高中数学：第二章 单元质量测评 Word版含解析

第二章单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某学校为调查高三年级的240名学生完成课后作业所需的时间，采取了两种抽样调查的方式：
第一种由学生会的同学随机抽取24名同学进行调查；第二种由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240，抽取学号最后一位为3的同学进行调查．上述两种抽样方法依次为()
A．分层抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，分层抽样
C．分层抽样，系统抽样
D．简单随机抽样，系统抽样
★答案★D
解析结合简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义可知第一种抽样方法是简单随机抽样，第二种抽样方法是系统抽样．
2．下列变量之间的关系是相关关系的是()
A．正方体的表面积与体积
B．光照时间与果树产量
C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间
D．中国足球队的比赛成绩与中国乒乓球队的比赛成绩
★答案★B
解析其中A、C的两个变量是函数关系，D中两个变量无相关关系．
3．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是( )
A ．(1)(2)
B ．(1)(3)
C ．(2)(4)
D ．(2)(3) ★答案★ D
解析 根据题目所提供的信息，题图(1)表示函数的图象；题图(2)上的点分布在某一条直线附近，所以它们是相关关系；题图(3)上的点分布在某一个二次函数的图象附近，所以这两个变量之间也是相关关系；题图(4)表示的点不具有相关关系．故选D ．
4．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x －＝20，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝0．6x ＋48，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝( )
A ．60
B ．120
C ．150
D ．300 ★答案★ D
解析 将x －＝20代入回归方程得y －＝0．6×20＋48＝60．∴y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝5y －＝300．
故选D ．
5．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3．2，
全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1．8，全年进球数的标准差为0．3．下列说法中，正确的个数为( )
①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ★答案★ D
解析 因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队标准差为0．3，说明每次进球数接近平均值，乙队几乎每场都进球，③正确；由于s
甲＝3，s 乙＝0．3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，
④正确，故选D ．
6．对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，下列说法中不正确的是( )
A ．直线必经过点(x ，y )
B ．x 增加一个单位时，y 平均增加b ^个单位
C ．样本数据中x ＝0时，可能有y ＝a ^
D ．样本数据中x ＝0时，一定有y ＝a ^
★答案★ D
解析 线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，一定过点(x ，y )，故A 正确；线性回归方
程y ^＝b ^x ＋a ^中，x 增加一个单位时，y 平均增加b ^个单位，故B 正确；线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，样本数据中x ＝0时，可能有y ＝a ^，也可能有y ≠a ^，故C 正确，D 不正确．
7．已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 2
4－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6 ★答案★ C
解析设x1，x2，x3，x4的平均值为x，
∵s2＝1
2＋(x2－x)2＋(x3－x)2＋(x4－x)2]＝14(x21＋x22＋x23＋x24－4x 4[(x1－x)
2)．
∴4x2＝16，∴x＝2，∴x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为4．故选C．8．某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是()
A．高一的中位数大，高二的平均数大
B．高一的平均数大，高二的中位数大
C．高一的平均数、中位数都大
D．高二的平均数、中位数都大
★答案★A
解析由茎叶图可以看出，高一的中位数为93，高二的中位数为89，所以高
一的中位数大．由计算得，高一的平均数为91，高二的平均数为923
7，所以高二的平均数大．故选A．
9．为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图，如图．已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在[80，100)之间的学生人数是()
A．32 B．27 C．24 D．33
★答案★D
解析由于所有矩形的面积之和等于1，所以该班学生数学成绩在[80，100)之间的频率是
5＋6
2＋3＋5＋6＋3＋1＝11
20．所以该班学生数学成绩在[80，100)之间的学生人数
是11
20×60＝33．
10．从某中学高一年级中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为()
A ．125，125
B ．125．1，125
C ．124．5，124
D ．125，124 ★答案★ D
解析 由题图可知(a ＋a －0．005)×10＝1－(0．010＋0．015＋0．030)×10，解得a ＝0．025，则x －＝105×0．1＋115×0．3＋125×0．25＋135×0．2＋145×0．15＝125．中位数在120～130之间，设为x ，则0．01×10＋0．03×10＋0．025×(x －120)＝0．5，解得x ＝124，故选D ．
11．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 ★答案★ D 解析 由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＋10＋11＋9
5
＝10，
1
5×[(x －10)2
＋(y －10)2
＋(10－10)2
＋(11－10)2
＋(9－10)2
]＝2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝8，
y ＝12.
故|x －y |＝4，故选D ．
12．已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13．7，18．3，20，且样本的中位数为10．5，若使该样本的方差最小，则a ，b 的值分别为( )
A ．10，11
B ．10．5，9．5
C ．10．4，10．6
D ．10．5，10．5 ★答案★ D
解析 由于样本共有10个值，且中间两个数为a ，b ，
依题意，得a＋b
2
＝10．5，即b＝21－a．
因为平均数为(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13．7＋18．3＋20)÷10＝10，所以要使该样本的方差最小，只需(a－10)2＋(b－10)2最小．
又(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(21－a－10)2＝2a2－42a＋221，
所以当a＝－－42
2×2
＝10．5时，(a－10)2＋(b－10)2最小，此时b＝10．5．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．现有甲、乙两种产品共120件，现按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10件进行产品质量调查，如果所抽取的甲产品的数量是乙产品的2倍还多1件，那么甲、乙产品的总件数分别为________、________．
★答案★8436
解析设抽取乙产品x件，则抽取甲产品2x＋1件，
由x＋(2x＋1)＝10，得x＝3．∴2x＋1＝7．
∴共有甲产品120×7
10
＝84(件)，
乙产品120×3
10
＝36(件)．
14．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在[16，18]的学生人数是________．
★答案★54
解析成绩在[16，18]的学生的人数所占比例为
6＋3
1＋3＋7＋6＋3＝9
20，所以成绩在[16，18]的学生人数为120×
9
20
＝54．
15．某地区为了解70～80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表：
在上述统计数据的分析中，一部分计算见程序框图，则输出的S的值为________．
★答案★ 6．42
解析 由程序框图可得：S ＝G 1F 1＋G 2F 2＋G 3F 3＋G 4F 4＋G 5F 5＝4．5×0．12＋5．5×0．20＋6．5×0．40＋7．5×0．20＋8．5×0．08＝6．42．
16．据统计表明，某城市每月的雾霾天数与该城市每月的汽车出行量呈线性相关关系，已知该城市10～12月份的数据统计如下表：
要使下一年元月份的雾霾天数不超过11．5天，那么该月汽车的出行量应控
制在________万辆以内．线性回归方程有关公式：y ^＝b
^x ＋a ^，b ^＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x 2
，
a
^＝y －b ^x
★答案★ 4
解析 由题意可知，x ＝5，y ＝15，
b^＝5×15＋3×8＋7×22－3×5×15
25＋9＋49－3×25
＝3．5，
所以a^＝－2．5，所以线性回归方程为y^＝3．5x－2．5，又雾霾天数不超过11．5天，所以3．5x－2．5≤11．5，可得x≤4．所以该月汽车的出行量应控制在4万辆以内．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．
(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差．
解(1)由题意，第5组抽出的号码为22．
因为k＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2，7，12，17，22，27，32，37，42，47．
(2)因为10名职工的平均体重为
x ＝1
10×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，
所以样本方差为s 2＝1
10×(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52． 18．(本小题满分12分)某公司对新研发的一种产品进行合理定价，且销量与单价具有相关关系，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
(1)现有三个y 对x 的回归直线方程：y ^＝－10x ＋170；y ^＝－20x ＋250；y ^＝－15x ＋210．根据所学的统计学知识，选择一条合理的回归直线，并说明理由．
(2)预计在今后的销售中，销量与单价服从(1)中选出的回归直线方程，且该产品的成本是每件5元，为使公司获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解 (1)x －＝16×(8＋8．2＋8．4＋8．6＋8．8＋9)＝8．5， y －
＝16×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80．
∵点(x －，y －)在回归直线上，∴选择y ^＝－20x ＋250． (2)利润w ＝(x －5)(－20x ＋250)＝－20x 2＋350x －1250 ＝－20(x －8．75)2＋281．25，
∴当x ＝8．75元时，利润w 最大，为281．25万元．
∴当该产品的单价定为8．75元时，利润最大，为281．25万元．
19．(本小题满分12分)某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t (以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)．
解答下列问题：
(1)这次抽样的样本容量是多少？
(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；
(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？
解(1)样本容量是100．
(2)①50②0．10
所补频率分布直方图如图中的阴影部分．
(3)设旅客平均购票用时为t min ，则有 0×0＋5×10＋10×10＋15×50＋20×30
100≤t <
5×0＋10×10＋15×10＋20×50＋25×30
100
，
即15≤t <20．所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组．
20．(本小题满分12分)假设某种设备使用的年限x (年)与所支出的维修费用y (元)有以下统计资料：
参考数据：∑
i ＝15
x 2
i ＝90，∑
i ＝1
5
x i y i ＝112．3，
如果由资料知y 对x 呈线性相关关系．试求： (1)x ，y ；
(2)线性回归方程y ^＝b
^x ＋a ^；
(3)估计使用10年时，维修费用是多少？ 解 (1)x ＝4，y ＝5．
(2)由已知可得：
b
^＝∑i ＝1
5
x i y i －5x y
∑i ＝1
5
x 2i －5x 2
＝
112.3－5×4×590－5×42
＝1．23．
于是a
^＝y －b ^x ＝5－1．23×4＝0．08． 所求线性回归方程为：y ^＝1．23x ＋0．08． (3)由(2)可得，当x ＝10时，
y ^
＝1．23x ＋0．08＝1．23×10＋0．08＝12．38(万元)． 即估计使用10年时，维修费用是12．38万元．
21．(本小题满分12分)某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x 个月)和市场占有率(y %)的几组相关对应数据：
(1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； (2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0．5%(精确到月)．
附：b
^＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x 2
，a ^＝y －b ^x －．
解 (1)经计算b ^＝0．042，a ^＝－0．026，所以线性回归方程为y ^
＝0．042x －0．026．
(2)由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增
加1个月，市场占有率都增加0．042个百分点．
由y^＝0．042x－0．026>0．5，解得x≥12．5，故预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0．5%．
22．(本小题满分12分)酒后驾车与醉酒驾车认定的标准是：车辆驾驶员血液酒精含量在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车；在80 mg/100 mL(含80)以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理局在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：
(1)绘制出检测数据的频率分布直方图(在图中用实线画出矩形框即可)；
(2)求检测数据中醉酒驾车的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数和平均数．
解(1)酒精含量(mg/100 mL)在[20，30)的频率
组距
为3
20×10
＝0．015，
在[30，40)的
频率组距为
4
20×10
＝0．020， 在[40，50)的频率组距为
1
20×10
＝0．005， 在[50，60)的频率
组距为4
20×10＝0．020，
在[60，70)的
频率组距为
2
20×10
＝0．010， 在[70，80)的频率组距为
3
20×10
＝0．015， 在[80，90)的频率组距
为
2
20×10
＝0．010， 在[90，100]的
频率组距
为
1
20×10
＝0．005． 绘制出的酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示．
(2)检测数据中醉酒驾驶(酒精含量在80 mg/100 mL(含80)以上时)的频率是2＋1
20＝0．15．
根据频率分布直方图，小矩形最高的是[30，40)和[50，60)，
估计检测数据中酒精含量的众数是35与55；
估计检测数据中酒精含量的平均数是
0．015×10×25＋0．020×10×35＋0．005×10×45＋0．020×10×55＋0．010×10×65＋0．015×10×75＋0．010×10×85＋0．005×10×95＝55．。