《数学物理方程-福州大学-江飞》2.3柯西问题-PPT精品文档25页

2
利用正弦函数奇性： 0 i f ( ) sin x d d
2
f ( x ) 1
2


f ( ) cos x i sin x d d
1 f ( )e i x d d



1
2
F
f1 F
f2 .
傅里叶变换：F[ f ]() f ( )eid
性质3' F 1 f1 f2 F 1 f1 F 1 f2
证明 F F 1 f1 F 1 f2 F F 1 f1 F 1 f2
f
(
) cos
n l

d
,
bn

1 l
l f ( ) sin n
l
l
d
把系数表达式代入级数：
n 0,1
f ( x) 1 2l
l l
f
(
)d

n 1
1 l
l f ( ) cos n x d
l
l
f ( x ) 1 l f ( )d 1 l f ( ) cos n x d
2

f2 (t)eitdt
1
2

f1( )ei d
2 F 1 f1 F 1 f2 .
傅里叶变换：F[ f ]() f ( )eid
性质3
F

f1
f2
1 2
F

f1 F

f2
证明
F

1

1 2
F
傅里叶变换：F[f]()f()eid

*卷积 给定 f1 , f 2 o n R , 若 f ( x ) f1 ( x t ) f 2 (t )d t
存在，则称为 f1 与 f2 的卷积，记为 f1 f2.
*若 f1 , f 2 L R ,则 f1 f 2 f 2 f1 .
变量替换证明
性质2 F f1 f 2 F f1 F f 2
证明 Ff1f2 e ix f1 (x t)f2(t)d td x
Fubini定理
f2(t) f1(xt)eixdxdt
f2(t) f1()ei(t)ddt
称 f ( x )为g ( ) 的傅里叶逆变换，记为 F 1 g 。
注 f ( x ) L1 R C 1 R ,则傅里叶变换存在且逆变换等于 f ( x ) 。
性质1 傅里叶变换是线性变换，即对于任意复数 ，
以及函数 f1，f2 ，成立
F f1 f2 F f1 F ) 1 f ( ) co s x d d
0
注
f
(
x
)

L1

R


C
1

R

情况，可用
fn
(
x
)

C
1 0

R

逼近!
*傅里叶积分复数形式
偶函数 奇函数
利用余弦函数偶性：f ( x ) 1 f ( ) cos x d d
2
傅里叶积分复数形式： f ( x ) 1 f ( )e i x d d
2
令 g ( ) f ( )e i d ，则 f ( x ) 1 g ei xd

2
称 g ( ) 为 f ( x )的傅里叶变换，记为 F f ；
2l l
l l
n 1
l
设 f ( x ) L1 R ，令 l ，得
f ( x ) lim 1 l f ( ) cos n x d
l l n 1 l
l
记 1

l
,
n

n l
,
,

n

n 1

n

l
f2(t)eitdt f1()eid F f1 F f 2
性质2 F f1 f2 F f1 F f2 .
性质2' F 1 f1 f2 2 F 1 f1 F 1 f2 .

f1


F

f
2


1 2
F 1 F f1 F f2
利用性质 2' 证明
F 1 F f1 F 1 F f 2 f1 f1

F
f1
f2
F

F
1

1
2
F
f1 F

f
2
§ 2.3 柯西问题
1. 傅里叶变换及其基本性质
记 f ( x ) 定义 R 上，且 f ( x ) C 1 [ l , l ] ，其傅里叶级数：
f ( x ) a0 2
n 1

a
n
cos
n l
x bn
sin
n l
x

1
其中 a n l
l l
，则形式上有
f

C
0

f
R
(

x
)

1 1
lim
l
lim
l

n 1
n 1
n n
l l
f ( ) cos n x d
f ( ) cos n x d
交换积分次序,可证积分值有限
1 f ( ) cos x d d
证明
F 1
f1 f2
1
2
e i x


f1(x t) f2 (t)dtdx
1
2

f2 (t)

f1(x t)eixdxdt
1
2

f2 (t)

f1( )ei( t)d dt
2 1