =+，tan 1B t =-，则t 的取值范围为 二、选择题（4’×4）15、在ABC ∆中，“B B A A sin cos sin cos +=+”是“︒=∠90C ”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件16、既是偶函数又在区间),0(π上单调递减的函数是 （ ） （A ）x y sin =（B ）x y cos =（C ）x y 2sin =（D ）x y 2cos =17、要得到函数o s y x 的图象，只需将函数i n (2)4y x π+的图象上所有点 （ ）（A ）横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 （B ）横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度（C ）横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 （D ）横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 18、已知α，β均为锐角，21)cos(-=+βα，若设x =αsin ，y =βcos ，则y 与x 的函数关系式为 （ ） （A ）)10(231212<<+--=x x x y （B ）)121(231212<<---=x x x y （C ）)10(231212<<---=x x x y （D ）)121(231212<<+--=x x x y 三、简答题（6’+6’+8’+10’+12’） 19、已知532tan=α，化简并求值：)5sin()cos()6cos()2sin()2tan(αππααπαπαπ------20、已知),0(πβα∈、，135)sin(=+βα，34tan =α，求βcos 的值21、设函数2()2c o s ()s i n (2)1,.43f x x x x R ππ=-++-∈ （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域22、某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC,CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA,AD用一根9米长的材料弯折而成，要求A ∠和C ∠互补，且AB=BC,设AB x =米， c o s ()A f x =,求()f x 的解析式，并指出x 的取值范围23、21cos cos sin )(2+-⋅=x x x k x f ωωω)0,0(>>ωk 。

2020版试吧高中全程训练计划数学文天天练32

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天天练32抛物线的定义、标准方程及性质小题狂练○32一、选择题1．[2019·哈尔滨模拟]过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12y答案：D解析：由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.故选D.2．抛物线x＝4y2的准线方程为()A．y＝12B．y＝－1C．x＝－116D．x＝18答案：C解析：将x＝4y2化为标准形式为y2＝14x，所以2p＝14，p＝18，开口向右，所以抛物线的准线方程为x＝－116.故选C.3．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y答案：D解析：设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故选D.4．[2019·广东广州天河区实验中学月考]抛物线x2＝4y上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为( )A ．2 2B ．1C ．2D ．3答案：A解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1.根据抛物线定义，得yP ＋1＝3，解得yP ＝2，代入抛物线方程求得x P ＝±22，∴点P 到y 轴的距离为2 2.故选A.5．已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为1，则p 的值为( )A ．1 B. 2C ．2 2D ．4答案：B解析：双曲线y 24－x 2＝1的渐近线y ＝±2x 与抛物线y 2＝2px的准线x ＝－p 2的交点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，p ，则|AB |＝2p ，△AOB 的面积为12×2p ×p 2＝1，p >0，解得p ＝ 2.故选B.6．[2019·山东第三中学月考]已知点Q (0,22)及抛物线y 2＝4x 上一动点P (x ，y )，则x ＋|PQ |的最小值为( )A ．4B ．2C ．6 D. 2答案：B解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则由抛物线的定义得其准线方程为x ＝－1.设d 为点P (x ，y )到准线的距离．∴x ＋|PQ |＝d －1＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1，∴x ＋|PQ |的最小值是|QF |－1.∵点Q (0,22)，∴|QF |＝3.∴x ＋|PQ |的最小值是|QF |－1＝3－1＝2.故选B.7．直线x －y ＋1＝0与抛物线y 2＝2px 的对称轴及准线相交于同一点，则该直线与抛物线的交点的横坐标为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3答案：B解析：由题意可得，直线x －y ＋1＝0与抛物线y 2＝2px 的对称轴及准线交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，代入x －y ＋1＝0，得－p 2＋1＝0，即p ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x .将y 2＝4x 与直线方程x －y ＋1＝0联立可得交点的坐标为(1,2)．故选B.8．[2019·广东中山一中第一次统测]过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6, 那么|AB |＝( )A ．6B ．8C ．9D ．10答案：B解析：由题意知，抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1.∵ 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2.又∵x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.二、非选择题9．[2019·广西贺州桂梧高中月考]抛物线x 2＝－2py (p >0)的焦点到直线y ＝2的距离为5，则p ＝________.答案：6解析：由题意得2＋p 2＝5，∴p ＝6.10．[2019·湖南益阳、湘潭联考]已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点．若|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为________． 答案：y 2＝325x解析：由题意得圆C 1与抛物线C 2的其中一个交点B 为原点，设A (x ，y )，圆C 1的圆心为C (0,2)．∵|AB |＝855，∴sin 12∠BCA ＝|AB |2|BC |＝255，cos 12∠BCA ＝55.∴y ＝|AB |sin 12∠BCA ＝855×255＝165，x ＝|AB |·cos 12∠BCA ＝855×55＝85，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165. ∵点A 在抛物线C 2上，∴2p ×85＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1652，解得p ＝165， ∴抛物线C 2的方程为y 2＝325x .11．[2019·厦门模拟]已知焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上一点A (m ，22)，若以A 为圆心，|AF |为半径的圆A 被y 轴截得的弦长为25，则m ＝________.答案：2解析：因为圆A 被y 轴截得的弦长为25，所以m 2＋5＝|AF |＝m ＋p 2 ①， 又A (m,22)在抛物线上，故8＝2pm ②由①与②可得p ＝2，m ＝2.12．[2019·浙江五校联考]抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是________．答案：22解析：根据抛物线的定义，可求得|PF |＝x ＋1，又|P A |＝(x ＋1)2＋y 2，所以|PF ||P A |＝x ＋1(x ＋1)2＋y 2 ①. 因为y 2＝4x ，令2x ＋1＝t ，则①式可化简为1－t 2＋2t ＋1，其中t ∈(0,2]，即可求得1－t 2＋2t ＋1的最小值为22，所以|PF ||P A |的最小值为22.课时测评○32一、选择题1．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案：C解析：因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p 2＝10 ①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .2．[2019·重庆酉阳一中月考]已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，点P (x ，y )在抛物线C 上，且x ＝1，则|PF |＝( )A.98B.32C.178D.52答案：C解析：由y ＝2x 2，得x 2＝y 2，则p ＝14.由x ＝1得y ＝2.由抛物线的性质，得|PF |＝2＋p 2＝2＋18＝178.故选C.3．[2019·南昌模拟]已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为( )A ．4B ．5C ．8D ．10答案：A解析：通解 由抛物线y 2＝4x ，知p 2＝1，则焦点F (1,0)．设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则由|PF |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－12＋y 20＝5，解得y 0＝±4，所以S △PKF ＝12×p ×|y 0|＝12×2×4＝4，故选A.优解 由题意知抛物线的准线方程为x ＝－1.过点P 作P A ⊥l于点A ，由抛物线的定义知|PF |＝x p ＋p 2＝x p ＋1＝5，所以x p ＝4，代入抛物线y 2＝4x ，得y p ＝±4，所以S △PKF ＝12×p ×|y p |＝12×2×4＝4，故选A.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．±33B ．±34C ．±1D ．±3答案：D解析：设M (x ，y )，由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义，可知x ＋p 2＝2p ，故x ＝3p 2，由y 2＝2p ×3p 2，知y ＝±3p .当M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，3p 时，k MF ＝3p －03p 2－p 2＝3，当M 3p 2，－3p 时，k MF ＝－3p －03p 2－p 2＝－3，故k MF ＝±3.故选D.5．[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN→＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案：D解析：由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ， 解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM→＝(0,2)，FN →＝(3,4)． ∴FM →·FN→＝0×3＋2×4＝8. 故选D.6．[2019·辽宁省五校联考]抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为( ) A.22 B. 2 C.322 D ．3 2答案：C解析：如图所示，不妨设点N 在第二象限，连接EN ，易知F (1,0)，因为∠MNF 为直角，点E 为线段MF 的中点，所以|EM |＝|EF |＝|EN |，又E 在抛物线C 上，所以EN ⊥准线x ＝－1，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，所以N (－1，2)，M (0,22)，所以|NF |＝6，|NM |＝3，所以△MNF 的面积为322，故选C.7．[2019·河南中原名校联考]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2,3)，M在抛物线C上．若点N(1,2)，则|MN|＋|MF|的最小值为()A．2 B．3C．4 D．5答案：B解析：由题意得l：x＝－2，抛物线C：y2＝8x.过点M作MM′⊥l，垂足为点M′，过点N作NN′⊥l，垂足为点N′.由抛物线的几何性质，得|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MM′|≥|NN′|＝3.∴当点M为直线NN′与抛物线C的交点时，|MN|＋|MF|取得最小值3.故选B.8．[2019·湘潭调研]如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5 B．6C.163 D.203答案：C解析：解法一如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l 交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得，3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.解法二 如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.解法三 如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.故选C.二、非选择题9．[2019·宁夏模拟]已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为________．答案：±4解析：由题意可设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．由定义知P 到准线的距离为4，故p 2＋2＝4，即p ＝4，所以抛物线的方程为x 2＝－8y ，代入点P 的坐标得m ＝±4.10．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________．答案：43解析：解法一 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.解法二 由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离百度文库 - 让每个人平等地提升自我11 的最小值是43.11．[2019·云南大理州模拟]已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，且满足OA →·OB →＝－34.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若点M 在抛物线C 的准线上运动，其纵坐标的取值范围是[－1,1]，且MA →·MB→＝9，点N 是以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线的一个公共点，求点N 的纵坐标的取值范围．解析：(1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的方程为x ＝ty ＋p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝ty ＋p 2消去x 得：y 2－2pty －p 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ×y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝p 24.因为OA →·OB→＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3p 24＝－34，解得p ＝1，所以所求抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m ，－1≤m ≤1，由(1)知，x 1x 2＝14，y 1y 2＝－1，y 1＋y 2＝2t ，所以x 1＋x 2＝2t 2＋1，因为MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋(y 1－m )(y 2－m )＝(t －m )2，所以(t －m )2＝9得t ＝m ＋3或t ＝m －3，因为－1≤m ≤1，∴2≤t ≤4或－4≤t ≤－2，由抛物线定义可知，以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，所以点N的纵坐标为y 1＋y 22＝t ，所以点N 的纵坐标的取值范围是[－4，－2]∪[2,4]．。

【2020最新】数学高考一轮复习(文科)训练题：天天练33Word版含解析

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教学资料范本【2020最新】数学高考一轮复习（文科）训练题：天天练33Word版含解析编辑：__________________时间：__________________20xx 最新数学高考一轮复习（文科）训练题：天天练 33Word 版含解析一、选择题1．抛物线x ＝4y2的准线方程为( )A ．y ＝B ．y ＝－1C ．x ＝－D ．x ＝18答案：C解析：将x ＝4y2化为标准形式为y2＝x ，所以2p ＝，p ＝，开口向右，所以抛物线的准线方程为x ＝－.2．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )A ．y2＝4xB ．y2＝36xC ．y2＝4x 或y2＝36xD ．y2＝8x 或y2＝32x答案：C解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P(x0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F 的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋＝10 ①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px0 ②.由①②解得p ＝2，x0＝9或p ＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x 或y2＝36x.3．(20xx·广东广州××区实验中学月考)抛物线x2＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为( )A ．2B ．1C ．2D ．3答案：A解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1.根据抛物线定义，得yP ＋1＝3，解得yP ＝2，代入抛物线方程求得xP ＝±2，∴点P 到y 轴的距离为2.故选A.4．(20xx·天水一模)过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( )A. B.2C. D．22答案：C解析：由题意得xA>xB>0.设∠AFx＝θ(0<θ<π)，|BF|＝m，则由点A到准线l：x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cosθ⇔cosθ＝.又m＝2＋mcos(π－θ)，得m＝＝，所以△AOB的面积S＝×|OF|×|AB|×sinθ＝×1××＝.5．直线x－y＋1＝0与抛物线y2＝2px的对称轴及准线相交于同一点，则该直线与抛物线的交点的横坐标为( )A．－1 B．1C．2 D．3答案：B解析：由题意可得，直线x－y＋1＝0与抛物线y2＝2px的对称轴及准线交点的坐标为，代入x－y＋1＝0，得－＋1＝0，即p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x.将y2＝4x与直线方程x－y＋1＝0联立可得交点的坐标为(1,2)．故选B.6．(20xx·广东中山一中第一次统测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6, 那么|AB|＝( )A．6 B．8C．9 D．10答案：B解析：由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.∵ 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又∵x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.故选B.7．(20xx·湖南长沙模拟)A是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点．当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( )A．x＝－1 B．y＝－1C．x＝－2 D．y＝－2答案：A解析：过点A作准线的垂线AC，过点F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，如图．由题意知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，又因为|AF|＝4，所以|AB|＝2.点A到准线的距离d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.故选A.8．(20xx·福建厦门杏南中学期中)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )A．2 B．23C．4 D．25答案：B解析：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设其方程为y2＝2px(p>0)．∵点M(2，y0)到该抛物线焦点的距离为3，∴2＋＝3，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.∵M(2，y0)，∴y＝8，∴|OM|＝＝2.故选B.二、填空题9．(20xx·新课标全国卷Ⅱ，16)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.答案：6解析：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴ PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵ 点M为FN的中点，PM∥OF，∴ |MP|＝|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴ |MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.10．(20xx·厦门一模)已知焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上一点A(m，2)，若以A为圆心，|AF|为半径的圆A被y轴截得的弦长为2，则m＝________.答案：2解析：因为圆A被y轴截得的弦长为2，所以＝|AF|＝m＋①，又A(m,2)在抛物线上，故8＝2pm ②由①与②可得p＝2，m＝2.11．(20xx·浙江五校联考(二))抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小值是________．答案：2 2解析：根据抛物线的定义，可求得|PF|＝x＋1，又|PA|＝，所以＝ ①.因为y2＝4x ，令＝t ，则①式可化简为，其中t∈(0,2]，即可求得的最小值为，所以的最小值为.三、解答题12．(20xx·北京卷，18)已知抛物线C ：y2＝2px 过点P(1,1)．过点作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．解析：(1)解：由抛物线C ：y2＝2px 过点P(1,1)，得p ＝. 所以抛物线C 的方程为y2＝x.抛物线C 的焦点坐标为，准线方程为x ＝－.(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋(k≠0)，l 与抛物线C 的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得4k2x2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x1，x1)．直线ON 的方程为y ＝x ，点B 的坐标为.因为y1＋－2x1＝y1x2＋y2x1－2x1x2x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx1＋12x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx2＋12x1－2x1x2x2＝错误!＝)＋\f(1－k,2k2),x2)＝0，所以y1＋＝2x1.故A 为线段BM 的中点．。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练30

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天天练30 椭圆的定义、标准方程及性质小题狂练○30一、选择题1．椭圆x 24＋y 2＝1的离心率为( ) A.12 B.32C.52 D ．2 答案：B解析：由题意得a ＝2，b ＝1，则c ＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32，故选B.2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43 答案：D解析：若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43.故选D.3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2答案：B解析：因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.故选B.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－ 3C.3－12 D.3－1 答案：D解析：在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.故选D.5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△P AB 的面积为( )A ．2 B.24 C.12 D ．1 答案：D解析：由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △P AB ＝12×2a ×22＝1，故选D.6．[2019·河南安阳模拟]已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0(O为坐标原点)．若|PF1→|＝2|PF 2→|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.6－32C.6－ 5D.6－52 答案：A解析：以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF 1→·(OF1→＋OP →)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP |＝|OF 1|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则⎩⎨⎧2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2＋12x ，c ＝32x ，∴e ＝c a ＝32＋1＝6－3，故选A.7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3C ．6D ．8 答案：C解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.故选C.8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c,0)，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎝⎛⎦⎥⎤0，22C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22答案：C解析：由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA |＝|OF |＝c ，由|OA |>b ，即c >b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得22<e <1.故选C.二、非选择题9．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .则动点Q 的轨迹Γ的方程为________．答案：x 24＋y 2＝1解析：连接QF ，因为Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4.又|EF |＝23<4，得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆即x 24＋y 2＝1.10．[2019·金华模拟]如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________． 答案： 5解析：方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2k ＝2⇒2k ＝54，∴短轴长为2×52＝ 5.11．[2019·陕西检测]已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是其左、右焦点，∠F 1PF 2取最大值时cos ∠F 1PF 2＝13，则椭圆的离心率为________．答案：33解析：易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a23＝4c 2，即a ＝3c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33.12．[2019·“超级全能生”联考]已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1与圆M ：x 2＋y 2＋22x ＋2－r 2＝0(0<r <2)，过椭圆C 的上顶点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于A ，B 两点(不同于P 点)，则直线P A 与直线PB 的斜率之积等于________．答案：1解析：由题可得，圆心为M (－2，0)，P (0，2)．设切线方程为y ＝kx ＋ 2.由点到直线的距离公式得，d ＝|－2k ＋2|1＋k2＝r ，化简得(2－r 2)k 2－4k ＋(2－r 2)＝0，则k 1k 2＝1.课时测评○30一、选择题1．[2019·河北省五校联考]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案：D解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb ＝1⇒bc ＝1,2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.2．[2019·深圳模拟]过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 210＋y 25＝1 答案：C 解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y210＝1.故选C.3．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案：A解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12， 又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y26＝1.故选A.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14 答案：D解析：如图，作PB ⊥x轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14. 故选D.5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点．若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，则椭圆的离心率e 为( )A.53B.13C.23D.12 答案：A解析：∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆定义知x ＋2x ＝2a ，∴x ＝2a 3，∴|PF 2|＝2a3，则|PF 1|＝4a 3.由勾股定理知|PF 2|2＋|PF 1|2＝|F 1F 2|2，解得c ＝53a ，∴e ＝c a ＝53.故选A.6．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：A解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.故选A.7．[2019·贵州遵义联考]已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的离心率为( )A.32或52B.32或 5C.32 D. 5 答案：B解析：由题意得m 2＝16，解得m ＝4或m ＝－4.当m ＝4时，曲线方程为x 2＋y 24＝1，故其离心率e 1＝c a ＝ 1－b 2a 2＝ 1－14＝32；当m ＝－4时，曲线方程为x 2－y 24＝1，故其离心率e 2＝ca ＝ 1＋b 2a 2＝ 1＋4＝ 5.所以曲线的离心率为32或 5.故选B.8．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫0，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，55答案：A解析：由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎨⎧a >b2＋c ，b <b2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2>14(a 2－c 2)，a 2－c 2<2c ，解得55<e <35.故选A.二、非选择题9．[2019·铜川模拟]已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．答案：3 解析：如图，设椭圆的右焦点为E ，连接AE 、BE .由椭圆的定义得，△F AB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |.∵|AE |＋|BE |≥|AB |，∴|AB |－|AE |－|BE |≤0，∴|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a .当直线AB 过点E 时取等号，此时直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴当△F AB 的周长最大时，△F AB的面积是12×3×|EF |＝12×3×2＝3.10．[2019·辽宁沈阳东北育才学校月考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°.设椭圆C 的离心率为e ，则e 2＝________.答案：1－33 解析：由椭圆的对称性，设M (x 0，y 0)，y 0>0，A (－a,0)，B (a,0)．因为∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°，所以k BM ＝y 0x 0－a ＝－1，k AM ＝y 0x 0＋a ＝33.又因为x 20a 2＋y 20b 2＝1，三等式联立消去x 0，y 0可得b 2a 2＝33＝1－e 2，所以e 2＝1－33.11．[2019·云南昆明一中月考]已知中心在原点O ，焦点在x轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解析：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)．当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，22， 此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2. 因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43. 因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k ·－4k 21＋2k 2＋2k ＝2k 1＋2k2， y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2，所以|y1－y2|＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4k2(1＋2k2)2＋4k21＋2k2＝43，所以k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.。

高中全程复习方略(文科数学)2020版核心素养提升练 三十三 7.2

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心素养提升练三十三二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列各点中,与点(2,2)位于直线x+y-1=0的同一侧的是 ( )A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(2,-3)【解析】选C.点(2,2)使x+y-1>0,点(-1,3)使x+y-1>0,所以此两点位于x+y-1=0的同一侧.2.不等式组所表示的平面区域的面积为( )A.1B.C.D.【解析】选D.作出不等式组对应的区域为△BCD,由题意知x B=1,x C=2.由得y D=,所以S△BCD=×(x C-x B)×=.3.(2017·北京高考)若x,y满足则x+2y的最大值为 ( )A.1B.3C.5D.9【解析】选D.线性约束条件表示的平面区域如图阴影部分所示,将z=x+2y转化为y=-x+,由直线l:y=-x平移可知,当直线y=-x+过点A时,z=x+2y的值最大,由解得A(3,3),所以z max=3+2×3=9.4.(2018·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为( )A.6B.19C.21D.45【解析】选C.在平面直角坐标系中画出可行域ABCD以及直线l:3x+5y=0,平移直线l,可知:当直线l过点C(2,3)时,z取得最大值为3×2+5×3=21.5.若变量x,y满足约束条件则(x-2)2+y2的最小值为 ( )A. B. C. D.5【解析】选D.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z=(x-2)2+y2,则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,由图知C,D间的距离最小,此时z最小.由得即C(0,1),此时z min=(0-2)2+12=4+1=5.【变式备选】(2018·枣庄模拟)已知实数x,y满足约束条件则ω=的最小值是( )A.-2B.2C.-1D.1【解析】选D.作出不等式组对应的平面区域如图(不包括y轴),ω=的几何意义是区域内的点P(x,y)与定点A(0,-1)所在直线的斜率,由图象可知当P位于点D(1,0)时,直线AP的斜率最小,此时ω=的最小值为=1.6.(2019·南昌模拟)设变量x,y满足约束条件则z=|x-3y|的最大值为( )A.10B.8C.6D.4【解析】选B.不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.当平移直线x-3y=0过点A时,m=x-3y取最大值;当平移直线x-3y=0过点C时,m=x-3y取最小值.由题意可得A(-2,-2),C(-2,2),所以m max=-2-3×(-2)=4,m min=-2-3×2=-8,所以-8≤m≤4,所以|m|≤8,即z max=8.7.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选C.图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y=x-1上的点,只需要可行域的边界点(-m,m)在y=x-1下方,也就是m<-m-1,即m<-.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·北京高考)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是________. 【解析】x+1≤y≤2x,等价于不等式组画出可行域如图,令z=2y-x,化为斜截式得y=x+z,直线斜率为,在y轴上的截距为z,直线越往下,z越小,z越小,由得最优解为(1,2),所以z=2y-x的最小值为3.答案:39.(2018·全国卷Ⅲ)若变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是________. 世纪金榜导学号【解析】作出可行域由图可知目标函数在直线x-2y+4=0与x=2的交点(2,3)处取得最大值3.答案:310.(2018·广州模拟)已知x,y满足约束条件若z=x-ay(a>0)的最大值为4,则a=________. 世纪金榜导学号【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,则A(2,0),B(-2,-2).显然直线z=x-ay过A时不能取得最大值4.若直线z=x-ay过点B时取得最大值4,则-2+2a=4,解得a=3,此时,目标函数为z=x-3y,作出直线x-3y=0,平移该直线,当直线经过点B时,截距最小,此时,z的最大值为4,满足条件.答案:3(20分钟40分)1.(5分)若实数x,y满足且z=2x+y的最小值为4,则实数b的值为( ) A.1 B.2 C. D.3【解析】选D.作出不等式组表示的平面区域如图阴影所示,由图可知z=2x+y在点A处取得最小值,且由解得所以A(1,2).又由题意可知点A在直线y=-x+b上,所以2=-1+b,解得b=3.2.(5分)(2018·广州模拟)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A.1 800元 B.2 400元C.2 800元D.3 100元【解析】选C.设该公司生产甲产品x桶,生产乙产品y桶,获利为z元,则x,y满足的线性约束条件为目标函数z=300x+400y.作出可行域,如图中四边形OABC的边界及其内部整点.作直线l0:3x+4y=0,平移直线l0经可行域内点B时,z取最大值,由得B(4,4),满足题意,所以z max=4×300+4×400=2 800(元).3.(5分)(2019·石家庄模拟)在平面直角坐标系中,不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为π,若x,y满足上述约束条件,则z=的最小值为____________.【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由题意,知πr2=π,解得r=2.z==1+,表示可行域内的点与点P(-3,2)连线的斜率加上1,由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小.设切线方程为y-2=k(x+3),即kx-y+3k+2=0,则有=2,解得k=-或k=0(舍去),所以z min=1-=-.答案:-【变式备选】已知实数x,y满足条件则z=的最小值为________.【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.目标函数z==表示可行域内一点与点(2,0)连线的斜率,可知过点(2,0)作半圆的切线,切线的斜率为z=的最小值,设切线方程为y=k(x-2),则A到切线的距离为1,故1=,解得k=.答案:4.(12分)已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示. 世纪金榜导学号(1)写出表示区域D的不等式组.(2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.【解析】 (1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原点(0,0)在区域D内,故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有[4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0,即(14-a)(-18-a)<0,解得-18<a<14.故a的取值范围是(-18,14).5.(13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示: 世纪金榜导学号原料A B C肥料甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.(2)分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.【解析】 (1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分的整数点.(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.【变式备选】投资人制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损,一投资人打算投资甲、乙两项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为50%和40%,可能的最大亏损率分别为30%和20%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过2.4万元.设甲、乙两个项目投资额分别为x,y万元.(1)写出x,y满足的约束条件.(2)求可能盈利的最大值(单位:万元).【解析】 (1)x,y满足的约束条件为(2)设目标函数z=0.5x+0.4y,上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,平移直线l0:0.5x+0.4y=0,当经过点M时,z=0.5x+0.4y取得最大值.解方程组得x=4,y=6.此时z max=0.5×4+0.4×6=4.4(万元).关闭Word文档返回原板块。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练3

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天天练3 函数的概念及表示小题狂练③一、选择题1．[2019·惠州二调]已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 答案：D解析：解法一 由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.解法二 因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x 为奇函数，故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x ＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2，所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4.2．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.3．[2019·河南豫东、豫北十所名校段测]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x ≤9，f (x －4)，x ＞9，则f (13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值为()A ．1B ．0C ．－2D ．2 答案：B解析：因为f (13)＝f (13－4)＝f (9)＝log 39＝2，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2log 313＝－2，所以f (13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2－2＝0.故选B.4．[2019·山东潍坊青州段测]函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2] 答案：A解析：函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x 的定义域为⎩⎨⎧x －1＞0，2－x ＞0的解集，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)．故选A. 5．[2019·福建省六校联考]下列函数中，满足f (x 2)＝[f (x )]2的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝|x ＋1|C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝e x 答案：C解析：解法一 对于函数f (x )＝x 3，有f (x 2)＝(x 2)3＝x 6，[f (x )]2＝(x 3)2＝x 6，所以f (x 2)＝[f (x )]2，故选C.解法二 因为f (x 2)＝[f (x )]2，对选项A ，f (22)＝ln4，[f (2)]2＝(ln2)2，排除A ；对选项B ，则有f (12)＝|12＋1|＝2，[f (1)]2＝|1＋1|2＝4，排除B ；对选项D ，则有f (12)＝e ，[f (1)]2＝e 2，排除D.故选C.6．[2019·重庆二诊]如图所示，对应关系f 是从A 到B 的映射的是( )答案：D解析：A 到B 的映射为对于A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应，所以不能出现一对多的情况，因此D 表示A 到B 的映射．7．已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，则y ＝f (3x －1)的定义域为( )A ．[－7,14)B ．(－7,14] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，83 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83 答案：D解析：因为函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x ＜5，所以0≤x ＋2＜7，所以函数f (x )的定义域为[0,7)，对于函数y ＝f (3x －1)，0≤3x －1＜7，解得13≤x ＜83，故y ＝f (3x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83，故选D.8．[2019·山东德州模拟]设函数y ＝9－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(3－x )的定义域为B ，则A ∩∁R B ＝( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．{3}D ．[－3,3) 答案：C解析：由9－x 2≥0解得－3≤x ≤3，可得A ＝[－3,3]，由3－x >0解得x <3，可得B ＝(－∞，3)，因此∁R B ＝[3，＋∞)．∴A ∩(∁R B )＝[－3,3]∩[3，＋∞)＝{3}．故选C.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝log2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________.答案：－7解析：∵ f (x )＝log2(x 2＋a )且f (3)＝1，∴ 1＝log2(9＋a )，∴9＋a ＝2，∴ a ＝－7.10．[2019·南阳模拟]已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，则f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝－x －2x (x ≠0)解析：由题意知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，即f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x 代换上式中的x ，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，联立得，⎩⎨⎧f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，解得f (x )＝－x －2x (x ≠0)．11．[2019·河南开封模拟]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为________．答案：2解析：∵当x ≥2时，f (x )＝log 3(x 2－1)，∴f (2)＝log 3(22－1)＝1<2，∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.12．[2019·湖北黄冈浠水县实验高中模拟]已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12解析：∵函数f (x )的定义域为(－1,0)，∴由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12.∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.课时测评③一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1答案：C解析：选项A 中，f (x )＝x 2的定义域是R ，g (x )＝(x )2的定义域是{x |x ≥0}，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除A ；选项B 中，f (x )与g (x )定义域相同，但对应关系和值域不同，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除B ；选项D 中，f (x )＝x ＋1的定义域为R ，g (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除D ；选项C 中，f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0可化为f (x )＝|x |，所以其与g (t )＝|t |表示同一函数．故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x >0，x ，x ≤0，若f (a )＋f (3)＝5，则实数a ＝( )A ．2B ．－1C ．－1或0D ．0 答案：B解析：解法一 因为f (a )＋f (3)＝5，又f (3)＝23－2＝6，所以f (a )＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝－1，a >0或⎩⎨⎧a ＝－1，a ≤0，解得a ＝－1，故选B.解法二 因为f (3)＝23－2＝6，f (2)＝22－2＝2，所以f (2)＋f (3)＝2＋6＝8≠5，所以a ≠2，排除A ；因为f (0)＝0，所以f (0)＋f (3)＝0＋6＝6≠5，所以a ≠0，排除C ，D.故选B.3．函数f (x )＝(x －2)0＋23x ＋1的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C ．R D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)答案：D解析：要使函数f (x )有意义，只需⎩⎨⎧x ≠2，3x ＋1>0，所以x >－13且x ≠2，所以函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)，故选D.4．[2019·湖南邵阳模拟]设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4) 答案：B解析：∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎨⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.5．[2019·陕西西安长安区质量检测大联考]已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5] 答案：C解析：∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，f (2)＝4，由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，∴结合图象可知，要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m ≤2.故选C.6．[2019·新疆乌鲁木齐一诊]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3(x －1)，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 D ．[2，＋∞) 答案：A解析：当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1， ∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1，∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解． 综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A. 7．[2019·定州模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2，x <0，－e x ，x ≥0，若f (f (t ))≤2，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，ln2] B ．[ln2，＋∞)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D ．[－2，＋∞) 答案：A解析：令m ＝f (t )，则f (m )≤2，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，log 2m 2≤2或⎩⎨⎧ m ≥0，－e m≤2，即－2≤m <0或m ≥0，所以m ≥－2，则f (t )≥－2，即⎩⎨⎧t <0，log 2t 2≥－2或⎩⎨⎧t ≥0，－e t ≥－2，即t ≤－12或0≤t ≤ln2，所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，ln2]．故选A.8．[2019·福建福清校际联盟模拟]定义函数f (x )，g (x )如下表：则满足f (g (x ))>A ．0或1 B ．0或2 C ．1或7 D ．2或7 答案：D解析：由表格可以看出，当x ＝0时，g (0)＝2，f (g (0))＝f (2)＝0，同理g (f (0))＝g (1)＝1，不满足f (g (x ))>g (f (x ))，排除A ，B.当x ＝1时，f (g (1))＝f (1)＝2，g (f (1))＝g (2)＝7，不满足f (g (x ))>g (f (x ))，排除C.当x ＝2时，f (2)＝0，g (2)＝7，f (g (2))＝f (7)＝7，同理g (f (2))＝g (0)＝2，满足f (g (x ))>g (f (x ))．当x ＝7时，f (g (7))＝f (0)＝1，g (f (7))＝g (7)＝0，满足f (g (x ))>g (f (x ))．故选D.二、非选择题9．[2019·唐山五校联考]函数y ＝110x－2的定义域为________．答案：(lg2，＋∞)解析：依题意，10x >2，解得x >lg2，所以函数的定义域为(lg2，＋∞)．10．已知函数f (3x ＋2)＝x 2－3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝19x 2－13x 9＋319解析：设t ＝3x ＋2，则x ＝t －23，所以f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －232－3·t －23＋1＝19t 2－13t 9＋319，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝19x 2－13x 9＋319.11．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求f (x )的最大值．解析：由直线y ＝4x ＋1与y ＝x ＋2求得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，73；由直线y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋4，求出交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83.由图象可看出：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4⎝⎛⎭⎪⎫x ≥23x ＋2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<x <234x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤13f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝83.。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练31

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天天练31 双曲线的定义、标准方程及性质小题狂练○31 一、选择题1．[2019·绵阳一诊]已知圆O 1和圆O 2的半径分别为2和4，且|O 1O 2|＝8，若动圆M 与圆O 1内切，与圆O 2外切，则动圆圆心M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线 答案：C解析：设动圆M 的半径为R ，由题意得|MO 1|＝R －2，|MO 2|＝R ＋4，所以|MO 2|－|MO 1|＝6(常数)，且6<8＝|O 1O 2|，所以动圆圆心M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点的双曲线的一支．故选C. 2．[2019·昆明模拟]“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C解析：先证充分性，由mn <0，知m ，n 异号，可得1m ，1n 异号，所以方程mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y21n ＝1，其表示双曲线；再证必要性，若方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线，则m ≠0，n ≠0，方程mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n＝1，由双曲线方程的形式可知1m ，1n异号，所以mn <0.综上，“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的充要条件．故选C.3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )C ．6D ．8 答案：B解析：由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|.解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.4．[2019·广东广州模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案：C解析：由题意得2a ＝23，解得a ＝3.因为|PF 1|＝2，所以点P 在双曲线的左支上．所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 2|＝8.故选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y24＝1C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y26＝1 答案：A解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得ca ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.故选A.6．[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )C.322D．2 2答案：D解析：由题意，得e＝ca＝2，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a＞0，b＞0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22，故选D.7．[2019·河南豫南豫北联考]已知直线y＝x＋1与双曲线x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点M的横坐标为1，则该双曲线的离心率为()A. 2B. 3C．2 D. 5答案：B解析：由题意得M(1,2)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入双曲线方程，两式相减并整理得y21－y22x21－x22＝b2a2＝k AB·k OM＝2.∴b2＝2a2，即c2－a2＝2a2，∴e＝ 3.故选B.8．[2019·福州四校联考]过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为() A．y＝±x B．y＝±2xC．y＝±3x D．y＝±2x答案：A解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为4b2－c2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以即ba ＝4b 2－c 2c 即：ba ＝3b 2－a 2a 2＋b2，解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.二、非选择题9．[2019·辽宁沈阳月考]已知方程mx 2＋(2－m )y 2＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________．答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)解析：∵mx 2＋(2－m )y 2＝1表示双曲线，∴m (2－m )<0.解得m <0或m >2.10．[2019·广东揭阳普宁市华侨中学模拟]过双曲线x 2－y22＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若|PQ |＝4，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是________．答案：12解析：由题意，|PF 2|－|PF 1|＝2，|QF 2|－|QF 1|＝2.∵ |PF 1|＋|QF 1|＝|PQ |＝4，∴|PF 2|＋|QF 2|－4＝4，∴|PF 2|＋|QF 2|＝8.∴△PF 2Q 的周长是|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ |＝8＋4＝12.11．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案：x 24－y 2＝1解析：解法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x24－y 2＝1.解法二 ∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝ 1.12．[2019·郑州一检]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，直线FM 交另一条渐近线于N ，若2MF →＝FN →，则双曲线的渐近线方程为________．答案：y ＝±33x解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，F (c,0)，则|MF |＝b ，由2MF →＝FN →，可得|MF ||FN |＝12，所以|FN |＝2b .在Rt △OMF 中，由勾股定理，得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝a ，因为∠MOF ＝∠FON ，所以由角平分线定理可得|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，|ON |＝2a ，在Rt △OMN 中，由|OM |2＋|MN |2＝|ON |2，可得a 2＋(3b )2＝(2a )2,9b 2＝3a 2，即b 2a 2＝13，所以b a ＝33，所以双曲线C 的渐近线方程为y＝±33x .课时测评○31一、选择题1．[2019·合肥检测]下列双曲线中，渐近线方程不是y ＝±34x 的是( )A.x 2144－y 281＝1B.y 218－x 232＝1 C.y 29－x 216＝1 D.x 24－y 23＝1 答案：D解析：对于A ，渐近线方程为y ＝±912 x ＝±34x ；对于B ，渐近线方程为y ＝±1832x ＝±34x ；对于C ，渐近线方程为y ＝±34x ；对于D ，渐近线方程为y ＝±32x .故选D.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 225－y 220＝1 C.x 220－y 25＝1 D.x 220－y 225＝1 答案：A解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c ＝5，又e ＝ca ＝5，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的标准方程为x 25－y220＝1.故选A.3．[2019·山东潍坊模拟]曲线y ＝x 2在点P (1,1)处的切线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是( )A ．5 B. 5C.52 D.3 答案：B解析：由y ＝x 2求导，得y ′＝2x ，∴k ＝y ′|x ＝1＝2.∵函数y＝x 2在点P (1,1)处的切线与双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行，∴b a ＝2，∴e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝5，故选B.4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为( )A. 2B. 3C ．2 D.32 答案：A解析：因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝－1，可得a ＝b ，，双曲线为等轴双曲线，故e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 2.故选A.5．[2018·全国卷Ⅱ]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x 答案：A解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.又∵离心率c a ＝a 2＋b 2a＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2.∴b ＝2a (a ＞0，b ＞0)． ∴渐近线方程为2ax ±ay ＝0，即y ＝±2x . 故选A.6．[2019·河南郑州一中月考]已知点A 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上一点，F 是右焦点．若△AOF (O 是坐标原点)是等边三角形，则该双曲线的离心率e 为( )A. 2B. 3C ．1＋ 2D ．1＋ 3 答案：D解析：依题意及三角函数定义得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c cos π3，c sin π3， 即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，32c . 代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 得b 2c 2－3a 2c 2＝4a 2b 2.又由c 2＝a 2＋b 2，得e 2＝4±23又e >1，解得e ＝3＋1.故选D.7．[2019·黑龙江海林月考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，且AF →＝3BF→，则双曲线离心率的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．2 2 答案：C解析：因为过右焦点F 的直线与双曲线相交于A ，B 两点，且AF→＝3BF →，所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支，且点A 在左支上，点B 在右支上．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c,0)．因为AF→＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，所以3x 2－x 1＝2c .因为x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a,3x 2≥3a ，所以3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，所以ca ≥2，即e ≥2，所以双曲线离心率的最小值为2.故选C.8.如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y224＝1(a >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线交于点A ，B ，若△ABF 2为等边三角形，则△BF 1F 2的面积为( )A ．8B ．8 2C ．8 3D ．16 答案：C解析：由|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，在△AF 1F 2中，|AF 1|＝6a ，|AF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1AF 2＝60°，由余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，化简得c ＝7a ，由a 2＋b 2＝c 2得，a 2＋24＝7a 2，解得a ＝2，则△BF 1F 2的面积为12|BF 1|·|BF 2|sin ∠F 1BF 2＝12×2a ×4a ×32＝8 3.故选C.二、非选择题9．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3,0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为________．答案：x 2－y28＝1(x ≤－1)解析：设动圆M 的半径为R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ，∴|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x ≤－1)．10．[2019·海淀模拟]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案：2解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得ba ＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.11．过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求||AB ；(2)求△AOB 的面积．解析：(1)由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝33(x －3)x 23－y 26＝1消去y 得5x 2＋6x －27＝0.∴x 1＋x 2＝－65，x 1·x 2＝－275.∴||AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝165 3(2)直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0. ∴原点O 到直线AB 的距离为 d ＝|－33|(3)2＋(－3)2＝32.∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1653×32＝125 3.。

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天天练6函数图象及应用小题狂练⑥一、选择题1．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)答案：C解析：由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C选项是正确的．2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后向左平移1个单位长度得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．3．[2019·湖北四地七校联考]函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )答案：A 解析：函数y ＝ln|x |－x 2的定义域为{x |x ≠0}且为偶函数，所以排除选项B ，D.又当x >0时，y ＝ln x －x 2，y ′＝1x －2x ，令y ′＝0，解得x ＝22，或x ＝－22(舍去)．则当0<x <22时，函数y＝ln|x |－x 2单调递增；当x >22时，函数y ＝ln|x |－x 2单调递减．故选A.4．[2019·咸宁模拟]已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是图中的( )答案：B 解析：通解 因为y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，而y ＝log a x 与y ＝log a (－x )的图象关于y 轴对称，根据图象特征可知选B.优解 首先，曲线y ＝a x 只可能在x 轴上方，曲线y ＝log a (－x )只可能在y 轴左边，从而排除A ，C ；其次，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，排除D ，选B.5．[2019·重庆六校联考(一)]函数f (x )＝sinπx x 2的大致图象为( )答案：D 解析：易知函数f (x )＝sinπx x 2为奇函数且定义域为{x |x ≠0}，只有选项D 满足，故选D.6．[2019·福建省高三毕业班质量检查测试]已知a ＝0.40.3，b＝0.30.4，c ＝0.3－0.2，则( )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <b <c答案：A解析：通解 因为函数y ＝0.3x 在R 上单调递减，所以0<0.30.4<0.30.3<1<0.3－0.2.又0<0.30.3<0.40.3<1，a ＝0.40.3，b ＝0.30.4，c ＝0.3－0.2，所以b <a <c .故选A.优解 因为a 10＝0.43＝0.064，b 10＝0.34＝0.008 1，c 10＝0.3－2＝1009>1，所以b <a <c .故选A.7．[2018·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )答案：B 解析：∵ y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴ f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴ 1e <12，∴ e －1e >1，排除C 选项．故选B.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案：D解析：|f (x )|＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f (x )|，则a ≤0，且ax ≤x 2－2x (x <0)，即a ≥x －2对任意x <0恒成立，所以a ≥－2.综上，－2≤a ≤0.故选D.二、非选择题9．[2019·烟台模拟]如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为____________．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧ k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a >0)，∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0.10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.答案：133解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，所以a ＝b ＝2，又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.11．[2019·泰安四校联考(一)]用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案：6解析：f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.故当x ＝4时，f (x )取最大值，又f (4)＝6，所以f (x )的最大值为6.12．[2019·山西大同一中模拟]已知f (x )＝(x ＋1)·|x －1|，若关于x 的方程f (x )＝x ＋m 有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围为____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，54 解析：因为f (x )＝(x ＋1)|x －1|＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥1，1－x 2，x <1，在同一平面直角坐标系内作出y ＝f (x )，y ＝x ＋m 的图象，如图，当直线与抛物线相切时，联立方程组得x 2＋x ＋m －1＝0，Δ＝1－4(m －1)＝5－4m ＝0，解得m ＝54，当y ＝x ＋m 过点(1,0)时m ＝－1，方程f (x )＝x ＋m 有三个不同的实数解就是直线与抛物线有三个交点，由图可知－1<m <54，故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，54.课时测评⑥一、选择题 1．[2019·重庆一诊]若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1答案：D解析：与曲线y＝e x图象关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.2．[2019·广东广州普通高中模拟]定义域为R的函数f(x)＝ax2＋b|x|＋c(a≠0)有四个单调区间，则实数a，b，c满足() A．b2－4ac>0且a>0 B．b2－4ac>0C．－b2a>0 D．－b2a<0答案：C解析：此函数为偶函数，当x≥0时，f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x<0时，f(x)＝ax2－bx＋c.只要当x>0时，顶点在y轴的右侧，f(x)就有四个单调区间，所以－b2a>0.故选C.3．[2019·石家庄摸底考试]现有四个函数：①y＝x·sin x，②y ＝x·cos x，③y＝x·|cos x|，④y＝x·2x的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是()A．①④②③B．①④③②C．④①②③D．③④②①答案：A解析：函数①y＝x·sin x为偶函数，图象关于y轴对称，对应的是第一个函数图象，从而排除选项C，D；对于函数④y＝x·2x，y′＝2x(1＋x ln2)，x>0时，y′>0，函数单调递增，所以函数④y ＝x·2x对应的是第二个函数图象；又x>0时，函数③y＝x·|cos x|≥0，对应的是第四个函数图象，从而排除选项B，故选A.4．[2019·洛阳统考]已知f(x)＝(x－a)·(x－b)(a>b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的大致图象是()答案：A 解析：由函数f (x )的大致图象可知3<a <4，－1<b <0，所以g (x )的图象是由y ＝a x (3<a <4)的图象向下平移－b (0<－b <1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项A 中的图象，故选A.5．[2019·安徽宿州第一次教学质量检测]函数y ＝x 3e x (其中e 为自然对数的底数)的大致图象是( )答案：B 解析：方法一：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x <0时，y <0，排除A ；y ′＝3x 2e x －x 3e x (e x )2＝x 2(3－x )e x ， 当x <3时，y ′>0，当x >3时，y ′<0，∴函数在(0，＋∞)上先增后减．故选B.方法二：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x <0时，y <0，排除A ；当x →＋∞时，y →0.故选B. 6.若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝1，b ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：B解析：令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x ＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图象可知，－b a >1，又当x >－b a 时，f (x )>0，故a >0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B.7．[2018·全国卷Ⅲ]函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )答案：D 解析：方法1：f ′(x )＝－4x 3＋2x ，则f ′(x )>0的解集为－∞，－22∪0，22，f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为－22，0∪22，＋∞，f (x )单调递减．故选D.方法2：当x＝1时，y＝2，所以排除A，B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝12时，y＝－116＋14＋2＝2316>2，所以排除C选项．8．[2019·山东安丘一中段考]已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)从原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(选项中阴影部分)．若函数y＝f(t)的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是()答案：C解析：观察函数图象可得函数y＝f(t)在[0，a]上是增函数，即说明随着直线l的右移，扫过图形的面积不断增大．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是向上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C项不符合．这是因为在C项中直线l扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．二、非选择题9．[2019·江苏扬州模拟]不等式2－x≤log2(x＋1)的解集是______________．答案：{x|x≥1}解析：画出y＝2－x，y＝log2(x＋1)的图象如图所示，由图可知，解集为{x|x≥1}．10．已知点M，N分别是函数f(x)，g(x)图象上的点，若M，N关于原点对称，则称M，N是一对“关联点”．已知f(x)＝－x2＋4x－2，g(x)＝－x2－4x，则函数f(x)，g(x)图象上的“关联点”有________对．答案：2解析：令y＝－x2－4x，得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，表示圆心为(－2,0)，半径为2的半圆(x轴上方)，作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，再作出函数f(x)的图象，由图可知，满足条件的“关联点”有2对．11．作出函数y＝|x2－2x－1|及y＝|x|2－2|x|－1的图象．解析：解法一：当x2－2x－1≥0时，y＝x2－2x－1当x2－2x－1<0时，y＝－(x2－2x－1)步骤：(1)作出函数y＝x2－2x－1的图象(2)将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折(上方部分不变)，即得y＝|x2－2x－1|的图象．解法二：当x≥0时y＝x2－2x－1当x<0时y＝x2＋2x－1即y＝(－x)2－2(－x)－1 步骤：(1)作出y＝x2－2x－1的图象；(2)y轴右方部分不变，再将右方以y轴为对称轴向左翻折，即得y＝|x|2－2|x|－1的图象．。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文) 月月考(一)

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文) 月月考(一)

月月考(一) 集合与常用逻辑用语、函数、导数及应用第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2016·全国卷Ⅰ]设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( )A ．(－3，－32)B ．(－3，32)C ．(1，32)D ．(32，3)答案：D解析：由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |x ＞32}，则A ∩B＝(32，3)．选D.2．[2019·九江模拟]下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题：“若xy ＝0，则x ≠0”B ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题C ．命题“∃x ∈R,2x 2－1<0”的否定：“∀x ∈R,2x 2－1<0”D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题 答案：B解析：“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题：“若xy ≠0，则x ≠0”，故A 错误；“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，为真命题，故B 正确；“∃x ∈R,2x 2－1<0”的否定：“∀x ∈R,2x 2－1≥0”，故C 错误；“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”为假命题，根据原命题与其逆否命题的真假相同可知，逆否命题为假命题，故D 错误．故选B.3．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是()A．y＝2x B．y＝2|x|C．y＝2x－2－x D．y＝2x＋2－x答案：C解析：因为y＝2x为增函数，y＝2－x为减函数，所以y＝2x －2－x为增函数，又y＝2x－2－x为奇函数，所以选C.4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则() A．p>qB．p＝qC．p<qD．以上都有可能答案：C解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，经过原点且对称轴在x＝1的右侧，故a<0，－b2a>1，c＝0，所以b>0,2a＋b>0,2a－b<0.又当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，所以p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|＝－a＋b－c＋2a＋b＝a＋2b－c，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|＝a＋b＋c－2a＋b＝－a ＋2b＋c，所以p－q＝2(a－c)＝2a<0，所以p<q.5．[2019·山东曲阜模拟]已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，且∀x∈R，f(x)＝f(2－x)，则f(2 017.5)＝()A．－18 B.1 8C．0 D．1答案：B解析：∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (x －2)，即f (x )＝－f (x －2)，用x －2代换x ，可得f (x －2)＝－f (x －4)．又f (x －2)＝－f (x )，∴f (x )＝f (x －4)，故函数f (x )是周期函数，且周期为T ＝4. f (2 017.5)＝f (504×4＋1.5)＝f (1.5)．又f (x )＝f (2－x )，∴f (1.5)＝f (0.5)．∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，∴f (2 017.5)＝f (0.5)＝0.53＝18.故选B.6．已知0<a <1，x >y >1，则下列各式中正确的是( )A ．x a <y aB ．a x <a yC ．a x >a yD ．a x >y a答案：B解析：对于A ，∵x a y a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y a >⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 0＝1，∴x a >y a ， ∴A 错误；∵0<a <1，∴f (x )＝a x 为减函数，又x >y >1，∴a x <a y ，∴B 正确，C 错误；对于D ，∵a x <a 0＝1，而y a >y 0＝1，∴a x <y a ，∴D 错误．故选B.7．[2019·湖北咸宁重点高中联考]已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且0≤x <1时，f (x )＝2x ＋a ，f (1)＝0，则f (－3)＋f (14－log 27)＝( )A ．1B ．－1C.34 D ．－34答案：D解析：由题可得，f (－3)＝f (1)＝0，由f (x )为奇函数知f (0)＝0，∴20＋a ＝0，∴a ＝－1.又∵log 27＝2＋log 274，∴f (14－log 27)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 274＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫74－1＝－34.则f (－3)＋f (14－log 27)＝0－34＝－34.故选D.8．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2x 1＋2x cos x 的图象大致是( )答案：C 解析：∵f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2－x 1＋2－x ·cos(－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1·cos x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，排除A ，B ；又f (1)＝1－21＋2×cos1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴排除D ，故选C.9．[2019·黑龙江大庆实验中学月考]若关于x 的方程|3x －1|－a ＝0有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)答案：A解析：关于x 的方程|3x －1|－a ＝0有两个不同的实数解等价于函数f (x )＝|3x －1|的图象与直线y ＝a 有两个不同的公共点，画出函数f (x )＝|3x －1|的图象如图所示．由图可知，当0<a <1时，函数f (x )＝|3x －1|的图象与直线y ＝a 有两个不同的公共点，即实数a 的取值范围是(0,1)．故选A.10．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )答案：C解析：由条件可知当0<x <1时，xf ′(x )<0，所以f ′(x )<0，函数递减．当x >1时，xf ′(x )>0，所以f ′(x )>0，函数递增，所以当x ＝1时，函数取得极小值． 当x <－1时，xf ′(x )<0，所以f ′(x )>0，函数递增，当－1<x <0，xf ′(x )>0，所以f ′(x )<0，函数递减，所以当x ＝－1时，函数取得极大值．符合条件的只有C 项．11．[2019·吉林东北师大附中模拟]若f (x )＝ln x x ，0<a <b <e ，则有( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1答案：C解析：∵f (x )＝ln x x ，∴f ′(x )＝1－ln x x 2，当0<x <e 时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，e)上单调递增．又∵0<a <b <e ，∴f (a )<f (b )．故选C.12．已知函数f (x )＝ax －1x －(a ＋1)ln x (a ≥1)．若不等式f (x )>1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2] B ．(1,2)C ．[1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案：D解析：依题意，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上，f (x )min >1.f ′(x )＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x 2＝(ax －1)(x －1)x 2(a ≥1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1a .若a ≥e ，则由f ′(x )>0，得1<x ≤e ，由f ′(x )<0，得1e ≤x <1，所以f (x )min ＝f (1)＝a －1>1，满足条件．若1<a <e ，则由f ′(x )>0，得1e ≤x <1a 或1<x ≤e ，由f ′(x )<0，得1a <x <1，所以f (x )min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，f (1)，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >1，f (1)>1，即⎩⎨⎧a >e 2e ＋1，a >2，所以2<a <e.若a ＝1，则f ′(x )≥0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递增，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <1，不满足条件． 综上，a >2，选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．13．[2019·汕头模拟]命题“若x >1，则log 2x >0”的逆否命题是________．答案：若log 2x ≤0，则x ≤1解析：由“若p ，则q ”的逆否命题为“若綈q ，则綈p ”，得“若x >1，则log 2x >0”的逆否命题是“若log 2x ≤0，则x ≤1”．14．[2019·大同调研]定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，若当0≤x ≤2时，f (x )＝x (2－x )，则当－4≤x ≤－2时，f (x )＝________.答案：－14(x ＋4)(x ＋2)解析：由题意知f (x ＋4)＝2f (x ＋2)＝4f (x )，当－4≤x ≤－2时，0≤x ＋4≤2，所以f (x )＝14f (x ＋4)＝14(x ＋4)[2－(x ＋4)]＝－14(x＋4)(x ＋2)，所以当－4≤x ≤－2时，f (x )＝－14(x ＋4)(x ＋2)．15．[2019·唐山模拟]已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0，即ln a 1－a ×b 1－b＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14，即ab 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 16．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．答案：(0,1)∪(2,3)解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－(x －1)(x －3)x， 由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，q ：实数x 满足|x －3|<1.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若a >0且綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3， 由|x －3|<1，得2<x <4即q 为真时实数x 的取值范围是2<x <4， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2,3).(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0,綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q ，且綈q /⇒綈p ，设A ＝{x |綈p }，B ＝{x |綈q }，则AB ，又A ＝{x |綈p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a },B ＝{x |綈q }＝{x |x ≥4或x ≤2}，则0<a ≤2，且3a ≥4，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2. 18．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋1)．(1)求函数f (x )在定义域R 上的解析式；(2)解关于x 的不等式f (2x －1)>1.解析：(1)x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 2(－x ＋1)， ∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝log 2(－x ＋1)，∴f (x )＝⎩⎨⎧log 2(x ＋1) x ≥0log 2(－x ＋1) x <0(2)∵f (x )为R 上的偶函数，且f (1)＝f (－1)＝1，∴f (2x －1)>1，即f (|2x －1|)>f (1)．又x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋1)递增，∴|2x －1|>1，得x >1或x <0∴不等式的解集为{x |x >1，或x <0}．19．(本小题满分12分)[2019·湖北浠水县实验高级中学模拟]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m ln x ＋1x －x ，其中常数m >0.(1)当m ＝2时，求f (x )的极大值；(2)试讨论f (x )在区间(0,1)上的单调性．解析：(1)当m ＝2时，f (x )＝52ln x ＋1x －x ，f ′(x )＝52x －1x 2－1＝－(x －2)(2x －1)2x 2(x >0)， 当0<x <12或x >2时，f ′(x )<0；当12<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上单调递增， ∴f (x )的极大值为f (2)＝52ln2－32.(2)f ′(x )＝m ＋1m x －1x 2－1＝－(x －m )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m x 2(x >0，m >0)， 当0<m <1时，f (x )在(0，m )上单调递减，在(m,1)上单调递增； 当m ＝1，f (x )在(0,1)上单调递减；当m >1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1上单调递增． 20．(本小题满分12分)[2019·陕西黄陵中学月考]已知函数g (x )＝4x －n 2x 是奇函数，f (x )＝log 4(4x ＋1)＋mx 是偶函数(m ，n ∈R )．(1)求m ＋n 的值；(2)设h (x )＝f (x )＋12x ，若g (x )>h [log 4(2a ＋1)]对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)因为g (x )为奇函数，且定义域为R ，所以g (0)＝0，即40－n 20＝0，解得n ＝1.此时g (x )＝4x －12x ＝2x －2－x 是奇函数，所以n ＝1.因为f (x )＝log 4(4x ＋1)＋mx ，所以f (－x )＝log 4(4－x ＋1)－mx ＝log 4(4x ＋1)－(m ＋1)x . 又因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )恒成立，解得m ＝－12.所以m ＋n ＝12.(2)因为h (x )＝f (x )＋12x ＝log 4(4x ＋1)，所以h [log 4(2a ＋1)]＝log 4(2a ＋2)．又因为g (x )＝4x －12x ＝2x －2－x 在区间[1，＋∞)上是增函数，所以当x ≥1时，g (x )min ＝g (1)＝32.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2<432，2a ＋1>0，2a ＋2>0，解得－12<a <3. 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3. 21．(本小题满分12分)[2019·广东联合测试]已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值． 解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝x －1－2ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－2x .由f ′(x )>0，得x >2；由f ′(x )<0，得0<x <2.故f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)因为f (x )<0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只需对任意的x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 令l (x )＝2－2ln xx －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则 l ′(x )＝－2x (x －1)－2ln x (x －1)2＝2ln x ＋2x －2(x －1)2. 令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则 m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－2(1－x )x 2<0， 故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数． 于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln2>0， 从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数． 所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln2 ∴a ≥2－4ln2，即a 的最小值为2－4ln2.22．(本小题满分12分)[2019·河南濮阳模拟]已知函数f (x )＝x ln x －12mx 2－x (x ∈R )．(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围；(2)若函数f (x )在(0，＋∞)上存在两个极值点x 1，x 2且x 1<x 2，证明：ln x 1＋ln x 2>2.解析：(1)由函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，知f ′(x )≤0恒成立．由f (x )＝x ln x －12mx 2－x ，得f ′(x )＝ln x －mx .由f ′(x )≤0恒成立可知ln x －mx ≤0恒成立，则m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x max . 设φ(x )＝ln x x ，则φ′(x )＝1－ln x x 2.由φ′(x )>0⇒x ∈(0，e)，φ′(x )<0⇒x ∈(e ，＋∞)知， 函数φ(x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，∴m ≥1e ，即m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞. (2)证明：由(1)知f ′(x )＝ln x －mx .由函数f (x )在(0，＋∞)上存在两个极值点x 1，x 2且x 1<x 2， 知⎩⎨⎧ln x 1－mx 1＝0，ln x 2－mx 2＝0.则m ＝ln x 1＋ln x 2x 1＋x 2且m ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2， 联立得ln x 1＋ln x 2x 1＋x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2， 即ln x 1＋ln x 2＝x 1＋x 2x 1－x 2·ln x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋1·ln x 1x 2x 1x 2－1. 设t ＝x 1x 2∈(0,1)，则ln x 1＋ln x 2＝(t ＋1)·ln t t －1， 要证ln x 1＋ln x 2>2，只需证(t ＋1)·ln t t －1>2，即证ln t <2(t －1)t ＋1， 即证ln t －2(t －1)t ＋1<0. 构造函数g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1， 则g ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0. 故g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1在t ∈(0,1)上单调递增，g (t )<g (1)＝0， 即g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1<0，∴ln x 1＋ln x 2>2.。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练5

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天天练5 基本初等函数小题狂练⑤一、选择题1．[2019·杭州模拟]若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝2，则( )A ．f (2)<f (1)<f (4)B ．f (1)<f (2)<f (4)C ．f (2)<f (4)<f (1)D ．f (4)<f (2)<f (1) 答案：A解析：∵二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象开口向上，∴在对称轴处取得最小值，且离对称轴越远，函数值越大．∵函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝2，∴f (2)<f (1)<f (4)，故选A. 2．[2019·昆明模拟]已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4) 答案：B解析：因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述．实数m 的取值范围是0≤m ≤4.3．[2018·全国卷Ⅲ]下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x ) 答案：B解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a2对称，令a ＝2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象．故选B.4．[2019·丰台模拟]已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f (－x )＝f (－1＋x )，则函数f (x )在[－1,3]上的值域为( )A ．[0,12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12 答案：B解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，所以b ＝0.因为f (－x )＝f (－1＋x )，所以函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－12，所以a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，3上为增函数，故当x ＝－12时，函数f (x )取得最小值－14.又f (－1)＝0，f (3)＝12，故函数f (x )在[－1,3]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12，故选B.5．[2019·辽宁省实验中学分校月考]函数y ＝16－2x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4) 答案：C解析：函数y ＝16－2x 中，因为16－2x ≥0，所以2x ≤16.因此2x ∈(0,16]，所以16－2x ∈[0,16)．故y ＝16－2x ∈[0,4)．故选C.6．[2019·云南昆明第一中学月考]已知集合A ＝{x |(2－x )(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案：D解析：由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.7．[2019·福建连城朋口中学模拟]若函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞) 答案：B解析：令u ＝2－ax ，因为a >0，所以u 是关于x 的减函数，当x ∈[0,1]时，u min ＝2－a ×1＝2－a .因为2－ax >0在x ∈[0,1]时恒成立，所以u min >0，即2－a >0，a <2.要使函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则y ＝log a u 在其定义域上必为增函数，故a >1.综上所述，1<a <2.故选B. 8.[2019·重庆第八中学月考]函数f (x )＝ax ＋bx 2＋c的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，c >0B ．a >0，c <0C ．a <0，c >0D ．a <0，c <0 答案：A解析：由f (0)＝0，得b ＝0，f (x )＝axx 2＋c .由x >0时，f (x )>0，且f (x )的定义域为R ，故a >0，c >0.故选A.二、非选择题9．(lg2)2＋lg5×lg20＋( 2 016)0＋0.02723-×⎝⎛⎭⎪⎫13－2＝________.答案：102解析：(lg2)2＋lg5×lg20＋( 2 016)0＋0.027－23×⎝⎛⎭⎪⎫13－2＝(lg2)2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋1＋[(0.3)3]23-×9＝(lg2＋lg5)2＋1＋10.09×9＝1＋1＋100＝102.10．若函数y＝x2＋bx＋2b－5(x<2)不是单调函数，则实数b 的取值范围为________．答案：(－4，＋∞)解析：函数y＝x2＋bx＋2b－5的图象是开口向上，以直线x＝－b2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b2<2，解得b>－4，所以实数b的取值范围为(－4，＋∞)．11．[2019·江西自主招生]方程log3(1＋2·3x)＝x＋1的解为__________________．答案：0解析：由方程log3(1＋2·3x)＝x＋1可得1＋2·3x＝3x＋1，化简可得3x＝1，故x＝0.12．[2019·浙江新昌中学、台州中学等校联考]约翰·纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b＝N⇔b＝log a N.现在已知2a＝3,3b＝4，则ab＝________.答案：2解析：∵2a＝3,3b＝4，∴a＝log23，b＝log34，∴ab＝log23·log34＝ln3ln2·ln4ln3＝ln4ln2＝2.课时测评⑤一、选择题1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x 2＋x －2，则f (0)＋f (1)＝( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1 答案：A解析：由于函数f (x )为奇函数，故f (1)＝－f (－1)＝－(2－1－2)＝1，f (0)＝0，所以f (0)＋f (1)＝1.故选A.2．[2019·江西赣州模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，f (x ＋4)，x ≤0，则f (－2 018)＝( ) A ．0 B ．1 C ．log 23 D ．2 答案：B解析：∵x ≤0时，f (x )＝f (x ＋4)， ∴x ≤0时函数是周期为4的周期函数．∵－2 018＝－504×4－2，∴f (－2 018)＝f (－2)． 又f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)＝log 22＝1.故选B.3．若函数y ＝f (x )的定义域为[2,4]，则y ＝f (log 12x )的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B ．[4,16] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，14 D ．[2,4] 答案：C解析：令log 12x ＝t ，则y ＝f (log 12x )＝f (t )，因为函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，所以y ＝f (t )的定义域是[2,4]，即2≤t ≤4，所以2≤log 12x ≤4，解得116≤x ≤14，所以y ＝f (log 12x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，14. 4．[2019·福州名校联考]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案：C解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.5．[2019·广西两校联考(二)]已知函数f (x )＝121,02,0x x log x x ⎧⎫⎛⎫≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎪>⎪⎪⎩⎭则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：D解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 1214＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221log 6＝2－21log 6＝22log 6＝6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝2＋6＝8.6．[2019·西安质检]若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2答案：D解析：通解 因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12； 解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2. 综上所述，5－12≤m <2.优解 分别取m ＝－2,2,0检验，可排除A ，B ，C ，从而选D.7．[2019·河南周口模拟抽测调研]已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213-，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3513-，c ＝log 3232，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．b <a <c 答案：B解析：∵y ＝x 13-是单调递减函数，且0<12<35，∴a >b >1.∵c ＝log 3232＝1，∴c <b <a .故选B.8．[2018·全国卷Ⅰ]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案：D解析：方法1：①当⎩⎨⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎨⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎨⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎨⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.方法2：∵ f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴ 函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．故选D.二、非选择题9．已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)＝2x－1，则方程f(x)＝log7|x－2|解的个数是________．答案：7解析：由于函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝4.在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝log7|x－2|的图象，从图象中不难看出，其交点个数为7.10．[2019·山东烟台海阳一中模拟]已知函数f(x)＝2|x－2|－1在区间[0，m]上的值域为[0,3]，则实数m的取值范围为________．答案：[2,4]解析：函数f(x)＝2|x－2|－1的对称轴为直线x＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f(x)＝2|x－2|－1在区间[0，m]上的值域为[0,3]且函数关于直线x＝2对称，f(0)＝f(4)＝3，f(2)＝0，所以结合图象可知m∈[2,4]．11．已知函数f(x)＝e x－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切实数x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为f(x)＝e x－(1e)x，且y＝e x是增函数，y＝－(1e)x是增函数，所以f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－e x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数，所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔(t ＋12)2≤(x ＋12)2min ⇔(t ＋12)2≤0⇔t ＝－12.即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立．。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练13

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天天练13 三角函数的性质小题狂练⑬一、选择题1．[2019·天津河东区模拟]函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ，x ∈R是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数 答案：C解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos2x ，显然函数是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.2．[2019·云南大理模拟]函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在x ＝θ处取得最大值，则tan θ＝( )A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 3 答案：D解析：由题意，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在x ＝θ处取得最大值，∴θ＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴tan θ＝ 3.故选D.3．[2019·河北大名县一中月考]函数y ＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2 答案：A解析：y ＝sin x cos x ＋32cos2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.最小正周期为2π2＝π，振幅为1.故选A.4．[2018·全国卷Ⅲ]函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π 答案：C解析：由已知得f (x )＝tan x1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋sin x cos x2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.故选C.5．[2019·沈阳监测]函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，π4 答案：C 解析：f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝sin2x ＋1＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.解法一 令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ，∴结合选项知函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8，故选C.解法二 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，当π4<2x ＋π4<π2时，函数f (x )单调递增，此时x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8，故选C.6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对任意的x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 答案：A解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.7．[2019·宁夏银川一中第六次月考]下列函数中，最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2答案：D 解析：由题意得，函数的周期为π，只有C ，D 满足题意，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，故选D. 8．已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin x cos x ，则下列结论正确的是( )A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称图形B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称图形C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数D ．两个函数的最小正周期相同 答案：C解析：①y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，0，k ∈Z ，对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π；②y ＝2sin2x图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，0，k ∈Z ，对称轴为x ＝π4＋12k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，最小正周期为π.故选C.二、非选择题 9．[2019·常州八校联考(一)]在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos2x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为________．答案：①③ 解析：①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π；②y ＝cos2x ，最小正周期为π，由图象知y ＝|cos2x |的最小正周期为π2；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan2x 的最小正周期T ＝π2.因此①③的最小正周期为π.10．[2019·上海长宁区延安中学模拟]函数y ＝tan2x －π3的单调递增区间为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2(k ∈Z )解析：函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2(k ∈Z )．11．[2019·江西师大附属中学月考]已知函数f (x )＝sin ωx ＋π6，其中ω>0.若|f (x )|≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为________．答案：4解析：由题意得π12ω＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝24k ＋4(k ∈Z )，由ω>0知，当k ＝0时，ω取到最小值4.12．[2019·南昌模拟]已知f (x )＝cos2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－4]解析：f (x )＝cos2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝1－2sin 2x －a sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增且sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.令t ＝sin x ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则y ＝－2t 2－at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，则－a 4≥1，因而a ∈(－∞，－4].课时测评⑬一、选择题1．[2019·北京西城模拟]函数f (x )＝sin(x ＋φ)的图象记为曲线C .则“f (0)＝f (π)”是“曲线C 关于直线x ＝π2对称”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：在函数f (x )＝sin(x ＋φ)中，若f (0)＝f (π)，则sin φ＝sin(π＋φ)，所以sin φ＝0，φ＝k π，k ∈Z ，所以曲线C 关于直线x ＝π2对称，充分性成立；若曲线C 关于直线x ＝π2对称，则f (0)＝f (π)成立，即必要性成立．所以“f (0)＝f (π)”是“曲线C 关于直线x ＝π2对称”的充分必要条件．故选C.2．[2018·全国卷Ⅱ]若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4 D ．π 答案：C解析：∵ f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴ 当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减， ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴ a ≤3π4，即a max ＝3π4. 故选C.3．[2019·沈阳质检]已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递增区间为( )A ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8B ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8 答案：D 解析：f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，则f (x )的最小正周期T ＝π，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z 得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，结合选项知，f (x )的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8.4.[2019·广东韶关六校联考]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋π4，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π6，k ∈Z 答案：A解析：由图可知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2. ∵由图可得点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2在函数图象上，∴2sin2×π12＋φ＝2，∴2×π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .由|φ|<π2，可得φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象的函数解析式为g (x )＝2sin2x －π6＋π3＝2sin2x .由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z .故选A.5．[2019·河北衡水中学月考]将函数f (x )＝sin2x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象．若g (x )在区间[0，a ]上单调递增，则a 的最大值为( )A.π8B.π4C.π6D.π2 答案：D解析：f (x )的图象向右平移π4个单位长度得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos2x 的图象．根据余弦函数的图象可知，当0≤2x ≤π，即0≤x ≤π2时，g (x )单调递增，故a 的最大值为π2.6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (x 1)＝1，f (x 2)＝0，若|x 1－x 2|min ＝12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 答案：B解析：设f (x )的最小正周期为T ，由f (x 1)＝1，f (x 2)＝0，|x 1－x 2|min ＝12，得T 4＝12⇒T ＝2，即ω＝2π2＝π.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π＋φ＝12，即cos φ＝12，又0<φ<π2，所以φ＝π3，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.由－π2＋2k π≤πx ＋π3≤π2＋2k π，得－56＋2k ≤x ≤16＋2k ，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z .故选B.7．[2019·河南漯河高级中学模拟]已知函数y ＝sin π3x ＋π6在[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6的周期T ＝6，当x ＝0时，y ＝12，当x ＝1时，y ＝1，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6在[0，t ]上至少取得2次最大值，有t －1≥T ，即t ≥7，所以正整数t 的最小值为7.故选B.8．[2019·四川绵阳高中第一次诊断]已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)图象上最高点与相邻最低点的距离是 17.若将y＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y＝g (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝56B ．x ＝13C ．x ＝12 D ．x ＝0 答案：B解析：由题意得f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.故函数f (x )的最大值为2，由(17)2－42＝1可得函数f (x )的周期为T ＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，验证知，当x ＝13时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝2，为函数的最大值，故直线x ＝13为函数y ＝g (x )图象的一条对称轴．故选B. 二、非选择题9．[2019·江苏南京调研]函数f (x )＝sin π－x 2sin x2的最小正周期为________． 答案：2π解析：f (x )＝sin π－x 2sin x 2＝cos x 2sin x 2＝12sin x .故函数f (x )＝sin π－x 2sin x2的最小正周期T ＝2π.10．[2019·山东德州模拟]已知函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)－cos(2x ＋θ)(－π<θ<0)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，记f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上的最大值为n ，且f (x )在[m π，n π](m <n )上单调递增，则实数m 的最小值是________．答案：2312解析：因为f (x )＝3sin(2x ＋θ)－cos(2x ＋θ)＝2sin2x ＋θ－π6的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝0.又－π<θ<0，所以π6＋θ＝0，即θ＝－π6，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，0≤f (x )≤2，即n ＝2，令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )，当k ＝2时，[m π，2π]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π12，29π12，即实数m 的最小值是2312. 11．[2017·浙江卷，18]已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23·sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值； (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解析：本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识，同时考查运算求解能力．(1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2. (2)由cos2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin2x ＝2sin x ·cos x 得f (x )＝－cos2x －3sin2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．。

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天天练20等差数列小题狂练⑳一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝() A．－12 B．－13C．12 D．13答案：B解析：通解设公差为d，则2d＝a5－a3＝－9＋5＝－4，则d＝－2，故a7＝a3＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.优解由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.2．[2019·湖南衡阳二十六中模拟]在等差数列{a n}中，a3＝1，公差d＝2，则a8的值为()A．9 B．10C．11 D．12答案：C解析：a8＝a3＋5d＝1＋5×2＝11，故选C.3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于()A．－1 B．1C．2 D．－2答案：D解析：由S3＝3a2＝6，得a2＝2，又a3＝0，所以公差d＝－2.4．[2019·南宁摸考]等差数列{a n}中，a3＋a7＝6，则{a n}的前9项和等于()A．－18 B．27C．18 D．－27答案：B解析：解法一设等差数列的公差为d，则a3＋a7＝a1＋2d＋a 1＋6d ＝2a 1＋8d ＝6，所以a 1＋4d ＝3.于是{a n }的前9项和S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×3＝27，故选B.解法二 由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝a 3＋a 7＝6，所以数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×62＝27，故选B. 5．[2019·西安八校联考(一)]设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4<S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4>S 1D ．S 4＝S 1 答案：B解析：设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1，故选B.6．[2019·茂名模拟]我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤 答案：A解析：依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a 1＝4，则a 5＝2，由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A.7．[2019·贵州遵义模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 6是方程x 2－18x ＋p ＝0的两根，则S 9＝( )A ．9B ．81C ．5D ．45 答案：B 解析：由题意，根据根与系数的关系知a 4＋a 6＝18，故S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 4＋a 6)＝81.故选B.8．[2019·江西K12联盟质量检测]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝( )A ．27B ．18C ．9D ．3 答案：A解析：∵等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 8＝9，∴3a 1＋12d ＝9，得a 1＋4d ＝3，即a 5＝3，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝27.故选A. 二、非选择题9．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝________.答案：100解析：∵{a n }，{b n }都是等差数列，∴{a n ＋b n }也是等差数列． ∵a 1＋b 1＝25＋75＝100，a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }的公差为0，∴a 37＋b 37＝100.10．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________.答案：20解析：解法一 设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.解法二 由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20.11．[2019·广东深圳中学月考]已知数列{a n }为等差数列，a 3＝7，a 1＋a 7＝10，S n 为其前n 项和，则使S n 取到最大值的n 等于________．答案：6解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧a 3＝7，2a 4＝10，故d ＝a 4－a 3＝－2，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7－2(n －3)＝13－2n .令a n >0，得n <6.5.所以在等差数列{a n }中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使S n 取到最大值的n 的值为6.12．[2019·甘肃兰州月考]已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，若坐标为(a n ，S n )的点在曲线y ＝12x (x ＋1)上，则数列{a n }的通项公式为________．答案：a n ＝n ，n ∈N *解析：因为以(a n ，S n )为坐标的点在曲线y ＝12x (x ＋1)上，所以S n ＝12a n (a n ＋1)，即2S n ＝a 2n ＋a n,2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1，两式相减得2a n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1－(a 2n ＋a n )，即(a n ＋1－a n －1)·(a n ＋1＋a n )＝0.因为a n >0，所以a n ＋1－a n ＝1.又a 1＝1，所以数列{a n }是首项、公差均为1的等差数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝n ，n ∈N *.课时测评⑳一、选择题 1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝ra n ＋r (n ∈N *，r ∈R ，r ≠0)，则“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：当r ＝1时，a n ＋1＝a n ＋1，显然数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以充分性成立；当数列{a n }为等差数列时，设公差为d ，则a n ＋1＝a n ＋d ＝ra n ＋r ，若r ≠1，则a n ＝r －d1－r，为常数，因此数列{a n }为常数列，则d ＝0，所以r1－r＝1，解得r＝12，必要性不成立，故“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的充分不必要条件．2．[2019·兰州市诊断考试]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＋a 7＝24，则S 9＝( )A ．36B ．72C ．144D ．288 答案：B解析：∵a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝24，∴a 5＝8，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝9×8＝72.3．[2019·河南郑州七校联考]在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54 答案：C解析：对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，即a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项a 1＝－2，公差d ＝12的等差数列．所以数列{a n }的前10项和S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－2)＋45×12＝52，故选C.4．[2018·全国卷Ⅰ]记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 答案：B解析：设等差数列{an }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4， 得3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3， 故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B.5．[2019·湖北襄阳四校模拟]在等差数列{a n }中，已知|a 7|＝|a 12|，且公差d >0，则其前n 项和S n 取得最小值时n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：∵|a 7|＝|a 12|，且公差d >0，∴－a 7＝a 12，∴a 7＋a 12＝0.∴a 9＋a 10＝0，∴a 9<0，a 10>0.∴数列{a n }前n 项和S n 取得最小值时n 的值为9.故选C.6．[2019·丹东模拟]在等差数列{a n }中，公差d ≠0，若lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，且a 5＝10，则{a n }的前5项和S 5＝( )A ．40B ．35C ．30D ．25 答案：C解析：lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4⇒lg a 22＝lg a 1a 4⇒a 22＝a 1a 4⇒d 2＝a 1d ，因为d ≠0，所以a 1＝d ，又a 5＝a 1＋4d ＝10，所以a 1＝2，d ＝2，S 5＝5a 1＋5×42d ＝30.选C.7．[2019·辽宁大连第二十四中学月考]数列{a n }满足a 1＝2，a2＝1并且1a n－1＝2a n－1a n＋1(n≥2)，则数列{a n}的第100项为()A.1100 B.150C.12100 D.1250答案：B解析：∵1a n－1＝2a n－1a n＋1(n≥2)，∴1a n＋1＋1a n－1＝2a n，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n为等差数列，首项为1a1＝12，第二项为1a2＝1，∴d＝12，∴1a100＝1a1＋99d＝50，∴a100＝1 50.8．[2019·天津月考]已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则a1＋a100等于() A．2 B．－2C．0 D．－1答案：B解析：由题意得函数f(x)在区间(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称．由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，可得12(a50＋a51)＝－1，即a50＋a51＝－2.又数列{a n}是等差数列，所以a1＋a100＝a50＋a51＝－2.故选B.二、非选择题9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.答案：114解析：因为{a n}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114.10．[2019·九江模拟]已知数列{a n }为等差数列，a 1＝1，a n >0，其前n 项和为S n ，且数列{S n }也为等差数列，设b n ＝a n ＋22n ·a n ·a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.答案：1－12n (2n ＋1)解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≥0)，∵S 1＝1，S 2＝2＋d ，S 3＝3＋3d 成等差数列，∴22＋d ＝1＋3＋3d ，得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n 2，S n ＝n ，故数列{S n }为等差数列，b n ＝a n ＋22n·a n ·a n ＋1＝2n ＋32n(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1(2n －1)－12n (2n ＋1)，则T n ＝120－121×3＋121×3－122×5＋…＋12n －1(2n －1)－12n (2n ＋1)＝1－12n (2n ＋1). 11．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项的和，S 10＝S 22.(1)求S n ；(2)这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．解析：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10， S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 即12(a 11＋a 22)2＝0， 即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0. 又a 1＝31，∴d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1) ＝32n －n 2.(2)解法一 由(1)知，S n ＝32n －n 2＝－(n －16)2＋256， ∴当n ＝16时，S n 有最大值256. 解法二 由(1)知，令⎩⎨⎧a n ＝31＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋33≥0，a n ＋1＝31＋n ·(－2)＝－2n ＋31≤0(n ∈N *)，解得312≤n ≤332，∵n ∈N *，∴n ＝16时，S n 有最大值256.。

2020版试吧高中全程训练打算数学文模拟考三

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模拟考(三) 高考仿真模拟冲刺卷(C)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2019·福州模拟]假设复数a1＋i 的模为22，那么数实a ＝( )A ．1B ．－1C ．±1 D．±2答案：C 解析：a 1＋i ＝a 1－i1＋i1－i ＝a 2－a i2，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1＋i ＝22， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22＝22，解得a ＝±1.应选C.2．[2019·河南开封模拟]设U ＝R ，已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x >a }，且(∁U A )∪B ＝R ，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案：A解析：∵U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}＝[1，＋∞)，∴∁U A ＝(－∞，1)．由B＝{x|x>a}＝(a，＋∞)和(∁UA)∪B＝R可知实数a的取值范围是(－∞，1)．应选A.3．[2018·北京卷]设a ，b ，c ，d 是非零实数，那么“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件 答案：B解析：a ，b ，c ，d 是非零实数，假设a ＜0，d ＜0，b ＞0，c ＞0，且ad ＝bc ，那么a ，b ，c ，d 不成等比数列(能够假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．假设a ，b ，c ，d 成等比数列，那么由等比数列的性质可知ad ＝bc .因此“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．应选B.4．设x ∈[0,3]，执行如下图的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a ，那么“a ≤5”的概率为( )A.23B.56C.27D.57 答案：C解析：由程序框图可知y ＝⎩⎨⎧x ＋3，0≤x <2，x 2＋1，2≤x ≤3，该函数的值域是[3,10]，因此所求概率为5－310－3＝27.5．[2019·湖北夷陵中学模拟]某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率散布直方图如下图，已知9时至10时的销售额为3万元，那么11时至12时的销售额为()A．8万元B．10万元C．12万元D．15万元答案：C解析：由频率散布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为30.1＝30万元．又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为0.4×30＝12万元．应选C.6．[2019·长沙模拟]已知数列{a n}是等差数列，假设T n＝na1＋(n－1)a2＋…＋2a n－1＋a n(n≥2)，且T2＝7，T3＝16，那么a n＝()A．n＋1 B．2n－1C．3n－1 D．4n－3答案：A解析：设数列{a n}的公差为d，由已知可得，T2＝2a1＋a2＝3a1＋d＝7，T3＝3a1＋2a2＋a3＝6a1＋4d＝16，解得a1＝2，d＝1，∴a n＝n＋1.7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，那么cos∠AOB＝()A.510B．－510C.910D．－9 10答案：D解析：通解圆心(0,0)到直线y＝2x＋1的距离d＝15，那么弦长|AB|＝2×4－15＝2195，在△ABO中，由余弦定理得，cos∠AOB＝4＋4－7652×2×2＝－910.优解 圆心(0,0)到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝15，cos ∠AOB 2＝d|OA |＝152＝125，因此cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOB 2－1＝2×120－1＝－910.8．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是( )答案：A解析：通解 由题意，得f ′(x )＝cos x ＋x (－sin x )＝cos x －x sin x ，f ′(－x )＝f ′(x )，因此f ′(x )为偶函数，又f ′(0)＝1，因此排除C ，D ；令g (x )＝f ′(x )＝cos x －x sin x ，那么g ′(x )＝－x cos x －2sin x ，g ′(0)＝0，且x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，g ′(x )<0，f ′(x )单调递减，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0时，g ′(x )>0，f ′(x )单调递增，因此f ′(x )在x ＝0处取得极大值，排除选项B ，应选A.优解 由题意，得f ′(x )＝cos x ＋x (－sin x )＝cos x －x sin x ，又f ′(0)＝1，因此排除C ，D ；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，y ＝cos x 单调递减，关于y ＝x sin x ，y ′＝x cos x ＋sin x >0，那么y ＝x sin x 单调递增，那么f ′(x )＝cos x －x sin x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上单调递减，应选A.9．函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在同一个周期内，当x ＝π4时，y 取得最大值1，当x ＝7π12时，y 取得最小值－1.假设函数f (x )知足方程f (x )＝a (0<a <1)，求在[0,2π]内的所有实数根之和为( )A.11π2B.9π2C.7π2D.5π2 答案：A解析：由题意可得2πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π4，因此ω＝3.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，因此3π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，因此φ＝2k π－π4(k ∈Z )．又|φ|<π2，因此φ＝－π4，因此函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4. 由于f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的最小正周期为23π，因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4在[0,2π]内恰有3个周期，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝a (0<a <1)在[0,2π]内有6个实根，由小到大依次记为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，令3x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，可得x ＝π4＋2k π3，k ∈Z .依据f (x )图象的对称性可得x 1＋x 2＝2×π4＝π2，x 3＋x 4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π3＝116π，x 5＋x 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋4π3＝196π，故所有实数之和为x 1＋x 2＋…＋x 6＝π2＋11π6＋19π6＝11π2.应选A.10．[2018·全国卷Ⅲ]设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右核心，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .假设|PF 1|＝6|OP |，那么C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2答案：C解析：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，因此|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，因此|F 2P |＝2a ＝b ，因此c ＝a 2＋b 2＝3a ，因此e ＝c a ＝ 3. 应选C.11．[2019·福州质检]已知二面角α－AB －β的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于( )A.34B.35C.77D.377 答案：D解析：如图，CO ⊥β，垂足为O ，CD ⊥AB ，垂足为D ，且CO ＝3，CD ＝4，连接DO ，∵CO ⊥β，DO ⊂β，∴CO ⊥DO ，∴在Rt △CDO 中，DO ＝7.∵CO ⊥β，AB ⊂β，∴CO ⊥AB .又AB ⊥CD ，CD ∩CO ＝C ，∴AB ⊥平面CDO .又DO ⊂平面CDO ，∴AB ⊥DO ，∴∠CDO 是二面角α－AB －β的平面角，∴∠CDO ＝θ，∴tan θ＝CO DO ＝37＝377.应选D.12．[2019·安徽淮南模拟]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －|log 3(x －1)|有两个零点x 1，x 2，那么( )A ．x 1x 2<x 1＋x 2B ．x 1x 2<1C ．x 1x 2＝x 1＋x 2D ．x 1x 2>x 1＋x 2 答案：A解析：在同一直角坐标系中，作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与函数y ＝|log 3(x －1)|的图象如下图．设x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，那么有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝－log 3(x 1－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝log 3(x 2－1)，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝log 3(x 2－1)＋log 3(x 1－1)＝log 3[(x 2－1)(x 1－1)]．因为x 1<x 2，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1<0，因此log 3[(x 2－1)(x 1－1)]＝log 3(x 1x 2－x 1－x 2＋1)<0， 因此x 1x 2－x 1－x 2＋1<1， 因此x 1x 2<x 1＋x 2.应选A.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．13．[2019·黑龙江哈尔滨第三十二中学模拟]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c .假设2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，那么B ＝________.答案：π3解析：由题意及正弦定理得2cos B sin B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，∵sin B ≠0，∴cos B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.14．[2019·济南模拟]已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，假设a ＋b 与3a －b 平行，那么实数x 的值是________．答案：2解析：因为a ＋b ＝(1,1)＋(2，x )＝(3,1＋x )，3a －b ＝3(1,1)－(2，x )＝(1,3－x )，a ＋b 与3a －b 平行，因此3(3－x )＝1＋x ，解得x ＝2.15．[2018·江苏卷]函数f (x )知足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，那么f (f (15))的值为________．答案：22解析：由函数f (x )知足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，可知函数f (x )的周期是4，因此f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，因此f (f (15))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.16．[2018·全国卷Ⅲ]假设变量x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z＝x ＋13y 的最大值为________．答案：3解析：画出可行域如下图阴影部份，由z ＝x ＋13y 得y ＝－3x ＋3z ，作出直线y ＝－3x ，并平移该直线，当直线y ＝－3x ＋3z 过点A (2,3)时，目标函数z ＝x ＋13y 取得最大值为2＋13×3＝3.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．(一)必考题：共60分17．(本小题总分值12分)[2019·河北廊坊模拟]已知函数f (x )＝2cos x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－12.(1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边别离为a ，b ，c ，假设f (C )＝12，c＝23，且△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．解析：(1)依照题意，f (x )＝2cos x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－12＝2cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －12＝32sin2x ＋12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其周期T ＝2π2＝π. (2)依照题意，假设f (C )＝12，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12.又由π6<2C＋π6<13π6，那么2C＋π6＝5π6，即C＝π3.又由△ABC的面积为23，得S＝12ab sin C＝23，变形可得ab＝8.①又由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C可得a2＋b2－ab＝12.由①可得a2＋b2＝20.②联立①②可得a＋b＝6.又c＝23，故△ABC的周长为6＋2 3.18．(本小题总分值12分)[2019·广州市一般高中毕业班综合测试]某地1～10岁男童年龄x i(单位：岁)与身高的中位数y(单位：cm)(i＝1,2，…，10)如下表：x/岁12345678910y/c m 76.588.596.8104.1111.3117.7124.130.135.4140.2(1)求y关于x的线性回归方程(线性回归方程系数精准到0.01)；(2)某同窗以为y＝px2＋qx＋r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是y＝－0.30x2＋10.17x＋68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3 cm.与(1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合成效更好？附：回归方程y^＝a^＋b^x中的斜率和截距的最小二乘估量公式a^＝y－－b^x－＝112.45－6.87×5.5≈74.67，因此y关于x的线性回归方程为y^＝6.87x＋74.67.(2)假设回归方程为y^＝6.87x＋74.67，当x＝11时，y^＝150.24.假设回归方程为y＝－0.30x2＋10.17x＋68.07，当x＝11时，y＝143.64.|143.64－145.3|＝1.66<|150.24－145.3|＝4.94，因此回归方程y＝－0.30x2＋10.17x＋68.07对该地11岁男童身高中位数的拟合成效更好．19．(本小题总分值12分)[2018·全国卷Ⅲ]如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是不是存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．解析：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，因此BC⊥平面CMD，DM⊂平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，因此DM⊥CM.又BC∩CM＝C，因此DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：如图，连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，因此O为AC 中点．连接OP，因为P为AM中点，因此MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，因此MC ∥平面PBD . 20．(本小题总分值12分)[2019·河北石家庄二中月考]已知函数f (x )＝2ln x 2－3x －6x ＋1.(1)求f (x )的单调区间；(2)假设 g (x )＝(x －t )2＋(ln x －at )2，对任意x 1∈(1，＋∞)，存在t ∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)因为f (x )＝2ln x 2－3x －6x ＋1，x >0.因此f ′(x )＝2x －9(x ＋1)2＝2x 2－5x ＋2x (x ＋1)2＝(2x －1)(x －2)x (x ＋1)2， 当12<x <2时，f ′(x )<0，当0<x <12或x >2时，f ′(x )>0， 因此f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在(1,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 因此当x >1时，f (x )≥f (2)＝0. 又g (x )＝(x －t )2＋(ln x －at )2≥0，因此对任意x 1∈(1，＋∞)，存在t ∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)≥g (x 2)成立⇔存在t ∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使得g (x 2)≤0成立⇔存在t ∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使得g (x 2)＝0成立．因为(x －t )2＋(ln x －at )2表示点(x ，ln x )与点(t ，at )之间距离的平方，因此存在t ∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使得g (x 2)＝0成立⇔y ＝ln x 的图象与直线y ＝ax 有交点⇔方程a ＝ln xx 在(0，＋∞)上有解．设h (x )＝ln xx (x >0)，那么h ′(x )＝1－ln x x 2，当x ∈(0，e)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减. 又h (e)＝1e ，x →0时，h (x )→－∞，因此h (x )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e ，因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e .21．(本小题总分值12分)[2019·开封市高三定位考试]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b>0)的一个核心与抛物线y 2＝42x 的核心重合，且椭圆E 截抛物线的准线所得弦长为233.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两个不同的点，线段AB 的中点为C ，O为坐标原点，假设△OAB 的面积为32，求|AB |·|OC |的最大值．解析：(1)由题意得c ＝2，因此a 2－b 2＝2，又b 2a ＝33，因此a ＝3，b ＝1.因此椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(ⅰ) 当l 的斜率不存在时，A ，B 两点关于x 轴对称，由S △OAB ＝12|AB |·|OC |＝32，可得|AB |·|OC |＝ 3.(ⅱ)当l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m (mD ＝/0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，消去y ，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，由Δ＝12(3k 2－m 2＋1)>0得m 2<3k 2＋1， 则x 1＋x 2＝－6km3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－33k 2＋1，(*)因此|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·23×3k 2－m 2＋13k 2＋1，原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，因此S △OAB ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·23×3k 2－m 2＋13k 2＋1·|m |1＋k 2＝32， 整理得4m 2(3k 2＋1－m 2)＝(3k 2＋1)2，即(3k 2＋1)2－4m 2(3k 2＋1)＋(2m 2)2＝0，因此(3k 2＋1－2m 2)2＝0，即3k 2＋1＝2m 2，知足Δ＝12(3k 2－m 2＋1)>0，可得m 2≥12，即m ≥22或m ≤－22.综合(*)得x 1＋x 2＝－3k m ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝－3k 2m ＋2m ＝－(2m 2－1)m ＋2m ＝1m ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2m ，12m ，因此|OC |2＝9k 2＋14m 2＝3(2m 2－1)＋14m 2＝32－12m 2，|AB |2＝12(1＋k 2)·3k 2－m 2＋1(3k 2＋1)2＝12(1＋k 2)·2m 2－m 2(2m 2)2＝3＋3k 2m 2＝2m 2＋2m 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m 2， 因此|AB |2·|OC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m 224＝4.当且仅当3－1m 2＝1＋1m 2，即m ＝±1时，等号成立，故|AB |·|OC |≤2，综上，|AB |·|OC |的最大值为2.(二)选考题：共10分．请考生在第2二、23题中任选一题作答．若是多做，那么按所做的第一题计分．22．(本小题总分值10分) [2019·郑州一检]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝8cos θ1－cos 2θ.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)假设α＝π4，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解析：(1)由题知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)． ∵ρ＝8cos θ1－cos 2θ，∴ρsin 2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，即y 2＝8x .(2)解法一当α＝π4时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入y 2＝8x 可得t 2－82t －16＝0，设A ，B 两点对应的参数别离为t 1，t 2，那么t 1＋t 2＝82，t 1·t 2＝－16， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝8 3.又点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π4＝22，∴S △AOB ＝12|AB |×d ＝12×83×22＝2 6.解法二 当α＝π4时，直线l 的方程为y ＝x －1，设M (1,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝x －1，得y 2＝8(y ＋1)，即y 2－8y －8＝0， 由根与系数的关系得⎩⎨⎧y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8，∴S △AOB ＝12|OM ||y 1－y 2|＝12×1×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12×82－4×(－8)＝12×46＝2 6. 23．(本小题总分值10分)[2018·全国卷Ⅱ]选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)假设f (x )≤1，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.因此a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．。

2020版试吧高中全程训练打算数学文月月考三

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月月考(三)立体几何、解析几何第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2019·黑龙江牡丹江模拟]将正方体截去三个三棱锥后，取得如下图的几何体，侧视图的视线方向如下图，那么该几何体的侧视图为( )答案：D解析：如图，点A，B，C，E在右边面的投影为正方形，CA在右边面的投影为斜向下的正方形对角线，DE在右边面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线．应选D.2．假设直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限，那么k的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12答案：B解析：∵l 1，l 2有交点，∴k ≠±1.由⎩⎨⎧y ＝kx －k ＋1，ky －x ＝2k ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1，即直线l 1，l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1， ∵交点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧k k －1<0，2k －1k －1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧0<k <1，k <12或k >1，∴0<k <12，应选B.3．[2019·黑龙江齐齐哈尔联考]假设抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其核心的距离为5，那么n ＝( )A.194 B.92C．3 D．4答案：D解析：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1.依照抛物线的概念可知5＝n＋1，解得n＝4.应选D.4．[2019·洛阳统考(一)]正方形ABCD和等腰直角三角形DCE组成如下图的梯形，M，N别离是AC，DE的中点，将△DCE沿CD折起(点E始终不在平面ABCD内)，那么以下说法必然正确的选项是()A．MN∥平面BCEB．在折起进程中，必然存在某个位置，使MN⊥ACC．MN⊥AED．在折起进程中，不存在某个位置，使DE⊥AD答案：A解析：折起后的图形如下图，取CD 的中点O ，连接MO ，NO ，那么在△ACD 中，M ，O 别离是AC ，CD 的中点，∴MO ∥AD ∥BC ，同理NO ∥CE ，又BC ∩CE ＝C ，∴平面MON ∥平面BCE ，∴MN ∥平面BCE ，故A 正确；易知MO ⊥CD ，NO ⊥CD ，又MO ∩NO ＝O ，∴CD ⊥平面MNO ，∴MN ⊥CD ，假设MN ⊥AC ，又AC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥MO ，又MO ＝12AD ＝12EC ＝NO ，∴MN 不可能垂直于MO ，故MN ⊥AC 不成立，故B 错误；取CE 的中点Q ，连接MQ ，那么在△ACE 中，M ，Q 别离是AC ，CE 的中点，∴MQ ∥AE ，由图知MQ 与MN 不可能始终垂直，故C 错误；当平面CDE ⊥平面ABCD 时，又平面CDE ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊥CD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面CDE ，∴AD ⊥DE ，故D 错误．5．[2019·保定模拟]如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，将△ABC 与△ADC 沿AC 所在的直线进行任意翻折，在翻折进程中直线AD 与直线BC 所成角的取值范围(包括初始状态)为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 答案：C解析：由题意知，初始状态时，直线AD 与直线BC 所成的角的大小为0，翻折进程中，当BD ＝2时，在△ABD 中，因为AB ＝3，AD ＝1，因此AB 2＝AD 2＋BD 2，因此AD ⊥BD .又AD ⊥DC ，DC ∩BD ＝D ，因此AD ⊥平面BCD ，因此AD ⊥BC ，即直线AD 与直线BC 所成角的大小为π2，因此直线AD 与直线BC所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，应选C.6．[2018·全国卷Ⅱ]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，那么异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A.22B.32C.52D.72 答案：C 解析：如图，因为AB ∥CD ，因此AE 与CD 所成的角为∠EAB . 在Rt △ABE 中，设AB ＝2，则BE ＝5，那么tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，因此异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52.应选C.7．[2019·南昌调研]已知三棱锥P －ABC 的所有极点都在球O 的球面上，△ABC 知足AB ＝22，∠ACB ＝90°，PA 为球O 的直径且PA ＝4，那么点P 到底面ABC 的距离为( )A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3 答案：B解析：取AB 的中点O 1，因此O 1A ＝2，连接OO 1，如图，在△ABC 中，AB ＝22，∠ACB ＝90°，因此△ABC 所在小圆O 1是以AB 为直径的圆，因此OO－O1A2＝1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，因此OA＝2，因此OO1＝OA22，且OO1⊥底面ABC，因此点P到平面ABC的距离为2OO1＝2 2.8．[2019·长沙高三测试]某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是()A．4 3 B．8 3C．47 D．8答案：C解析：由三视图可知，该几何体为如右图所示的三棱锥，其中PB⊥平面ABC，底面三角形为等腰三角形，且AB＝4，PB＝4，CD⊥AB，CD＝23，因此AB ＝BC＝AC＝4，由此可知四个面中面积最大的为侧面PAC，取AC中点E，连接PE，BE，那么AC⊥平面PBE，因此PE⊥AC，PE＝BE2＋PB2＝27，S△PAC＝12·AC·PE＝47，应选C.9．[2019·湖北省重点中学联考]设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，假设|AB|＝23，那么直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0答案：B解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程得⎩⎨⎧ x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝1－3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，∴(k ＋2)2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.应选B.10．[2019·湖南郴州第一次教学质量监测]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±22xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x 答案：C解析：e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝4，那么b a ＝3，那么渐近线方程为y ＝±3x ，应选C.11．[2019·河北涞水波峰中学、高碑店三中联考]假设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝2相交，那么此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1,2)C ．(1，2)D ．(2，＋∞) 答案：C 解析：∵双曲线的渐近线bx ±ay ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交，∴圆心到渐近线的距离小于半径，即2b a 2＋b 2<2，∴b 2<a 2，∴c 2<2a 2，∴e ＝ca < 2.又∵e >1，∴1<e <2，应选C.12．[2019·保定模拟]设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个核心，P 是椭圆上的点，且|PF 1||PF 2|＝43，那么△PF 1F 2的面积为( )A．4 B．6C ．2 2D ．4 2 答案：B解析：由题意知，|PF 1|＋|PF 2|＝7且|PF 1||PF 2|＝43，得|PF 1|＝4，|PF 2|＝3，又|F 1F 2|＝2× 494－6＝5，显然，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，因此△PF 1F 2为直角三角形，故△PF 1F 2的面积为12×3×4＝6.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．13．[2019·湖北稳派教育联考]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，且知足c 2－b 2＋ac <0，那么该椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：∵c 2－b 2＋ac <0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac <0，即2c 2－a 2＋ac <0， ∴2c 2a 2－1＋c a <0，即2e 2＋e －1<0，解得－1<e <12.又∵0<e <1，∴0<e <12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.14．[2018·全国卷Ⅲ]已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的核心且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．假设∠AMB ＝90°，那么k ＝________.答案：2解析：方式一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的核心为F ，别离过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，那么|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.方式二 由题意知，抛物线的核心坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1,1)，得AM→＝(－1－x 1,1－y 1)，BM →＝(－1－x 2,1－y 2)． 由∠AMB ＝90°，得AM →·BM→＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k 2k 2＋4k 2－2＋1＝0， 整理得4k2－4k ＋1＝0，解得k ＝2.15．如下图，已知E ，F 别离是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 的棱A 1A ，CC 1的中点，那么四棱锥C 1－B 1EDF 的体积为________．答案：16a 3解析：方式一 连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接B 1D ，EF ，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H .∵EF ∥A 1C 1，且A 1C 1⊄平面B 1EDF ，EF ⊂平面B 1EDF ，∴A 1C 1∥平面B 1EDF .∴C 1到平面B 1EDF 的距离确实是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离．∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ，且平面B 1D 1D ∩平面B 1EDF ＝B 1D ， ∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高， ∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1，∴O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a .∴VC 1－B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H＝13·12·EF ·B 1D ·O 1H ＝13·12·2a ·3a ·66a ＝16a 3. 方式二 连接EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，那么h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a .由题意得，VC 1－B 1EDF ＝VB 1－C 1EF ＋VD －C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3.16．[2019·广西南宁二中、柳州联考]如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，M ，N 别离是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，以下说法正确的选项是________(填上所有正确的序号)．①不论D 折至何位置(不在平面内)都有MN ∥平面DEC ； ②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB . 答案：①②解析：如图，①易证ABCE 为矩形，连接AC ，那么N 在AC 上，连接CD ，BD ，易证在△ACD 中，MN 为中位线，MN ∥DC ，又MN ⊄平面DEC ，∴MN ∥平面DEC .①正确．②由已知，AE ⊥ED ，AE ⊥EC ，∴AE ⊥平面CED ，又CD ⊂平面CED ， ∴AE ⊥AD ，∴MN ⊥AE ，②正确．③MN 与AB 异面．假假设MN ∥AB ，那么MN 与AB 确信平面MNBA ， 从而BE ⊂平面MNBA ，AD ⊂平面MNBA ，与BE 和AD 是异面直线矛盾．③错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．17．(本小题总分值10分)如下图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明：(1)连接FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2， ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G 綊BE .又∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形． ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB ， 故E 、B 、F 、D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°.∴△B 1HG ∽△CBF ， ∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG . ∴HG ∥FB .又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F . 18．(本小题总分值12分)[2019·黑龙江鸡西虎林一中第一次月考]已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)当l 通过圆心C 时，求直线l 的方程；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解析：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因为直线l 过点P ，C ，因此直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12⎝⎛⎭⎫x －2，即x ＋2y －6＝0.(3)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0.圆心到直线l 的距离为12，圆的半径为3，因此弦AB 的长为34. 19．(本小题总分值12分)[2019·吉林长春质量监测]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)与直线x －2y ＋4＝0相切．(1)求该抛物线的方程；(2)在x 轴的正半轴上，是不是存在某个确信的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，使得1|AM |2＋1|BM |2为定值．若是存在，求出点M 的坐标；若是不存在，请说明理由．解析：(1)联立方程得⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－22py ＋8p ＝0，由直线与抛物线相切，得Δ＝8p 2－32p ＝0，解得p ＝4，p ＝0(舍去)， 因此抛物线的方程为y 2＝8x .(2)假设存在知足条件的点M(m,0)(m＞0)．直线l ：x ＝ty ＋m ，联立得⎩⎨⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝8x ，则y 2－8ty －8m ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝－8m .|AM |2＝(x 1－m )2＋y 21＝(t 2＋1)y 21， |BM |2＝(x 2－m )2＋y 22＝(t 2＋1)y 22，因此1|AM |2＋1|BM |2＝1(t 2＋1)y 21＋1(t 2＋1)y 22＝1t 2＋1·y 21＋y 22y 21y 22＝4t 2＋m 4m 2(t 2＋1)， 当m ＝4时，1|AM |2＋1|BM |2＝116，为定值，因此M (4,0)．20．(本小题总分值12分)[2019·山东济南联考]已知点P (－2,1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)上，动点A ，B 都在椭圆上，且直线AB 不通过原点O ，直线OP 通过弦AB 的中点．(1)求椭圆C 的方程和直线AB 的斜率； (2)求△PAB 的面积的最大值．解析：(1)将P (－2,1)代入x 2a 2＋y 22＝1，得22a 2＋122＝1，解得a 2＝8，因此椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.设直线AB ：y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 22＝1得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0， x 0＝12(x 1＋x 2)＝－4km 1＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋4k2. 直线OP 通过弦AB 的中点，那么k OM ＝k OP ，即y 0x 0＝－12，即m －4km ＝－12，解得k ＝12.(2)当k ＝12时，由Δ＝(4m )2－4×2(4m 2－8)>0得－2<m <2，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4，|AB|＝1＋122·|x1－x2|＝1＋122·(x1＋x2)2－4x1x2＝21＋122·4－m2，点P到直线AB：y＝12x＋m的距离d＝|m－2|1＋122，△PAB的面积S＝12|AB|·d＝|m－2|·4－m2＝－(m－2)3(m＋2).设f(m)＝－(m－2)3(m＋2)，－2<m<2.则f′(m)＝－[3(m－2)2(m＋2)＋(m－2)3]＝－4(m－2)2(m＋1)，当－2<m<－1时，f′(m)>0，当－1<m<2时，f′(m)<0，因此f(m)在(－2，－1)上单调递增，在(－1,2)上单调递减，因此f(m)max＝f(－1)＝27，因此S max＝27＝3 3.21．(本小题总分值12分)[2019·河南安阳模拟]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD，设E，F别离为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PDC；(3)求三棱锥P－BDE的体积．解析：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴连接AC，与BD交于点F.又∵在△CPA中，F为AC的中点，E为PC的中点，∴EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA.又PA＝PD＝22AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝π2，即PA⊥PD.又∵CD∩PD＝D，且CD，PD⊂平面PCD，∴PA⊥平面PDC，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PDC.(3)∵AB∥CD，∴点B到平面PDE的距离等于点A到平面PDE的距离，∴V P－BDE＝V B－PDE＝V A－PDE＝13S△PDE·AP＝13×12S△PDC·AP＝13×12×12×PD×DC×AP＝13×12×12×22a×a×22a＝124a3，∴三棱锥P－BDE的体积是124a3.22．(本小题总分值12分)[2019·云南玉溪模拟]如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝π2，AB＝BC＝2AD＝4，E、F别离是AB、CD上的点，EF∥BC，AE＝x，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图2)．G是BC的中点，以F、B、C、D为极点的三棱锥的体积记为f(x)．(1)当x＝2时，求证：BD⊥EG；(2)求f(x)的最大值；(3)当f(x)取得最大值时，求异面直线AE与BD所成角的余弦值．解析：(1)证明：作DH⊥EF，垂足为H，连接BH、GH、EG.∵平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF＝EF，∴DH⊥平面EBCF，又∵EG⊂平面EBCF，∴EG⊥DH.∵AE＝2，BG＝12BC＝2，∴BE＝BG.∵EH＝AD＝12BC＝BG，EF∥BC，∠EBC＝90°，∴四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH.又∵BH、DH⊂平面DBH，且BH∩DH＝H，∴EG⊥平面DBH.∵BD⊂平面DBH，∴EG⊥BD.(2)∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF＝EF，∴AE⊥平面EBCF.结合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，∴四边形AEHD是矩形，得DH＝AE，故以F、B、C、D为极点的三棱锥D－BCF的高DH＝AE＝x，又∵S△BCF＝12BC·BE＝12×4×(4－x)＝8－2x，∴三棱锥D－BCF的体积V＝f(x)＝13S△BFC·DH＝13S△BFC·AE＝13(8－2x)x＝－23x2＋83x＝－23(x－2)2＋83.∴当x＝2时，f(x)取最大值83.(3)由(2)知当f(x)取最大值时，AE＝2，故BE＝2，结合DH∥AE，可得∠BDH 或其补角是异面直线AE与BD所成的角．在Rt△BEH中，BH＝BE2＋EH2＝4＋4＝2 2.∵DH⊥平面EBCF，BH⊂平面EBCF，∴DH⊥BH.在Rt△BDH中，BD＝BH2＋DH2＝8＋4＝23，∴cos∠BDH＝DHBD＝223＝33.∴异面直线AE与BD所成角的余弦值为3 3.。

2020版试吧高中全程训练打算数学文周周测3

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周周测3导数及应用测试一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2019·长沙模拟]知足f(x)＝f′(x)的函数是( )A．f(x)＝3＋x B．f(x)＝－xC．f(x)＝ln x D．f(x)＝0答案：D解析：假设f(x)＝0，那么f′(x)＝0，从而有f(x)＝f′(x)．应选D.2．[2019·东城模拟]假设直线y＝－x＋2与曲线y＝－e x＋a相切，那么a 的值为( )A．－3 B．－2C．－1 D．－4答案：A解析：由于y′＝(－e x＋a)′＝－e x＋a，令－e x＋a＝－1，得切点的横坐标为x ＝－a，因此切点为(－a，－1)，进而有－(－a)＋2＝－1，故a＝－3.3．已知函数f(x)＝14x2＋cos x的图象在点(t，f(t))处的切线的斜率为k，那么函数k＝g(t)的大致图象是( )答案：A解析：由于f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，∴f ′(－x )＝－f ′(x )，故f ′(x )为奇函数，即g (t )为奇函数，其图象关于原点对称，排除B 、D ，又当t ＝π2时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π4－sin π2＝π4－1<0，排除C ，应选A.4．[2019·东北三省四市教研联合体高考模拟试卷]作曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线，假设切线在y 轴上的截距小于0，那么x 0的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 答案：C解析：由题意知y ′＝e x ，因此切线的斜率k ＝e x 0，由题意得⎩⎨⎧y －y 0＝e x 0(x －x 0)，y 0＝e x 0，故切线方程为y ＝x e x 0＋(1－x 0)e x 0，由题意得(1－x 0)e x 0<0，因为e x 0>0，因此1－x 0<0，即x 0>1，应选C.5．[2019· 湖南长沙长郡中学模拟]设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处切线l 2，使得l 1⊥l 2，那么实数a 的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 答案：D解析：f ′(x )＝－e x －1，∵e x＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．又g ′(x )＝3a －2sin x ，∵－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使曲线f (x )上任意一点的切线l 1，总存在曲线g (x )上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，那么⎩⎨⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.应选D.6．设函数f(x)＝e x(x3－3x＋3)－a e x－x(x≥－1)，假设不等式f(x)≤0有解，那么实数a的最小值为()A.1e B．eC．1－1e D．e－1答案：C解析：∵f(x)＝e x(x3－3x＋3)－a e x－x≤0有解，∴a≥x3－3x＋3－xe x有解．令g(x)＝x3－3x＋3－xe x，那么g′(x)＝3x2－3＋x－1e x＝(x－1)⎝⎛⎭⎪⎫3x＋3＋1e x，故当x∈[－1,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在[－1,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(1)＝1－3＋3－1e ＝1－1e，∴a≥1－1 e，∴实数a的最小值为1－1 e.7．[2019·山东济南一中模拟]已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，那么实数a的取值范围是()A．[－3，3]B．(－3，3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)答案：A解析：函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1的导数为f′(x)＝－3x2＋2ax－1.∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，∴在(－∞，＋∞)上f′(x)≤0恒成立，即－3x2＋2ax－1≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤3，∴实数a的取值范围是[－3，3]．应选A.8．[2019·南昌调研]已知函数f(x)是概念在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，假设对任意的x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，那么() A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)答案：A解析：依照题意，令g(x)＝x2f(x)，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，又对任意的x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，那么当x >0时，有g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]>0恒成立，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f (x )是概念在R 上的偶函数，那么f (－x )＝f (x )，那么有g (－x )＝(－x )2f (－x )＝x 2f (x )＝g (x )，即函数g (x )也为偶函数，那么有g (－2)＝g (2)，且g (2)<g (3)，那么有g (－2)<g (3)，即有4f (－2)<9f (3)．应选A.9．[2019·昆明调研]假设函数f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2，关于任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0]C ．(－∞，3]D ．(－∞，4] 答案：D解析：f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2≤0，即2x ＋1≤x 2＋2x ＋2.设g (x )＝2x ＋1，h (x )＝x 2＋2x ＋2，当x ≤－1时，0<g (x )≤1，h (x )＝x 2＋2x ＋2≥1，因此当a ≤－1时，知足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当－1<x <4时，因为g (0)＝h (0)＝2，g (1)＝4<h (1)＝5，g (2)＝8<h (2)＝10，g (3)＝16<h (3)＝17，因此－1<a ≤4时，亦知足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当x ≥4时，易知f ′(x )＝2x ＋1·ln2－2x －2，设F (x )＝2x ＋1·ln2－2x －2，那么F ′(x )＝2x ＋1·(ln2)2－2>0，因此F (x )＝2x ＋1·ln2－2x －2在[4，＋∞)上是增函数，因此f ′(x )≥f ′(4)＝32ln2－10>0，因此函数f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2在[4，＋∞)上是增函数，因此f (x )≥f (4)＝32－16－8－2＝6>0，即a >4时，不知足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，4]，应选D.10．[2019·河北石家庄二中模拟]已知对∀x ∈(0，＋∞)，不等式ln x ＋1≥m －n x (n >0)恒成立，那么mn 的最大值是( )A ．1B ．－1C ．eD ．－e 答案：C解析：不等式ln x ＋1≥m －n x 可化为ln x ＋1－m ＋nx ≥0，令F (x )＝ln x ＋1－m ＋n x (x >0)，那么F ′(x )＝1x －n x 2＝x －nx2，因此当x ＝n 时，F (x )min ＝ln n ＋2－m ，那么ln n ＋2－m ≥0⇒m ≤2＋ln n (n >0)．因此m n ≤2＋ln nn .令G (n )＝2＋ln n n ，那么G ′(n )＝－1－ln n n 2＝0，可得n ＝1e ，故G (n )max ＝2－11e＝e ，即m n ≤2＋ln n n ≤e.因此mn 的最大值为e .应选C.11．[2019·河南安阳模拟]已知函数f (x )＝x 33＋x 22与g (x )＝6x ＋a 的图象有3个不同的交点，那么a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－223，272B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，272C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－272，223D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－272，223 答案：B解析：原问题等价于函数h (x )＝x 33＋x 22－6x 的图象与直线y ＝a 有三个不同的交点．h ′(x )＝x 2＋x －6＝(x －2)(x ＋3)，当x ∈(－∞，－3)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(－3,2)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．函数h (x )的图象，如图．又h (－3)＝272，h (2)＝－223，数形结合可得a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，272.应选B.12．[2019·湖南长沙长郡中学模拟]已知函数f (x )＝e x ln x (x >0)，假设对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，∃k ∈[－a ，a ](a >0)，使得方程f (x )＝k 有解，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，e e ]B ．[e e ，＋∞)C ．[e ，＋∞)D ．[e 1e，e e]答案：B解析：f ′(x )＝e xln x ＋e x x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .令g (x )＝ln x ＋1x ，那么g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，∴当0<x <1时，g ′(x )<0，当x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递减，在(1，e)上单调递增．∴g (x )≥g (1)＝1，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递增．∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 1e ，e e . ∵对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，∃k ∈[－a ，a ](a >0)，使得方程f (x )＝k 有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧－e 1e≥－a ，e e≤a ，a >0，解得a ≥e e ，∴实数a 的取值范围是[e e ，＋∞)．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2019·广西陆川中学月考]假设函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，那么实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，2ln2－2)解析：函数f (x )＝x 2－e x －ax ，因此f ′(x )＝2x －e x －a .因为f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，因此f ′(x )＝2x －e x －a >0，即a <2x －e x 有解．令g (x )＝2x －e x ，那么g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝2－e x ＝0，得x ＝ln2，因此当x <ln2时，g ′(x )＝2－e x >0，当x >ln2时，g ′(x )＝2－e x <0，那么当x ＝ln2时，g (x )max ＝2ln2－2，因此a <2ln2－2.14．曲线y ＝f (x )＝x log 2x 在点(1，f (1))处的切线方程为__________________．答案：y ＝1ln2(x －1)解析：因为y ＝x log 2x ，因此y ′＝log 2x ＋1ln2，当x ＝1时，y ′＝1ln2，y ＝0，故曲线y ＝x log 2x 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝1ln2(x －1)．15．假设f (x )＝x sin x ＋cos x ，那么f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f (2)的大小关系为________(用“<”连接)．答案：f (－3)<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2解析：函数f (x )为偶函数，因此f (－3)＝f (3)，又f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f ′(x )<0.因此f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (2)>f (3)＝f (－3)．16．[2019·西安八校联考]已知函数f (x )＝ln x －ax 2，假设f (x )恰有两个不同的零点，那么a 的取值范围为______________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e解析：函数f (x )的概念域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2ax ＝1－2ax 2x .当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，那么函数f (x )不可能有两个不同的零点．当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝12a，当0<x <12a时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x >12a时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因此f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12a ＝ln 12a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12a 2＝－12ln2a －12，又当x →0＋时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→－∞，于是要使函数f (x )恰有两个不同的零点，故需知足－12ln2a －12>0，即ln2a <－1，因此0<2a <1e ，即0<a <12e ，因此a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤．17．(本小题总分值10分)[2019·河北衡水调研(四)]已知函数f (x )＝12x 2－a ln x .(1)假设函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线只是第四象限且只是原点，求实数a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )＋2x ，假设g (x )在[1，e]上不单调且仅在x ＝e 处取得最大值，求实数a 的取值范围．解析：(1)由f ′(x )＝x －a x ，得f ′(1)＝1－a .因为f (1)＝12， 因此函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －12＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋a －12. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，a －12>0，解得12<a ≤1，因此实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. (2)g ′(x )＝x －a x ＋2＝x 2＋2x －a x(x >0)， 设h (x )＝x 2＋2x －a (x >0)．若g (x )在[1，e]上不单调，那么h (1)h (e)<0，即(3－a )(e 2＋2e －a )<0，解得3<a <e 2＋2e.同时g (x )仅在x ＝e 处取得最大值，因此g (e)>g (1)，即12e 2－a ＋2e>52，解得a <e 22＋2e －52. 综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，e 22＋2e －52. 18．(本小题总分值12分)[2019·贵阳市检测]已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)． 解析：(1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x －ln x ，f (x )的概念域为(0，＋∞)．∵f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－x x 2，∴f ′(x )>0⇒0<x <1，f ′(x )<0⇒x >1， ∴f (x )＝1－1x －ln x 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f (e)．∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2－e.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e.19．(本小题总分值12分)[2019·河北衡水武邑中学调研]设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x e x －x －1.(1)假设关于x 的方程f (x )＝x 2－103＋m 在区间[1,3]上有解，求m 的取值范围；(2)当x >0时，g (x )－a ≥f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)方程f (x )＝x 2－103＋m ，即为ln x －x 2＋103＝m . 令h (x )＝ln x －x 2＋103(x >0)，那么h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x ≤0在x ∈[1,3]恒成立，故h (x )在[1,3]上单调递减．∵h (1)＝73，h (3)＝ln3－173， ∴当x ∈[1,3]时，h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln3－173，73， ∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln3－173，73. (2)依题意，当x >0时，g (x )－f (x )≥a 恒成立．令F (x )＝g (x )－f (x )＝x ·e x －ln x －x －1(x >0)，那么F ′(x )＝(x ＋1)·e x－1x －1＝(x ＋1)x ·(x ·e x －1)．令G (x )＝x ·e x －1，那么当x >0时，G ′(x )＝(x ＋1)·e x >0，∴函数G (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵G (0)＝－1<0，G (1)＝e －1>0，∴G (x )存在唯一的零点c ∈(0,1)，且当x ∈(0，c )时，G (x )<0，当x ∈(c ，＋∞)时，G (x )>0，那么当x ∈(0，c )时，F ′(x )<0，当x ∈(c ，＋∞)时，F ′(x )>0，∴F (x )在(0，c )上单调递减，在(c ，＋∞)上单调递增，从而F (x )≥F (c )＝c e c －ln c －c －1.由G (c )＝0得c e c －1＝0，c e c ＝1，两边取对数得ln c ＋c ＝0，∴F (c )＝0，∴F (x )≥F (c )＝0，∴a ≤0，即实数a 的取值范围是(－∞，0]．20．(本小题总分值12分)已知函数f (x )＝|x e x |.(1)当x <0时，判定函数f (x )的单调性；(2)假设函数g (x )＝[f (x )]2＋tf (x )＋2的零点个数为4，求实数t 的取值范围．解析：(1)因为f (x )＝|x e x |，因此f (x )＝⎩⎨⎧x e x ，x ≥0，－x e x ，x <0.当x<0时，f′(x)＝－(e x＋x e x)＝－(1＋x)e x，当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x <0时，f ′(x )<0；因此f (x )在(－∞，－1)上是增函数；在(－1,0)上是减函数．(2)当x ≥0时，f ′(x )＝e x ＋x e x >0，因此f (x )在[0，＋∞)上是增函数；由(1)知，当x ＝－1时，函数f (x )取得极大值f (－1)＝1e . 易知f (x )≥0，令f (x )＝m ，那么m ≥0.那么当0<m <1e时，方程f (x )＝m 有3个解(如下图)； 当m ＝0或m >1e时，方程f (x )＝m 有1个解； 当m ＝1e时，方程f (x )＝m 有2个解． 因为函数g (x )＝[f (x )]2＋tf (x )＋2的零点个数为4，因此关于x 的方程[f (x )]2＋tf (x )＋2＝0有4个解．因此关于m 的方程m 2＋tm ＋2＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上有1个解，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上有1个解．记h (m )＝m 2＋tm ＋2，那么应知足⎩⎪⎨⎪⎧ h (0)>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <0，即⎩⎪⎨⎪⎧2>0，1e 2＋t e ＋2<0，解得t <－2e 2＋1e. 因此实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－2e 2＋1e . 21．(本小题总分值12分)[2019·湖南永州模拟]已知函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝ax 2＋1，其中e 为自然对数的底数．(1)讨论函数f (x )在区间[1，e]上的单调性；(2)已知a ∉(0，e)，假设对任意x 1，x 2∈[1，e]，有f (x 1)>g (x 2)，求实数a 的取值范围．解析：(1)函数f (x )的概念域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x .①当a ≤0时，1－ax >0，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上单调递增．②当0<a ≤1e时，1a ≥e ，f ′(x )≥0，∴f (x )在[1，e]上单调递增． ③当1e <a <1时，1<1a <e ，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 时，f ′(x )>0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上单调递增，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 时，f ′(x )<0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 上单调递减． ④当a ≥1时，1a ≤1，f ′(x )≤0，∴f (x )在[1，e]上单调递减．综上所述，当a ≤1e 时，f (x )在[1，e]上单调递增；当1e <a <1时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 上单调递减；当a ≥1时，f (x )在[1，e]上单调递减． (2)g ′(x )＝2ax ，依题意，x ∈[1，e]时，f (x )min >g (x )max 恒成立．已知a ∉(0，e)，那么当a ≤0时，g ′(x )≤0，∴g (x )在[1，e]上单调递减，而f (x )在[1，e]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝－a ，∴g (x )max ＝g (1)＝a ＋1.∴－a >a ＋1，得a <－12. 当a ≥e 时，g ′(x )>0，g (x )在[1，e]上单调递增，而f (x )在[1，e]上单调递减，∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ，∴g (x )max ＝g (e)＝a e 2＋1，∴1－a e>a e 2＋1，得a <0，与a ≥e 矛盾．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. 22．(本小题总分值12分)[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)假设f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2. 解析：(1)f (x )的概念域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2. ①若a ≤2，那么f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0， 因此f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②若a ＞2，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．(2)证明：由(1)知，f (x )存在两个极值点当且仅当a ＞2. 由于f (x )的两个极值点x 1，x 2知足x 2－ax ＋1＝0， 因此x 1x 2＝1，不妨设x 1＜x 2，那么x 2＞1. 由于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 21x 2－x 2，因此f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜a －2等价于1x 2－x 2＋2ln x 2＜0. 设函数g (x )＝1x －x ＋2ln x ，由(1)知，g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又g (1)＝0，从而当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0. 因此1x 2－x 2＋2ln x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜a －2.。

高中全程训练计划·数学(文)天天练33 抛物线的定义、方程及性质 Word版含解析

高中全程训练计划·数学(文)天天练33 抛物线的定义、方程及性质 Word版含解析

天天练33 抛物线的定义、方程及性质一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．22．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32 D.52 3．(2017·陕西一检)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－3D ．x ＝－4 4．(2017·宁波一模)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 5．(2017·衡水一调)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (2,0)且与C 交于A ，B 两点，|BF |＝32，若|AM |＝λ|BM |，则λ＝( )A.32 B ．2 C ．4 D ．6 6．(2017·合肥二模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．±3B ．±1C ．±34D ．±337．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．58．如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 二、填空题 9．(2016·浙江卷，9)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________________．10．(2017·厦门一模)已知焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上一点A (m ，22)，若以A 为圆心，|AF |为半径的圆A 被y 轴截得的弦长为25，则m ＝________.11．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为______________．三、解答题12．已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB →； (2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .1．B 椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点坐标为(2,0)，所以p2＝2，p ＝4，故选B.2．C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.3．D 因为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在2x ＋3y －8＝0上，所以p ＝8，所以抛物线的准线方程为x ＝－4，故选D.4．B 设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1,2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1，选B.5．C 由题意得抛物线的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，由|BF |＝32及抛物线的定义知点B 的横坐标为12，代入抛物线方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±2，根据抛物线的对称性，不妨取B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，则l 的方程为y ＝223(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝223(x －2)y 2＝4x ，得A (8,42)，于是λ＝|AM ||BM |＝4，故选C.6．A 设M (x 0，y 0)，易知焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义得|MF |＝x 0＋p 2＝2p ，所以x 0＝32p ，故y 20＝2p ×32p ＝3p 2，解得y 0＝±3p ，故直线MF 的斜率k ＝±3p32p －p 2＝±3，选A.7．C 设抛物线的焦点为F ，则|PF |＝|PM |＋12，∴|PM |＝|PF |－12.∴|P A |＋|PM |＝|P A |＋|PF |－12.将x ＝72代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±7， ∵7<4，∴点A 在抛物线的外部．∴当P ，A ，F 三点共线时，|P A |＋|PF |有最小值．∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴|AF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72－122＋(4－0)2＝5. ∴|P A |＋|PM |有最小值5－12＝92. 8．C如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.9．9解析：设M (x 0，y 0)，由抛物线方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.10．2 解析：因为圆A 被y 轴截得的弦长为25，所以m 2＋5＝|AF |＝m ＋p2①，又A (m,22)在抛物线上，故8＝2pm ② 由①与②可得p ＝2，m ＝2. 11．x ＝－2解析：将双曲线方程化为标准形式为x 2a 2－y 23a 2＝1，∴其焦点坐标为(±2a,0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ，化简得x ＝3a .而由⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a⇒|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ⇒a ＝1，∴抛物线方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2.12．解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p2，得x 2－2pkx －p 2＝0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2. (2)由x 2＝2py ，知y ′＝x p ，∴抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p ，∴直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2.∴k MF ＝－1k ，∴直线MF 与AB 相互垂直． 由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)，用－1k 代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33.。

2020版试吧高中全程训练打算数学文天天练34

2020版试吧高中全程训练打算数学文天天练34

天天练34概率、随机变量及散布小题狂练○34一、选择题1．从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )A．① B．②④C．③ D．①③答案：C解析：从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情形：一奇一偶，两个奇数，两个偶数．其中“至少有一个是奇数”包括一奇一偶或两个奇数这两种情形，它与两个都是偶数是对立事件．又①②④中的事件能够同时发生，不是对立事件．2．[2018·全国卷Ⅱ]从2名男同窗和3名女同窗中任选2人参加社区效劳，那么选中的2人都是女同窗的概率为( )A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3答案：D解析：设两名男同窗为A，B，三名女同窗为a，b，c，那么从5人中任选2人有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，(A，B)，共10种.2人都是女同窗的情形有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故所求概率为310＝0.3.3．[2018·全国卷Ⅲ]假设某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，那么不用现金支付的概率为() A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7答案：B解析：由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.应选B.4．[2019·湖北七市教科研协作体模拟]从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(许诺重复)组成一个三位数，其列位数字之和等于12的概率为()A.225 B.13 125C.18125 D.29125答案：A解析：从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(许诺重复)组成一个三位数，大体事件总数n＝53＝125.其列位数字之和等于12包括的大体事件有：由2,5,5能组成3个知足条件的三位数，由4,4,4能组成1个知足条件的三位数，由3,4,5能组成6个知足条件的三位数，知足条件的三位数共有3＋1＋6＝10个，∴其列位数字之和等于12的概率为P＝10125＝225.5．[2019·石家庄高中毕业班模拟考试(一)]已知函数f(x)＝2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，那么x∈D的概率是()A.12 B.1 3C.14 D.2 3答案：B解析：因为函数y＝2x是R上的增函数，因此函数f(x)的值域是(0,1)，因此所求概率是13，应选B.6．[2019·河南名校联考]现有2个正方体，3个三棱柱，4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，那么该几何体是旋转体的概率为()A.110 B.25C.12 D.710答案：C解析：由题意知共有10个几何体，其中旋转体为球和圆台，共5个，依照古典概型，从中任取一个几何体，那么该几何体是旋转体的概率P＝510＝12.应选C.7．[2019·湖南三湘名校第三次联考]已知以原点O为圆心，1为半径的圆和函数y＝x3的图象如下图，那么向圆内任意抛掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部份的概率为()A.12 B.14C.16 D.18答案：B解析：由图形的对称性知，所求概率为14π×12π×12＝14.应选B.8．[2019·贵阳检测]在△ABC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，一只小蚂蚁从△ABC的内切圆的圆心处开始随机爬行，当蚂蚁(在三角形内部)与△ABC各边距离不小于1时，其行动是平安的，那么这只小蚂蚁在△ABC内任意爬行时，其行动是平安的概率为()A.14 B.49C.12D.23 答案：A解析：设△ABC 内切圆的半径为r ，那么12×5×12＝5＋12＋132×r ，∴r ＝2，由题意，与△ABC 各边距离等于1的点组成的图形△A ′B ′C ′与△ABC 相似，△A ′B ′C ′内切圆的半径为1，∴△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为12，∴△A ′B ′C ′与△ABC 的面积之比为14，∴这只小蚂蚁在△ABC 内任意爬行时，其行动是平安的概率是14，应选A.二、非选择题 9．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，那么目标受损但未完全击毁的概率为________．答案：0.4解析：∵一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，∴P (目标未受损)＝0.4，P (目标受损)＝1－0.4＝0.6，目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，它们是对立事件，P (目标受损)＝P (目标受损但未完全击毁)＋P (目标受损且击毁)，即0.6＝P (目标受损但未完全击毁)＋0.2，∴P (目标受损但未完全击毁)＝0.6－0.2＝0.4.10．如图，在等腰直角△ABC 中，过直角极点C 作射线CM 交AB 于M ，那么使得AM 小于AC 的概率为________．答案：34解析：当AM ＝AC 时，△ACM 为以A 为极点的等腰三角形，∠ACM ＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM <67.5°时，AM <AC ，因此AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM 的度数∠ACB 的度数＝67.5°90°＝34. 11．某校有三个爱好小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每一个爱好小组的可能性相同，那么甲、乙不在同一个爱好小组的概率为________．2答案：3解析：此题考查古典概型．甲、乙两名学生参加爱好小组的结果共有9种，其中甲、乙不在同一个爱好小组的结果有6种，故所求的概率为69＝23.12．[2019·重庆适应性测试]从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，那么所取3个数之和为偶数的概率为________.答案：25解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包括两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为410＝25.课时测评○34一、选择题 1．[2019·海淀模拟]抛掷一枚均匀的骰子2次，在以下事件中，与事件“第一次取得6点”不彼此独立的是( )A ．第二次取得6点B ．第二次的点数不超过3C ．第二次的点数是奇数D ．两次取得的点数和是12 答案：D解析：事件“第二次取得6点”、“第二次的点数不超过3”、“第二次的点数是奇数”与事件“第一次取得6点”均彼此独立，而关于事件“两次取得的点数和是12”，由于第一次取得6点，因此第二次也是6点，故不彼此独立，应选D.2．[2019·湖南郴州质量监测]甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左侧的概率是( )A ．1 B.16C.12D.13 答案：D解析：甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙，丙乙甲，共6种，其中甲排在左侧的站法为2种，∴甲排在左侧的概率是26＝13.应选D.3．[2019·绵阳诊断]某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不阻碍．假设这名射手射击5次，那么有3次持续击中目标，另外2种未击中目标的概率为( )A.89B.7381C.881D.19 答案：C解析：因为该射手每次射击击中目标的概率是23，因此每次射击不中的概率为13，设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“该射手在5次射击中，有3次持续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，那么P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881. 4．一个多面体的直观图和三视图如下图，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF －BCE 内自由飞翔，那么它飞入几何体F －AMCD 内的概率为( )A.34B.23C.13D.12 答案：D解析：因为V F－AMCD＝13×S AMCD×DF＝14a3，VADF－BCE＝12a3，因此它飞入几何体F－AMCD内的概率为14a312a3＝12.5．欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技术之精湛，假设铜钱直径2 cm，中间有边长为1 cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，那么油恰好落入孔中的概率是()A.14π B.12πC.1π D.2π答案：C解析：依照几何概型的求解方式可知，用正方形的面积除以圆的面积即为所求概率，故P＝S正方形S圆＝1π.应选C.6．[2019·山西运城模拟]已知五条长度别离为1,3,5,7,9的线段，现从这五条线段中任取三条，那么所取三条线段能组成一个三角形的概率为() A.110 B.310C.12 D.710答案：B解析：从五条中任取三条，共有一、3、5,一、3、7,一、3、9,一、五、7,一、五、9,一、7、9,3、五、7,3、五、9,3、7、9,五、7、9十种情形．其中仅3、五、7,3、7、9,五、7、9三种情形能够组成三角形，故组成三角形的概率P＝310.7．[2019·湖北省四校高三上学期第二次联考试题]如下图的图案是由两个等边三角形组成的六角星，其中这两个等边三角形的三边别离对应平行，且各边都被交点三等分，假设往该图案内抛掷一点，那么该点落在图中阴影部份内的概率为( )A.14B.13C.12D.23 答案：C解析：设六角星的中心为点O ，别离将点O 与两个等边三角形的六个交点连接起来，那么将阴影部份分成了六个全等的小等边三角形，而且与其余六个小三角形也是全等的，因此所求的概率P ＝12，应选C.8．[2019·成都测试]小明在花店定了一束鲜花，花店许诺将在第二天早上7：30～8：30之间将鲜花送到小明家．假设小明第二天离开家去公司上班的时刻在早上8：00～9：00之间，那么小明在离开家之前收到鲜花的概率是( )A.18B.14C.34D.78 答案：D解析：如图，设送花人抵达小明家的时刻为x ，小明离家去上班的时刻为y ，记小明离家前能收到鲜花为事件A .(x ，y )能够看成平面中的点，实验的全数结果所组成的区域为Ω＝{(x ，y )|7.5≤x ≤8.5,8≤y ≤9}，这是一个正方形区域，面积为S Ω＝1×1＝1，事件A 所组成的区域为A ＝{(x ，y )|y ≥x,7.5≤x ≤8.5,8≤y ≤9}，即图中的阴影部份，面积为S A ＝1－12×12×12＝78.这是一个几何概型，因此P (A )＝S A S Ω＝78，应选D.二、非选择题 9．[2019·怀化二模]设a ∈{1,2,3}，b ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，4，6，求函数y ＝log b a 1x 是减函数的概率为________．答案：58解析：∵f (x )＝1x 在区间(0，＋∞)上是减函数，又函数y ＝log b a 1x 是减函数，∴ba >1，∵a ∈{1,2,3}，b ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，4，6，则b a ＝16，14，12，43，2,3,4,6，共8个值，其中知足b a >1的有43，2,3,4,6，共5个值，∴函数y ＝log b a 1x 是减函数的概率为58.10．[2019·南昌市项目第一次模拟]在圆x 2＋y 2＝4上任取一点，那么该点到直线x ＋y －22＝0的距离d ∈[0,1]的概率为________．答案：13解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径r ＝2，因此圆心O 到直线x ＋y －22＝0的距离为d 1＝|0＋0－22|12＋12＝2＝r ，因此直线x ＋y －22＝0与圆O 相切．不妨设圆x 2＋y 2＝4上的点到直线x ＋y －22＝0的距离d ∈[0,1]的所有点都在AB 上，其中直线AB 与直线x ＋y －22＝0平行，直线AB 与直线x ＋y－22＝0的距离为1，因此圆心到直线AB 的距离为r －1＝1，因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∠AOB ＝12，因此12∠AOB ＝π3，得∠AOB ＝2π3，因此所求的概率P ＝23π·22π·2＝13. 11．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等将1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件别离为A 、B 、C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解析：(1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率别离为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”那个事件为M ，那么M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，那么事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文) 模拟考(二)

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文) 模拟考(二)

模拟考(二)高考仿真模拟冲刺卷(B)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x||x|≤2}，则A∩(∁RB)＝()A．[2,5] B．(2,5]C．[－1,2] D．[－1,2)答案：B解析：通解由题得A＝[－1,5]，B＝[－2,2]，则∁R B＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A∩(∁R B)＝(2,5]，故选B.优解当x＝2时，|x|＝2,2∉∁R B，排除A，C；当x＝0时，|x|＝0,0∉∁R B，排除D，故选B.2．[2019·广西柳州联考]已知复数z在复平面内对应的点是(1，－2)，i为虚数单位，则z＋2z－1＝()A．－1－i B．1＋iC．1－32i D．1＋32i答案：D解析：z＋2z－1＝3－2i－2i＝1＋32i，故选D.3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是()A．2 014 B．2 015C．2 016 D．2 017答案：D解析：分析程序框图可知，当i为偶数时，S＝2 017，当i 为奇数时，S＝2 016，而程序在i＝0时跳出循环，故输出的S为2 017，故选D.4．[2019·陕西模拟]某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是()A．7,11,18 B．6,12,18C．6,13,17 D．7,14,21答案：D解析：因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按42162＝727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，则分别应抽取的人数是7,14,21.故选D.5．[2019·福建南平模拟]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A.16B.13C.23 D ．1答案：B解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，其中P A ⊥底面ABC ，P A ＝2，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1.∴S △ABC ＝12·AB ·BC ＝12×12＝12.因此V ＝13·S △ABC ·P A ＝13×12×2＝13.故选B.6．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6答案：C解析：如图，△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段R ′Q ′，即AB ，而R ′Q ′＝RQ ，由⎩⎨⎧ x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1,1)，由⎩⎨⎧ x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)， |AB |＝|QR |＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2.7．若数列{a n }满足(2n ＋3)a n ＋1－(2n ＋5)a n ＝(2n ＋3)·(2n ＋5)lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，且a 1＝5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋3的第10项为( ) A ．2 B ．3C ．1＋lg99D ．2＋lg99答案：A解析：由(2n ＋3)a n ＋1－(2n ＋5)a n ＝(2n ＋3)(2n ＋5)lg1＋1n 可得a n ＋12n ＋5－a n 2n ＋3＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，记b n ＝a n 2n ＋3，则b n ＋1－b n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，由累加法得b n ＝lg n ＋1，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋3的第10项为b 10＝lg10＋1＝2，选A.8．[2018·全国卷Ⅰ]右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3答案：A解析：∵ S △ ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝π8AB 2，以AC 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝π8AC 2， 以BC 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝π8BC 2， ∴ S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－12AB ·AC ，S Ⅱ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π8AB 2＋π8AC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π8BC 2－12AB ·AC ＝12AB ·AC . ∴ S Ⅰ＝S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1＝S ⅠS 总，p 2＝S ⅡS 总. ∴ p 1＝p 2.故选A.9．[2019·山西太原模拟]函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )答案：D 解析：函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B 、C.取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0，故选D.10．[2019·南阳模拟]已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a <0)的圆心在直线3x －y ＋3＝0上，且圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3，则a 2＋b 2的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：化圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a <0)为标准方程得C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，其圆心为(a ，b )，故3a －b ＋3＝0，即b ＝3a ＋3，(a ，b )到直线3x ＋y ＝0的距离d ＝|3a ＋b |3＋1＝|3a ＋b |2＝|3a ＋3a ＋3|2，因为圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3，故d ＋1＝|3a ＋3a ＋3|2＋1＝1＋3，得到|2a ＋1|＝2，解得a ＝－32或a ＝12(舍去)，故b＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋3＝－32，故a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝⎛⎭⎪⎫－322＝3.选C. 11．[2019·石家庄一检]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( )A. 3 B ．2＋ 3C ．2 D.2＋1答案：B解析：由题意可知A 是F 1B 的中点，O 是F 1F 2的中点(O 为坐标原点)，连接BF 2，则OA 是△F 1BF 2的中位线，故OA ∥BF 2，故F 1F 2⊥BF 2，又∠BF 1F 2＝60°，|F 1F 2|＝2c ，∴|BF 1|＝4c ，|BF 2|＝23c ，∴2a ＝4c －23c ，∴e ＝c a ＝2＋3，故选B.12．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：C 解析：令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．13．[2019·石家庄高中毕业班模拟考试(一)]命题：∃x0≥1，x20－2x0－3<0的否定为________．答案：∀x≥1，x2－2x－3≥0解析：特称命题的否定是全称命题，则命题的否定为∀x≥1，x2－2x－3≥0.14．[2019·南昌市第二次模拟]从某企业的某种产品中抽取1 000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．若该产品的这项指标值在[185,215)内，则该产品的这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为________．答案：0.79解析：由频率分布直方图知，指标值在[185,215)内的频率为(0.022＋0.033＋0.024)×10＝0.79，故该企业这种产品在这项指标上的合格率约为0.79.15．[2019·武汉调研]在钝角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝3，则c的取值范围是________．答案：(1，7)∪(5,7)解析：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得1<c<7，①若∠C为钝角，则cos C＝a2＋b2－c22ab＝25－c224<0，解得c>5，②若∠A为钝角，则cos A＝b2＋c2－a22bc＝c2－76c<0，解得0<c<7，③结合①②③可得c的取值范围是(1，7)∪(5,7)．16．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．答案：8π解析：在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝12·SA2＝8，解得SA＝4.设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h，在Rt△SAO中，∠SAO＝30°，所以r ＝23，h ＝2，所以圆锥的体积为13πr 2·h ＝13π×(23)2×2＝8π.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(一)必考题：共60分17．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅲ]等比数列{an }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{an }的通项公式；(2)记Sn 为{an }的前n 项和．若Sm ＝63，求m .解析：(1)设{an }的公比为q ，由题设得an ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故an ＝(－2)n －1或an ＝2n －1.(2)若an ＝(－2)n －1，则Sn ＝1－(－2)n 3. 由Sm ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若an ＝2n －1，则Sn ＝2n －1.由Sm ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.18．(本小题满分12分)[2018·北京卷]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解析：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.故所求概率为502 000＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－3722 000＝0.814.(3)解：增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．19．(本小题满分12分)[2019·广东广州二模]在三棱锥P－ABC中，△P AB是等边三角形，∠APC＝∠BPC＝60°.(1)求证：AB⊥PC；(2)若PB＝4，BE⊥PC，求三棱锥B－P AE的体积．解析：(1)证明：因为△P AB是等边三角形，∠APC＝∠BPC＝60°，所以△PBC≌△P AC，可得AC＝BC.如图，取AB中点D，连接PD，CD，则PD ⊥AB ，CD ⊥AB . 因为PD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥平面PDC .因为PC ⊂平面PDC ，所以AB ⊥PC . (2)因为△PBC ≌△P AC ，BE ⊥PC ， 所以AE ⊥PC ，AE ＝BE . 由已知PB ＝4，在Rt △PEB 中， BE ＝4sin60°＝23，PE ＝4cos60°＝2. 因为BE ⊥PC ，AE ⊥PC ，EA ∩EB ＝E ， 所以PE ⊥平面ABE .因为AB ＝4，AE ＝BE ＝23，所以△ABE 的面积S ＝12AB ·BE 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝4 2. 因为三棱锥B －P AE 的体积等于三棱锥P －ABE 的体积， 所以三棱锥B －P AE 的体积V ＝13S ·PE ＝13×42×2＝823. 20．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅲ]已知函数f (x )＝ax 2＋x －1e x. (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e ≥0.解析：(1)解：f ′(x )＝－ax 2＋(2a －1)x ＋2e x ，f ′(0)＝2. 因此曲线y ＝f (x )在(0，－1)处的切线方程是 2x －y －1＝0.(2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e ≥(x 2＋x －1＋e x ＋1)e －x .令g (x )＝x 2＋x －1＋e x ＋1，则g ′(x )＝2x ＋1＋e x ＋1. 当x <－1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >－1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以g (x )≥g (－1)＝0. 因此f (x )＋e ≥0.21．(本小题满分12分)[2019·新疆乌鲁木齐联考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线交椭圆C 于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA →＋OB →＝tOP →，其中t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2，求|AB |的取值范围．解析：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋1，1a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，∴Δ＝8(1－2k 2)>0，解得k 2<12. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋2k 2.由OA →＋OB →＝tOP →得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2t (1＋2k 2)，－4k t (1＋2k 2)， 代入椭圆C 的方程得t 2＝16k 21＋2k 2. 由263<t <2得14<k 2<12， ∴|AB |＝1＋k 2·22·1－2k 21＋2k2＝22(1＋2k 2)2＋11＋2k2－1.令u ＝11＋2k2，则u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23， ∴|AB |＝22u 2＋u －1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，253. ∴|AB |的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，253. (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[2018·全国卷Ⅲ]选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解析：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4＜α＜3π4.23．(本小题满分10分)[2019·南宁模拟]已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a ≥4.解析：(1)当x ≥1时，x －1≥3－2x ，解得x ≥43，∴x ≥43；当0<x <1时，1－x ≥3－2x ，无解；当x ≤0时，1－x ≥3＋2x ，解得x ≤－23，∴x ≤－23.∴原不等式的解集为{x |x ≥43或x ≤－23}．(2)解法一 ∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4， ∴m ＝4，即a ＋b ＝4. 又a 2b ＋b ≥2a ，b 2a ＋a ≥2b ，∴两式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋a ≥2a ＋2b ，∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．解法二 ∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，即a ＋b ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a (b ＋a )≥(a ＋b )2，∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ＝4，当且仅当a 2b b ＝b 2aa ，即a ＝b ＝2时等号成立．。

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天天练33直线与圆锥曲线的综合小题狂练○33一、选择题1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定答案：A解析：通解将直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1联立，整理得(4＋9k2)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0，则Δ＝[18k(1－k)]2－4(4＋9k2)[9(1－k)2－36]＝144(8k2＋2k＋3)>0，所以直线与椭圆相交．优解因为直线y＝kx－k＋1过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．2．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－y24＝1交于A，B两点，且|AB|＝82，则实数k的值为()A．±7 B．±3或±41 3C．±3 D．±41 3答案：B解析：由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx ＋1代入x2－y24＝1得，(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5>0，解得k2<5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k4－k2，x1x2＝－54－k2，所以|AB|＝1＋k2·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k4－k22＋204－k2＝82，解得k＝±3或±413.3．[2019·兰州模拟]已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m (m >0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3) 答案：A解析：直线y ＝kx －k －1恒过定点(1，－1)．因为直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m (m >0)恒有公共点，则曲线C 表示椭圆，点(1，－1)在椭圆内或椭圆上，所以12＋2×(－1)2≤m ，所以m ≥3，故选A.4．[2019·宁波九校联考(二)]过双曲线x 2－y2b 2＝1(b >0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的两条渐近线分别交于B ，C ，且2AB→＝BC →，则该双曲线的离心率为( ) A.10 B.103C. 5D.52 答案：C解析：由题意可知，左顶点A (－1,0)．又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，若直线l 与双曲线的渐近线有交点，则b ≠1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y ＝－bx ，y ＝bx ，所以可得x B ＝－1b ＋1，x C ＝1b －1.由2AB →＝BC →，可得2(x B －x A )＝x C －x B ，故2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1b ＋1＋1＝1b －1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1b ＋1，得b ＝2，故e ＝12＋221＝ 5. 5．[2019·浙江八校联考(二)]抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且这两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C ．x 1＋x 2＋x 3＝0D ．x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0 答案：B解析：由⎩⎨⎧y ＝ax 2，y ＝kx ＋b ，消去y 得ax 2－kx －b ＝0，可知x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－b a ，令kx ＋b ＝0得x 3＝－bk ，所以x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3.故选B.6．[2019·长春检测]椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94 答案：A解析：设以P 为中点的弦所在直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.故选A.7．[2019·福建福州外国语学校适应性考试]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，抛物线y ＝14x 2＋14与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.x 28－y 22＝1B.x 22－y 28＝1C ．x 2－y 24＝1 D.x24－y 2＝1 答案：D 解析：由题意可得c ＝5，得a 2＋b 2＝5，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .将渐近线方程和抛物线方程y ＝14x 2＋14联立，可得14x 2±b a x ＋14＝0，由渐近线和抛物线相切可得Δ＝b 2a 2－4×14×14＝0，即有a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝5，解得a ＝2，b ＝1，可得双曲线的方程为x 24－y 2＝1.故选D.8．[2019·唐山市五校联考]直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C. 3 D. 2 答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，代入双曲线的方程，得⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，又⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22，所以x 0a 2＝y 0(y 1－y 2)b 2(x 1－x 2)，所以b 2a 2＝y 0(y 1－y 2)x 0(x 1－x 2)＝k OM k l ＝1，所以e 2＝1＋b 2a 2＝2，所以e ＝2，故选D.二、非选择题9．若直线y ＝52x ＋b 和曲线4x 2－y 2＝36有两个不同的交点，则b 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫92，＋∞ 解析：联立直线方程和曲线方程，消去y 得，－94x 2－5bx －b 2－36＝0，由直线和曲线有两个不同的交点，所以Δ＝25b 2－9(b 2＋36)>0，解得b <－92或b >92.10．直线x －y －1＝0与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点作直线x ＝－1的垂线，垂足为M ，则MA →·MB →＝________.答案：0解析：设A (x 1，x 1－1)，B (x 2，x 2－1)，由⎩⎨⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，故AB 的中点C (3,2)，M (－1,2)，又MA →＝(x 1＋1，x 1－3)，MB →＝(x 2＋1，x 2－3)，所以MA →·MB →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 1－3)·(x 2－3)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋10＝0. 11．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，则当|AF |＋4|BF |取得最小值时，直线AB 的倾斜角的正弦值为________．答案：223解析：当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1，x 2>0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2 ①，x 1x 2＝1 ②，1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2k 2＋4k 2＋21＋2k 2＋4k 2＋1＝1.当直线的斜率不存在时，易知|AF |＝|BF |＝2，故1|AF |＋1|BF |＝1.设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则1a ＋1b ＝1，所以|AF |＋4|BF |＝a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋4b )＝5＋4b a ＋a b ≥9，当且仅当a ＝2b 时取等号，故a ＋4b 的最小值为9，此时直线的斜率存在，且x 1＋1＝2(x 2＋1) ③，联立①②③得， x 1＝2，x 2＝12，k ＝±22，故直线AB 的倾斜角的正弦值为223.12．[2019·广东揭阳一中、汕头金山中学联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y2a ＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.答案：14解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，所以p ＝8，所以m ＝±4.由对称性不妨取M (1,4)，A (－1,0)，则直线AM 的斜率为2，由题意得－a ×2＝－1，故a ＝14.课时测评○33一、选择题1．已知抛物线y 2＝16x ，直线l 过点M (2,1)，且与抛物线交于A ，B 两点，|AM |＝|BM |，则直线l 的方程是( )A ．y ＝8x ＋15B ．y ＝8x －15C ．y ＝6x －11D ．y ＝5x －9 答案：B解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，代入抛物线方程得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝16y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝2，所以k AB ＝8，故直线l 的方程为y ＝8x －15.2．直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( )A ．(－3,0)B ．(0，－3)C ．(3,0)D ．(0,3) 答案：A解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.将直线l ：x ＝my ＋b 代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，得b ＝－3，即直线l 的方程为x ＝my －3，所以直线l 过定点(－3,0)．3．若直线x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y22＝1交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值为( )A ．±2B ．±2C ．±1D ．±3 答案：C解析：设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x －y ＋m ＝0，得x 2－2mx －m 2－2＝0(Δ>0)，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，∴m 2＋(2m )2＝5，∴m ＝±1.4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在椭圆C 上，且直线PN 的斜率为－14，则直线PM 的斜率为( )A.13 B ．3 C.12 D ．2 答案：B解析：由题意知M (－2,0)，N (2,0)，又直线PN 的斜率为－14，所以直线PN 的方程为y ＝－14(x －2)，代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1可得13x 2－4x －44＝0.设P (x 0，y 0)，则x 0＋2＝413，解得x 0＝－2213，y 0＝1213，故直线PM 的斜率k ＝1213－2213＋2＝3，故选B.5．[2019·太原模拟]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足F A →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC＋1k CA＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2p 答案：A解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p2，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－p 2，y 3＝(0,0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0.∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p (y 22－y 21)y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝2(y 1＋y 2＋y 3)2p＝0. 6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C 的方程为( )A.4x 225＋y 25＝1B.x 25＋y 24＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 225＋y 220＝1 答案：B解析：将直线方程y ＝x ＋3代入C 的方程并整理得(a 2＋b 2)x 2＋6a 2x ＋9a 2－a 2b 2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a 2)2－4(a 2＋b 2)(9a 2－a 2b 2)＝0，化简得a 2＋b 2＝9.又由椭圆的离心率为55，所以c a ＝a 2－b 2a ＝55，则b 2a 2＝45，解得a 2＝5，b 2＝4，所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1.7．[2019·天津红桥区月考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2 D ．3 答案：C解析：因为双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，所以双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x .又抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，故A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±pb 2a .因为双曲线的离心率为2，所以ca＝2，所以b 2a 2＝3，则b a ＝3，A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±pb2a ＝±3p 2.又△AOB 的面积为3，x 轴是∠AOB 的平分线，所以12×3p ×p2＝3，解得p ＝2.故选C.8．[2017·全国卷Ⅰ]已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 答案：A因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k ，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y＝－1k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1， 所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·2k 2＋4k22－4＝4(1＋k 2)k 2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k 2＋4(1＋k 2)＝41k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，取得等号．故选A. 二、非选择题9．[2018·北京卷]若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝________.答案：4解析：由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2知a 2＋4a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝54，∴a 2＝16.∵a ＞0，∴a ＝4.10．[2019·沈阳监测]已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________________________________________________________________________．答案：2x －y －1＝0解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则y 1＋y 2＝2，又点A ，B 在抛物线y 2＝4x 上，所以⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，则y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，即直线AB 的斜率k ＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.11．[2019·河南周口联考]已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆C 2的短轴为C 1的长轴且离心率为32.(1)求椭圆C 2的方程；(2)如图，M ，N 分别为直线l 与椭圆C 1，C 2的交点，P 为椭圆C 2与y 轴的交点，△PON 的面积为△POM 的面积的2倍，若直线l 的方程为y ＝kx (k >0)，求k 的值．解析：(1)∵椭圆C 1的长轴在x 轴上，且长轴长为4，∴椭圆C 2的短轴在x 轴上，且短轴长为4.设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝4，b a ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12， 解得a ＝4，b ＝2，∴椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由△PON 的面积为△POM 的面积的2倍，得 |ON |＝2|OM |，∴|x 2|＝2|x 1|. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 24＋y 23＝1，消去y 得x ＝± 124k 2＋3， ∴|x 1|＝124k 2＋3.同理得|x 2|＝ 164＋k 2. ∴ 164＋k2＝2 124k 2＋3， 解得k ＝±3.∵k >0，∴k ＝3.。

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