2.3 人教A版数学选修2-2 第2章 推理与证明

2.3数学归纳法
填一填
1.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以判断命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
上述证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
判一判
1.与正整数n
2．数学归纳法证明的第一步n0的初始值只能是1.(×)
3．数学归纳法的两个步骤缺一不可．(√)
4．用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(×)
5．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(×)
6．使用数学归纳法证明命题时，第一步验证n0(n0∈N*)有时可以省略．(×)
7．在数学归纳法证明中，第二步可以直接证明的，不需用归纳假设也可以．(×)
8．多米诺骨牌游戏中骨牌链能够成功被推倒，使用的是数学归纳法的思想．(√)
想一想
1.
数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成立．
相当于多米诺骨牌开始倒的第一张．
数学归纳法的第二步：假设当n＝k时命题成立，
并证明当n＝k＋1时命题也成立．
相当于多米诺骨牌第k张倒后第k＋1张是否也会跟着倒．
2．你认为多米诺骨牌游戏中骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么条件？
多米诺骨牌所有的骨牌都倒下靠的是两个条件：
(1)第一块骨牌被推倒．(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件
(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．
3．应用数学归纳法要注意哪些方面？
应用数学归纳法要注意以下几点：
(1)第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的．
(2)第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法．
(3)n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其他一些正整数．
(4)第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法．
4．数学归纳法证题的三个关键点是什么？
(1)验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．
(2)递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(3)利用假设是核心
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．感悟体会
练一练
1.0
始值n0应取()
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5.
答案：C
2．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k 时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到()
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
解析：将式子1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1中的n用k＋1代换，得到n＝k＋1时，有1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1，故选D.
答案：D
3．下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是()
A．6＋6·7k B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)
解析：当k＝1时，A中代数式的值为48，B中代数式的值为3，C中代数式的值为102，D中代数式的值为27，显然，只有D中代数式能被9整除，故选D.
答案：D
4．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为____________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________．解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，
所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
从n ＝k 到n ＝k ＋1时需添25k ＋25k ＋1＋…＋25(k ＋1)－1. 答案：1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k ＋
1＋25k ＋
2＋25k ＋
3＋25k ＋
4
知识点一
用数学归纳法证明等式
1.对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )
A ．命题对所有正整数都成立
B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立
C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立
D ．以上说法都不正确
解析：由已知可得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立，在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立．以此类推可知命题对大于或等于n 0的正整数都成立，但命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定．
答案：C
2．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n
4(n ＋1).
证明：(1)当n ＝1时，左边的12×4＝18
，右边＝1
8等式成立．
(2)假设n ＝k 时，等式成立，即12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k
4(k ＋1)
成立．
当n ＝k ＋1时，
12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋1(2k ＋2)(2k ＋4)＝k 4(k ＋1)＋1(2k ＋2)(2k ＋4)＝k (k ＋2)＋1
4(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)2
4(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋1
4(k ＋2)＝k ＋1
4[(k ＋1)＋1]
. 所以n ＝k ＋1时，等式成立．
由(1)、(2)可得对一切n ∈N *，等式成立．
3.用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>127
64(n ∈N *)成立，其初始值最小应取
( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析：1＋12＋14＋…＋1
2n －1＝1－12n
1－12>12764
，整理得2n >128，∴n >7，又n ∈N *，∴n 的初始
值最小应取8，故选B.
答案：B
4．求证：1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋13n >5
6(n ≥2，n ∈N *)．
证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝1920>5
6，不等式成立．
(2)假设当n ＝k (n ≥2，n ∈N *)时命题成立， 即
1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋13k >56.
那么当n ＝k ＋1时，
1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋
1
3k ＋1＋1
3k ＋2
＋13k ＋3
－
1k ＋1
>
56
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫13k ＋3＋13k ＋3＋13k ＋3－1k ＋1＝5
6. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *都成立.
5.成( )
A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确
B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确
C ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋1时正确
D ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋2时正确
解析：因为n 为正奇数，所以在证明时，归纳递推应写为：假设n ＝2k －1(k ∈N *)时命题正确，再推出n ＝2k ＋1时正确，故选B.
答案：B
6．用数学归纳法证明34n ＋
2＋52n
＋1
能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k
＋1)＋2
＋52(k
＋1)＋1
应变形为________．
解析：当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝81×34k ＋2＋25×52k ＋1＝25()
34k ＋2＋52k ＋1＋
56×34k ＋2.
答案：25()34k ＋
2＋52k
＋1
＋56×34k ＋2
7.在数列{a n }中，a 1＝1
3，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )
A.1
(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1
(2n －1)(2n ＋1) D.1
(2n ＋1)(2n ＋2)
解析：由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，得S 2＝2×(2×2－1)·a 2，∴a 1＋a 2＝6a 2，∴a 2＝1
5a 1
＝115＝13×5，S 3＝3×(2×3－1)·a 3，∴13＋115＋a 3＝15a 3，∴a 3＝135＝15×7，同理a 4＝1
7×9，由此猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)
，故选C.
答案：C
8．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－1
2n 2，n ∈N *.
(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．
解析：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，∴f (1)＝g (1)； 当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝11
8，∴f (2)<g (2)；
当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312
216，∴f (3)<g (3)．
(2)由(1)的结果，猜想f (n )≤g (n )． 下面用数学归纳法给出证明：
①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立． ②假设n ＝k (k ≥3)时，不等式成立． 即1＋123＋133＋…＋1k 3≤32－12k 2，
那么，n ＝k ＋1时，
f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3≤32－12k 2
＋1(k ＋1)3 因为12(k ＋1)2－⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
12k 2－1(k ＋1)3
＝
k ＋3
2(k ＋1)3－1
2k 2
＝
－3k －1
2k 2(k ＋1)3
<0，
∴f (k ＋1)≤32－1
2(k ＋1)2
＝g (k ＋1)．
由①②可知，对一切n ∈N *都有f (n )≤g (n )成立．
基础达标
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1
2n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )
A ．1＋1
2<2
B ．1＋12＋1
3<2
C ．1＋12＋1
3<3
D ．1＋12＋13＋1
4
<3
解析：∵n ∈N *，n >1，∴第一步应验证n ＝2时的表达式，即1＋12＋1
3<2，故选B.
答案：B
2．用数学归纳法证明某命题时，左式为1
2＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n －1)α(α≠k π，
k ∈Z ，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边所得的代数式为( )
A.12
B.1
2
＋cos α C.1
2
＋cos α＋cos 3α D.1
2
＋cos α＋cos 3α＋cos 5α 解析：将n ＝1代入左式，得1
2＋cos α，故选B.
答案：B
3．如果命题p (n )对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p (n )对n ＝2也成立，则下列结论正确的是( )
A ．p (n )对所有正整数n 都成立
B ．p (n )对所有正偶数n 都成立
C ．p (n )对所有正奇数n 都成立
D ．p (n )对所有自然数n 都成立
解析：由数学归纳法的步骤可知，若p (n )对n ＝2成立，则对n ＝2＋2＝4也成立，由此类推，可得到p (n )对所有正偶数n 都成立，故选B.
答案：B
4．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －
1＝3n (na －b )＋14对一切n ∈N *都成立，那
么a ，b 的值为( )
A ．a ＝12，b ＝14
B ．a ＝b ＝1
4
C ．a ＝0，b ＝14
D ．a ＝14，b ＝1
2
解析：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋1
4对一切n ∈N *都成立，
所以当n ＝1,2时有
⎩⎨⎧
1＝3(a －b )＋1
4
，
1＋2×3＝32
(2a －b )＋14，
即⎩⎨⎧
1＝3a －3b ＋1
4
，
7＝18a －9b ＋1
4，
解得⎩⎨⎧
a ＝12，
b ＝1
4.
答案：A
5．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )
A ．2k ＋1
B ．2(2k ＋1)
C.2k ＋1k ＋1
D.2k ＋3k ＋1
解析：由题设条件知，当n ＝k 时，有(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ×1×3×…×(2k －1)， 当n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)，∴左边增加两项(2k ＋1)和(2k ＋2)，减少一项(k ＋1)，所以左边应增乘的因式为(2k ＋1)(2k ＋2)
k ＋1
＝2(2k ＋1)，故选B.
答案：B
6．某个与正整数有关的命题：如果当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立．现已知n ＝5时命题不成立，那么可以推得( )
A ．当n ＝4时命题不成立
B ．当n ＝6时命题不成立
C ．当n ＝4时命题成立
D ．当n ＝6时命题成立
解析：由原命题与其逆否命题的关系知，当n ＝k ＋1时命题不成立，则n ＝k 时命题也不成立，所以，当n ＝5时命题不成立，可推知n ＝4时，该命题也不成立，故选A.
答案：A
7．设函数f (n )＝(2n ＋9)·3n ＋
1＋9，当n ∈N ＋时，f (n )能被m (m ∈N ＋)整除，猜想m 的最大值为( )
A ．9
B ．18
C ．27
D ．36
解析：∵f (n ＋1)－f (n )＝[2(n ＋1)＋9]·3(n ＋1)＋1＋9－[(2n ＋9)·3n ＋1＋9]＝36·3n －1·(n ＋6) ∴m 的最大值为36，故选D. 答案：D 二、填空题
8．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1
＝1－a n ＋
21－a
(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，
左边所得的项为________．
解析：n ＝1时，等式左侧的值为1＋a ＋a 2. 答案：1＋a ＋a 2
9．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋1
2n ＝p (n )”从n ＝k 推导n ＝k ＋1时原等式的左边
应增加的项数是________．
解析：观察不等式左边的分母可知，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边多出了12k ＋1＋1
2k ＋2＋…＋
12k ＋1
共2k ＋1－2k 项．
答案：2k ＋
1－2k
10．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3
＋5(k ＋1)应变形为________．
解析：当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)变形时，应变换出归纳假设内容，即k 3
＋5k ，所以其变形应为(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.
答案：(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6
11．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －
1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －
1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2
k －1
＋2k ＝1－2k ＋
11－2
＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立，由此可知对于任
何n ∈N *，等式都成立，上述证明的错误是________．
解析：本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．
答案：未用归纳假设
12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________.
解析：由题意可知，(S 1－1)2＝a 1S 1＝S 21，解得S 1＝12；(S 2－1)2＝a 2S 2＝(S 2－S 1)S 2，解得S 2＝23；(S 3－1)2＝a 3S 3＝(S 3－S 2)S 3，解得S 3＝34，由此猜想S n ＝n
n ＋1
.
答案：
n
n ＋1
三、解答题
13．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝1
3n (4n 2－1)．
证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1
3×1×(4×12－1)＝1，
∴左边＝右边，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝1
3k (4k 2－1)，
那么，当n ＝k ＋1时，
12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2 ＝1
3k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2 ＝1
3k (2k ＋1)(2k －1)＋(2k ＋1)2 ＝1
3(2k ＋1)[k (2k －1)＋3(2k ＋1)] ＝1
3
(2k ＋1)(2k 2＋5k ＋3)
＝1
3(2k＋1)(k＋1)(2k＋3)
＝1
3(k＋1)(4k
2＋8k＋3)
＝1
3(k＋1)[4(k＋1)
2－1]
∴当n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式成立．14．已知n∈N*，n>2，
求证：1＋1
2
＋
1
3
＋…＋
1
n
>n＋1.
证明：(1)当n＝3时，左边＝1＋1
2
＋1
3
，右边＝3＋1＝2，左边>右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立，即1＋1
2
＋1
3
＋…＋1
k
>k＋1.
当n＝k＋1时，
1＋1
2
＋1
3
＋…＋1
k
＋1
k＋1
>k＋1＋
1
k＋1
＝
k＋1＋1
k＋1
＝
k＋2
k＋1
.
因为k＋2
k＋1
>
k＋2
k＋2
＝k＋2＝(k＋1)＋1，
所以1＋1
2＋1
3
＋…＋1
k
＋1
k＋1
>(k＋1)＋1.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)，(2)知对一切n∈N*，n>2，不等式恒成立.
15.平面内有n (n ∈N *)点，求证：这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2部分．
证明：(1)当n ＝1时，n 2－n ＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即k 个圆把平面分成k 2－k ＋2部分． 则当n ＝k ＋1时，这k ＋1个圆中的k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，第k ＋1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，这2k 条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k 个部分，故k ＋1个圆把平面分成k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2部分，
即n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，对一切n ∈N *，命题都成立．
16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；
(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．
解析：(1)当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根S 1－1＝a 1－1， 所以(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0， 解得a 1＝12
，
当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－1
2，
所以⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题意知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入整理得S n S n －1－2S n ＋1＝0. 解得S n ＝12－S n －1
.
由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝2
3.
猜想S n ＝n
n ＋1
(n ∈N *)．
下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n ＝1时，结论成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立， 即S k ＝
k k ＋1
， 当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12－S k ＝1
2－k k ＋1＝k ＋1k ＋2＝k ＋1(k ＋1)＋1
.
所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．
由①②可知，{S n }的通项公式为S n ＝n
n ＋1
(n ∈N *)．。