2.2方差、标准差教学案+课堂作业(南沙初中九年级上)

A厂
B厂
南沙初中初三数学教学案
教学内容：2.2方差、标准差
课型：新授课学生姓名：______ 教学目标
1、了解方差的定义和计算公式；2. 理解方差概念的产生和形成的过程；
3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小；
4. 经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，
积累统计经验。

教学重、难点：
重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。

掌握其求法，
难点：理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。

教学过程：
一、情境创设：
乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测。

结果如下（单位：mm）：
A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；
B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2.
你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?
（1）请你算一算它们的平均数和极差。

（2）是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？
二、探索活动
通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。

让我们一起来做下列的数学活动：
1、画一画
3、算一算
把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。

4、想一想
你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？
二、新知讲授： （一）方差
定义：设有n 个数据n x x x ，，， 21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是
2221)()(x x x x --，，…，，， 2)(x x n -我们用它们的平均数，即用 2222121
()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=
-+-++-⎣
⎦
来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差。

（二）标准差：
方差的算术平方根，即s =并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.
注意：(1)方差的单位是原数据单位的平方；
（2）标准差的的单位与原数据单位一致；
（3）一般说来，一组数据的方差和标准差越小，这组数据就越小，这组数据就越稳定。

三、例题讲解
例1、 计算 “情境”中A 、B 两组数据的方差。

例2、填空题；
（1）一组数据：2-，1-，0，x ，1的平均数是0，则x = _____，方差=2
S . （2）如果样本方差[]
242322212)2()2()2()2(4
1
-+-+-+-=
x x x x S ，那么这个样本的平均数为 ，样本容量为 .
（3）已知321,,x x x 的平均数=x 10，方差23S =，则3212,2,2x x x 的平均数为 ，方差为 . 例3、 选择题：
（1）样本方差的作用是（ ）
A 、估计总体的平均水平
B 、表示样本的平均水平
C 、表示总体的波动大小
D 、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小 （2）一个样本的方差是0，若中位数是a ，那么它的平均数是（ ）
A 、等于a
B 、不等于 a
C 、大于 a
D 、小于a （3）已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、2
（4）如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数，则数据的（ ）
A 、平均数改变，方差不变
B 、平均数改变，方差改变
C 、平均数不变，方差不变 A 、平均数不变，方差改变 例4、 甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是
甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1
分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？
例5、甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测验成绩如下（单位：分）：
甲组：76 90 84 86 81 87 86 82 85 83 乙组：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74 哪个小组学生的成绩比较稳定？
四、小结
1、方差与标准差的公式。

2、方差或标准差越大，数据的波动越大，方差或标准差越小，数据的波动越小。

五、课堂作业（见作业纸）
南沙初中初三数学课堂作业（11）
（命题：王 猛 审核：王银龙）
班级__________姓名___________学号_________得分_________
1.数据－2，－1，0，1，2的方差是_________。

2.五个数1，2，3，4，a 的平均数是3，则a =________，这五个数的方差是________。

3.若一组数据3，一1，a ，－3，3的平均数x 是a 的
3
1
,则这组数据的标准差是_________。

4.已知，一组数据x 1,x 2,……，x n 的平均数是10，方差是2，
①数据x 1+3,x 2+3,……，x n +3的平均数是 方差是 ， ②数据2x 1,2x 2,……，2x n 的平均数是 方差是 ，
③数据2x 1+3,2x 2+3,……，2x n +3的平均数是 方差是 ，。

5．国家统计局发布的统计公报显示：2001到2005年，我国GDP 增长率分别为8.3％， 9.1％，10.0％，10.1％，9.9％。

经济学家评论说：这五年的年度GDP 增长率之间相当平稳。

从统计学的角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据的（ ）较小。

A.标准差 B.中位数 C.平均数 D.众数 6.对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得；甲x =乙x ，2
甲S =0.025,
2
乙S =0.026,下列说法正确的是 ( )
A.甲短跑成绩比乙好
B.乙短跑成绩比甲好
C.甲比乙短跑成绩稳定
D.乙比甲短跑成绩稳定
7.数据70、71、72、73的标准差是 （ ）
54
8.样本方差的计算式2
22
2121(30)(30)(30)20n s x x x ⎡⎤=
-+-++-⎣
⎦中，数字20和30
分别表示样本中的（ ）
A.众数、中位数
B.方差、标准差
C.样本中数据的个数、平均数
D.样本中数据的个数、中位数
9.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么所求出平均数与实际平均数的差是（ ）
A.3.5
B.3
C.0.5
D.-3 10.一组数据的方差为2
S ，将该数据每一个数据，都乘2，所得到一组新数据的方差是（ ）
A. 22
S B. 2S C.22S D.42
S
11.从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm）
甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8；
乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11；
问：（1）哪种农作物的苗长的比较高？（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？
12.某中学开展“八荣八耻”演讲比赛活动，九(1)、九(2)班根据初赛成绩各选出5名选
手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如下图所示。

（1）根据下图，分别求出两班复赛的平均成绩和方差；
（2）根据（1）的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好？
13.在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶。

如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图。

请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：
（1）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
（2）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议。

16 14
14
16
15
15
甲路段
17
19
10
18
15
11 乙路段。