九年级数学上册 第二章 一元二次方程 5一元二次方程的根与系数的关系习题课件 (新版)北师大版

知识点 一元二次方程根与系数的关系及应用 【示范题】(2013·孝感中考)已知关于x的一元二次方程x2(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2. (1)求实数k的取值范围. (2)是否存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立?若存在,请求出k 的值;若不存在,请说明理由.
【思路点拨】(1)有两个实数根→Δ≥0→k的取值范围.
【方法一点通】 根与系数的关系的应用 1.已知一个根,求方程的另一个根. 2.已知方程的根,确定方程中的未知系数. 3.求与方程的两个根有关的代数式的值. 4.证明等式或不等式. 5.根据方程的根,求符合要求的一元二次方程.
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个实数根-2,m,求m,n的值.
【解析】∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2,m, ∴ 2 2m m n,1， 解 得m n1,2, 解得即m,n的值分别是1,-2.
【微点拨】 1.应用一元二次方程根与系数的关系的前提是:方程是一元二次 方程,且有实数根.所以必须满足二次项系数a≠0,判别式b24ac≥0的条件. 2.关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则有x1+x2=-p, x1·x2=q.
(2)根与系数的关系→x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k→k的值→ 验证得结论.
【自主解答】(1)∵原方程有两个实数根,∴[-(2k+1)]2-
4(k2+2k)≥0,
∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0.∴1-4k≥0,
∴k≤ .1∴当k≤ 时,1原方程有两个实数根.
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(2)假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立. ∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k. 由x1·x2-x12-x22≥0,得3x1·x2-(x1+x2)2≥0. ∴3(k2+2k)-(2k+1)2≥0,整理得:-(k-1)2≥0,
﹡5 一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程根与系数的关系:
Hale Waihona Puke 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0):当b2-4ac≥0时,
x 1 b2 b a 2 4 ac,x2 b2 b a 2 4 ac.
2b
b
则 x 1 x 2 b 2 b a 2 4 a c b 2 b a 2 4 a c b 2_ _ _ 2 _ ab_ 2_ 4a_ c_ _ a _ _ ；
x 1 x 2 b 2 b a 2 4 a c b 2 b a 2 4 a c _ _ _ _ _ _ _ _ 4_ a_ 2_ _ _ _ _ _ _ _ _
4ac
c
_ _ 4 _ a _ 2 _ _ _ _ _ a _ _ .
综上可知:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2, 那么x1+x2=__ _ba __,x1x2=____ac ___.
2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件: 一元二次方程根与系数的关系成立的条件是方程_有__实__数__根__, 即Δ_≥__0.
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.一元二次方程的根与系数的关系适用于所有的一元二次方 程. ( × ) 2.一元二次方程的两根之和一定是负数. ( × ) 3.一元二次方程x2+2x+3=0的两根之积等于3. ( × ) 4.一元二次方程-2x2+3x+6=0的两根之积等于-3. ( √ )
∴只有当k=1时,上式才能成立.
由(1)知k≤
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,∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.
【想一想】 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根符号相同,那么系数b,c 的符号是什么? 提示:两根同正,b<0,c>0,两根同负,b>0,c>0.
【备选例题】(2013·玉林中考)已知关于x的方程x2+x+n=0有两