北师大版数学八年级下学期 第4章 因式分解 单元练习卷 含解析

第4章因式分解
一．选择题（共8小题）
1．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
2．若x3+2x2﹣mx+n可以分解为（x+2）2（x﹣2），则m，n的值分别是（）A．m＝4，n＝8 B．m＝﹣4，n＝8 C．m＝4，n＝﹣8 D．m＝﹣4，n＝﹣8 3．下列因式分解正确的是（）
A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）
B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）
C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5）
D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y）
4．已知正数a，b满足a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，则a2﹣b2＝（）A．1 B．3 C．5 D．不能确定
5．下列多项式能用公式法分解因式的有（）
①x2﹣2x﹣1；②﹣x+1；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如果：x2﹣8xy+16y2＝0，且x＝5，则（2x﹣3y）2＝（）
A．B．C．D．
8．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p ×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（2）＝②F（24）＝③F（27）＝3；④若n是一个整数的平方，则F（n）＝1．其中正确说法的有（）
A．①②B．①③C．①④D．②④
二．填空题（共8小题）
9．多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是．
10．因式分解：3mn2﹣12mn+12m＝．
11．在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝．
12．已知a＝2018x+2017，b＝2018x+2018，c＝2018x+2019，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝．
13．已知ab＝﹣3，a+b＝5，则10+a2b+ab2＝．
14．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中常数a，b，c均为整数，则a+b+c＝．
15．已知1﹣2x+y是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，则常数k的值是．
16．a+b+c＝1，a2+b2+c2＝2，a3+b3+c3＝3，a4+b4+c4＝．
三．解答题（共4小题）
17．分解因式：
（1）3a4bc﹣12a3b2c+12a2b3c；
（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2
18．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
19．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）
＝y2+8y+16 （第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
20．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一数学等式，例如由图1可任得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
请回答下列问题：
（1）写出图2表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a，b的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个长方形，使它的面积为2a2+3ab+b2，把拼出的图形画在图3右侧的方框内，并利用它将多项式2a2+3ab+b2分解因式．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣2）（x+b）利用多项式乘法法则展开即可求解．
【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，
∴b＝0.5，a＝1.5，
∴a+b＝2．
故选：A．
2．若x3+2x2﹣mx+n可以分解为（x+2）2（x﹣2），则m，n的值分别是（）A．m＝4，n＝8 B．m＝﹣4，n＝8 C．m＝4，n＝﹣8 D．m＝﹣4，n＝﹣8 【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出m与n的值．
【解答】解：∵（x+2）2（x﹣2）
＝（x2+4x+4）（x﹣2）
＝x3+2x2﹣4x﹣8
＝x3+2x2﹣mx+n，
∴m＝4，n＝﹣8．
故选：C．
3．下列因式分解正确的是（）
A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）
B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）
C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5）
D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y）
【分析】A、利用完全平方公式分解；
B、利用提取公因式a2进行因式分解；
C、利用十字相乘法进行因式分解；
D、利用提取公因式5xy进行因式分解．
【解答】解：A、4m2﹣4m+1＝（2m﹣1）2，故本选项错误；
B、a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b+1），故本选项错误；
C、（x﹣2）（x﹣5）＝x2﹣7x+10，故本选项错误；
D、10x2y﹣5xy2＝xy（10x﹣5y）＝5xy（2x﹣y），故本选项正确；
故选：D．
4．已知正数a，b满足a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，则a2﹣b2＝（）A．1 B．3 C．5 D．不能确定
【分析】首先将a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为ab（a﹣b﹣1）2+2（ab﹣2）2＝0．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到a﹣b＝1、ab＝2，进而解出a、b的值，代入a2﹣b2求得结果．
【解答】解：∵a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，
⇒ab（a2+b2）﹣2ab（a﹣b）＝7ab﹣8，
⇒ab（a2﹣2ab+b2）﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0，
⇒ab（a﹣b）2﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0，
⇒ab[（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1]+2（a2b2﹣4ab+4）＝0，
⇒ab（a﹣b﹣1）2+2（ab﹣2）2＝0，
∵a、b均为正数，
∴ab＞0，
∴a﹣b﹣1＝0，ab﹣2＝0，
即a﹣b＝1，ab＝2，
解方程，
解得a＝2、b＝1，a＝﹣1、b＝﹣2（不合题意，舍去），
∴a2﹣b2＝4﹣1＝3．
故选：B．
5．下列多项式能用公式法分解因式的有（）
①x2﹣2x﹣1；②﹣x+1；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【解答】解：①x2﹣2x﹣1，无法运用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
②﹣x+1＝（x﹣1）2，故此选项符合题意；
③﹣a2﹣b2，无法运用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
④﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故此选项符合题意；
⑤x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，），故此选项符合题意；
故选：C．
6．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc化为2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2，再应用完全平方公式，可得：2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2，然后把a、b、c的值代入，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+22]÷2
＝6÷2
＝3
故选：D．
7．如果：x2﹣8xy+16y2＝0，且x＝5，则（2x﹣3y）2＝（）
A．B．C．D．
【分析】此题应先对x2﹣8xy+16y2＝0变形得（x﹣4y）2＝0，则可求出y的值，再把x、y代入（2x﹣3y）2即可得到结果．
【解答】解：∵x2﹣8xy+16y2＝0，
∴（x﹣4y）2＝0，
x＝4y，
又x＝5，∴y＝，
∴（2x﹣3y）2＝（10﹣）2＝．
故选：B．
8．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p ×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（2）＝②F（24）＝③F（27）＝3；④若n是一个整数的平方，则F（n）＝1．其中正确说法的有（）
A．①②B．①③C．①④D．②④
【分析】把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．
【解答】解：①∵2＝1×2，
∴F（2）＝是正确的；
故①正确；
②∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，
∴F（24）＝＝，
故②是错误的；
③∵27＝1×27＝3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，
∴F（27）＝，
故③是错误的；
④∵n是一个整数的平方，
∴n能分解成两个相等的数，则F（n）＝1，故④是正确的．
∴正确的有①④．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是5a2b．
【分析】由题可知每一项都有5a2b，即可求解；
【解答】解：因为每一项都有5a2b，
所以多项式各项的公因式为5a2b；
故答案为5a2b；
10．因式分解：3mn2﹣12mn+12m＝3m（n﹣2）2．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3m（n2﹣4n+4）＝3m（n﹣2）2，
故答案为：3m（n﹣2）2
11．在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝．【分析】首先令x2﹣3x﹣2＝0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解．
【解答】解：令x2﹣3x﹣2＝0，
则a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴x＝＝，
∴x2﹣3x﹣2＝．
故答案为：．
12．已知a＝2018x+2017，b＝2018x+2018，c＝2018x+2019，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ 3 ．
【分析】将多项式多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac分解成[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，再把a，b，c代入可求．
【解答】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝×（1+4+1）＝3
故答案为：3．
13．已知ab＝﹣3，a+b＝5，则10+a2b+ab2＝﹣5 ．
【分析】直接提取公因式ab，将原式变形进而求出答案．
【解答】解：∵ab＝﹣3，a+b＝5，
∴10+a2b+ab2＝10+ab（b+a）
＝10﹣3×5
＝﹣5．
故答案为：﹣5．
14．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中常数a，b，c均为整数，则a+b+c＝﹣12 ．
【分析】首先要对原式正确因式分解，然后进行对号入座，即可得出字母的值．
【解答】解：原式＝（13x﹣17）（19x﹣31﹣11x+23）＝（13x﹣17）（8x﹣8），
∵可以分解成（ax+b）（8x+c），
∴a＝13，b＝﹣17，c＝﹣8，
∴a+b+c＝﹣12．
故答案为：﹣12．
15．已知1﹣2x+y是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，则常数k的值是﹣1 ．【分析】根据多项式结构特点整理后判断出是运用平方差公式进行的分解，即可求解．【解答】解：∵4xy﹣4x2﹣y2﹣k＝﹣k﹣（2x﹣y）2，它的一个因式1﹣2x+y＝1﹣（2x ﹣y）
∴分解时是利用平方差公式，
∴﹣k＝12＝1
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．a+b+c＝1，a2+b2+c2＝2，a3+b3+c3＝3，a4+b4+c4＝．
【分析】由a+b+c＝1可知（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）＝1，这样做的目的是利用a+b+c＝1和a2+b2+c2＝2求出
ab+ac+bc＝﹣；再同上（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3（ab+ac+bc）•（a+b+c）﹣3abc＝1 将a3+b3+c3＝3，ab+ac+bc＝﹣，a+b+c＝1代入上式得到abc＝；以上为通过（a+b+c）4求出a4+b4+c4铺设了前提条件，代入求值即可．
【解答】解：
（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）
即1＝2+2（ab+ac+bc）
∴ab+ac+bc＝﹣
（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3（ab+ac+bc）•（a+b+c）﹣3abc＝1
将a3+b3+c3＝3，ab+ac+bc＝﹣，a+b+c＝1代入上式得到：abc＝
（a+b+c）4＝a4+b4+c4+4a3b+4a3c+4b3a+4b3c+4c3a+4c3b+6a2b2+6b2c2+12a2bc+12ab2c+12abc2＝1
将a3+b3+c3＝3，ab+ac+bc＝﹣，a+b+c＝1，abc＝代入上式得到：
a4+b4+c4＝
三．解答题（共4小题）
17．分解因式：
（1）3a4bc﹣12a3b2c+12a2b3c；
（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2
【分析】（1）先提取公因式3a2bc，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
（2）利用平方差公式分解因式，然后整理即可．
【解答】解：（1）3a4bc﹣12a3b2c+12a2b3c，
＝3a2bc（a2﹣4ab+4b2），
＝3a2bc（a﹣2b）2；
（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2，
＝[4（a﹣b）+3（a+b）][4（a﹣b）﹣3（a+b）]，
＝（7a﹣b）（a﹣7b）．
18．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；
（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．
【解答】解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为：（m+2n）（2m+n）；
（2）依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10，
∴m2+n2＝29，
∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴（m+n）2＝29+20＝49，
∵m+n＞0，
∴m+n＝7，
∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n＝6（m+n）＝42cm．
19．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）
＝y2+8y+16 （第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的C．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻
底，请直接写出因式分解的最后结果（x﹣2）4．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；
（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，
原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；
故答案为：不彻底，（x﹣2）4；
（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4．
20．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一数学等式，例如由图1可任得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
请回答下列问题：
（1）写出图2表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a，
b的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个长方形，使它的面积为2a2+3ab+b2，把拼出的图形画在图3右侧的方框内，并利用它将多项式2a2+3ab+b2分解因式．
【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；
（2）将a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）根据分解结果画出图形即可．
【解答】解：（1）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2；
正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝112﹣38×2＝45；
（3）如图所示：。