高等数学作业答案

第一章 初等函数及其图形
练习1.1 初等函数及其图形
一. 确定下列各函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数: 1.x
x
a
a x f -+=)( (0>a )；
解: ()()x f a
a x f x
x =+=-- ()x x a a x f -+=∴为偶函数.
2.x
x
x f +-=11ln
)(； 解: ()()x f x x x x x f -=+--=-+=-11ln 11ln , ()x
x
x f +-=∴11ln
为奇函数. 3. )1ln()(2
x x x f ++= 解: ()(
)()
()x f x x x
x x
x x f -=++-=++=++-=-22
2
1ln 11ln
1ln ,
()()
21ln x x x f ++=∴为奇函数.
二. 设x x f 2cos 3)(sin -=,求)(cos x f 。

解: ()x x x f 2
sin 222cos 3sin +=-= , ()x x f 2
cos 22cos +=∴
三.设x x g x x f sin )(,arccos )(==,试求复合函数))(()),((x f g x g f 的定义域和值域。

解: ()()()x x g f sin arccos =, ()∞+∞-=.D , []π,0=R
()()()x x f g arccos sin =, []1,1-=D , []1,0=R .
四.设⎩⎨
⎧>≤--=0
0,1)(x x
x x x f ,⎩
⎨
⎧>-≤=0,0,
)(2
x x x x x g 求复合函数))(()),((x f g x g f 。

解: ()()⎩⎨⎧>-≤--=0,10,12x x x x x g f , ()()()⎪⎩
⎪⎨⎧>--<+-≤≤---=0
,1,10
1,122
x x x x x x x f g
第二章 极限与连续
2.1 数列极限
一. 填空: 1.设11
+-=
n n x n ,对于任意的正数ε,当n 大于正整数=N [12-ε
]时, ε<-|1|n x ,所以
1lim =∞
→n n x ；当n 大于正整数=N 19.999时, 410|1|-<-n x 。

2. 设n a n x n 2
2+=
, 对于任意的正数ε, 当n 大于正整数=N [ε
2||a ]时, ε<-|1|n x ,所以1lim =∞
→n n x 。

3. 对于任意的正整数ε, 存在正整数=N [
ε
1
], 当N n >时, επ
<-|02cos
|n
n , 所以02cos
lim
=∞
→n
n n π。

二. 用定义证明01
lim
2
=∞→n n 。

证. 0>∀ε, 要使
ε<-012n , 即ε<2
1n
, 只要ε12
>n , 即ε1>n . 取正整数⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=ε1N ,则当N n >时, 就有ε<-012n , 即01
lim 2=∞→n n
. 三. 对于数列n x , 若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ), 证明: a x n → (∞→n )。

证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又
因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取
{}12,2max 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ).
2.2 函数极限
一. 填空
1. 极限∞=+→)(lim 0
x f x x 的定义是: 对于任意的0>M ,存在0>δ,当δ<-<00x x 时,就
有()M x f >。

2. 极限-∞=∞
→)(lim x f x 的定义是: 对于任意的0>M , 存在0>X , 当X x >时,就有
()M x f -<。

3. 极限A x f x x =+→)(lim 0
的定义是:对于任意ε>0, 存在0>δ, 当δ<-<x x 00时, 就有
()ε<-A x f 。

4.对于任意的正数
ε,存在正数δ=
5
ε
,当δ<-<|2|0x 时ε<-+1225x ,因此12)25(lim 2
=+→x x 。

二. 求x
x x f |
|)(=
在0=x 处的左、右极限, 并说明()x f 在0=x 处的极限是否存在。

解: 1lim lim 0
==+
+
→→x x x
x x x , 1lim lim 00-=-=--→→x x
x x x x , 由于x
x x x x x -+→→≠00lim lim , 所以
()x f 在0=x 处的极限不存在.
三. 用定义证明: 4lim 2
2
=→x x 。

证: 不妨设12<-x , 即31<<x , 从而252242
-<+⋅-=-x x x x , 0>∀ε, 要使ε<-<-2542
x x , 只要5
2ε
<
-x . 于是取⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=5,1m i n εδ, 则当
δ<-<20x 时, 就有ε<-42x , 因此4lim 22
=→x x .
四. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等。

证: 必要性. 若()A x f x x =→0
lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有
()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0
lim ; 同
时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0
lim .
充分性. 若()A x f x x =+→0
lim ,()A x f x x =-→0
lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就
有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取
{}21,min δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0
lim .
2.3 无穷大与无穷小
一. 求下列量的等价无穷小量(0→x ): 1. )1ln(x +；
解. ()()x x
x x +∴=+→1ln ,11ln lim
0 的等价无穷小量为()0→x x 2. 1-x
e ；
解. 1,11lim 0-∴=-→x x x e x
e 的等价无穷小量为()0→x x .
3. 11-+n x
解. 11,1111lim
-+∴=-+→n n
x x x n
x 的等价无穷小量为()01
→x x n
二. 求下列量的等价无穷大量: 1.
)(+∞→++x x x x ；
解. x x x x
x
x x x ++∴=+++∞
→,1lim 的等价无穷大量为)(+∞→x x
2.
)1(3
21
2
→-++x x x x 。

解. ()
3
21,1121321lim 221-++∴=--++→x x x x x x x x 的等价无穷大量为())1(121→-x x . 三. 当0→x 时，下面等式成立吗？ 1.)()(3
2
x o x o x =⋅；
解. ()()()00223
2→→=⋅x x x o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x 2.)()
(2x o x
x o =； 解. ()()()0)(,00)()(22
22→=∴→→=x x o x x o x x
x o x
x
x o 3. )()(2
x o x o =。

解. ()2x
x o
不一定趋于零, )()(2
x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2.3 极限的运算法则
一. 判断题(正确的结论打“√”，错误的结论打“×”):
1. 若)(lim 0
x f x x →存在，)(lim 0
x g x x →不存在，则)]()([lim 0
x g x f x x +→不存在。

(√)
反证. 若)]()([lim 0
x g x f x x +→存在, 则)(lim 0
x g x x →()])()([lim 0
x f x g x f x x -+=→存在, 矛盾.
2. 若)(lim 0
x f x x →，)(lim 0
x g x x →均不存在，则)()(lim 0
x g x f x x →不存在。

(× )
例如: ()⎩⎨
⎧<->=0,10,1x x x f ,()⎩⎨⎧<>-=0
,10
,1x x x g , )(lim 0
x f x →，)(lim 0x g x →均不存在, 但
()11lim )()(lim 0
-=-=→→x x x g x f
3.A
x f x =+∞
→)(lim , 则
A
n f n =+∞
→)(lim 。

(√)
4. 若()()x g x f >, 又)(lim 0
x f x x →与)(lim 0
x g x x →均存在，则)(lim 0
x f x x →>)(lim 0
x g x x →。

(×)
例如. 0>x 时, x
x 1
2>, 但01lim 2lim ==∞→∞→x x x x
5. 0
)(lim 0|)(|lim =⇔=→→x f x f a
x a
x 。

(√)
二. 填空:
1. 已知∞=---→)
1)((lim
0x a x b
e x x ，则=a _____, =b _____。

∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a
b
e x a x x x , 1,0≠=∴b a 2. 已知22
lim 2
22=--++→x x b
ax x x ，则=a _____, =b _____。

由所给极限存在知, 024=++b a , 得4
2--=a b , 又由
23
412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 三. 计算题:
1. 4
586lim 224+-+-→x x x x x ；
解: ()()()().3
212lim 4124lim 458
6lim 442
24=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x
2.)(lim 22x x x x x --++∞
→；
解
:
111112lim
2lim
)(lim 2
2
22=⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡-++=-++=--++∞
→+∞
→+∞
→x x x x
x
x x x x x x x x x x x
3
11
lim
3
1
--→x x x ； 解. ()()
()()
3
21
11
1lim
1
1lim
332
1
3
1
=
++-+-=--→→x x x x x x x x x 4. )2
221(
lim n
n n n -++⋯++∞
→；
解. ()()2
1
42lim )221(lim )2221(
lim -=+-=-++=-++⋯++∞→∞→∞
→n n n n n n n n n n n n n
5. ∑=∞→+⋯++N
n N n 1
211
lim。

解. ()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++1112122
11211n n n n n n n
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n N
n 21112lim 211lim
1=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N n
N N
n N
2.4 两个重要极限
一. 求下列极限: 1. 302sin sin 2lim
x
x
x x -→； 解. 原式=1242sin 2sin 2lim cos 1sin 2lim
2
202
0=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅
=-⋅→→x x
x x x x x x x x 2. nx
mx
x sin sin lim
π
→(n m ,为整数)；
解. 原式
()()()()()()
n
m nt
nt mt
mt nt mt nt n mt m n
m n m t n m
t t t
x --→→→+=-=-=--=++=1sin sin 1lim sin 1sin 1lim
sin sin lim
00
πππ令 3. x
x n x )
arccos cos(lim
0→(n 为奇数)；
解. 原式
()()n s ns s ns n t
nt n k s k n s s
t t t
x 21101202
2
arccos 1sin sin 1lim 2cos 2cos lim cos cos lim
--→+=→+=→
=-=--=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛+=
=令令令πππ
π
4. ]cos 1[cos lim n n n -++∞
→；
解. 原式 =2
1sin 21sin
2lim n
n n n n -+++-+∞
→
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞
→n n n n n n n
n n
n n
n n 1110212
121sin
2
1sin
2lim
二. 求下列极限:
1. 2
)1
1(lim 2
2x x x x +-→∞； 解. 原式=21221222
2
121lim -+--+∞→=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-e x x x x x 2. x x x tan 2
)(sin lim π
→；
解. 原式=()()t
t
t
t t t
x x x
x x x t x cos sin 2sin 21cos 1
02sin cos 1
sin 1
sin 1
22
1cos 1lim 1sin 1lim ---→+=--→⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+ππ令
()11cos 1lim 02
cos cos 2sin 1
cos 10==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
-+=⋅
-→e t t t t t t
2.6 函数的连续性
一. 研究下列函数的连续性，并指出间断点类型: 1. ()x x f sgn =；
解. ()⎪⎩
⎪
⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x x f , 0=∴x 为唯一的第一类(跳跃)间断点.
2. ()[]x x x g -=；
解. n x =，Z n ∈ (整数集)， 0≠n ，为第一类 (跳跃) 间断点；
3. ()=x f )111()111(
x x x x --+-； 解. ()=x f ()1,01
1
)111()111(±≠≠+-=
--+-x x x x x x x x , 1,0±==∴x x 为其间断点, 0,1==x x 为第一类可去间断点; 1-=x 为第二类间断点.
4.x
y 1cos 2=。

解. 0=x 为第二类本性间断点.
二. 适当选取a , 使函数⎩⎨
⎧≥+<=0
0,
)(x x
a x e x f x 连续。

解. ()()10000
==-==e f a f , ∴当1=a 时, ()x f 即为连续函数. 三. 证明方程)0(03
>=++p q px x 有且只有一个实根。

证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使
得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得. 四. 求下列极限:
1. x
x x x
x
+-→++111)21(
lim ；
解. 132)21(
lim 2
0111
=⎪⎭
⎫
⎝⎛=+++-→x
x x x
x
2. x
x x 1cos
)
(arctan lim +∞
→；
解. 22)
(arctan lim 1
1cos
π
π=⎪⎭
⎫
⎝⎛=+∞
→x
x x
3. 2
1
)(cos lim x x x →。

解. 2
14
14
2sin 21
cos 1
1
2
2
2
)1cos 1(lim )
(cos lim -
⋅--→→=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=e
x x x x x x x x
第三章 导数与微分
3.1
导数的概念
一．选择题
1． 下列命题正确的是（ D ） (A) 初等函数在其定义区间内可导； (B) ))(()('='a f a f ，其中a 为常数；
(C) 若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处有切线，则)(0x f '存在； (D) 可导的偶函数的导数是奇函数 2． 下列命题不正确的是（ B ）
(A) 若)(x f 在0x 处不连续，则)(x f 在0x 处必不可导；
(B) 若)(x f 在0x 处的左导)(0x f -'与右导)(0x f +'均存在，则)(0x f '存在； (C) 若)(x f 在0x 处可导，则()x f 在0x 处必连续但不一定可导； (D) 若)(0x f '存在，则极限)(2
1
)]()21([lim 000x f x f m x f m m '=-+
∞
→ 二．填空题 1． 设5
32
2x x x y ⋅=
，则=dx dy 6
5
6
1-x
2． 设2
)(x x f =，则=')]([x f f 2
4x ，=')]([x f f 2
2x 。

3． 设某物体的运动规律为2
2
110gt t s -
=，则该物体在1=t 秒到t t ∆+=1秒的时间段内的平均速度=v t g ∆-
-2
1
10，及1=t 秒时瞬时速度=)1(v g -10。

三．设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值
1．h
h x f h x f h )
3()2(lim
000
--+→；
解. 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡⋅---+⋅-+=→
2．0
00)
()(lim
x x x xf x f x x x --→
解. 原式()[]()()
()()0000
0000)(lim
x f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→
四．设⎩⎨⎧=2sin )(x
x x f 00≥<x x ，求)(),6(x f f ''π
解. 当0<x 时, ()()x x x f cos sin ='
=', 当0>x 时, ()()x x
x f 22
='=',
当0=x 时, ()()00
lim 0,10sin lim 0200=-='=-='+-→+→-x x f x x f x x , 显然()()00+-'≠'f f ,
()0f '∴不存在. 则得()⎩⎨
⎧><='0
,20,cos x x x x x f , 3266πππ==⎪⎭⎫
⎝⎛'=x x f 五．设抛物线2
ax y =与x y ln =相切，试求 1．a 值及切点坐标
2．过该点的切线方程和法线方程
解. 1. 由题意知()()⎪⎩⎪⎨⎧='
='x ax x ax ln ln 22, 即⎪⎩⎪⎨⎧==x
ax x ax ln 122, 求得e a e x 21,==及21=y , 故得e a 21=
, 切点⎪⎭⎫ ⎝
⎛
21,e .
2. 斜率()
e
x k e
x 1ln =
'
==, 所求切线方程为()
e x e
y -=-
1
21，即 0211=-
-y x e
；法线方程为()
e x e y --=-21，即02
1
=--+e y x e 。

3.2 求导法则
一. 填空题 1．设x
k e
x f tan )(=，则=')(x f x x ke
k x
k 21tan sec tan -，若e f =')4(π
，则=k 2
1
2．设tx
x x
t t t f 22)11)((lim )(-∞
→+
+=，则=)(t f ()t e t t 22-+，=')(t f ()t e t 2221-- 3．设)1arccos()(,012x x f x -=<<-，则=
')(x f 2
22x
--
4． 设t
t t f +-=
11)(，则=')4(f 18
1
-
二．计算下列各函数的导数 1．)](cot sin[cos 2
2
x y =
解：(
)(
)(
)(
)()(
)
x x x x x y 2
2
2
2
2
csc cot 2cot sin cot cos 2cot cos cos -⋅-⋅='
()()()x x x x 2222cot cos cos cot 2sin csc cot 2=
2．)1ln(2x
x
e e y ++=
解. x
x
x x x x
x e e e e e e e y 22221111+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
++=
' 3．b
a
x
a
x x
b a
b
y )()()(= （0,0>>b a ）
解. a x
b b
x a b a x x
b a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪
⎭
⎫
⎝⎛+='-- ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 4．a x a x a x y arcsin 2222
2+-= (0>a ) 解. 222
2
22222
21
112221x a a
a
x a x
a x x a y -=⋅
-+---=
' 三．设)(x f 可导，)(cos )(sin 2
2
x f x f y +=，求dx
dy 解.
()()()()''+''=x x f x x f dx
dy
2222cos cos sin sin
()()()()()
[]
x f x f x x x x f x x x f 2
2
22cos sin 2sin sin cos 2cos cos sin 2sin '-'=-⋅'+⋅'=
四. 设)112(
,cos )(2+-=='x x f y x x f 求
dx
dy
解. 令112+-=x x u , 于是()u f y =, dx
du
du dy dx dy ⋅
=. ()22112cos cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=='=x x u u f du dy ,()
2
13112+='
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x dx du , 则得 ()2
2112cos 13⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=x x x dx dy
3.3高阶导数
一. 填空题 1. 设(
)x x
y arctan 12
+=, 则=''y 2
22arctan 1x
x x +
+ 2. 设()2
1ln x
x y ++=, 则=
''
y 3. 设()()()n x x x x y -⋅⋅--= 21, 则()
=+1n y (1)!n +
4. 已知()x f 具有任意阶导数, 且()()x f
x f 2
=', 则当2>n (n 为正整数)时,
()
()=x f
n 1!()n n f x +
二. 计算下列各函数的n 阶导数. 1. 6
51
2
-+=
x x y ; 解 ⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=
611171x x y ，
()
()
()
()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴++1161
117!1611171n n n n n n x x n x x y
2. x e y x
cos =;
解 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=
-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x
()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⋅+=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=''42cos 24sin 4cos 22
πππx e
x x e y x
x
由此推得 ()
()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⋅+=
4cos 2πn x e
y
x
n
n
三.设()x f 三阶可导, 且()()()
2
2
x f x f y +=, 求y y ''''',
解 ()()()x f x f x
f x y '+'='222
()
()
()()()()x f x f x f x f x x f y ''+'+''+'=''∴22422
222
()()()
()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f x y '''+'''+'''+'''+''+''='''2248842322 ()()
()()()()x f x f x f x f x f x x f x '''+'''+'''+''=26812232
3.4微分与微分技术
一. 填空题
1．设()f x 在0x 处可导，且0()0f x '≠，则0lim
x y dy
x
∆→∆-=∆ 0 。

2．设()f x 在0x 处可导，且0()2f x '=，则当0x ∆→时，该函数在0x 处微分dy 是与x ∆的同阶 无穷小。

3．dx x d x 5 C 5ln 5
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+；()
dx x x x d 221 C 1ln +=++ 4
．d =()
dx e e x x e x x x x x
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-14cot 2
111sin 21 二．设下列各方程确定函数()y y x =, 求22d y
dx
1．1y
y xe =+
解 由y xe e y y
y
'+='，得y e xe
e y y
y
y -=-='21， ()()()()()()
3
22222232322y y e y y y e y y e y y e dx y d y y y y --=-'-=-'+-'=∴ 2
=
解
y x
x y ln 1
ln 1=，即y y x x ln ln = y y y x '+'=+ln 1ln ，得y
x
y ln 1ln 1++=
'，则得
()()()
()()
()
3
2
2
2
ln 1ln 1ln 1ln 11ln 1ln 11
y xy x x y y y y y
x y x y ++-+=
+'⋅+-+=
''
3．ln cos sin cos x t y t t t
=⎧⎨
=-⎩ 在3t π
=处
解 t t
t
x t tan cos sin -=-=
' ，t t y t sin ='， t t x y dx dy t t cos -=''=∴
，又 t t t dx dy t sin cos +-='
⎪⎭
⎫
⎝⎛，则(
)
ππππ-=
-=
'
'
⎪⎭
⎫
⎝⎛==
=
=
36
1tan sin cos 3
3
3
2
2t t t t
t t
t
t t x dx dy dx y d
三． 设()y y x =是由方程22
()()y f x xf y x +=确定，其中()f x 是可微函数 试求：dy dx
解 由()()()()x y y f x y f x f y x f y y 222
=''++'+'，得
()()()()
y f x x yf y f x f y x y '+-'-='222 四．设曲线方程为2
23arctan 23ln(1)
x t t
y t t =++⎧⎨=-++⎩求曲线在3x =处的切线方程 解 由3x =得2,0==y t ，2112t x t ++
=' , 2
123t
t
y t ++-='。

当0=t 时，3='t x ，3-='t y ，10
-='
'
=
∴=t t t x y k 。

则过点()2,3的切线方程为()32--=-x y ，即
05=-+y x 。

第四章 中值定理与导数的应用
练习4.1 微分中值
一、试证明：对函数r qx px y ++=2
应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区
间的正中间.
证：设 为任一区间， ],[ ,)(2
b a r qx px x f ++=
显然，f (x ) 在 [a ,b ] 上连续，在 (a ,b ) 内可导，由Lagrange 定理得至少有一点
),,(b a ∈ξ，使
))(()()(a b f a f b f -'=-ξ
即 ))(2()()(2
2
a b q p r qa pa r qb pb -+=++-++ξ
2
a
b +=
⇒ξ 即求得的ξ位于区间的正中间.
二、已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，不求)(x f 的导数，讨论方程0
)(='x f 的实根并指出它们所在的区间.
解：因为 f (1 )= f (2 ) = f (3 ) = f (4 ) = 0 ,
函数f (x )在区间 (1, 2) , (2, 3) , (3, 4) 上满足Rolle 定理条件，由Rolle 定理得至少有一
点 )4 ,3( ),3 ,2( ),2 ,1(321∈∈∈ξξξ 使 )3,2,1( 0)(=='i f i ξ，又)(x f '为一
元三次函数，因而方程0)(='x f 最多只有三个实根， 所以
0)(='x f 有三个实根分别属于(1, 2), (2, 3), (3, 4).
三、证明下列不等式：
;arctan arctan .1b a b a -≤-,
2． 当x >1时，e x > e x .
)(11
arctan arctan ),(],[arctan )(,arctan )( .1 2
b a b a a b Lagrange a b x x f a b b a x
x f -+=
-∈=<∀=ξ
ξ，使故存在一点定理的条件，上满足在）函数（不妨设对设证明：.1arctan arctan 11 2
2b a b a b a -≤+-=
-≥+ξ
ξ则而
)
1)(( )1)(()1()( ),1( ],1[ )( ,)( .2--=--'=-∈-=x e e ex e x f f x f x Lagrange x x f ex e x f x x ξξξ即，使
存在一点定理的条件，则至少上显然满足在设
.
0)( 01 ,0 1 ,1 ex e ex e x f x e e x x x x >>-=∴>->-⇒<<>即而ξξ
四、证明：若函数)(x f 在(-∞,+∞)内满足不等式)()(x f x f ='，且1)0(=f ，则
x e x f =)(.
.
)( 1 )( 1 1)0( )( )()( 0)( )()( ))()(()()()( )()( :x x x x x x x e x f x f e C f C x f e x F x F x f x f x f x f e x f e x f e x F x f e x F ==∴====='='-'='+-='=------即则又常数从而则而则
令证
五、证明方程 x 3 －x 2 ＋x ＋1 = 0 只有一个实根.
.
01 ,,
)( 02)1( 01)0( , )( ,0
3
2
)31(3123)( 1
)( :232223只有一个实根方程由上述分析可知轴至少相交一次图形与那么函数又轴最多相交一次图形与则函数即单调递增因为设证=++-<-=->=>+-=+-='++-=x x x x x f f f x x f x x x x f x x x x f
练习4.2 L ’Hospital 法则
一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1．01
2lim 11lim
020==+-→→x
x x x x （ × ） 2．1
1
cos lim
sin lim
+=+∞→∞→x x x x x x 极限不存在 （ × ） 3．设)(x f 在x 0处二阶可导，则
h h x f h x f h x f h x f h x f h h 2)
(')('lim )(2)()(lim
00020000
--+=--++→→ )(''2
)
('')(''lim
000x f h x f h x f h =-++=∞
→ （ × ）
二、计算题
);11
1(lim .10--→x x e x ;tan )
2ln(lim .22
x
x x π
π-
+
→
;1)1ln(lim
.32
x e x x +++∞
→ ;)1
(ln lim .40x x x
+→
);1ln(ln lim .51
-⋅+→x x x ;)(cos lim .622
x
x x -→
-π
π
.21
2lim 11lim )1(1lim )1
11(lim .1 0000=+=-+-=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x e xe e e xe e e x x e e x 解：
.01)sin (cos 2lim 2
cos lim sec )2(lim tan )2ln(lim .2 2
2221
22=-⋅=-=-=-+
+++→→-→→x x x x x x x x x x x x ππππππ
π .11111111
lim
11lim 1)1ln(lim .3 2
2
2
==++=++=++-+∞→+∞→+∞→x
e x x e e x e x x x x x x x )1
ln(ln ln 0)( )1(ln .4 x
x y x x y x =>=则设
.
1lim )1
(ln lim )
1
( 0ln 1lim )ln(ln lim )1ln(ln lim 0000=======+++→→+∞→+∞→→e y x x
u u u u u x x x x x u u x 所以令而
.
0)(lim lim ln lim ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim
1 .5 0
21
01
1
=-=-==⋅=+⋅=-⋅=-+++
+++→--→-→→→→t t t t t
t t t t x x t x t t t t t x 则令
.
1lim )(cos lim )2
0)(lim )tan (lim cot lim sin ln lim sin ln lim cos ln )2
(
lim cos ln )2
(ln )(cos .6 02
222
02
201
02
2====-=-=-
=-==⋅=--==--++++
+-→
-→
→→-→-→→→
-e y x t x t t t t t t
t t t t x x x
x y x y x x
x t t t t t x x
π
πππ
π
π
π
π
所以（令而则令
三、已知,83lim 2=-++→a
x b
bx x a x 求a ,b .
(1) 03 0)3(lim 22=++=++→b a ab b bx x a
x 得：解：由
82)2(lim 3lim 2=+=+=-++→→b a b x a x b bx x a x a x 又 (2)
.
16 4 4 6 : )2( )1( =-=-==b b a a 或从而或得由
练习4.3 函数的单调性
一、填空
函数32
)2
5(x x y ⋅-=的单调递减区间为 (0, 1) ，单调递增区间为 (-∞ ,0)和 (1，+∞ ) 二、证明不等式：当0>x 时，.1arctan )1ln(x
x
x +>
+
.1arctan )1ln( 0 arctan )1ln()1( 0
(0))( 0 01)1ln(111)1ln()( )
0( arctan )1ln()1()( 2
22x
x
x x x x f x f x x
x x x x x f x x x x x f +>
+>-++=>>>+++=+-++='>-++=所以即时，当从而单调增加
设证：
练习4.4 函数的极值与最值
一、填空
1．当x = 3/4 时，函数x x y -+=1 取极大值y = 5/4 . 2．函数d cx bx ax y +++=2
3
满足 b 2 -3ac <0 条件时，这函数无极值.
3．函数x x y 3
1
1-+=
在[ 0，3 ]上的最大值为 13/12 ，最小值为 1 .
二、已知函数ax e x f x
ln )(-=在x = 1/2 处有极值，求a 的值.
.
2 0
2
ln 2 0)21( )ln 1
(1ln )( 2e a a f ax x
e x e ax e x
f x x x ==-='-=⋅+-='---所以即又因为解：
三、a 满足什么条件时，方程a x e x
=-2有实根.(a 为实数)
.
2ln 2 , 2ln 2 02ln 2 ,2ln 2)2(ln 2ln 02)2( 2
ln 0)( 2
)( 2)( 2ln 时，有唯一实根当有两个实根，
时即当所以且极小值为为极小值点则得由解：令-=-><----==>==''=='-='⇒--=a a a a f x e f x x f e x f a x e x f x x
四、现做一个体积为1的开口容器，其上部为柱体，下底部为半球，且柱面单位面积造价是
底部单位面积造价的3/4，问底部半径与柱面高之间比例为多少时可使造价最低?
2
2
22223223 2)32
1(232232243 32
1 321 , ,,
4
3
r k r k
r k r r kr r k rh k r k rh k Q r
r h r h r Q h r k k πππππππππππ+=+-=+=⋅+⋅=-=⇒+=则
总造价为柱面高为，底部半径为为，则底部单位面积造价价为解：设柱面单位面积造
.2
3 , 43 0624k 43 23 ,32 ,43 0 ,223 3
3332
==>=+==''+=
''==='+-='h r Q r k k r Q k r
k
Q r h r Q r k r
k Q r r r 有极小值，此时时即当从而得由πππππ
πππ
第五章 不定积分
练习5.1 不定积分的概念与性质
一、选择题：
1.若)(x f 的导数是x sin ，则)(x f 的一个原函数为（ ）. （A ）1+x sin （B ）x sin 1- （C ）1+x cos （D ）x cos 1-
解：因为x x f sin )(='，若设)(x F 是)(x f 的原函数, 则须x x F sin )(='', 故应选（B ）. 2.设)(x f 可导，则（ ）. （A ）)(d )(x f x x f =⎰ （B ）)()d )((x f x x f ='⎰ （C ）
)(d )(x f x x f =
'⎰ （D ）C x f x x f +='⎰)()d )((
解：由不定积分的性质可知，应选（B ）. 二、填空题： 1.=⎰⎰dx x f d
d )(
.
解：原式dx x f )(=.
2.设x
e x
f =-')1(，则)(x f ＝ . 解：令t x =-1，则1
)(+='t e
t f ，从而C e dx e e dx e dx x f x f x x x +==='=
++⎰⎰⎰11)()(.
3.
=+⎰
dx x
x x 2)1( .
解：原式C x
x x x dx x x x dx x x x x +-+=++=++=⎰⎰
-2
432)2(1223
2. 4.
=-⎰
dx x 2sin 1 ).cos (sin x x ≤
解：原式C x x dx x x ++=-=⎰
cos sin )sin (cos . 三、已知)(x F 在[]1,1-上连续，在)1,1(-内2
11)(x x F -=
'，且,2
3)1(π
=
F 求)(x F . 解：因为C x dx x dx x F x F +=-=
'=⎰
⎰arcsin 11)()(2
，又,2
3)1(π
=
F 所以π=C ，故π+=x x F arcsin )(. 四、计算题： 1.⎰
dx x
x x 32432；
解：原式C dx x
x
+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰)
432ln()432()432(3
23232
. 2.
⎰dx x x x
22cos sin 2cos ；
解：原式C x x dx x
dx x dx x x x x +--=-=-=⎰⎰⎰sec csc cos 1
sin 1cos sin sin cos 222222. 3.⎰-dx x x 2
2)1(.
解：原式C x x x dx x x dx x
x x +--=+-=+-=⎰⎰1
ln 2)121(12222. 练习5.2 基本积分法(一)
一、填空题： 1. 设
C x x dx x f +=⎰ln sin )(，则='⎰
dx x f x f )
()
( . 解：因为x
x
x x C x x x f sin ln cos )ln (sin )(+
='+=， 所以
C x
x
x x C x f x df x f dx x f x f ++=+=='⎰⎰
sin ln cos ln )(ln )()(1)()(. 2.设x
e x
f =)(，则='⎰
dx x
x f )
(ln . 解：
C x C e C x f x d x f dx x x f x
+=+=+='='⎰⎰ln )(ln ln )(ln )(ln . 3.=+⎰1x e dx .
解：C e x e e d e de e e de e dx x x x x x x x x x
++-=++-=+=+⎰⎰⎰⎰)1ln(1
)
1()1(1. 4.
=++⎰)
ln()
(b ax b ax dx .
解：原式C b ax a
b ax b ax d a b ax b ax b ax d a ++=++=+++=
⎰⎰)ln(2
)ln()ln(1)ln()()(1. 5.
=-⎰
dx x
x 9
2_________ ____. 解：令t x sec 3=，则
C t t dt t tdt dx x
x ++=+==-⎰⎰⎰
3tan 3)1(sec 3tan 39
222
C x
x +--=3
cos 392.
6.
=-⎰
2
2
x
a xdx _________ _____.
解一：令t a x sin =，则
C x a C t a tdt a x a xdx +--=+-==-⎰⎰222
2cos sin .
解二：
C x a x a x a d x a xdx
+--=---=-⎰⎰
22222222)(21.
二、计算题：
1.⎰
+dx x x 100
2
)1(； 解：令t x =+1，则⎰⎰⎰+-=-=+dt t
t t dt t t dx x x )1
21()1()1(100999810021002 C x x x C t t t ++-+++-=+-+-
=99
9897999897)
1(991
)1(491)1(971991982971. 2.⎰
dx x 3
4
sin cos ；
解：C x x x d x x dx x +-=-=⎰
⎰
572
43
4cos 5
1
cos 71cos )1(cos cos sin cos . 3.
⎰
-++dx x
x x 2
4431；
解：原式⎰
⎰⎰
---+-+-+-=-+-+--
=2222)2
1
(1)
21(4343)43(414331241
x x d x x x x d dx x x x C x x x +-+-+-
=)2
1
arcsin(43443412. 4.
⎰+2
22
a
x x
dx
；
解：令t x 1
=，则⎰
⎰⎰
++-=+-=+1
)1(2112
222222222t a t a d a t a tdt a x x dx
C x
a a x C a t a ++-=++-=2
2
22221
5.
⎰
+x
e
dx 1；
解：令t e x
=+1，则
C e e C t t dt t e dx
x x x +++-+=++-=-=+⎰⎰
1111ln 11ln 1212. 6.⎰-⋅dx x
x x
x 9
2553； 解：原式C d dx x x x x x x ++-=-=-=⎰⎰1)35(1
)35(ln 35ln 211)35()35(35ln 11)35()35(22
C x
x x
x ++--=3535ln )3ln 5(ln 21. 7.
⎰-dx x e
x
211；
解：原式C e C e e x
d e e x x x
+=+⋅=-=---⎰1
11
1)1
(.
8.⎰+-dx x x n n 1
12；
解：原式⎰⎰⎰+-+=+=+⋅=-n n n n
n n n
n n dx x x n dx x x n dx x x x 1
1111111 C x x n dx x n n
n n n ++-=+-=
⎰)]1ln([1)111(1. 9.
⎰+32)1(x dx .
解：令t x tan =，则⎰⎰⎰⎰+===+dt t tdt dt t
t x dx 24
6232)22cos 1(cos sec sec )1( C t t t dt t t +++=++=
⎰4sin 32
1
2sin 4183)4cos 2cos 43(81 C x x x x x x ++--++=2
222)1(8)1()1(2arctan 83.
三、设⎪⎩⎪
⎨⎧<+≥+=0
,2
,
0 ,cos )(2x C x x C x x g 及⎩⎨⎧<≥-=,0 ,,0 ,sin )(x x x x x f
问：1.)(x g 是)(x f 的不定积分吗？ 2.求过（0,1）点)(x f 的原函数.
解：1.因为)(x g 在0=x 处不连续，则)(x g 在0=x 处不可导，所以在),(+∞-∞上)(x g 不是处处可导，从而)(x g 不是)(x f 的原函数.
而⎪⎩⎪
⎨⎧<+≥=0 ,12
,
0 ,cos )(2x x x x x F 在),(+∞-∞内处处可导，且)()(x f x F ='，所以C x F +)(是
)(x f 的原函数，即C x F dx x f +=⎰)()(.
2.过)1,0(的原函数就是C x F +)(过)1,0(的曲线，0=x 时，1)0(=+C F ，得0=C ，所
以过)1,0(的原函数是⎪⎩⎪
⎨⎧<+≥=.0 ,12
,0 ,cos )(2x x x x x F
练习5.3 基本积分法(二)
一、填空题：
1.设x e x f x
cos )(=，则=''⎰
dx x f x )( .
解：C x f x f x dx x f x f x x f xd dx x f x +-'='-'='=
''⎰⎰⎰)()()()()()(
C x e x e x e x C x e x e x x x x x x +--=+-'=cos )sin cos (cos )cos (.
2.若)(x f 的一个原函数为2
x e -，则='⎰
dx x f x )( .
解：因为2
2
2)()(x x xe e
x f ---='=，12
)(C e dx x f x +=-⎰，所以
C e x C e e x dx x f x xf x xdf dx x f x x
x x ++-=+--=-=='---⎰⎰⎰2
2
2
)12(2)()()()(22.
3.=-⎰
dx e x x
. 解：C e xe dx e xe e
xd dx e x x x x x x
x
+--=+-=-=
------⎰⎰⎰
)(.
4.=⎰
dx x
1arctan . 解：⎰⎰⎰
++=-=dx x
x x x x xd x x dx x 211arctan )1(arctan 1arctan
1arctan
C x x x x d x x x +++=+++=⎰)1ln(2
11arctan )1(11211arctan 22
2
. 5.=⎰
xdx x 2
sec . 解：C x x x xdx x x x xd xdx x ++=-==⎰⎰⎰
cos ln tan tan tan tan sec 2
.
二、计算题：
1.⎰+dx x xe x
2
)
1(； 解：⎰⎰⎰⎰++-=+++-=+-=+dx e x xe xe d x x xe x d xe dx x xe x x x
x x x 1)(111)11()
1(2
C x
e C e x xe x x
x ++=+++-=11.
2.
⎰+dx x
x
x 3
)
1(arctan 2
；
解：令t x =arctan ，则
⎰⎰⎰⎰+-=-==+tdt t t t td tdt t dx x
x
x cos cos )cos (sin )
1(arctan 2
32
C x
x x
x C t t t +++
+-
=++-=2
2
11arctan sin cos .
3.⎰
dx x )cos(ln ；
解：⎰
⎰⎰+=-=dx x x x x xd x x dx x )sin(ln )cos(ln )cos(ln )cos(ln )cos(ln
⎰-+=dx x x x x x )cos(ln )sin(ln )cos(ln ，所以
C x x x
dx x ++=⎰)]sin(ln )[cos(ln 2)cos(ln . 4.⎰dx x x x 5cos sin ；
解：⎰⎰⎰⎰==-=x xd x xd x d x x dx x x x 4
455sec 41cos 141cos cos cos sin ⎰⎰+-=-=x d x x x xdx x x tan )tan 1(41
sec 41sec 41sec 412444 C x x x x +--=34tan 12
1
tan 41sec 41. 5.
⎰++dx xe x x x )1(1
；
解：原式⎰⎰⎰+-=+=++=)()111()1()()1()1(x
x x x x x x x
x xe d xe
xe xe xe xe d dx xe xe e x C xe
xe C xe xe xe xe d xe xe d x
x x
x x x x x ++=++-=++-=⎰⎰1ln )1ln()ln(1)1()(. 6.⎰+dx x x x
e x
)ln 1(.
解：原式⎰⎰⎰⎰+=+=xdx e x d e xdx e dx x e x x x x
ln ln ln
C x e xdx e xdx e x e x x x x +=+-=⎰⎰ln ln ln ln .
练习5.4 几类特殊初等函数的积分
一、填空题： 1.
=+⎰)2(10x x dx
.
解：⎰⎰⎰⎰+-=+=+=+1010101010101010910)2
1
1(201)2(101)2()2(dx x x x x dx x x dx x x x dx C x x ++=2
ln 2011010
. 2.
=⎰dx x 2sin 11
＋ .
解：原式C x x x d x x dx x x dx ++-=++=+=+=
⎰⎰⎰tan 11
)tan 1()tan 1()tan 1(cos )cos (sin 2222.
3.
=+⎰dx x x x
cos sin sin （要求写出3种以上解法）.
解一：设⎰+=dx x x x T cos sin sin 1，⎰+=dx x
x x
T cos sin cos 2，则
121C x dx T T +==+⎰，
212cos sin ln cos sin )
cos (sin cos sin sin cos C x x x x x x d dx x x x x T T ++=++=+-=-⎰⎰
，所以
C x x x T ++-=cos sin ln 2
1
211.
解二：⎰⎰+-+-+=+dx x x x
x x x x dx x x x cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin
⎰⎰⎰+-+--++=dx x x x dx x x x x dx x x x x cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin ，
即1cos sin ln cos sin )
cos (sin cos sin sin 2C x x x x x x x d dx dx x x x ++-=++-=+⎰⎰⎰， 所以，C x x x dx x x x ++-=+⎰cos sin ln 2
1
21cos sin sin .
解三：
⎰⎰+
-+
=+dx x x dx x x x )
4
sin()
44sin(2
1
cos sin sin π
π
π
⎰⎰++-=++
+
-+
=)4
()]4cot(1[21)4()
4
sin()
4cos()4
sin(2
1ππππ
π
π
x d x x d x x x
C x x C x x ++-=++-+=])4
sin(ln [21])4sin(ln 4[211π
ππ. 解四：令t x =tan . 解五：令t x
=2
tan
. 二、计算题： 1.
⎰+-dx x x x
233；
解：利用待定常数法将其分解为最简分式之和，设
2
23)1(12)1)(2(23-+-++=-+=+-x C
x B x A x x x x x x ，
通分整理得)22()2()(2
C B A x C B A x B A x +-+++-++=，
比较等式两边同次幂的系数，得⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=++-=+,022,12,0C B A C B A B A
解得3
1,92,92==-=C B A . 于是
C x x x x dx x dx x dx dx x x x +--+-=-+-++-=+-⎰⎰⎰⎰)
1(31
21ln 92)1(311922922323. 2.⎰++dx x x 1
1
4
6； 解：⎰⎰⎰⎰+--=++-+=++dx x x dx x dx x x x x dx x x 111
11142242264
6⎰+-
-=dx x
x x x 2
22311131。