2020年下海市松江区八年级第二学期期末质量检测数学试题含解析

2020年下海市松江区八年级第二学期期末质量检测数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知点P （m ﹣3，m ﹣1）在第二象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．
C ．
D ． 2．若一元二次方程()212 10k x x --+=有实数根，则实数k 的取值范围是( )
A ．2k <
B ．21k k <≠且
C ．k 2≤
D ．21k k ≤≠且
3．不等式的解集是( ) A ． B ． C ． D ．
4．如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＝3，AC ＝4，AD ＝1．M 是BD 的中点，则CM 的长为（ ）
A ．32
B ．2
C ．52
D ．3
5．如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于A(m ，3),则不等式2x ax+4<的解集为（ ）
A ．3x 2>
B ．x 3>
C ．3x 2<
D ．x 3<
6．下面四个二次根式中，最简二次根式是（ ）
A 2+1x
B 12
C ．28
D 0.37．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A ．6折
B ．7折
C ．8折
D ．9折
8．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A ．AB=CD
B ．AB=B
C C ．AC ⊥B
D D ．AC=BD 9．要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P ，Q ，则PQ=（ ）
A ．512-
B ．35-
C ．52-
D ．3
52
二、填空题
11．关于x 的一元二次方程(2m-6)x 2+x-m 2+9=0的常数项为0，则实数m=_______
12．使得二次根式
有意义的x 的取值范围是 ． 13．不等式组4x x m
>⎧⎨>⎩的解集是x ＞4，那么m 的取值范围是_____． 14．扬州市义务教育学业质量监测实施方案如下：3、4、5年级在语文、数学、英语3个科目中各抽1个科目进行测试，各年级测试科目不同.对于4年级学生，抽到数学科目的概率为 .
15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为（3,m ）、（3，m +2），若线段AB 与x 轴有交点，则m 的取值范围是_____．
16．方程x 3=8的根是______．
17．如图，以正方形ABCD 的BC 边向外作正六边形BEFGHC ，则∠ABE ＝___________度．
三、解答题
18．把顺序连结四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形。

（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（2）符合什么条件的四边形，它的中点四边形是菱形？
（3）符合什么条件的四边形，它的中点四边形是矩形？
19．（6分）如图，ABC ∆中，ACB ∠的平分线交AB 于点D ，CD 的垂直平分线分别交AC 、DC 、BC 于点E 、G 、F ，连接DE 、DF ．
（1）求证：四边形DFCE 是菱形；
（2）若60ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，2BD =，试求BF 的长．
20．（6分）先化简，再求值: 22244242x x x x x x -+-÷-+，其中x= 2
21．（6分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
232212+=+（）
，善于思考的小明进行了以下探索： 设()2a b 2m n 2+=+（其中a b m n 、、、均为整数），则有22a b 2m 2n 2mn 2+=++．
∴22a m 2n b 2mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a b 2+的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当a b m n 、、、均为正整数时，若()2
a b 3m n 3+=+，用含m 、n 的式子分别表示a b 、，得a ＝ ，b ＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a b m n 、、、，填空： ＋ ＝( ＋
3)2； （3）若()2
433a m n +=＋，且a b m n 、、、均为正整数，求a 的值． 22．（8分）已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=1．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 23．（8分）如图，在△ABC 中，E 点是AC 的中点，其中BD ＝2，DC ＝6，BC ＝210，AD ＝26，求DE 的长．
24．（10分）已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．
求证：四边形DEFG 是平行四边形．
25．（10分）感知：如图①，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上（不与点A 、C 重合），连结ED ，EB ，过点E 作EF ⊥ED ，交边BC 于点F ．易知∠EFC +∠EDC =180°，进而证出EB =EF ．
探究：如图②，点E在射线CA上（不与点A、C重合），连结ED、EB，过点E作EF⊥ED，交CB的延长线于点F．求证：EB=EF
应用：如图②，若DE=2，CD=1，则四边形EFCD的面积为
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．D
【解析】
【分析】
先根据题意列出不等式组，求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
【详解】
解：∵点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，
∴
30
10 m
m
-<
⎧
⎨
->
⎩
，
解得：1＜m＜3，
故选：D．
【点睛】
本题考查不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集等知识，解题的关键是熟练掌握不等式组的解法，属于中考常考题型．
2．D
【解析】
【分析】
由一元二次方程根的判别式△≥0，结合一元二次方程的定义，即可求出k的取值范围．
【详解】
解：由题意得：100
k -≠⎧⎨∆≥⎩， 1k ∴≠，()4410k --≥，
∴解得：21k k ≤≠且．
故选：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握根的判别式求参数的取值范围.
3．D
【解析】
【分析】
两边同时乘以3，即可得到答案.
【详解】 解：，解得：；
故选择：D.
【点睛】
本题考查了解不等式，解题的关键是掌握不等式的解法.
4．C
【解析】
【分析】
延长BC 到E 使BE ＝AD ，利用中点的性质得到CM ＝
12 DE ＝12AB ，再利用勾股定理进行计算即可解答. 【详解】
解：延长BC 到E 使BE ＝AD ，∵BC//AD，∴四边形ACED 是平行四边形，∴DE=AB，
∵BC ＝3，AD ＝1，
∴C 是BE 的中点，
∵M 是BD 的中点，
∴CM ＝12 DE ＝12
AB ， ∵AC ⊥BC ，
∴AB 22AC BC +224+3=5， ∴CM ＝
52 ，
故选：C ．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线.
5．C
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），
∴3=2m ，解得m=
32
． ∴点A 的坐标是（32，3）． ∵当3x 2
<
时，y=2x 的图象在y=ax+4的图象的下方， ∴不等式2x ＜ax+4的解集为3x 2<． 故选C ．
6．A
【解析】
分析：根据最简二次根式的概念进行判断即可．
详解：A ．是最简二次根式；
B ．被开方数含分母，故B 不是最简二次根式；
C ．被开方数含能开得尽方的因数，故C 不是最简二次根式；
D ．被开方数含有小数，故D 不是最简二次根式．
故选A ．
点睛：本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
7．B
【解析】
【详解】
设可打x 折，则有1200×
10
x -800≥800×5%， 解得x≥1．
即最多打1折．
故选B．
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．
8．D
【解析】
【分析】
四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
【详解】
添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选D．
【点睛】
考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
9．C
【解析】
【分析】
根据分式的分母不为0即可求解.
【详解】
依题意得x-1≠0，
∴
故选C.
【点睛】
此题主要考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟知分母不为零.
10．C
【解析】
【分析】先根据黄金分割的定义得出较长的线段AP=BQ=512-AB ，再根据PQ=AP+BQ-AB ，即可得出结果．
【详解】：根据黄金分割点的概念，可知AP=BQ=5151122
--⨯=, 则PQ=AP+BQ-AB=5121522
-⨯-=-
故选：C
【点睛】此题主要是考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（51- ）叫做黄金比．熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解．
二、填空题
11．-3
【解析】
分析：根据常数项为0，且二次项系数不为0列式求解即可.
详解：由题意得，
290260
m m ⎧-+=⎨-≠⎩， 解之得，
m=-3.
故答案为：-3.
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，本题的易错点是有些同学只考虑常数项为0这一条件，而忽视了二次项系数不为0这一隐含的条件.
12．x≥﹣
【解析】
试题分析：根据被开方数大于等于0，可得2x+1≥0，解得x≥﹣．
考点：二次根式有意义的条件
13．m≤1
【解析】
根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集．【详解】
不等式组
4
x
x m
>
⎧
⎨
>
⎩
的解集是x＞1，得：m≤1．
故答案为m≤1．
【点睛】
本题考查了不等式组解集，求不等式组的解集，解题的关键是注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
14．1 3
【解析】【分析】【详解】
解：共3个科目，数学科目是其中之一，故抽到数学科目的概率为1 3
15．﹣2≤m≤1
【解析】
【分析】
由点的坐标特征得出线段AB∥y轴，当直线y＝1经过点A时，得出m＝1；当直线y＝1经过点B时，得出m＝﹣2；即可得出答案．
【详解】
解：∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），
∴线段AB∥y轴，
当直线y＝1经过点A时，则m＝1，
当直线y＝1经过点B时，m+2＝1，则m＝﹣2；
∴直线y＝1与线段AB有交点，则m的取值范围为﹣2≤m≤1；
故答案为﹣2≤m≤1．
【点睛】
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
16．2
【解析】
【分析】
直接进行开立方的运算即可.
解：∵x3=8，
∴x==2.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了求一个数的立方根.
17．1
【解析】
【分析】
分别求出正方形ABCD的内角∠ABC和正六边形BEFGHC的内角∠CBE的度数，进一步即可求出答案．【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵六边形BEFGHC是正六边形，
∴∠CBE=()
62180
120
6
-⋅︒
=︒，
∴∠ABE=360°－(∠ABC+∠CBE)=360°－(90°+120°)=1°．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了正多边形的内角问题，属于基础题型，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．三、解答题
18．（1）平行四边形；理由见解析；（2）当原四边形的对角线相等时，它的中点四边形是菱形；（3）当原四边形的对角线互相垂直时，它的中点四边形是矩形.
【解析】
【分析】
（1）连接BD、由点E、H分别为边AB、AD的中点，同理知FG∥BD、FG=1
2
BD，据此可得EH=FG、EH∥FG，
即可得证；
（2）同理根据对角线相等，可知邻边相等，中点四边形是菱形；
（3）同理根据对角线互相垂直，可知有一个角是直角，中点四边形是矩形．【详解】
（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由是：
如图1，连接BD，
∵点E 、H 分别为边AB 、AD 的中点，
∴EH ∥BD 、EH=12
BD ， ∵点F 、G 分别为BC 、DC 的中点， ∴FG ∥BD 、FG=
12BD ， ∴EH=FG 、EH ∥FG ，
∴中点四边形EFGH 是平行四边形；
（2）当原四边形的对角线相等时，它的中点四边形是菱形；
证明：与（1）同理：EH=FG=12BD=12
AC=EF=HG ，得它的中点四边形是菱形； （3）当原四边形的对角线互相垂直时，它的中点四边形是矩形；
证明：与（1）同理：EH ∥FG ∥BD ，AC ∥EF ∥HG ，
∵AC ⊥BD ，
∴EH 、FG 分别与EF 、HG 垂直，
∴得它的中点四边形是矩形．
【点睛】
本题主要考查中点四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形和菱形的判定与性质．
19．（1）证明见解析；（2）13
【解析】
【分析】
（1）先根据垂直平分线的性质得：DE CE =，DF FC =，证明()CGE FCG ASA ∆≅∆得CE CF =，再由四边都相等的四边形是菱形可得结论；
（2）作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30的性质可得1BH =，由勾股定理得：3DH =由45DFB ACB ∠=∠=︒，可得DHF ∆是等腰直角三角形，从而可得3DH FH =
【详解】
（1）证明：EF 是DC 的垂直平分线，即90EGC FGC ∠=∠=︒，DG CG =，
DE EC ∴=，DF CF =，
CD 平分ACB ∠，
ECG FCG ∴∠=∠，
在CGE ∆和FCG ∆中，
ECG FCG CG CG
EGC FGC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()CGE FCG ASA ∴∆≅∆，
CE CF ∴=，
∴DE EC DF CF ===
∴四边形DFCE 是菱形；
（2）解：过D 作DH BC ⊥于H ，则90DHF DHB ∠=∠=︒，
60ABC ∠=︒，
30BDH ∴∠=︒，
112
BH BD ∴==， 在Rt DHB ∆中，22213DH -=
四边形DFCE 是菱形，
//DF AC ∴，
45DFB ACB ∴∠=∠=︒，
DHF ∴∆是等腰直角三角形，
3DH FH ∴=，
13BF BH FH ∴=+=
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质以及直角三角形30角的性质，熟练掌握菱形的判定是解（1）题的关键，构造直角三角形求线段长是解（2）题的关键． 20．1x ，22
【解析】
【分析】
将原式进行因式分解化成最简结果，将x 代入其中，计算得到结果.
【详解】
解：原式= 2(2)(2)(2)(2)2
x x x x x x --÷+-+ = (2)2(2)(2)
x x x x x -+⨯+- =
1x
因为x=
=
=. 【点睛】 考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．（1）22m 3n +，2mn ；（2）2，2，1，1（答案不唯一）；（3）a ＝7或a ＝1．
【解析】
【分析】
【详解】
(1)∵2(a m +=+， ∴
2232a m n +=++，
∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．
故答案为m 2＋3n 2，2mn ．
(2)设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝1，b ＝2mn ＝2．
故答案为1，2，1，2(答案不唯一)．
(3)由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．
∵2＝2mn ，且m 、n 为正整数，
∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，
∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝1．
22．（1）见详解；（2）4或4＋【解析】
【分析】
（1）根据关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=1的根的判别式的符号来证明结论.
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m 值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.
【详解】
解：（1）证明：∵△=（m ＋2）2－4（2m －1）=（m －2）2＋4，
∴在实数范围内，m 无论取何值，（m －2）2+4≥4＞1，即△＞1.
∴关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=1恒有两个不相等的实数根.
（2）∵此方程的一个根是1，
∴12－1×（m ＋2）＋（2m －1）=1，解得，m=2，
则方程的另一根为：m ＋2－1=2+1=3.
①当该直角三角形的两直角边是1、3，该直角三角形的周长为1＋
3=4.
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则
该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋
23【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°，求出线段AC 长，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【详解】
∵BD 2+CD 2＝22+62＝（）2＝BC 2，
∴△BDC 为直角三角形，∠BDC ＝90°，
在Rt △ADC 中，∵CD ＝6，AD ＝，
∴AC 2＝（）2+62＝60，
∴AC ＝
∵E 点为AC 的中点，
∴DE ＝12
AC 【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上中线性质等知识点，能求出△ADC 是直角三角形是解此题的关键．
24．证明见解析.
【解析】
【分析】
利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形EFGD的对边DE∥GF，且DE=GF=1
2
BC；然后由
平行四边形的判定--对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得结论．【详解】
证明：如图，连接ED、DG、GF、FE．
∵BD、CE是△ABC的两条中线，
∴点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE∥CB，DE＝1
2 CB；
又∵F、G分别是OB、OC的中点，
∴GF∥CB，GF＝1
2 CB；
∴DE∥GF，且DE＝GF，
∴四边形DEFG是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
【点睛】
考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定．平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．25．探究：证明见详解；应用：
【解析】
【分析】
探究：根据正方形的性质得到AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．求得
∠ACB=∠ACD=45°，根据全等三角形的性质得到ED=EB，∠EDC=∠EBC，求得∠EFB=∠EDC，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
应用：连接DF，求得△DEF是等腰直角三角形，根据勾股定理得到CF=，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：探究：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠ACB=∠ACD=45°，
又∵EC=EC，
∴△EDC≌△EBC（SAS），
∴ED=EB，∠EDC=∠EBC，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠EFC+∠EDC=180°
又∵∠EBC+∠EBF=180°，
∴∠EFB=∠EDC，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF；
应用：连接DF，
∵EF=DE，∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵DE=2，
∴EF＝2，DF＝，
∵∠DCB=90°，CD=1，
∴CF=，
∴四边形EFCD的面积=S△DEF+S△CDF=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．。