2024-2025学年四川省渠县联考九年级数学第一学期开学考试模拟试题【含答案】

2024-2025学年四川省渠县联考九年级数学第一学期开学考试模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 边的中点，若3,8OM BC ==，则OB 的长为（）A ．5B ．6C ．8D ．102、（4分）某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结论正确的是（）A ．最喜欢篮球的人数最多B ．最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数
的两倍
C ．全班共有50名学生
D ．最喜欢田径的人数占总人数的10%
3、（4分）下列图形中，不属于中心对称图形的是（）
A ．圆
B ．等边三角形
C ．平行四边形
D ．线段
4、（4分）下列函数中，是正比例函数的是()
A ．23y x =
B ．5y x =
C ．6
y x =D ．1
y x =-
5、（4分）在实数0，，3-，-1中，最小的是（）A ．0B ．C ．3-D ．1-
6、（4分）已知点()2,1-在反比例函数()0k y k x =≠的图象上，则这个函数图象一定经过点（）A ．()2,1--B ．(C ．16,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()
7、（4分）甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是20.61S =甲，20.35S =乙.2 1.13S =丙，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法确定
8、（4分）某家庭今年上半年1至6月份的月平均用水量5t ，其中1至5月份月用水量（单位：t ）统计表如图所示，根据信息该户今年上半年1至6月份用水量的中位数和众数分别是（）月份123456用水量/t 36456a A ．4，5B ．4.5，6C ．5，6D ．5.5，6二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点P 是BC 上的一个动点，连接AP 、DP ，则AP+DP 的最小值为_____．
10、（4分）若a 是方程2210x x --=的解，则代数式2242019a a -+的值为____________.
11、（4分）直线()251y k x =-++中，y 随x 的减小而_______，图象经过______象限．
12、（4分）一次函数y ＝－2x ＋1上有两个点A ，B ，且A （－2，m ），B （1，n )，则m ，n 的大小关系为m _____n 13、（4分）一次函数26y x =-的图像与两坐标轴围成的三角形的面积是_________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图是三张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上（1）在图（1）中，点P 在小正方形的顶点上，作出点P 关于直线AC 的对称点Q （2）在图（2）中，画出一个以线段AC 为对角线、面积为6的矩形ABCD ，且点B 和点D 均在小正方形的顶点上（3）在图（3）中，B 是AC 的中点，作线段AB 的垂直平分线，要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹15、（8分）如图，反比例函数y ＝k x （k ＞0）的图象与一次函数y ＝34x 的图象交于A 、B 两点（点A 在第一象限）．
（1）当点A 的横坐标为4时．
①求k 的值；
②根据反比例函数的图象，直接写出当﹣4＜x ＜2（x ≠0）时，y 的取值范围；
（2）点C 为y 轴正半轴上一点，∠ACB ＝90°，且△ACB 的面积为10，求k 的值．
16、（8分）在平面直角坐标系中，已知一次函数12y x =-+与反比例函数2k y x =.(1)当k 在什么样的范围内，直线与曲线必有两个交点.(2)在（1）的情况下，结合图像，当12y y ＜时，请直接写出自变量x 的范围（用含字母k 的代数式表示）.17、（10分）已知矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，点F，G，H 分别是BC，BE，CE 的中点．（1）求证：△BGF ≌△FHC ；（2）设AD=a，当四边形EGFH 是正方形时，求矩形ABCD 的面积．18、（10分）先化简，再求2236()399x x x x x x -+÷+--的值，其中x=2B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）若关于x 的分式方程121m x -=+的解为正数，则m 的取值范围是_____．
20、（4分）如图，直线y ＝kx+b(k≠0)经过点A(﹣2，4)，则不等式kx+b ＞4的解集为______.
21、（4分）如图，△ACE 是以ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于
x 轴对称．若E 点的坐标是（7，-，则D 点的坐标是_____．22、（4分）写一个图象经过点（﹣1，2）且y 随x 的增大而减小的一次函数解析式_____．23、（4分）已知A 、B 两地之间的距离为20千米，甲步行，乙骑车，两人沿着相同路线，由A 地到B 地匀速前行，甲、乙行进的路程s 与x （小时）的函数图象如图所示．（1）乙比甲晚出发___小时；（2）在整个运动过程中，甲、乙两人之间的距离随x 的增大而增大时，x 的取值范围是___．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =的图象交于()2,1A -，()1,B n 两点.
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x 为何值时反比例函数值大于一次函数的值；
（3）当x 为何值时一次函数值大于比例函数的值；
（4）求AOB ∆的面积.
25、（10分）先化简，再求值：先化简2221
1x x x -+-÷(11x x -+﹣x +1)，然后从﹣2＜x ＜的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．26、（12分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝1．CD ⊥AB 于点D ．点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB 向终点B 运动．在运动过程中，以点P 为顶点作长为2，宽为1的矩形PQMN ，其中PQ ＝2，PN ＝1，点Q 在点P 的左侧，MN 在PQ 的下方，且PQ 总保持与AC 垂直．设P 的运动时间为t （秒）（t ＞0），矩形PQMN 与△ACD 的重叠部分图形面积为S （平方单位）．（1）求线段CD 的长；（2）当矩形PQMN 与线段CD 有公共点时，求t 的取值范围；（3）当点P 在线段AD 上运动时，求S 与t 的函数关系式．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A 【解析】由中位线定理可知CD 的长，根据勾股定理求出AC 的长，由直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半可知OB 长.【详解】解：点O 是AC 的中点，M 是AD 边的中点，3OM =26CD OM ∴==由矩形ABCD 得90,6ABC AB CD ︒∠===根据勾股定理得10AC ==152BO AC ∴==故答案为：A 本题考查了直角三角形及中位线定理，熟练掌握直角三角形的特殊性质是解题的关键.2、C 【解析】【分析】观察直方图，根据直方图中提供的数据逐项进行分析即可得.【详解】观察直方图，由图可知：A.最喜欢足球的人数最多，故A 选项错误；B.最喜欢羽毛球的人数是最喜欢田径人数的两倍，故B 选项错误；C.全班共有12+20+8+4+6=50名学生，故C 选项正确；D.最喜欢田径的人数占总人数的4
100%50⨯=8%，故D 选项错误，
故选C.
【点睛】本题考查了频数分布直方图，从直方图中得到必要的信息进行解题是关键.3、B
【解析】
试题分析：根据中心对称图形的概念求解．
解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4、B
【解析】
正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0）．
【详解】
解：A.该函数不符合y=kx（k为常数且k≠0）的形式，自变量的次数是2，属于二次函数，故本选项错误；
B.该函数符合y=kx（k为常数且k≠0）的形式，是正比例函数，故本选项正确；
C.该函数不符合y=kx（k为常数且k≠0）的形式，自变量的次数是-1，属于反比例函数，故本选项错误．
D.该函数不符合y=kx（k为常数且k≠0）的形式，是一次函数，故本选项错误；
故选：B．
本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx 的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
5、B
【解析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
|-3|=3，
根据实数比较大小的方法，可得
＜−1＜0＜3，
所以在实数0、、|-3|、-1中，最小的是．
故选：B ．考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．6、B 【解析】根据反比例函数图像上点的坐标特征解答即可.【详解】2×（-1）=-2，A.-2×（-1）=2≠-2，故不符合题意；B.，故符合题意；C.16-=-3-22⎛⎫⨯≠ ⎪⎝⎭，故不符合题意；D.-2≠，故不符合题意；故选B.本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数k y x =(k 是常数，k ≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x ，y )的横纵坐标的积是定值k ，即xy =k .7、B 【解析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【详解】解：∵S 甲2=0.61，S 乙2=0.35，S 丙2=1.13，
∴S 丙2＞S 甲2＞S 乙2，
∴在本次射击测试中，成绩最稳定的是乙；
故选：B ．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8、D 【解析】先根据平均数的定义求出6月份的用水量，再根据中位数和众数的定义求解可得．【详解】解：根据题意知6月份的用水量为5×6-（3+6+4+5+6）=6（t ），∴1至6月份用水量从小到大排列为：3、4、5、6、6、6，则该户今年1至6月份用水量的中位数为562+=5.5、众数为6，故选：D ．本题主要考查众数和中位数，解题的关键是根据平均数定义求出6月份用水量及众数和中位数的定义．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】作点D 关于BC 的对称点D '，连接AD '，PD '，依据AP +DP ＝AP +PD '≥AD '，即可得到AP +DP 的最小值等于AD '的长，利用勾股定理求得AD '＝1，即可得到AP +DP 的最小值为1．【详解】解：如图，作点D 关于BC 的对称点D '，连接AD '，PD '，则DD '＝2DC ＝2AB ＝4，PD ＝PD '，∵AP +DP ＝AP +PD '≥AD '，∴AP +DP 的最小值等于AD '的长，∵Rt △ADD '中，AD 1，∴AP +DP 的最小值为1，
故答案为：1．
本题考查的是最短线路问题及矩形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．10、1【解析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=a 代入已知方程，即可求得a 2-2a=1，然后将其代入所求的代数式并求值即可．【详解】
解：∵a 是方程x 2-2x-1=0的一个解，∴a 2-2a=1，
则2a 2-4a+2019=2（a 2-2a ）+2019=2×1+2019=1；故答案为：1．
本题考查的是一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式求值．11、减小第一、三、四
【解析】
根据函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．【详解】解：
直线225(1)(1)5y k x k x =-++=+-，210k +>，
y ∴随x 的减小而减小，函数图象经过第一、三、四象限，
故答案为：减小，第一、三、四．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．12、>
根据一次函数增减性的性质即可解答.
【详解】
∵一次函数y＝－2x＋1中，-2<0，
∴y随x的增大而减小，
∵A（－2，m），B（1，n)在y＝－2x＋1的图象上，-2<1，
∴m>n.
故答案为：>.
本题考查了一次函数的性质，熟练运用一次函数的性质是解决问题的关键.
13、1
【解析】
分析：首先求出直线y=2x-6与x轴、y轴的交点的坐标，然后根据三角形的面积公式得出结果．
详解：∵当x=0时，y=0-6=-6，
∴图像与y轴的交点是（0，-6）；
∵当y=0时，2x-6=0,
∴x=3,
∴图像与x轴的交点是（3,0）；
∴S△AOB=12×3×6=1．
故答案为：1．
点睛：本题考查了一次函数图像与坐标轴的交点问题，分别令x=0和y=0求出图像与坐标轴的交点是解答本题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）利用数形结合的思想解决问题即可．
（2，的矩形即可．
（3）取格点M，N，作直线MN交AC于E，取格点F，作直线EF，直线EF即为所求．
解：
（1）如图1所示．Q 为所求
（2）如图2所示，矩形ABCD 为所求
（3）取格点M ，N ，作直线MN 交AC 于E ，取格点F ，作直线EF ，直线EF 即为所求
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，作图-轴对称变换，掌握线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，作图-轴对称变换是解题的关键．15、（1）①k ＝12；②y 的取值范围是y ＜﹣3或y ＞6；（2）k ＝6.【解析】
（1）①先求得点A 的坐标，再把点A 的坐标代入y ＝
k
x
（k ＞0）即可求得k 值；②求得当x ＝﹣4和x ＝2时y 的值，
结合图像，再利用反比例函数的性质即可求得y 的取值范围；（2）设点A 为（a ，34
a ），根据勾股定理求得OA ＝54a
，根据函数的对称性及直角三角形斜边
的性质可得OA ＝OB ＝OC ＝54
a
，根据三角形的面积公式求得a ＝，即可得点A 为
（，2
），代入即可求得k 值.【详解】
（1）①将x ＝4代入y ＝3
4
x 得，y ＝3，∴点A （4，3），∵反比例函数y ＝
k
x （k ＞0）的图象与一次函数y ＝34
x 的图象交于A 点，∴3＝
4
k
，∴k ＝12；②∵x ＝﹣4时，y ＝
12
4
-＝﹣3，x ＝2时，y ＝6，∴由反比例函数的性质可知，当﹣4＜x ＜2（x ≠0）时，y 的取值范围是y ＜﹣3或y ＞6；（2）设点A 为（a ，
34
a ），则OA ＝54a ，∵点C 为y 轴正半轴上一点，∠ACB ＝90°，且△ACB 的面积为10，∴OA ＝OB ＝OC ＝
54
a ，∴S △ACB ＝BOC AOC S S ∆∆+=1122OC a OC a ⨯⨯+⨯⨯=15224
a
a ⨯⨯＝10，解得，a ＝∴点A 为（，
2
），∴
2
＝解得，k ＝6.
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解决问题的关键．
16、（1）10k k ≠＜且；（2）011x x +＜＜＞【解析】
（1）将两个函数关系式消去y ，得到关于x 的方程，根据根的判别式大于0列出不等式，
求出不等式的解集即可得到k 的范围；
（2）由（1）可求出x 的值，再根据k 的值进一步求解即可.【详解】
（1）122k y y x x
=-+=
令即220x x k ∴-+==440k -由题意得：＞10
k k ∴≠＜且（2）由（1）得：1x =±若k ＜0,由图像得：101x x +＜或＞若k 0＜＜1
由图像得：011x x +＜＜＞此题考查了反比例函数与一次函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.17、见解析（2）2
12
a 【解析】
（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．【详解】
（1）连接EF ，∵点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点，∴FH ∥BE ，FH=
1
2
BE ，FH=BG ，∴∠CFH=∠CBG ，∵BF=CF ，∴△BGF ≌△FHC ，
（2）当四边形EGFH 是正方形时，连接GH ，可得：EF ⊥GH 且EF=GH ，
∵在△BEC 中，点G，H 分别是BE ，CE 的中点，∴111
,222
GH BC AD a =
==且GH ∥BC ，∴EF ⊥BC ，
∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB=EF=GH=
1
2
a ，∴矩形ABCD 的面积=211.22
AB AD a a a ⋅=
⋅=此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答．
18、29
x x
+，132．
【解析】
首先把分式利用通分、约分化简，然后代入数值计算即可求解．【详解】解：22
36(
)399
x x x x x x -+÷+--=()2222
36999x x x
x x x ⎡⎤-+÷⎢---⎢⎥⎣⎦=222
69699x x x x x x -++-⋅-=29x x
+，
当x=3时，原式=2292
+=13
2．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、m>1
【解析】
先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．【详解】
解：去分母得，m-1=2x+2，
解得，x=
3 2
m-
，
∵方程的解是正数，
∴m-1＞2，
解这个不等式得，m＞1，
∵
3
2
m-
+1≠2，
∴m≠1，
则m的取值范围是m＞1．
故答案为：m>1．
本题考查了分式方程的解，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．注意分式方程分母不等于2．
20、x＞-1．
【解析】
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【详解】
观察图象知：当x＞-1时，kx+b＞4，
故答案为x＞-1．
考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
21、（3，0）
【解析】
∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，-，
∴C的坐标为（7，．
∴CH=CE=∵△ACE 是以ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，
∴AC=．∴AH=1．∵OH=7，∴AO=DH=2．∴OD=3．
∴D 点的坐标是（3，0）．22、y ＝﹣x +1（答案不唯一）．【解析】
根据一次函数的性质，y 随x 的增大而减小时k 值小于0，令k ＝−1，然后求解即可．【详解】
解：∵y 随x 的增大而减小，∴k ＜0，
不妨设为y ＝﹣x +b ，
把（﹣1，1）代入得，1+b ＝1，解得b ＝1，
∴函数解析式为y ＝﹣x +1．
故答案为：y ＝﹣x +1（答案不唯一）．
本题考查了一次函数的性质，在直线y ＝kx ＋b 中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．23、2，0≤x ≤2或
4
3
≤x ≤2．【解析】
（2）由图象直接可得答案；
（2）根据图象求出甲乙的函数解析式，再求出方程组的解集即可解答【详解】
（2）由函数图象可知，乙比甲晚出发2小时．故答案为2．
（2）在整个运动过程中，甲、乙两人之间的距离随x 的增大而增大时，有两种情况：
一是甲出发，乙还未出发时：此时0≤x ≤2；二是乙追上甲后，直至乙到达终点时：
设甲的函数解析式为：y ＝kx ，由图象可知，（4，20）在函数图象上，代入得：20＝4k ，∴k ＝5，
∴甲的函数解析式为：y ＝5x ①
设乙的函数解析式为：y ＝k ′x +b ，将坐标（2，0），（2，20）代入得：0202k b
k b =+⎧⎨=+⎩
，
解得20
20
k b =⎧⎨
=-⎩，
∴乙的函数解析式为：y ＝20x ﹣20
②
由①②得52020y x
y x =⎧⎨=-⎩，
∴43203x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
故
4
3
≤x ≤2符合题意．故答案为0≤x ≤2或4
3
≤x ≤2．
此题考查函数的图象和二元一次方程组的解，解题关键在于看懂图中数据二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）2
y x
=-；1y x =--；（2）当20x -<<或1x >时，反比例函数值大于一次函数的值；（3）当2x <-或01x <<时，一次函数值大于比例函数的值；（4）3
2
S =.
【解析】
（1）把A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把B 的坐标代入求出B 的坐标，把A 、B 的坐标代入一次函数y 1=kx+b 即可求出函数的解析式；（2）根据函数的图象和A 、B 的坐标即可得出答案；（3）根据函数的图象和A 、B 的坐标即可得出答案；
（4）求出C 的坐标，求出△AOC 和△BOC 的面积，即可求出答案.【详解】
解：（1）∵把A （-2，1）代入m
y x
=
得：m=-2，
∴反比例函数的解析式是y=-2x ，∵B （1，n ）代入反比例函数y=-2
x
得：n=-2，
∴B 的坐标是（1，-2），把A 、B 的坐标代入一次函数y 1=kx+b 得：
21
2
k b k b -+=⎧⎨
+=-⎩，解得：k=-1，b=-1，
∴一次函数的解析式是y=-x-1；
（2）从图象可知：当反比例函数值大于一次函数的值时x 的取值范围-2＜x ＜0或x ＞1．（3）从图象可知：当一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围x ＜-2或0＜x ＜1．（4）设直线与x 轴的交点为C ，
∵把y=0代入一次函数的解析式是y=-x-1得：0=-x-1，x=-1,
∴C （-1，0），
△AOB 的面积S=S AOC +S △BOC =
12×|-1|×1+12
×|-1|×|-2|=3
2．
本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想，题目比较好．25、﹣
1x ，﹣1
2
．【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在－2＜x 中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可求出最后答案，值得注意的是，本题答案不唯一，x 的值可以取－2、2中的任意一个.【详解】
原式＝2x-11(1)(1)x+1(1)1
x x x x x ---+÷-+（）（）＝2x-1x+1x+1x-1-x +1⋅＝x-1-x x-1（）＝1
x -，∵－2＜
x x 为整数）且分式要有意义，所以x ＋1≠0，x －1≠0，x ≠0，即x ≠－1,1,0，因此可以
选取x ＝2时，此时原式＝－
12
.本题主要考查了求代数式的值，解本题的要点在于在化解过程中，求得x 的取值范围，从而再选取x ＝2得到答案.
26、（1）CD ＝245；（2）285≤t≤385；（3）当0＜t ＜103时，S ＝35t ；当103≤t≤285
时，S ＝2；当285＜t≤325时，S=-2524t 2+353t-923
．
【解析】
（1）由勾股定理得出AB 10==,由△ABC 的面积得出AC•BC ＝AB•CD ，即可得出CD 的长；
（2）分两种情形：①当点N 在线段CD 上时，如图1所示，利用相似三角形的性质求解即可．②当点Q 在线段CD 上时，如图2所示，利用相似三角形的性质求解即可．（3）首先求出点Q 落在AC 上的运动时间t ，再分三种情形：①当0＜t ＜10
3
时，重叠部分是矩形PHYN ，如图4所示，②当103≤t≤28
5
时，重合部分是矩形PQMN ，S ＝PQ•PN ＝2．③当
285
＜t≤325时，如图5中重叠部分是五边形PQMJI ，分别求解即可．
【详解】
（1）∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝1，∴AB 10=，∵S △ABC ＝
12AC•BC ＝1
2
AB•CD ，∴AC•BC ＝AB•CD ，即：8×1＝10×CD ，∴CD ＝
245
；
（2）在Rt △ADC 中，AD 325==，BD ＝AB －AD ＝10－325＝
18
5
，当点N 在线段CD 上时，如图1所示：
∵矩形PQMN ，PQ 总保持与AC 垂直，∴PN ∥AC ，∴∠NPD ＝∠
CAD ，∵∠PDN ＝∠ADC ，∴△PDN ∽△ADC ，
∴PN PD
AC AD
=，即：13285
PD =，解得：PD ＝4
5
，
∴t ＝AD －PD ＝32428555
-=，当点Q 在线段CD 上时，如图2所示：
∵PQ 总保持与AC 垂直，∴PQ ∥BC ，△DPQ ∽△DBC ，
∴DP PQ
BD BC
=，即：2
1865
DP =，解得：DP ＝6
5
，
∴t ＝AD+DP ＝32638555
+=，
∴当矩形PQMN 与线段CD 有公共点时，t 的取值范围为
285≤t≤385
；（3）当Q 在AC 上时，如图3所示：
∵PQ 总保持与AC 垂直，∴PQ ∥BC ，△APQ ∽△ABC ，
∴
AP PQ AB BC =，即：2
106
AP =，解得：AP ＝10
3，
当0＜t ＜10
3
时，重叠部分是矩形PHYN ，如图4所示：
∵PQ ∥BC ，∴△APH ∽△ABC ，
∴
AP PH AB BC
=，即：
10
6t PH ，∴PH ＝35
t
，
∴S ＝PH•PN ＝35
t
；
当103≤t≤285时，重合部分是矩形PQMN ，S ＝PQ•PN ＝2．当285
＜t≤325时，如图5中重叠部分是五边形PQMJI ，
S＝S矩形PNMQ-S△JIN＝2-1
2•（
5
3t-
28
3）[1-（
32
5
-t）•
5
4]＝-
25
24t2+
35
3t-
92
3．
【点评】
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.。