专题03 概率(第02期)-2015-2016学年高一高二数学备战考试优质试题100例(必修3)(解析版)

1．若在区间[]0,2中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于3
2
的概率是（ ） A.
31 B.32 C.94 D.9
1 【答案】C 【解析】
考点：几何概型
2．为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到
的频率分布直方图如图所示.若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，并决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设线段AC的长为cm，则线段CB的长为cm,那么矩形的面积为cm2，由
,解得x<4或x>8．又0<x<12,所以该矩形面积小于32cm2的概率为=．
4．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P 到点O的距离大于1的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
5．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，有信号的区域的面积为×2=，而矩形的面积为2，
所以无信号区域的概率．
6．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】A
7．现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 ． 【答案】
310
【解析】
试题分析：从5张中取2张共有基本事件10种（用列举法），其中2张均为红心有3种，则它的概率为3
10
． 考点：古典概率模型
8．已知ABC ∆的三顶点坐标为(3,0)A ,(0,4)B ,(0,0)C ,D 点的坐标为(2,0),向ABC ∆内部投一点P ,那么点P 落在ABD ∆内的概率为( ).
A.1
3
B.1
2
C.1
4
D.1
6
【答案】A 【解析】
试题分析：由题知ABC ∆的面积为1
3462
S =⨯⨯=，ABD ∆的面积为1
62422
ABC
BCD
S S
-=-⨯⨯=，
所以点P 落在ABD ∆内的概率为21=63
. 考点：几何概型.
9．平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3cm ，把一枚半径为1cm 的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（ ） Ａ．
14 Ｂ．13 Ｃ．12 Ｄ．23
【答案】B 【解析】
试题分析：由题知硬币的中心只能在距离两平行线1cm 的位置运动，所以不相碰的概率为13
. 考点：集合概型.
10．已知点P ，Q 为圆22
:25C x y +=上的任意两点，且6PQ <，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C
内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( ) A ．
35 B ．925 C ．1625 D ．25
【答案】
B 【解析】
考点：几何概型.
11．P 为圆1C ：2
2
9x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2
2
25x y +=上任意一点，PQ 中 点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )
A ．1325
B ．35
C ．1325π
D ．35π
【答案】B
【解析】
试题分析：【解析1】设00(,)Q x y ，中点(,)M x y ，则00(2,2)P x x y y --代入229x y +=，得
20(2)x x -+20(2)9y y -=，化简得：22009
()()224
x y x y -
+-=，又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以0022x y （,）
为圆心以3
2为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=≤≤，那么在2C 内部任取一点落在M 内的概率 为
163
255
πππ-=，故选B ．
【解析2】设(3c o s
,3s i n P θθ，(5cos ,5sin )Q ϕϕ，(,)M x y ，则23c o s 5c o s x θϕ=+，①
23sin 5sin y θϕ=+，②，①2+②2得：221715
cos()22
x y θϕ+=
+-2r =，所以M 的轨迹是以原点为圆心，以(14)r r ≤≤为半径的圆环，那么在2C 内部任取一点落在M 内的概率为
163
255πππ-=，故选B ． 考点：几何概型.
12．设平面向量(,1)m m =a ，(2,)n n =b ，其中,{1,2,3}.m n ∈记“使得()m m n ⊥-a a b 成立的(,)m n ”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A ．
13 B ．19
C ．18
D ．116
【答案】B
考点：古典概型的概率问题
13．设平面向量(,1)m m =a ，(2,)n n =b ，其中,{1,2,3,4}.m n ∈记“使得()m m n ⊥-a a b 成立的(,)m n ”为事件A ，则事件A 发生的概率为（ ）
A ．12
B ．14
C ．18
D ．116
【答案】C 【解析】
试题分析：由()m m n ⊥-a a b 得2
210m m n -+-=，即2(1)n m =-.由于,{1,2,3,4}m n ∈，故事件A 包含的基本
事件为（2，1）和（3，4），共2个. 又基本事件的总数为16，故所求的概率为21()168P A ==. 故选C.
考点：1.古典概型的概率问题；2.向量的数量积. 14．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到1
2
之间的概率为 A ．
12 B ．2π
C ．13
D ．2
3 【答案】C
考点：几何概型概率
15．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到1
2
之间的概率为 A ．
12 B ．2π
C ．13
D ．2
3 【答案】C 【解析】
试题分析：本题是求几何概型概率，测度为长度.由1cos
[0,]22x
π∈得：[,][,],22332x πππππ
∈--即
22[1,][,1],
33x ∈--所以所求概率为1
213.2
3⨯
= 考点：几何概型概率
16．如图，设抛物线2
1y x =-+的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ， 则点P 落在∆AOB 内的概率是( )
(A)56 (B)45 (C)34 (D)23
【答案】C
考点：1、定积分；2、几何概型.
17．已知,x y R ∈且4
300x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
,则存在R θ∈,
使得(4)cos sin 0x y θθ-+=的概率为（ ）
A.
4π B.8π C.24π- D.18
π-
【答案】D 【解析】
试题分析：可行域是一个三角形,面积为2;
又直线系(4)cos sin 0x y θθ-+=与圆2
2
(4)2x y -+=相切,
4π的扇形,面积为4
π
,从而被直线系
扫到部分的面积为24
π
-
,故所求概率为18
π-
. 考点：1、不等式组表示的平面区域；2、几何概型.
18．同时投掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是（ ） A.
181 B.121 C.91 D.6
1 【答案】C
考点：古典概型的概率.
19．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是（ ） A.
16 B.13 C.12 D.38
【答案】C 【解析】
试题分析：能组成的两位数有12、13、20、30、21、31，共6个，其中的奇数有13、21、31，共3个，因此所组成的两位数为奇数的概率是31
62
=，故选C. 考点：古典概型
20．一个口袋中装有形状和大小完全相同的3个红球和2个白球，甲从这个口袋中任意摸取2个球， 则甲摸得的2个球恰好都是红球的概率是（ ） A ．
103 B ．52 C ．53 D ． 3
2 【答案】A 【解析】
试题分析： 设3个红球为A ，B ，C ，2个白球为X ，Y ，则取出2个的情况共有10种，其中符合要求的有3种，所求的概率为
10
3
，故选A 考点：古典概型概率。

21．在A ，B 两个袋中都有6张分别写有数字0，1，2，3，4， 5的卡片，现 从每个袋中任取一张卡片，则两张卡片上数字之和为7的概率为
A ．
19 B ．118
C ．16
D ．13 【答案】A 【解析】
试题分析：和为7的情况有：2+5=7,3+4=7,4+3=7,5+2=7,总共有36种情况，∴概率是1
9
. 考点：古典概型.
22．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（ ）
A.
12 B.13 C.14【答案】A
考点：古典概型概率。

23．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间［10,40）的频率为（ ） （A ）0.35 （B ）0.45 （C ）0.55 （D ）0.65 【答案】B 【解析】
试题分析：样本数据落在区间［10,40）的频数2349++=，则样本数据落在区间［10,40）的频率为
9
0.4520
=。

故B 正确。

考点：频率公式。

24．同时抛两枚硬币，则一枚朝上一枚朝下的事件发生的概率是（ ） A.1／2 B. 1／3 C.1／4 D.2／3
【答案】A
考点：相互独立同时发生事件概率。

25．已知三点()()()312,1,1,2,,,,0255A B C P a b OP OA ⎛⎫--≤⋅≤ ⎪⎝⎭
动点满足，且02OP OB ≤⋅≤，则动
点P 到点C 的距离小于1
5
的概率为( ) A.20π B. 120π- C. 1920
π D. 19120π- 【答案】A 【解析】
试题分析：动点(,)P a b 满足的不等式组为022,022,
a b a b ≤+≤⎧⎨
≤-≤⎩画出可行域可知P 在以31,55C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭为中心且边
长为
5的正方形及内部运动，而点P 到点C 的距离小于15的区域是以31,55C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为圆心且半径为15的
圆的内部，所以概率2
1
π()π20p =
=.故选A 考点： 几何概型
26．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A （0，0），B （2，0），C （1，1），D （0，2）， E （2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（ ） A ．
52 B ． 53 C ．5
4
D ．1 【答案】C 【解析】
试题分析：从5个点中取3个点，列举得ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE 共有10个基本事件，而其中ACE, BCD 两种情况三点共线，其余8个均符合题意，故能构成三角形的概率为5
4
108=.选C. 考点：古典概型.
27．如图，设D 是图中边长为2的正方形区域.，E 是函数3y x =的图像与x 轴及1x =±围成的阴影区域，项D 中随机投一点,则该点落入E 中的概率为( )
A.
1
16
B.18
C.14
D.12
【答案】B
考点：几何概型 定积分
28．若不等式组
表示的区域为Ω，不等式（x ﹣）2+y 2≤的区域为Γ中任取一点P ，则点P
落在区域Ω中的概率为 ． 【答案】
【解析】
试题分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论． 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
A （﹣2，﹣1），
B （2，﹣1），A （0，1），则△AB
C 的面积S=，
不等式（x ﹣）2+y 2≤
的区域表示为圆心D （，0）半径r=
，则对应的面积
S=
=
，
则点P落在区域Ω中的概率为=，
故答案为：
点评：本题主要考查几何概型的概率的计算．利用数形结合求出对应的面积是解决本题的关键．
29．一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为．
【答案】1 3
考点：古典概型概率
30．袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为．
【答案】1 5
【解析】
试题分析：从5个球中一次取出2个球的基本事件共有10个（枚举或2
5
C），符合要求的有2个(两个红球
或两个篮球)，所以概率为1 5．
考点：概率基础知识．
31．随机地向区域内投点,点落在区域的每一个位置是等可能的,则坐标原点与该点直线的倾斜角小于的概率为．
【答案】
【解析】如图所示,所求的概率为．
32．在区间[-3，3]上随机取一个数x，使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为．
【答案】
33．有四条线段长度分别为错误！未找到引用源。

，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成三角形的概率为 .
【答案】1 4
【解析】
试题分析：从四条线段长度分别为错误！未找到引用源。

，从这四条线段中任取三条有如下四个基本事件：
{}{}{}{}1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4 ,由于是任取的，每个事件发生的可能性是相等的，
记事件A=“所取的三条线段能构成三角形”，则事件A 包含一个基本事件{}2,3,4， 所以()14P A =
，所以答案填1
4
. 考点：古典概型.
34．投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a ,又()n A 表示集合的元素个数,{}
2||3|1,A x x ax x R =++=∈,则()4n A =的概率为 【答案】
3
1
考点：1.古典概型；2.方程的解（函数的交点）；3.集合.
35．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 【答案】
10
7
【解析】
试题分析：在区间[]6,1和[]4,1内任取一个实数，依次记为
m 和n ,则()n m ,表示的图形面积为
()()151-61-4=⨯，其中满足n m >,即在直线n m =右侧的点表示的图形. 面积为121(25)32
2
⨯+⨯=，故
m n >的概率为21
7
21510
P ==.
考点：古典概型的应用
36．有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是 ． 【答案】
310
【解析】
试题分析：由题意，从中任取两张卡片的总方法数为2
510C =，颜色不同，标号和小于4的有：蓝1、红1，
蓝1、红2，蓝2、红1共3种，因此其概率为310
． 考点：古典概型．
37．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为42
53
、，在操作考试中“合格”的概率依次为1526
、，所有考试是否合格，相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率 ． 【答案】
2345
考点：相互独立事件有一个发生的概率．
38．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数， 则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示)
11121321222331
3233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭ 【答案】
14
13
【解析】
试题分析：首先从9个数中任取3个数共有3
984C =种，至少有2个数同行或同列的取法有2
362678C ⨯⨯+=种，所求概率为
7813
8414
=. 考点：古典概型.
39．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数， 则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示)
11121321222331
3233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭ 【答案】
14
13
【解析】
试题分析：首先从9个数中任取3个数共有3
984C =种，至少有2个数同行或同列的取法有2
362678
C ⨯⨯+=种，所求概率为7813
8414
=. 考点：古典概型.
40．在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是65
81
，则事件A 在一次试验中出现的概率是________． 【答案】
13
【解析】设A 发生概率为P ，1－(1－P)4
＝
6581
，P ＝13.
41．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是________． 【答案】
4
9
42．现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________． 【答案】
2063
【解析】m 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7共7个，n 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个，所以总共有7×9＝63种可能，符合题意的m 可以取1，3，5，7共4个，符合题意的n 可以取1，
3，5，7，9共5个，所以总共有4×5＝20种可能符合题意，所以符合题意的概率为
2063
. 43．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________． 【答案】
19 【解析】两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为
545＝19
. 44．某班级有男生12人、女生10人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委，则至少两名男生当选的概率为________． 【答案】
103
133
45．从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是 ． 【答案】
1556
【解析】
试题分析：8人中选3任选人的情况有3
856C =种，所选3人中恰有两位女志愿者的情况有15种.所以所选
3人中恰有两位女志愿者的概率是15
56
P =. 考点：1.概率问题.2.组合问题.
46．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为 ．
【答案】
16
考点：几何概型.
47．曲线2
y x =与12
y x =围成的区域为A ，已知{(,)|||1,||1}x y x y Ω=≤≤，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 内的概率为 . 【答案】
112
【解析】
试题分析：区域A 面积为31
2
3201211
)()033
3x dx x x =-=⎰，而{(,)|||1,||1}x y x y Ω=≤≤表示的区域
是一个边长为2的正方形，故所求概率为11
4312
P =÷=. 考点：几何概型.
48．已知圆22
:12,C x y +=直线:4325.l x y +=圆C 上的点A 到直线l 的距离小于2的概率为________. 【答案】1
6
【解析】
试题分析：圆心(0,0)到直线l 的距离为
5d =
=，那么与直线l 距离为2且与圆相交的直线m 的
方程为4315x y +=，设m 与圆相交于点,A B ，则AB OA ===，因此3
AOB π
∠=
，
所求概率为1326
r
r π
π=.
考点：几何概型.
49．设一直角三角形的两条直角边长均是区间)1,0(上的任意实数，则斜边长小于4
3
的概率为 ． 【答案】
964
π
考点：几何概型 勾股定理 50．已知函数f(x)=cos(
3
a π
x),a 为抛掷一颗骰子得到的点数，则函数f （x ）在[0,4]上零点的个数小于5或大于6的概率为 . 【答案】
6
5 【解析】解：y=f （x ）在[0，4]上有5个或6个零点，等价于函数f （x ）的周期等于2，
即
223
a π
π=，解得a=3；而所有的a 值共计6个，故y=f （x ）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率是 1－16=6
5.
考点：1.列举法计算基本事件数及事件发生的概率；2.函数零点的判定定理．
51．在长为6cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于2
8cm 的概率为 . 【答案】
13
. 【解析】
试题分析：设AC x cm =，则()6CB x cm =-，且06x <<，则()6ABCD S AB CB x x =⋅=-
268x x =-+>，即2680x x -+<，解得24x <<，由于06x <<，取交集得()2,4x ∈，由几何概型的
概率计算公式可知事件“矩形面积大于28cm ”的概率421
63
P -==. 考点：几何概型
52．在长为6cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形
面积小于2
8cm 的概率为 .
【答案】
2
3
.
考点：几何概型
53．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率________． 【答案】
25
【解析】由古典概型的概率公式得
P ＝1－222322
223322
5
5
2A A A A A A A +＝25. 54．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2
≈13.097，则认为两个变量间有关系的犯错概率不超过________． 【答案】0.001
【解析】χ2
≈13.097＞10.828，即在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为两变量有关．
55．为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
(1)已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x，y满足≥175且y≥75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列及其均值(即数学期望)．
【答案】（1）35件（2）14(件)优等品（3）X的分布列为
4
5
所以X的分布列为
故X的均值为E(X)＝0×
3
10
＋1×
5
＋2×
10
＝
5
.
56．如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件
“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；
(2)P(B|A)＝________. 【答案】(1)
2
π
(2)
14
【解析】(1)是几何概型：P(A)＝
S S 正圆＝2π
； (2)是条件概率：P(B|A)＝()()
P AB P A ＝1
4.
57．在一次考试中，某班语文、数学、外语平均分在80分以上的概率分别为25、15、2
5
，则该班的三科平均分都在80分以上的概率是________． 【答案】
4125
58．在长为12cm 的线段MN 上任取一点A ，并以线段AM 、AN 为邻边作矩形，则这个矩形的面积介于11与27之间的概率是 . 【答案】
13
【解析】
试题分析：设AM x =，则11(12)27
x x ≤-≤，解得13x ≤≤或911x ≤≤，由几何概型公式可得(31)(119)1
123
p -+-=
=.
考点：几何概型.
59．某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球(袋中仅有白色和黄色两种颜色的球)，若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是7
2
，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是．
【答案】
1021
【解析】
试题分析：由题意，袋中白色球有2个，黄色球有5个，随机摸两个的方法数有2
721C =，而摸到的一个是
白色球，一个是黄色球的方法数为2510⨯=，所求概率为10
21
． 考点：古典概型．
60．某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是_________． 【答案】
710
考点：古典概型概率。

61．某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ． 【答案】18
【解析】
试题分析：这是一古典概率模型，基本事件有8864⨯=种，具体事件中含有基本事件的个数为1
88C =，则
概率为：81
()648
P A =
=． 考点：古典概率的运算
62．从0,1,2,,9⋅⋅⋅这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2
f x ax bx c =++的系数，则使得
()
12
f ∈Z 的概率为 ． 【答案】
4190
考点：古典概型．
63．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于l的概率．
【答案】（1）27人（2）4 7
【解析】
试题分析：（1）根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系．
（2）根据频率分步直方图做出要用的各段的人数，设出各段上的元素，用列举法写出所有的事件和满足条件的事件，根据概率公式做出概率．
解：（1）由频率分布直方图知，成绩在[14，16）内的
人数为50×0.16+50×0.38=27（人）
∴该班成绩良好的人数为27人．
点评：本题是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的精髓．
64．甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由.
【答案】（1）5
()36
P A =
;（2）这种游戏规则是公平的.
考点：古典概型概率的计算.
65．盒子内有大小相同的9个球,其中2个红色小球,3个白色小球,4个黑色小球,规定取出1红色小球得到1分, 取出1白色小球得到0分, 取出1个黑色小球得到-1分,现从盒子中任取3个小球。

（1）求取出的3个球颜色互不相同的概率; （2）求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率;
（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数,求ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1） 27 （2） 542
（3）详见解析 【解析】
试题分析： （1）从9个球中取出3个球的所有可能情况有39987
84123
C ⨯⨯=
=⨯⨯种 . （1）从9个球中取出
3个球颜色互不相同的所有可能情况有111
23423424C C C =⨯⨯=,根据古典概型的概率公式可求其概率.
（2） 取出的3个球得分之和恰好为1分的情况有:1个红球2个白球;2个红球1个黑球.对应的种数有
12212324C C C C +.根据古典概型的概率公式可求其概率. （3） ξ的可能取值有0,1,2,3.白色求共3个,非白
色球共6个.则取出的白色球的个数(),0,1,2,3k k ξ==,则取出的3个球中含k 个白色球对应的所有情况种
数有336k k
C C -,根据古典概型的概率公式可求()P k ξ=.
考点：1古典概型概率;2分布列,期望. 66．已知函数4
()f x ax x
=+
． （1）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率；
（2）若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率． 【答案】（1）1()16P A =；（2）121
()363
P B =
=． 【解析】
试题分析：（1）根据函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点，
得知2
240ax x -+=有两个不同的正根1x 和2x ，
由不等式组12120
20
40
4160a x x a
x x a
a ≠⎧⎪
⎪+=>⎪⎨
⎪=>⎪⎪∆=->⎩
104a ⇒<< ，利用几何概型得解． （2
）应用基本不等式得到()f x ≥
由于()2b x f >在()0,x ∈+∞恒成立，得到2
b >；
讨论当1a =，2,3,4,5a =，6a =的情况，
得到满足条件的基本事件个数，而基本事件总数为6636⨯=， 故应用古典概型概率的计算公式即得解．
考点：古典概型，几何概型，一元二次方程根的分别，基本不等式的应用，不等式恒成立问题．
67．为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：
某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了M 辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R （单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：
（1）求x ，y ，z ，M 的值；
（2）若从这M 辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150公里的概率； （3）若以频率作为概率，设X 为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求X 的分布列和数学期望EX ．
【答案】（1）10M =
，50.510x ==，10253y =--=，
30.310z ==.（2）()282102845
C P A C ==；（3）
所以X 的分布列为
3.50.250.560.35EX =⨯+⨯+⨯=.
考点：1.频率与频数的应用；2.古典概型的应用；3.分布列及期望.
68．甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78
乙 78 82 88 82 95
（1）用茎叶图表示这两组数据；．
（2）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（3）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率.
【答案】（1）茎叶图见解析；（2）乙；（3）7 25
．
【解析】
试题分析：（1）茎叶图是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。

在制作茎叶图时，重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”部分，同一数据出现几次，就要在图中体现几次；（2）可计算出两人的平均成绩，方差（以说明他的稳定性），
最高成绩等数据，然后比较得出结论；（3）甲乙两人各5个数据，因此各抽取一个，可以用列举法列出所
有情形，共25个，然后在其中观察计数甲比乙大的组合，有7个，那么所求概率为7 25
．
考点：（1）茎叶图；（2）样本数据的特征；（3）古典概型．
69．甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78
乙 78 82 88 82 95
（1）用茎叶图表示这两组数据；．
（2）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（3）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于80分的次数为X，
求X的分布列和数学期望EX..
【答案】（1）茎叶图见解析；（2）乙；（3）．【解析】
（3）记甲“高于80分”为事件A，∴
2 ()
5 P A=
∴X B
2
(3,)
5
，3
3
22
()()(1)
55
k k k
P x k C-
==- 8分
X的可能取值为0,1,2,3.
分布列为：
5
EX= 13分
考点：（1）茎叶图；（2）样本数据的特征；（3）随机变量的概率分布列与数学期望．
70．已知关于错误！未找到引用源。

的一元二次函数错误！未找到引用源。

，设集合错误！未找到引用源。

，分别从集合P和Q中随机取一个数作为错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

（1）求函数错误！未找到引用源。

有零点的概率；
（2）求函数错误！未找到引用源。

在区间错误！未找到引用源。

上是增函数的概率。

【答案】（1）2
5
（2）
13
15
【解析】
考点：1、古典概型；2、一元二次函数与一元二次方程.
71．空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染越严重：。