2021年湖南省邵阳市花桥中学高三数学文联考试题含解析

2021年湖南省邵阳市花桥中学高三数学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知正方形的四个顶点分别为，，，，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
参考答案：
A
2. 已知A、B为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右顶点，F1，F2为其左右焦点，双曲线的渐近线上一点P（x0，y0）（x0＜0，y0＞0），满足=0，且∠PBF1=45°，则双曲线的离心率为
（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】由题意可得PF1⊥PF2，|PO|=|F1F2|=c，求出双曲线的一条渐近线方程，可得x0，y0的方程，解方程可得P的坐标，解直角三角形PAB，可得b=2a，求出a，c的关系，运用离心率公式即可得到所求值．
【解答】解：F1，F2为其左右焦点，满足=0，
可得PF1⊥PF2，|PO|=|F1F2|=c，
由双曲线的渐近线方程y=﹣x，
即有x02+y02=c2，bx0+ay0=0，
解得P（﹣a，b），
则PA⊥AB，又∠PBF1=45°，
则|PA|=|AB|，
即有b=2a，可得c==a，
则e==．
故选：D．
3. 若函数满足，且时，，函数
，则函数在区间内的零点的个数为
A．6 B．7 C．8 D．9
参考答案：
C
略
4. 若是的最小值，则的取值范围为（）.
(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)
参考答案：
D
略
5. 为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表。

规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人。

那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）
A．B． C. D．
参考答案：
B
由题意可知，当全村户数为户时，应该选1人，利用排除法：
，A选项错误；
，C选项错误；
，D选项错误；
本题选择B选项.
6. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱，正视图是边长为
2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为（）.
A. B. C.
D.
参考答案：
B
7. 设命题，则是
A. B.
C. D.
参考答案：
C
由含有一个量词的命题的否定. 故选C.
8. 已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，那么这个几何体的侧面积是
（A）（B）
（C）（D）参考答案：
C
略
9. 若，则下列结论不正确的
是（）
参考答案：
D
10. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边一点M 的坐标为的值是
A．-0.5 B。

0 C．0．5 D．1
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如右图所示的程序框图的输出值，则输入值。

参考答案：
略
12. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中x的值是 ;
参考答案：
略
13. 已知数列满足则的最小值为__________；
参考答案：
14. 已知A，B是圆O：上的两个动点，，.若M是线段AB的中点，则的值为__.
参考答案：
3
【分析】易得，可得，结合，是圆：上的两个动点，，计算可得答案.
【详解】解：设，，
则，，，，
所以.
由，
得，①
又，在圆上，
所以，，②
联立①②得，
所以
化简并整理，得
.
优解
由条件易知为正三角形.
又由为的中点，
则，
所以
.
【点睛】本题主要考查平面向量的应用及平面向量数量积运算，由已知得出代入计算是解题的关键.
15. i是虚数单位，则的值为__________.
参考答案：
【分析】
先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。

【详解】解法一：.
解法二：.
【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋b i(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
16. 已知，则=_____.
参考答案：
略
17. 函数的图象恒过定点,且点在直线
上，其中，则的最小值为______________
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知常数，向量，经过点，以为方向向量的直线与经过点
，以为方向向量的直线交于点，其中．
（）求点的轨迹方程，并指出轨迹．
（）若点，当时，为轨迹上任意一点，求的最小值．
参考答案：
见解析
解：（）∵，
∴直线的方程为：①式，
又，
∴直线的方程为：②式，
由①式，②式消去入得，即，
故点的轨迹方程为．
当时，轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
当时，轨迹是以原点为中心，以为焦点的椭圆，
当时，轨迹是以原点为中心，以为焦点的椭圆．
（）当时，，
∵为轨迹是任意一点，
∴设，
∴
∵，
∴当时，取得最小值．
19. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
(I)若.解不等式
(Ⅱ)若不等式对任意的实数a恒成立，求b的取值范围
参考答案：
解：（Ⅰ）
所以解集为：
（Ⅱ）
所以的取值范围为：
20. 已知以点C为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），且圆心在直线x+3y﹣15=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
参考答案：
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（Ⅰ）依题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y﹣15=0的交点，求出圆心与半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）求出|AB|，圆心到AB的距离d，求出P到AB距离的最大值d+r，即可求△PAB的面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y﹣15=0的交点，∵AB中点为（1，2）斜率为1，
∴AB垂直平分线方程为y﹣2=（x﹣1）即y=﹣x+3…
联立，解得，即圆心（﹣3，6），
半径…
∴所求圆方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40…
（Ⅱ），…
圆心到AB的距离为…
∵P到AB距离的最大值为…
∴△PAB面积的最大值为…
21. 已知数列{a n}满足：，，
（Ⅰ）求，并求数列{a n}通项公式；
（Ⅱ）记数列{a n}前2n项和为，当取最大值时，求的值．参考答案：
解：（I）∵a1=20，a2=7，a n+2﹣a n=﹣2
∴a3=18，a4=5
由题意可得数列{a n}奇数项、偶数项分布是以﹣2为公差的等差数列
当n为奇数时，=21﹣n
当n为偶数时，=9﹣n
∴a n=
---------------------------------------------6分
（II）s2n=a1+a2+…+a2n
=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+…+a2n）
=
=﹣2n2+29n
结合二次函数的性质可知，当n=7时最大----------------------------------12分略
22. 在平面直角坐标系中，点满足，且；点满足
，且，其中．
（1）求的坐标，并证明点在直线上；
（2）记四边形的面积为，求的表达式；
（3）对于（2）中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
（1）由已知条件得，,,所以……2分
，则
设，则，
所以；………2分
即满足方程，所以点在直线上.………1分
（证明在直线上也可以用数学归纳法证明.）
（2）由（1）得
………1分
设，则，
，所以
，逐差累和得，，
所以………2分
设直线与轴的交点，则
，……2分
（3）由（2），
…2分
于是，，………2分
数列中项的最大值为，则,即最小的正整数的值为，所以，存在最小的自然数，对一切都有成立.……2分。