湖南省高三上学期第三次月考文数试题 Word版含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.集合{}2|log (1)0M x x =-<，{}|11N x x =-≤≤，则M N 等于（ ）
A ．[1,1)-
B ．[0,1)
C ．[]1,1-
D ．(0,1)
【答案】D
考点：不等式的解法与集合的运算.
2.若复数z 满足2)3i z i =（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）
A ．
32 B ．
32+ C ．
34 D ．
34 【答案】C 【解析】 试题分析：因4
33313333+=
+=
+=
i i
i i
i z ,则i z 43
43-=,故应选C.
考点：复数的概念及乘法运算.
3.在等差数列{}n a 中，已知51012a a +=，则793a a +=（ ） A ．12 B ．18
C ．24
D ．30
【答案】C 【解析】
试题分析：因24)132(22643,1213211971105=+=+=+=+=+d a d a a a d a a a ,故应选C.
考点：等差数列的通项公式及运用.
4.设0.32a =，20.3b =，2log (0.3)x c x =+（1x >），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
【答案】B 【解析】
试题分析：因2,1,10>><<c a b ,则b a c >>,故应选B. 考点：指数函数对数函数与幂函数的图象和性质的运用.
5.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐
王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行
一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ） A ．
1
3
B ．
14
C ．
15
D ．
16
【答案】A
考点：古典概型的计算公式及运用.
6.下图是函数sin()y A x ωϕ=+（x R ∈，0A >，0ω>，02
π
ϕ<<）在区间5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的
图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin y x =（x R ∈）的图像上所有的点（ ）
A ．向左平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．向左平移6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变
C ．向左平移3π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D ．向左平移3
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变
【答案】
D
考点：正弦函数的图象和性质的综合运用.
7.已知函数25(1)
()(1)x ax x f x a x x
⎧---≤⎪
=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．30a -≤<
B ．2a ≤-
C ．32a -≤≤-
D ．0a <
【答案】C 【解析】
试题分析：由题设可得⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧---≥≥->5
1120a a a a ,解之得23-≤≤-a ,故应选C.
考点：分段函数的单调性及运用.
8.过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 且倾斜角为60︒的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于
A ，
B 两点，则
||
||
AF BF 的值等于（ ） A ．5 B ．4
C ．3
D ．2
【答案】C 【解析】
试题分析：设n BF m AF ==,,则过B A ,分别作y x ,的垂线,垂足分别为D C ,,延长
DB AC ,交于点P ,在APB Rt ∆中,AB
BP
=060cos ,由抛物线的定义可知n m AB n m BP +=-=,,则
2
1
=+-n m n m ,解之得n m 3=,故应选C. 考点：抛物线的定义及几何性质的运用. 9.函数2
()(
1)cos 1x
f x x e
=-+的图象的大致形状是（ ）
【答案】D 【解析】
试题分析：因)()(x f x f -=-,故函数)(x f y =是奇函数,且当π=x 时,0)(>x f ,故应选D.
考点：函数的奇偶性与图象的对称性的运用.
10.执行如图所示的程序框图，输入10p =，则输出的A 为（ ）
A ．12-
B ．10
C ．16
D ．32
【答案】C
考点：算法流程图的识读和理解.
【易错点晴】算法流程图是中学数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以算法流程图为背景考查的是算法流程的具体操作和分析问题解决问题的能力.
求解运用算法流程图中提供的算法规律,按顺序依次取S n A ,,分别进行计算验证,最后依据流程图中的算法规则,从而算得答案为16=A ,使得问题获解. 11.在体积为
4
3
的三棱锥S ABC -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，SA SC =，且平面SAC ⊥
平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ） A
．
3
B ．
92
π C ．
272
π D ．12π
【答案】
B
C
A
S
考点：几何体的外接球与体积的计算公式.
【易错点晴】本题考查的是空间几何体的外接球的体积计算问题,求解时充分借助几何体的几何特征,巧妙地几何体的对称性确定球心的位置,在OMC Rt ∆中借助解三角形的中的勾
股定理这一工具建立方程2)2(2
2+-=R R ,然后通过解方程求出球的半径2
3
=
R ,进而运用球的体积公式求该几何体的外接球的体积为ππ2
9
)23(343=⨯=
V ,从而使得问题获解.
12.设x ，y 满足0,10,3220,y ax y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩
若210z x x y =-+2
的最小值为12-，则实数a 的取值
范围是 （ ） A ．32
a <
B ．32
a <-
C ．12
a ≥
D ．12
a ≤-
【答案】D 【解析】
试题分析：画出不等式组表示的区域如图,因25)5(102222-+-=+-=y x y x x z ,故问题转化为求区域D 内的动点),(y x P 与定点)0,5(A 的距离的平方与25的差的最小值为
12-的问题,也即求区域D 内的动点),(y x P 与定点)0,5(A 的距离的平方的最小值为13.
结合图形可以求出定点)0,5(A 到直线
0223=--y x 的距离1313
13==
d ,将)2,2(N 代入1+-=ax y 可得2
1
-
=a ,结合图形可知当
2
1
-
≤a 时, 动点),(y x P 与定点)0,5(A 的距离的平方的最小值为13,故应选D.
考点：二元不等式组表示的区域及数形结合的思想和转化化归的数学思想及分析问题解决问题的能力.
【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的综合问题,解答时先构建
平面直角坐标系,再分类画出满足题设条件的不等式组0,
10,3220,y ax y x y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪--≤⎩
表示的平面区域,
然后再依据题设条件将目标函数变为25)5(102222-+-=+-=y x y x x z ,进而结合图形求出当直线1+-=ax y 过点)2,2(N 时2
1
-
=a ,并求出定点)0,5(A 到直线0223=--y x 的距离1313
13==
d 结合图形可知当2
1
-
≤a 时, 动点),(y x P 与定点)0,5(A 的距离的平方的最小值为13,依据题设从而获解.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.若||1a =，||2b =，c a b =+，且c a ⊥，那么a 与b 的夹角为 ． 【答案】0120 【解析】
试题分析:由c a ⊥可得0)(=+,即02
=⋅+,也即1cos 2-=α,0
120=α,故应
填答案0120.
考点：向量的数量积公式及运用．
14.在平面直角坐标系xOy 中，若直线20ax y +-=与圆心为C 的圆
22(1)()16x y a -+-=相交
于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是 ． 【答案】1-
考点：直线与圆的位置关系及运用．
15.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．
【答案】243
π+ 【解析】
试题分析:由三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是两个半圆锥中间加一个棱柱的组合体.其体积32421312122ππ+=⨯⨯+
⨯⨯=V ,故应填答案243
π+. 考点：三视图的理解和识读及运用．
【易错点晴】三视图是中学数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三视图为背景考查的是几何体的体积面积等有关知识的综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息和数据信息,先将三视图还原为原几何体,再根据几何体的形状选用体积公式进行求解.本题的三视图所提供的几何体是一个两个半圆锥中间加一个棱柱的组合体.其体积3
2421312122ππ+=⨯⨯+
⨯⨯=V ,使得问题获解. 16.设函数()(21)x
f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a
的取值范围是 ． 【答案】3
[
,1)2e
考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点0x ，使得0()0f x <为背景,设置了一道求函数解析式中的参数a 的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数0x ，使得
)(0x g 在直线a ax x h -=)(的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依据题设建
立不等式组求出解之得
123
<≤a e
. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知向量(3sin
,1)4x m =，2(cos ,cos )44
x x
n =，记()f x m n =⋅． （1）若()1f x =，求cos()3
x π
+
的值；
（2）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足
(2)cos cos a c B b C -=，求(2)f A
的取值范围．
【答案】(1)21；(2)3
)2
. 【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程求解；(2)借助题设运用正弦定理及正弦曲线的性质求解.
考点：三角变换公式及正弦定理与向量的数量积公式的综合运用.
18.如图1，在Rt △ABC 中，60ABC ∠=︒，90BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的高，沿AD 将
△ABC 折成60︒的二面角B AD C --，如图2．
（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；
（2）设E 为BC 的中点，求异面直线AE 与BD 所成的角. 【答案】(1)证明见解析；(2)60︒.
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；(2)借助题设及异面直线所成角的定义运用余弦定理求解.
在BCD ∆中，由题设60BDC ∠=︒，则2222cos BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠28=，
即BC =
从而1
2BE BC ==222cos 2BD BC CD CBD BD BC +-∠==⋅ 在△BDE 中，222
2cos 13DE BD BE BD DE CBD =+-⋅∠=，
在Rt ADE ∆中，5AE ==．
在△AEF 中，2221
cos 22
AE EF AF AEF AE EF +-∠=
=⋅， 所以异面直线AE 与BD 所成的角为60︒.
考点：面面垂直的判定定理及余弦定理等有关知识的综合运用. 19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3
(1)2
n n S a =
-． （1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 为等差数列，且358b b +=-，1420b b +=．设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，
证明：对任意*n N ∈，1
5()32
n n T n ++-⋅是一个与n 无关的常数．
【答案】(1)3，3n n a =；(2)证明见解析.
（2）因为35428b b b +==-，则44b =-，又1420b b +=，则12b =， 设{}n b 的公差为d ，则413b b d -=，所以2d =-，
考点：等差数列等比数列及错位相减法求和等有关知识的综合运用.
20.已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右焦点分别为
1
(1,0)
F-，
2
(1,0)
F，点
(1,
2
A在
椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N时，能
在直线
5
3
y=上
找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM NQ
=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明
理由．
【答案】(1)
2
21
2
x
y
+=；(2)不存在这样的点Q，理由见解析.
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用椭圆定义建立方程求解；(2)借助题设运用直线与椭圆的位
置关系探求. 试题解析：
（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则1c =，
因为(1,
2
A 在椭圆C 上，所以122||||a AF AF =
+=
因此a =2
2
2
1b a c =--，故椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
由PM NQ =知四边形PMQN 为平行四边形，
而D 为线段MN 的中点，因此，D 也是线段PQ 的中点，
所以4
05329
y t y +==，可得42159t y -=， 又33t -<<，所以47
13
y -<<-，
因此点Q 不在椭圆上．
考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的综合运用.
【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件求出1=c ,再根据椭圆的定义求得2=
a ,最终求得椭圆的标准方程为
2
212
x y +=；第二问的求解过程中,先设直线l 的方程为2y x t =+,再运用直线与椭圆的位
置关系建立方程229280y ty t -+-=组,进而运用方程的知识进行分析推断,使得问题获解.
21.已知函数2
1()2
f x x =
，()ln g x a x =． （1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程为6250x y --=，求实数a 的值； （2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有1212
()()
2h x h x x x ->-恒
成立，求实数a 的取值范围；
（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得00001
'()()'()'()
f x
g x g x f x +<-成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)2a =-；(2)[1,)+∞；(3)21
(,2)(
,)1
e e --∞-+∞-. 【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用导数的几何意义建立方程求解；(2)借助题设运用转化化归的思想进行转化再运用导数知识求解；(3)依据题设先将问题进行转化,再借助导数知识分类整合思想分类探求求解.
（3）不等式00001'()()'()'()f x g x g x f x +
<-等价于0000
1ln a
x a x x x +<-， 整理得000
1ln 0a
x a x x +-+
<， 设1()ln a
m x x a x x
+=-+
，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0m x <， 由2222
1(1)(1)(1)
'()1a a x ax a x a x m x x x x x +--+--+=--==，
因为0x >，所以10x +>，令'()0m x =，得1x a =+． ①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]
1,e 上单调递增， 只需(1)20m a =+<，解得2a <-．
考点：导数的知识及转化化归的数学思想及分类整合思想等知识和思想方法的综合运用. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数)(x f 解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和最值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.第一问求解时运用导数的几何意义建立方程求得
2a =-；第二问求解时,先将不等式中的参数a 分离出来,再构造函数22)(x x x h -=,然后
运用二次函数知识求得其最大值为1;第三问的求解过程中,先构造函数
1()ln a
m x x a x x
+=-+
,再运用导数的有关知识及分类整合思想分类分析探求出参数a 的取值范围是21
(,2)(
,)1
e e --∞-+∞-. 请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方
程为4π
θ=（R ρ∈），曲线C 的参数方程为,
sin .
x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；
（2）过点M 平行于直线l 的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若8
||||3
MA MB ⋅=
，求点M
轨迹的直角坐 标方程．
【答案】(1)直线l ：y x =，曲线C 22
12x y +=；(2)椭圆22163
x y +=夹在平行直线
y x =.
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用极坐标参数方程与直角坐标方程之间互化关系求解；(2)借助题设运用直线的参数方程求解.
取y x m =+代入2
212
x y +=，得2234220x mx m ++-=，
由0∆>，解得m <<M 的轨迹是椭圆22
163
x y +=夹在平行直线
y x =
考点：极坐标参数方程与直角坐标之间的互化关系等知识的综合运用. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|1|2|1|f x x x a =++--．
（1）若1a =，求不等式()2f x x >+的解集；
（2）若不等式()(2)f x a x ≤+的解集为非空集合，求a 的取值范围． 【答案】(1){}
|02x x x <>或；(2)1
(,3)[,)2
-∞-
+∞. 【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想分类建立不等式组求解；(2)借助题设运用绝对值不等式的性质及分类整合思想求解.
（2）由()(
2)f x ax ≤+，得|1|2|1|(2)x x a ax ++--≤+，即|1|2|1|(3)x x ax ++-≤+，
设13,1,
()|1|2|1|3,11,31, 1.
x x g x x x x x x x -<-⎧⎪
=++-=--≤≤⎨⎪->⎩
如图，(3,0)P -，12PA k =，3PD BC k k ==-，
故由题意可知3a <-或12a ≥
，即a 的取值范围为1
(,3)
[,)2
-∞-+∞．
考点：绝对值不等式的性质及分类整合数学思想等有关知识的综合运用.。