广西梧州市贺州市2020届高三毕业班文数摸底调研考试试卷

广西梧州市贺州市2020届高三毕业班文数摸底调研考试试卷一、单选题 (共12题；共24分)
1．（2分）设集合A＝{﹣1,0,1}，B＝{﹣1,1,3}，则A∩B＝（）
A．{﹣1,0}B．{﹣1,1}C．{0,1}D．{1,3} 2．（2分）2i(1+i)=（）
A．2+2i B．−2+2i C．2−2i D．−2−2i 3．（2分）已知向量a⃗=(−1,−2),b⃗=(1,1)，则|a−2b⃗|＝（）A．√2B．√5C．4D．5 4．（2分）在等差数列{a n}中，a2+a3＝1+a4，a5＝9，则a8＝（）
A．14B．15C．16D．17
5．（2分）若双曲线x2
a2
−y
2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F的直线y=√3（x﹣2）与双
曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为（）
A．1B．√3C．2D．2 √3
6．（2分）若x，y满足约束条件{
x+y≥2
x+2≥3y
x≤3
，则z＝2x﹣3y的最小值为（）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
7．（2分）将函数y＝cos（2x−π
6
）的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数f（x）的图象，则f
（x）＝（）
A．sin2x B．﹣sin2x
C．sin（2x−π
6
）D．﹣sin（2x−π6）
8．（2分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺”（注：1丈等于10尺）
（）
A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺
9．（2分）执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝2，则输出的T＝（）
A ．8
B ．﹣8
C ．﹣56
D ．﹣72
10．（2分）函数 y =
(x−x 3)2x 4x +1
的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．（2分）已知α∈（0, π
2 ），cos 2α＝1﹣3sin 2α，则cosα＝（ ）
A ．√
55
B ．√24
C ．13
D ．√1010
12．（2分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长为3，AB ⊥BC ，AB +BC ＝4，若三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的
外接球为球O ，则球O 表面积的最小值为（ ） A ．17π
B ．18π
C ．19π
D ．20π
二、填空题 (共4题；共4分)
13．（1分）有3名男同学和1名女同学共4位同学参加志愿者服务，从中选出2人，则选到女生的
概率为 ．
14．（1分）在等比数列{a n }中，a 4＝4（a 3﹣a 2），a 5＝﹣16，则a 1＝ ． 15．（1分）曲线y ＝e x ﹣1+xlnx 在点（1,1）处的切线方程为 ．
16．（1分）已知椭圆 x 2a 2+y 2b
2=1(a >b >0) 的右顶点为A ，左，右焦点为F 1，F 2，过点F 2与x 轴
，则点F1到直线AB的距离
垂直的直线与椭圆的一个交点为B．若|F1F2|＝2，|F2B| =3
2
为．
三、解答题 (共7题；共70分)
17．（10分）某校为了了解高一新生是否愿意参加军训，随机调查了80名新生，得到如下2×2列联表
参考公式：K2=n(ad−bc)
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
附：
（1）（5分）写出表中x，y，z，M，N的值，并判断是否有99.9%的把握认为愿意参加军训与性别有关；
（2）（5分）在被调查的不愿意参加军训的学生中，随机抽出3人，记这3人中男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
18．（10分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b﹣c）（sin A+sin B+sin C）＝
b sin A．
（1）（5分）求C；
（2）（5分）若a＝2，c＝5，求△ABC的面积．
19．（10分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，F 是BC的中点
（1）（5分）求证：EF ∥平面A 1DC 1；
（2）（5分）若长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，夹在平面A 1DC 1与平面B 1EF 之间的几何体的体积为
19√23
，求点D 到平面B 1EF 的距离. 20．（10分）已知函数f （x ）＝ae x ﹣2x +1．
（1）（5分）当a ＝1时，求函数f （x ）的极值；
（2）（5分）若f （x ）＞0对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围
21．（10分）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为（0,1）
（1）（5分）求抛物线C 的方程；
（2）（5分）设直线l 2：y ＝kx +m 与抛物线C 有唯一公共点P ，且与直线l 1：y ＝﹣1相交于点Q ，试问，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由．
22．（10分）已知曲线C 的参数方程为 {x =3cosφy =sinφ
（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 ρcos(π
4+θ)=3√2 ．
（1）（5分）直线l 与曲线C 是否有公共点？并说明理由；
（2）（5分）若直线l 与两坐标轴的交点为A ，B ，点P 是曲线C 上的一点，求△P AB 的面积的最大值．
23．（10分）已知函数f （x ）＝|x ﹣a |﹣|x ﹣2|﹣1．
（1）（5分）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥0的解集； （2）（5分）当f （x ）≤1，求实数a 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】由集合的交运算，容易得A∩B={−1,1}.
故选：B.
【分析】根据集合的交运算，即可求得结果.
2．【答案】B
【解析】【解答】2i(1+i)=−2+2i.
故选：B
【分析】直接按照复数的乘法法则运算即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】因为a⃗=(−1,−2),b⃗=(1,1)，
故可得a⃗−2b⃗=(−3,−4)，
故|a−2b⃗|=√32+42=5.
故选：D.
【分析】先计算a⃗−2b⃗的坐标，再根据坐标求解模长即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】设数列{a n}的公差为d，
则可得a1+d=1+d,a1+4d=9，
解得a1=1,d=2，故a8=a1+7d=15.
故选：B.
【分析】根据题意，应用基本量列出方程，即可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】令y=0，则由y=√3（x﹣2）可解的F(2,0)，故可得c=2；
，
又因为直线y=√3（x﹣2）与渐近线平行，故b
a=√3
结合a2+b2=c2，解得a=1，
故2a=2.
故选：C.
【分析】容易求得点F的坐标，以及渐近线的斜率，据此列方程求解即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】根据题意，画出不等式组表示的平面区域如下图所示：
将目标函数z＝2x﹣3y整理化简为y=2
3x−
z
3
，其与直线y=2
3
x平行，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点A(1,1)时取得最小值，
故z min=2×1−3×1=−1.
故选：B.
【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，求得目标函数的最小值即可. 7．【答案】D
【解析】【解答】将函数y＝cos（2x−π
6
）的图象向左平移π4个单位长度后，
可得函数解析式为cos[2(x+π
4
)−
π
6
]=cos(2x−
π
6
+
π
2
)=−sin(2x−
π
6
).
故选：D.
【分析】根据“左加右减”的原则，对函数解析式进行变换即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），因此葛藤长√242+102=26（尺）故答案为：C
【分析】把实际问题转化为数学问题利用圆柱的侧面展开图是矩形结合矩形的边长关系代入数值求出结果即可。

9．【答案】D
【解析】【解答】模拟执行程序如下：
a=2,T=0,i=1，满足i≤5，继续执行；
T=4,a=1,i=2，满足i≤5，继续执行；
T=8,a=0,i=3，满足i≤5，继续执行；
T=8,a=−1,i=4，满足i≤5，继续执行；
T=−8,a=−2,i=5，满足i≤5，继续执行；
T=−72,a=−3,i=6，不满足i≤5，输出T=−72.故选：D.
【分析】模拟执行程序框图中的程序，即可求得输出结果. 10．【答案】A
【解析】【解答】令f(x)=(x−x3)2x
4x+1
，故可得f(−x)=−(x−x
3)2x
4x+1
因为f(x)+f(−x)=0，故函数为奇函数，排除C,D；
又因为f(1)=0,f(1
2)=
3
8
×√2
3
>0，
故选：A.
【分析】根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断. 11．【答案】D
【解析】【解答】因为cos2α＝1﹣3sin2α
由倍角公式可得cos2α−sin2α=sin2α+cos2α−6sinαcosα即sin2α=3sinαcosα
又因为α∈（0, π
2），sinα≠0，
故sinα=3cosα，即tanα=3.
由同角三角函数关系，容易得cosα=√10
10
.
故选：D.
【分析】利用倍角公式进行整理化简，即可求得结果.
12．【答案】A
【解析】【解答】根据题意，取AC中点为H，过H作CC1的平行线HH1，交A1C1于H1，取HH1中点为O，作图如下：
因为三棱柱是直三棱柱，且底面为直角三角形，故外接球的球心即为HH1的中点O.
则设外接球的半径为R，则OB=R，OH=1
2AA1=
3
2
.
BH为底面三角形ABC的外接圆半径，
由勾股定理可得AB2+BC2=AC2，以及AB+BC=4，
容易得BH=1
2AC=
1
2
√AB2+BC2=
1
2
√(AB+BC)2−2AB×BC
由均值不等式可得BH≥1
2√16−2×1
4
(AB+BC)2=√2，
当且仅当AB=BC=2时取得最小值.
即BH的最小值为√2.
在直角三角形OBH中，R=√OH2+BH2，
由上述推导可知，R
min
=√94+2=√172.
故S min=4πR2=17π.
故选：A.
【分析】根据三棱柱的几何特点，找出球心，构造直角三角形，求解半径的最小值即可.
13．【答案】1
2
【解析】【解答】设三位男生为A1,A2,A3，女生为B，
则从4名同学中选出2人，共有如下情况：
A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B合计6种情况；
其中满足题意的有A1B,A2B,A3B合计3种情况；
故满足题意的概率P=3
6=
1 2
.
故答案为： 12
.
【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求得结果.
14．【答案】﹣1
【解析】【解答】设等比数列 {a n } 的公比为 q ，
则 a 1q 3=4(a 1q 2−a 1q) ， a 1q 4=−16 ， 故可得解得 q =2,a 1=−1 。

故答案为： −1 .
【分析】利用等比数列通项公式结合已知条件求出等比数列的首项和公比。

15．【答案】2x ﹣y ﹣1＝0
【解析】【解答】因为y ＝e x ﹣1+xlnx ，故 y ′=e x−1+lnx +1
故当 x =1 时 y ′=2 ，即过点 (1,1) 的切线的斜率为 2 ； 故可得切线方程为 y −1=2(x −1) ，整理得 2x −y −1=0 . 故答案为： 2x −y −1=0 .
【分析】求导，得到函数在(1,1)处的导数，即为切线斜率，再用点斜式即可求得.
16．【答案】9√
1313
【解析】【解答】根据题意，作图如下：
把x ＝c 代入椭圆方程可得y ＝± b 2
a
，
∵|F 1F 2|＝2，|F 2B | =3
2
，
∴{2c =2b 2a =32a 2=b 2+c 2
，解得a ＝2，b =√3 ． 不妨设B 在第一象限，则A （2,0），B （1, 32
），F 1（﹣1,0）．
∴直线AB 的方程为y =−3
2
x +3，即3x +2y ﹣6＝0．
∴点F 1到直线AB 的距离为d =9√9+4
=9√13
13 ． 故答案为： 9√
1313
.
【分析】根据已知信息，即可求得椭圆方程，再用点到直线的距离公式即可求得.
17．【答案】（1）解：由表格数据可知：
M ＝80﹣40＝40， x ＝40﹣5＝35， z ＝25﹣5＝20， y ＝40﹣20＝20， N ＝80﹣25＝55，
∵K 2
=80(20×35−5×10)2
40×40×25×55
≈ 13.09＞10.828，
∴有99.9%的把握认为愿意参加志愿者填报培训与性别有关．
（2）解：在被调查的不愿意参加军训的学生中，随机抽出3人， 记这3人中男生的人数为ξ，则ξ
的可能取值为0,1,2,3， P （ξ＝0） =C 20
3C 25
3=57
115 ，
P （ξ＝1） =
C 51C 202
C 25
3
=
19
46 ， P （ξ＝2） =
C 52C 201
C 253
=
2
23
， P （ξ＝3） =C 5
3
C 25
3=1
230 ，
∴ξ的分布列为：
E （ξ） =0×57115+1×1946+2×223+3×1230=69115
【解析】【分析】（1）根据表格中数据，即可求得x ，y ，z ，M ，N 的值，再计算 K 2 ，结合参考表格
即可作出判断；（2）列出ξ的取值，根据古典概型概率计算公式求得分布列，再根据分布列计算数学期望即可.
18．【答案】（1）解：∵(a +b −c)(sinA +sinB +sinC)=bsinA ∴由正弦定理可得 (a +b −c)(a +
b +c)=ab ， 整理可得a 2+b 2﹣
c 2＝﹣ab ， ∴由余弦定理可得cosC =a 2
+b 2−c 22ab =−ab 2ab =−12
，
∵C ∈ （0,π）， ∴C =
2π
3
（2）解：∵a ＝2，c ＝5，C =2π3 ， ∴由正弦定理 a sinA =c sinC ，可得 2sinA =5√32
， 可得sinA =
√3
5
，
∵a ＜c ，A 为锐角，
∴可得cosA =√1−sin 2A =√
225
，
∴sinB ＝sin （A+C ）＝sinAcosC+cosAsinC
=√35× （ −12 ） +√225×√32=√66−√3
10 ， ∴S △ABC =12 acsinB =12×2×5×√66−√310=√66−√
32
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，反凑余弦定理即可求得角 C ；（2）利用正弦定理，
结合（1）中所求，求得 sinB ，再利用面积公式即可求得.
19．【答案】（1）证明：由题意，连接AC ，如下图所示： ∵E 是
AB 的中点，F 是BC 的中点， ∴EF ∥AC ，
∵四边形ACC 1A 1是平行四边形， ∴AC ∥A 1C 1， ∴EF ∥A 1C 1， ∵A 1C 1⊂平面A 1DC 1， ∴EF ∥平面A 1DC 1，即证
（2）解：由题意，设长方体的高为h．∵S△A
1C1D1
=12×2 ×2＝2，
∴V D−A
1C1D1
=13×S△A1C1D1×h =23h．
∵S△BEF=1
2×1 ×1 =1
2
，
∴V B
1−BEF
=13×S△BEF×h =13×12×h =16h．
∵V ABCD−A
1B1C1D1
=2 ×2 ×h＝4h，
∴4h −2
3h −1
6
h =19
6
h =19√2
3
，
解得h＝2 √2．
又∵EF =√2，DE＝DF =√5，
容易知S△DEF=4−1
2×2×1×2−
1
2
×1×1=
3
2
.
∴V B
1−DEF
=13×S△DEF×B1B =13×32×2 √2=√2．∵EF =√2，B1E＝B1F =√5，
∴S△B
1EF =S△DEF=3
2
．
设点D到平面B1EF的距离为d．
∵V D−B
1EF =V B
1−DEF
，
∴1 3×3
2
×d =√2，
解得d＝2 √2．
∴点D到平面B1EF的距离为2 √2
【解析】【分析】（1）因为EF// A1C1，由线线平行，即可推证线面平行；（2）先根据几何体的体积求解出长方体的高，再用等体积法求得点到面的距离即可.
20．【答案】（1）解：当a＝1时，f（x）＝e x﹣2x+1，则f′（x）＝e x﹣2，
令f′（x）＜0，解得x＜ln2；令f′（x）＞0，解得x＞ln2；
故函数f（x）在（﹣∞,ln2）上递减，在（ln2,+∞）上递增，
故函数f（x）的极小值为f（ln2）＝2﹣2ln2+1＝3﹣2ln2，无极大值
（2）解：f（x）＞0对x∈R成立，即为a>2x−1
e x
对任意x∈R都成立，
设g(x)=2x−1
e x
，则a＞g（x）max
g′(x)=2e x−(2x−1)e x
(e x)2
=
3−2x
e x，
令g′（x ）＞0，解得 x <32 ；令g′（x ）＜0，解得 x >3
2 ；
故函数g （x ）在 (−∞，32) 递增，在 (3
2
，+∞) 递减，
∴g(x)max
=g(32)=2e 32
=2e −
32 ，
故实数a 的取值范围为 (2e −3
2，+∞)
【解析】【分析】（1）求导，判断函数单调性，根据单调性求得极值；（2）分离参数，构造函数，求
解函数的最值，即可求得参数的范围.
21．【答案】（1）解：由题意， p 2=1 ，
所以p ＝2，
∴抛物线C 的方程为：x 2＝4y
（2）解：由 {x 2=4y
y =kx +m 得x 2﹣4kx ﹣4m ＝0（*），
由直线y ＝kx+m 与抛物线C 只有一个公共点，
可得 Δ=0 ，解得m ＝﹣k 2，代入到（*）式得x ＝2k ， ∴P （2k,k 2），
当y ＝﹣1时，代入到y ＝kx ﹣k 2
得Q （ k −1k ，−1 ）， ∴以PQ 为直径的圆的方程为： (x −2k)[x −(k −1k )]+(y −k 2)(y +
1)=0 ， 整理得： (1−y)k 2−3x ⋅k +x ⋅1
k
+(x 2+y 2+y −2)=0 ， 若圆恒过定点，则
{
1−y =0
−3x =0
x =0
x 2+y 2+y −2=0
， 解得 {x =0y =1 ， ∴存在点N （0,1），使得以PQ 为直径的圆恒过点N ．
【解析】【分析】（1）根据抛物线的交点坐标，即可得到 p ，从而求得抛物线方程；（2）根据抛物
线与直线相切，求得切点的坐标，以及 k,m 之间的等量关系，再求出点 Q 的坐标，从而写出圆的方程，再求圆恒过的定点即可.
22．【答案】（1）解：曲线C 的参数方程为 {x =3cosφy =sinφ
（φ为参数）， 转换为直角坐标方程为 y 2+
x 29=1 ． 直线l 的极坐标方程为 ρcos(π4+θ)=3√2 ， 整理得 √22ρcosθ−√22ρsinθ=3√2 ， 转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣6＝0， 联立方程组 {
y 2
+x 2
9=1x −y −6=0
消去x，可得10y2+12y+27＝0，
由于△＝122﹣4×10×27＜0，所以直线与椭圆没有交点．
（2）解：直线的直角坐标方程为x﹣y﹣6＝0，
与x轴的交点A（6，0）与y轴的交点坐标为B（0，6），
所以|AB| =√62+62=6√2，设椭圆上点P的坐标为（3cosθ，sinθ），所以点P到直线l的距离d
=
√1+1=√
10sin(θ+α)−6|
2，当sin(θ+α)=−1时，d max=
√10+6
2
，则S△PAB=
1
2⋅|AB|d max=1
2⋅6√2⋅
√10+6
√2
=3 √10+18
【解析】【分析】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，将直线l的极坐标方程化为直角方程，联立方程组，根据情况，求得两曲线的相交情况；（2）由（1）中所求，容易得点A,B的坐标，设点P坐标为（3cosθ,sinθ），再将问题转化为三角函数值域的问题即可求得.
23．【答案】（1）解：a＝1时，函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣2|﹣1 ={−2，x≤1
2x−4，−1<x<2
0，x≥2
；画函数f（x）的图象，如图所示；
由图象知，不等式f（x）≥0的解集为[2，+∞）
（2）解：令f（x）≤1，得f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1≤1，
即|x﹣a|﹣|x﹣2|≤2（*）；
设g（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|，
则g（x）≤|（x﹣a）﹣（x﹣2）|＝|﹣a+2|＝|a﹣2|，
当且仅当a≤2时x≥2，或a>2时，x≤2取得最大值.
不等式（*）可化为|a﹣2|≤2，
即﹣2≤a﹣2≤2，
解得0≤a≤4；
所以实数a的取值范围是0≤a≤4．
【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，画出函数图象，数形结合求得不等式解集；（2）将恒成立问题转化为求解绝对值不等式的最值问题，再利用绝对值三角不等式求得最值即可.。