深圳福永街道福民学校必修第二册第三单元《立体几何初步》检测题(包含答案解析)

一、选择题
1．已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论：①若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，βn//，则//αβ；②若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥；③若n α⊥，//m α，则n m ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则βn//.其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①③ 2．正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.
A ．393cm
B ．354cm
C ．327cm
D ．3183cm 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积（单位：2cm ）是
（ ）
A ．10
B ．105+
C ．1625+
D ．135+4．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于( )
A ．3π
B ．323π
C ．12π
D ．643
π 6．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）
A ．[17,5]
B ．[4,5]
C ．[3,5]
D ．[3,17] 8．点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动.若1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围是（ ）
A ．2,5⎡⎤⎣⎦
B ．32,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]2,3
9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为（ ）
A ．25
B ．45
C ．5
D ．25 10．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A ．13cm
B ．61cm
C 61cm
D ．234cm
11．αβ、是两个不同的平面，m
n 、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④.m α⊥
以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
12．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,//m ααβ，则//m β
B ．若,,m αβα⊥⊥则//m β
C ．若,//,m ααβ⊥则m β⊥
D ．若//,,m ααβ⊥则m β⊥
13．已知三棱锥S ABC -的体积为4，且4AC =，2224SA BC +=，30ACB ∠=︒，则三棱锥S ABC -的表面积为（ ）
A ．103
B ．123
C ．76或123
D ．96或103 14．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，
E 为AB 的中点，3CE =，53cos 9ACE ∠=
，且四边形11ABB A 为正方形，则球O 的直径为（ ） A ．4 B ．51
C ．4或51
D ．4或5 二、解答题
15．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为矩形，2AB AC ==，2BC =，D ，E 分别为BC 、11B C 的中点，过BC 作平面α分别交11A B 、1A E 、11A C 于点M 、F 、N ．
（1）求证：平面BCNM ⊥平面1AA ED ．
（2）若Q 为线段AD 上一点，3AD AQ =，1//A Q 平面BCNM ，则当1A Q 为何值时直线BM 与平面1AA ED 所成角的正弦值为13
（请说明理由）． 16．如图所示的四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AE ＝EB ＝BC ＝2，AD ⊥平面ABE ，且CE 上的点F 满足BF ⊥平面ACE .
（1）求证：AE ∥平面BFD ；
（2）求三棱锥C -AEB 的体积.
17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，侧棱1AA ⊥底面ABC ，,E F 分别是1111,A B AC 的中点.
（1）求证:11B F AC ⊥ ；
（2）求平面EFCB 与底面ABC 所成二面角的正切值.
18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥面ABC ，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．
（1）若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 面1AB M ；
（2）若132
C M =，求二面角1A B M C --的大小． 19．如图所示正四棱锥S ABC
D -，2,2SA SB SC SD AB =====
，P 为侧棱SD 上
的点.
（1）求证：AC SD ⊥；
（2）若3SAP APD S S =，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥ 平面PAC .若存在，求
SE EC 的值；若不存在，试说明理由. 20．如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．
（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；
（2）求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值．
21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，
2PA AD ==，22BD =
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）求平面PCD 与平面CDB 所成夹角余弦值的大小；
（3）求点C 到平面PBD 的距离
22．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，1
60AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.
（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ；
（2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.
23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .
（1）求证：//OD 平面111A B C ；
（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .
24．在斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，且2AB AC ==，123AA =．
（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ；
（Ⅱ）求直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值．
25．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，
CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．
（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．
（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 26．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：
（1）//PA 平面EDB ；
（2）PB ⊥平面EFD .
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解．
【详解】
解：对于①，由面面平行的判定定理可得，若m 、n 互为异面直线，//m α，//n β，则//αβ或相交，又因为//m β，//n α，则//αβ，故①正确；
对于②，若m n ⊥，m α⊥，//n β，则//αβ或α，β相交，故②错误， 对于③，若n α⊥，//m α，则n m ⊥；故③正确，
对于④，若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β或n β⊂，故④错误，
综上可得：正确的是①③，
故选：D ．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
2．B
解析：B
【分析】 由题意知正三棱柱的高为23cm ，底面正三角形的内切圆的半径为3cm ，可得底面正三角形的边长为6cm ，即得到底面三角形的面积，代入棱柱的体积公式求解即可．
【详解】
∵正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则正三棱柱的高为23cm ，
底面正三角形的内切圆的半径为3cm ，
设底面正三角形的边长为a cm,则
3133a ⨯=，解得6a =cm ， ∴正三棱柱的底面面积为1366932⨯⨯⨯=cm 2， 故此正三棱柱的体积V ＝932354⨯=cm 3．
故选：B ．
【点睛】
本题考查棱柱的体积的求法，考查几何体的内切球的性质，属于基础题.
3．B
解析：B
【分析】
由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，如下图所示
2211125AD A D ==+=
∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯+⨯=+
故选：B
【点睛】
本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题.
4．B
解析：B
【分析】
根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，
当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，
即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，
故选：B ．
【点睛】
本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题. 5．B
解析：B
【分析】
把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积．
【详解】 三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；
且333AM AB == 设三棱锥外接球的球心为O ，则2233333AG AM =
==112OG CD ==， 所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =+=+=，
所以三棱锥外接球的体积为3344232333
R V πππ===． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题．
6．D
解析：D
【分析】
本题先通过平移确定异面直线1A B 与1AD 所成角11A BC ∠，再在11A BC 中通过余弦定理求该角的余弦值即可.
【详解】
解：连接11A C 、1BC （如图），设12=2AA AB k =（0k >），则11=5A B C
B k
=，112AC k
=， 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，
∵11//BC AD ，
∴ 异面直线1A B 与1AD 所成角可以表示为11A BC ∠，
在11A BC 中，
222222*********cos 25255A B BC AC A BC A B BC k k
+-∠===⋅⋅⨯⨯， 故选：D.
【点睛】
本题考查了异面直线所成的角，余弦定理，是中档题.
7．A
解析：A
【分析】
取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，证明平面//CMN 平面1C EF 后即可得P ∈线段EF ，找到取最值的情况求解即可得解.
【详解】
取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，
由//EF MN ，1//C E CM ，1EF C E E =可得平面//CMN 平面1C EF ，
P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ，
∴P ∈线段EF ，
∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值1C O ，
当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值1C E 或1C F ，
在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，
点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点， ∴221max 11345C P C E C F ===+=，42EF =， 2221min 1125(22)17C P C O C E EO ==-=-=.
∴线段1C P 长度的取值范围是[17,5].
故选：A.
【点睛】
本题考查了长方体的特征及面面平行的性质与判定，考查了空间思维能力，属于中档题. 8．B
解析：B
【分析】
取11B C ，1B B 中点E ，F ，得平面1A EF ∥平面AMN .进而得到点P 的轨迹为线段EF ，
又因为1A EF 为等腰三角形，进而便可得出答案.
【详解】
取11B C ，1B B 中点E ，F ， 连接1A E 、1A F .
则1A E ∥AM .EF ∥MN .又因为1A E EF E ⋂= .
所以平面1A EF ∥平面AMN .
又因为动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动，
所以点P 的轨迹为线段EF .
又因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 所以115A E A F ==，2EF = . 所以1A EF 为等腰三角形.
故当点P 在点E 或者P 在点F 处时，此时1PA 最大，最大值为5.
当点P 为EF 中点时，1PA 最小，最小值为22232(5)(
)22
-= . 故选：B.
【点睛】
本题主要考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属于中档题目，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点P 的位置.
9．C
解析：C
【分析】
取1BB 的中点F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥，进而可得点P 的轨迹为线段CF ，找到1C P 的最大值即可得解.
【详解】
取1BB 的中点F ，连接OF 、1D F 、CF 、1C F ，连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ，如图：
因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，
所以11B F BF ==,2DO BO OC ===111
22D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11C D ⊥平面11BB C C ， 所以22116OD OD DD =+=223OF OB BF =+=2211113D F D B B F =+=，
所以22211OD OF D F +=，22211OD OC D C +=，
所以1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，
由OC OF O =可得1OD ⊥平面OCF ，
所以1OD CF ⊥，所以点P 的轨迹为线段CF ， 又221111152C F B C B F C C =+=>=,
所以11D C P △面积的最大值1111125522S C F D C =
⋅=⨯=. 故选：C.
【点睛】
本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P 的轨迹，属于中档题.
10．A
解析：A
【分析】
如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，计算得到答案.
【详解】
如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，
则AE BE +的最小值为'A B ，易知5BC =，'12A C =，故'13A B =.
故选：A .
【点睛】
本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 11．B
解析：B
【分析】
分别以①②③④作为结论，另外三个作条件，根据线面垂直和面面垂直的判定定理依次判断真假.
【详解】
若m n ⊥，αβ⊥，n β⊥，则m 与α可能平行可能相交，即①②③不能推出④； 同理①②④不能推出③；
若m n ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面垂直，则αβ⊥，即①③④能够推出②；
若αβ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面互相垂直，则这两个平面的垂线互相垂直，即m n ⊥，
所以②③④能够推出①.
所以一共两个命题正确.
故选：B
【点睛】
此题考查空间直线与平面位置关系的辨析，根据选择的条件推出结论，关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定和证明.
12．C
解析：C
【分析】
利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行逐项判断即可.
【详解】
对于选项A: 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂,故选项A 错误;
对于选项B: 若,,m αβα⊥⊥则//m β或m β⊂，故选项B 错误;
对于选项C: 若,//,m ααβ⊥由面面平行的性质和线面垂直的判定知m β⊥成立,
故选项C 正确;
对于选项D: 若//,,m ααβ⊥则//m β或m β⊂或m 与β相交,故选项D 错误; 故选:C
【点睛】
本题考查利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，判断空间中直线与平面的位置关系;考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力;属于中档题、常考题型.
13．B
解析：B
【分析】
设h 为底面ABC 上的高，,SA m BC n ==，根据体积可得12nh =，结合222m n mn +≥及基本不等式等号成立条件，可得12m n h ===，进而可得SA ⊥面ABC ，再通过计算求出每个面的面积即可.
【详解】 解：如图：h 为底面ABC 上的高，
设,SA m BC n ==，则1114sin 304332
S ABC ABC V S h n h -=
=⨯⨯⨯⨯︒⨯=， 得12nh =， ,12m h mn ≥∴≥，
又22242m n mn =+≥，得12mn ≤，
所以12mn =，故12m n h ===，
SA ∴⊥面ABC ，
在ABC 中223412241242AB =+-⨯=，则2AB =， 在Rt ABS 中22124SB =+=，
在Rt ACS 中121628SC =+=
所以在SBC 中，222SC SB BC =+，则SBC 为直角三角形，
三棱锥S ABC -的表面积
11111=223+423+423+423=12322222
S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯. 故选：B.
【点睛】
本题考查棱锥表面积的计算，关键是通过基本不等式的等号成立条件得到SA ⊥面ABC ，是中档题.
14．C
解析：C
【分析】
设2AB x =，则AE x =，29BC x =-，由余弦定理可得
2225393923939x x x =++-⨯⨯+⨯
，求出x ，即可求出球O 的直径. 【详解】 根据题意，长方体内接于球O 内，则球的直径为长方体的体对角线，如图作出长方体1111ABCD A B C D -：
设2AB x =，则AE x =，29BC x =-，由余弦定理可得：
222539392393x x x =++-⨯+，∴1x =6， ∴2AB =，22BC =O 4484++=；
或26AB =3BC =，球O 2424351++=
故选：C ．
【点睛】
本题考查球的直径的计算方法，考查余弦定理，考查计算能力和分析能力，属于常考题.
二、解答题
15．（1）证明见解析（2）1
223
AQ =,理由见解析 【分析】
（1）先根据直线与平面垂直的判定定理证明BC ⊥平面1AA ED ，再根据平面与平面垂直
的判定定理证明平面BCNM ⊥平面1AA ED ；
（2）连DF ，可推得1A Q 与DF 平行且相等，在线段BD 上取点H ，使
BH FM ==23
，连FH ，可推得HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角，利用正弦值可求得DF 的值，即可得1A Q 的值.
【详解】
（1）因为AB AC =，BD DC =，所以BC AD ⊥，
又D ，E 分别为BC 、11B C 的中点，所以1//DE BB ，
因为侧面11BCC B 为矩形，所以1BC BB ⊥，所以BC DE ⊥，
又AD DE D ⋂=，所以BC ⊥平面1AA ED ，
因为BC ⊂平面BCNM ，所以平面BCNM ⊥平面1AA ED .
（2）因为2AB AC ==，2BC =，所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，
又D 为BC 的中点，112
AD BC ==，因为3AD AQ =，所以13AQ =，23QD =， 连接DF ，因为1
//AQ 平面BCNM ，平面1A ADE 平面BCNM DF =， 所以1//A Q DF ，因为1A A 与1B B 平行且相等，1B B 与DE 平行且相等，
所以1A A 与DE 平行且相等， 所以四边形1A ADE 为平行边形，所以1A F 与QD 平行且相等，
所以四边形1A QDF 为平行四边形，所以1A Q 与DF 平行且相等，因为123A F QD ==，所以13EF =，所以2233
FM BD ==， 在线段BD 上取点H ，使BH FM ==
23，则21133DH =-=，连FH ，则四边形FMBH 为平行四边形，
所以FH 与BM 平行且相等，因为BD ⊥平面1AA ED ，所以HFD ∠为直线BM 与平面
1AA ED 所成角，所以1sin 3HFD ∠=，即13DH HF =，所以31HF DH ==， 所以2212219DF FH DH =
-=-=，所以1223
AQ DF ==. 【点睛】 关键点点睛：（1）证明面面垂直的关键是找到线面垂直，利用直线与平面垂直的判定定理可证BC ⊥平面1AA ED ；
（2）解题关键是找到直线BM 与平面1AA ED 所成角，通过计算可知，在线段BD 上取点H ，使BH FM ==23
，连FH ，则HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角. 16．（1）证明见解析；（2）
43. 【分析】
（1）由ABCD 为矩形，易得G 是AC 的中点，又BF ⊥平面ACE ，BC ＝BE ，则F 是EC 的中点，从而FG ∥AE ，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）根据AD ⊥平面ABE ，易得AE ⊥BC ，再由BF ⊥平面ACE ，得到AE ⊥BF ，进而得到AE ⊥平面BCE ，然后由C AEB A BCE V V --=求解.
【详解】
（1）如图所示：
因为底面ABCD 为矩形，
所以AC ，BD 的交点G 是AC 的中点，连接FG ，
∵BF ⊥平面ACE ，则CE ⊥BF ，而BC ＝BE ，
∴F 是EC 的中点，
∴FG ∥AE .
又AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，
∴AE ∥平面BFD .
（2）∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，
∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC .
又BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ，
∴AE ⊥平面BCE .
∴三棱锥C -AEB 的体积11142223323C AEB A BCE BCE V V S AE --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
△. 【点睛】
方法点睛：1、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
17．（1）证明见解析；（2）43 3
.
【分析】
（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直；
（2）取EF中点P，BC中点K，找到二面角，再在三角形中计算就可以了.
【详解】
（1）证明：1
AA⊥平面
11
,
ABC B F AA
∴⊥，
又111
A B C为正三角形，F为
11
A C中点，
111
B F AC
∴⊥
得1B F⊥平面11
ACC A.
又因为1
AC⊂平面
11
ACC A，
所以11
B F AC
⊥；
（2）设所有棱长都为2，取EF中点P，BC中点K，连,,
PK AK PA. 易知
,
PK BC AK BC
⊥⊥，则PKA
∠为平面EFCB的与底面ABC所成二面角的平面角，在PKA中，取AK中点O，连PO，有PO⊥平面ABC，则PO AK
⊥，
且
3
2,
2
PO OK
==，
43
tan
3
3
PO
PKA
OK
∠===
,
【点睛】
第二问的关键点是由线面垂直找到线线垂直，求出二面角，然后在三角形中计算就可以了.
18．（1）证明见解析；（2）
4
π
.
【分析】
（1）连接A 1B 交AB 1于P ，根据平行四边形AA 1B 1B 的性质，结合三角形中位线定理，可得NP 与CM 平行且相等，从而四边形MCNP 是平行四边形，可得CN ∥MP ，再结合线面平行的判定定理，得到CN ∥平面AB 1M ；（2）以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，根据题意得到C 、A 、、B 1、M 各点的坐标，从而得到向量AB 、1B M 的坐标，再利用垂直向量数量积为零的方法，列方程组可求出平面AMB 1的法向量n =（5，﹣3，4），结合平面MB 1C 的一个法向量CA =（2，0，0），利用空间两个向量的夹角公式，得到n 与CA 的夹角，即得二面角A ﹣MB 1﹣C 的大小．
【详解】
（1）连结A 1B 交AB 1于P ．因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以P 是A 1B 的中点．
因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形，所以CN //MP ．因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ，所以CN //平面AB 1M ．
（2）因为AC =BC =2，22AB =， 所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥
AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．因为132C M =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2
M ，5(2,0,)2AM =-， 13(0,2,)2
B M =--． 设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅=． 即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩
，，令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-． 又平面MB 1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA ，所以2cos ,>=||||
n CA n CA n CA ⋅<=． 由图可知二面角A-MB 1-C 为锐角，所以二面角A-MB 1-C 的大小为4
π．
【点睛】
关键点睛：解题关键在于由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，进而 以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量计算二面角，难度属于中档题
19．(1)证明见解析.(2) 侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC
=时，//BE 平面PAC . 【分析】 （1）连结,AC BD 相交于点O ，可得AC ⊥平面BSD ，从而可证.
（2）取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，可得//BE 平面PAC ，从而得出答案.
【详解】
连结,AC BD 相交于点O , 由棱锥S ABCD -为正四棱锥
则SO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ,所以SO AC ⊥
又棱锥S ABCD -为正四棱锥，则四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥
由BD SO O ⋂=,所以AC ⊥平面BSD
SD ⊂平面BSD ，所以AC SD ⊥
（2）侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC =时，//BE 平面PAC . 由3SAP APD S S =，可得3SP PD =
取点F 为SD 的中点，则点P 为FD 的中点,又O 为BD 的中点
所以在BFD △中，//BF OP .
BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，则//BF 平面ACP
过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE
由EF ⊄平面ACP ，PC ⊂平面ACP ，则//EF 平面ACP
又EF BE E =，所以平面//BEF 平面ACP
又BE ⊂平面BEF ,则//BE 平面PAC . 由//FE PC ，则SE SF EC FP
=, 由3SP PD =，F 为SD 的中点，则2SF FP =，所以2SE EC
= 所以侧棱SC 上存在一点E ，当满足
2SE EC =时，//BE 平面PAC .
【点睛】
关键点睛：本题考查线线垂直的证明和平行线性的探索性问题，解答的关键是过点B 构造一个平面使之与平面ACP 平行，则所构造的平面与SC 的交点即为所求，即取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，构造出所需的平面，本题还可以建立空间坐标系利用向量方法求解，属于中档题.
20．（1）证明见解析；（239 【分析】
（1）由已知条件可得2221111A B AB AA +=，2221111AB B C AC +=，则111AB A B ⊥，111AB B C ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，可证得1C D ⊥平面1ABB ，从而1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，然后在1Rt C AD 求解即可
【详解】
（1）证明： 由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得
11122AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=，由111AB A B ⊥．
由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得115B C =，
由2AB BC ==，120ABC ∠=︒得23AC =
由1CC AC ⊥，得113AC =，所以2221111AB B C AC +=，
故111AB B C ⊥，又11111A B B C B =，因此1AB ⊥平面111A B C ．
（2）解 如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ．
由1AB ⊥平面111A B C ，1AB ⊂平面1ABB ，得
平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥，得1C D ⊥平面1ABB ，
所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角． 由115B C =1122AB =，1121AC =
得1116cos 7C A
B ∠=，111sin 7
C A B ∠=， 所以13C
D =，故11139sin C D C AC AD ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是
39．
【点睛】
关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，然后结合条件可证得1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题 21．（1）证明见解析（2）
4π（3）233 【分析】
（1）只需证明BD AC ⊥，PA BD ⊥即可证明BD ⊥平面PAC ；
（2）通过证明,AD CD PD CD ⊥⊥可知PDA ∠是平面PCD 与平面CDB 所成角的平面角，根据PA AD =可得结果；
（3）利用等体积法可求得结果.
【详解】
（1）在直角三角形BAD 中，22842AB BD AD -=-=，
所以底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，
因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，
因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC .
（2）因为ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，
因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，
因为PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，即CD PD ⊥，所以PDA ∠是平面PCD 与平面CDB 所成角的平面角，
在直角三角形PAD 中，因为PA AD =，所以PDA ∠4π
=
（3）由题意可知点C 到平面PBD 的距离等于点A 到平面PBD 的距离，设为d ，
由（1）可得22PB BD PD ，所以24
PBD S =⨯=△
由P ABD A PBD V V --=得1133ABD PBD PA S d S ⨯⨯=⋅△△，即111222323d ⨯⨯⨯⨯=⨯
所以d =，
所以点C 到平面PBD 【点睛】
关键点点睛：第（3）问利用等体积法求点面距是解题关键.
22．（1）证明见解析；（2）
13
【分析】
（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.
（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法11113
C ABC A ABC ABC V V S A
D --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离. 【详解】
（1）证明：1AA AC =，1
60AAC ∠=︒， 1ACA ∴△是等边三角形，
D 为线段AC 的中点，
1A D AC ∴⊥，
平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，
1A D ∴⊥平面ABC ，
1A D ⊂平面1A DE ，
∴平面1A DE ⊥平面ABC ；
（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，
可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =
11113
C ABC A ABC ABC V V S A
D --∴==⋅△ 1132231322
=⨯⨯⨯⨯=， 在1ABC 中，2AB =，()2222113323C F AF AC +=+==
21122221BF C F BD DF C F BC +=++=()()
22232310=++= 22
212102310cos 2210ABC +-∠∠==⨯⨯
1390sin ABC ∴∠= 1390392102202
ABC S ∴=⨯=△. 记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则1
13ABC S h ⋅⋅=△，解得239h =， 即点C 到平面1ABC 239 【点睛】 关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力.
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）连接1B C ，可知点D 为1B C 的中点，利用中位线的性质可得出11//OD A B ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出四边形11AAC C 为菱形，可得出11AC AC ⊥，证明出BC ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BC ⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立.
【详解】
（1）如下图所示，连接1B C ，
在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形， D 为1BC 的中点，则D 为1B C 的中点，同理可知，点O 为1A C 的中点，11//OD A B ∴， OD ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，因此，//OD 平面111A B C ；
（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11//AA CC 且11AA CC =， 所以四边形11AAC C 为平行四边形，
1AC CC =，所以，平行四边形11AAC C 为菱形，则11AC AC ⊥，
1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1BC CC ∴⊥，
BC AC ⊥，1AC CC C =，BC ∴⊥平面11AAC C ，
1AC ⊂平面11AAC C ，1AC BC ∴⊥，
1AC BC C =，1AC ∴⊥平面1A BC ，
1AC ⊂平面1AC B ，因此，平面1AC B ⊥平面1A BC .
【点睛】
方法点睛：证明面面垂直的常用方法：
（1）面面垂直的定义；
（2）面面垂直的判定定理.
在证明面面垂直时，可假设两个平面垂直成立，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，即可找到所要证的线面垂直，然后组织论据证明即可.
24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）26
. 【分析】 （Ⅰ）通过1B C AB ⊥和AB AC ⊥可得AB ⊥平面1AB C ，即得证；
（Ⅱ）设11BC B C O =，作1OE AB ⊥于E ，连结BE ，可得EBO ∠为1BC 与平面11ABB A 所成角，求出相关长度即可求解.
【详解】
（Ⅰ）证明：∵1B C ⊥平面ABC ，∴1B C AB ⊥， 又AB AC ⊥，1AC B C C ⋂=，
所以AB ⊥平面1AB C ， AB ⊂平面11ABB A ，
所以平面1AB C ⊥平面11ABB A ；
（Ⅱ）设11BC B C O =，作1OE AB ⊥于E ，连结BE ，
∵平面1AB C ⊥平面11ABB A 于1AB ，∴OE ⊥平面11ABB A ，
∴EBO ∠为1BC 与平面11ABB A 所成角，
由已知2AB AC ==，123BB =12B C =，122B A =
∴223BO BC OC =+=，
在等腰直角1AB C 中，22OE =
， 所以2sin OE EBO OB ∠=
=，即1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为26
. 【点睛】 方法点睛：求线面角或面面角的常用方法，根据图形结构常用建立坐标系利用向量法求解或直接用几何法求解，向量法的往往更简单有效.
25．（1）答案见解析；（2）
11
. 【分析】 （1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ；
（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案；
【详解】
解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA .
∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥，
又二面角E GH B --的大小为90°，
∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥，
∴EO ⊥平面ABCD ，
∴EO BD ⊥，
又AB BC =，∴AO BD ⊥，
AO EO O =，
∴BD ⊥平面EOA .
（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =
设CO x =，OM x =，222216OB OM MB x =+=-+，
2222216EB EO OB x =+=-+，
当x =min EB =
连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，
由（1）知BD ⊥平面EOA ，
∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ，
∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，
在Rt EMB 中，EB =2BM =，EM
=AE =，
由()
2222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=，
2
QF =
∴sin QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD .
【点睛】
求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可.
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，通过//OE PA 即可证明；
（2）通过PD BC ⊥， CD BC ⊥可证BC ⊥平面PDC ，即得DE BC ⊥，进而通过DE ⊥平面PBC 得DE PB ⊥，结合EF PB ⊥即证.
【详解】
证明：（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，
底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 中点，
点E 是PC 的中点，//OE PA ∴.
OE ⊂平面EDB ， PA ⊄平面EDB ，
∴//PA 平面EDB .
（2）PD DC =，点E 是PC 的中点，DE PC ∴⊥.
底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，
∴PD BC ⊥， CD BC ⊥，且 PD DC D ⋂=，
∴BC ⊥平面PDC ，∴DE BC ⊥，
又PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ，
∴DE PB ⊥，
EF PB ⊥，EF DE E ⋂=，
PB
∴⊥平面EFD.
【点睛】
本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.。