江西省鹰潭市2020年初二下期末学业质量监测数学试题含解析

江西省鹰潭市2020年初二下期末学业质量监测数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，△ABC 是面积为27cm 2的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．9cm 2
B ．8cm 2
C ．6cm 2
D ．12 cm 2
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A ．1，2，3
B ．4，5，6
C ．2，3，5
D ．32，42，52
3．一个多边形每个外角都是72︒，则该多边形的边数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4．如图，已知▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，以点B 为中心，取旋转角等于∠ABC ，把△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A ．130°
B ．150°
C ．160°
D ．170°
5．下列图案中，不是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若分式xy x y
+(x≠0，y≠0)中x ，y 同时扩大3倍，则分式的值（ ） A ．扩大3倍
B ．缩小3倍
C ．改变
D ．不改变 7．以下列长度（单位：cm ）为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A ．3,4,5
B ．1,2,3
C ．5,7,9
D ．6,10,12
8．已知平行四边形ABCD 中，一个内角=60A ∠，那么它的邻角=B ∠（ ）.
A ．60
B ．30
C ．120
D ．90
9．函数y ＝x+m 与y ＝m x
（m ≠0）在同一坐标系内的图象可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若甲、乙两人同时从某地出发，沿着同一个方向行走到同一个目的地，其中甲一半的路程以a(km/h)的速度行走，另一半的路程以b(km/h)的速度行走；乙一半的时间以a(km/h)的速度行走，另一半的时间以b(km/h)的速度行走(a ≠b)，则先到达目的地的是( )
A ．甲
B ．乙
C ．同时到达
D ．无法确定
二、填空题
11．如图，A ，B 的坐标为(1，0)，(0，2)，若将线段AB 平移至A 1B 1，则a ﹣b 的值为____．
12．如图，E 是矩形ABCD 的对角线的交点，点F 在边AE 上，且DF ＝DC ，若∠ADF ＝25°，则∠ECD ＝___°．
13．如图，点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD AB >，,E F 是AB 边上的点，且12
EF AB =；,G H 是BC 边上的点，且13
GH BC =，若12,S S 分别表示EOF ∆和GOH ∆的面积，则12:S S =__________．
对应值如表，则不等式8k x
ax b -<+<的解集是_________. x 4- 2- 1-
1 2 4 y ax b =+ 6- 4- 3- 1- 0 2
k y x = 2- 4- 8- 8 4 2
15．如图，△ABC 中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE 是中位线，则DE 的长为_____．
16．不等式组2
{x x a >>的解集为x ＞2，则a 的取值范围是_____________.
17．如图，点A 是函数()0k y x x
=<的图象上的一点，过点A 作AB y ⊥轴，垂足为点B .点C 为x 轴上的一点，连结AC 、BC .若ABC ∆的面积为4，则k 的值为_________.
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，ABC ∆的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）.
（1）将ABC ∆沿x 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的111A B C ∆.
（2）将ABC ∆绕着点A 顺时针旋转90，画出旋转后得到的22AB C ∆；直接写出点2B 的坐标.
19．（6分）已知四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上的任意一点，AE ⊥EF ，且直线EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．
（1）如图1，求证：AE ＝EF ；
（2）如图2，当AB ＝2，点E 是边BC 的中点时，请直接写出FC 的长．
20．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图.
（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
图①
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数.
图②
21．（6分）如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ．
（1）求证：四边形OCED 是菱形；
（2）若点E 到CD 的距离为2，CD ＝3，试求出矩形ABCD 的面积．
22．（8分）解方程：
（1）2410x x -+= （2）()22210x x --= （3）241111
x x x +=---
求作图：
①画出ABC ∆关于原点O 的中心对称图形111A B C ∆；
②画出将ABC ∆绕点O 逆时针旋转90︒得到222A B C ∆
③请在网格内过点C 画一条直线CD 将ABC ∆平分成两个面积相等的部分．
24．（10分）已知y ＋6与x 成正比例，且当x ＝3时，y ＝－12，求y 与x 的函数关系式．
25．（10分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ ，连接EQ ，求证：
（1）EA 是∠QED 的平分线；
（1）EF 1=BE 1+DF 1．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．A
【解析】
【分析】
先证明△AEH ∽△AFG ∽△ABC ，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即可得出结果．
解：∵ABC ∆是面积为227cm 的等边三角形
∴227ABC S cm ∆=
∵矩形平行于BC
∴////EH FG BC
∴AEH AFG ABC ∆∆∆∽∽
∵AB 被截成三等分
∴2AF AE =，3AB AE =
∴::1:4:9AEH AFG ABC S S S ∆∆∆=
∴::1:3:5AEH EFGH FBCG S S S ∆=四边形四边形 ∴图中阴影部分的面积2232799EFGH S cm cm =
⨯=四边形 故选：A
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解题意并能灵活运用相关判定方法和性质是解题的关键． 2．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【详解】
解：A 、∵12+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B 、∵42+52≠62，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C 、∵222
,+=∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意； D 、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选C ．
【点睛】
考查勾股定理的逆定理，：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形. 3．B
【解析】
【分析】
用多边形的外角和360°除以72°即可．
解：边数n＝360°÷72°＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和等于360°，是基础题，比较简单．
4．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，
∵∠ADA′=50°，
∴∠A′DC=10°，
∴∠DA′B=130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE=30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′=∠BAE=30°，
∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．
故选C．
考点：旋转的性质；平行四边形的性质．
5．B
【解析】
【分析】
利用中心对称图形的性质，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而判断得出即可．
【详解】
A、是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是中心对称图形，故B选项正确；
C、是中心对称图形，故C选项不正确；
D、是中心对称图形，故D选项错误；
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．
6．D
【解析】
【分析】
可将式中的x ，y 都用3x ，3y 来表示，再将化简后的式子与原式对比，即可得出答案.
【详解】
将原式中的x ，y 分别用3x ，3y 表示
()333333x y xy xy x y x y x y
==+++（）. 故选D ．
【点睛】
考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小N 倍，只要将原数乘以或除以N ，再代入原式求解，是此类题目的常见解法．
7．A
【解析】
【分析】
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】
A. 因为32+42＝52，所以三条线段能组成直角三角形；
B. 因为12+22≠32，所以三条线段不能组成直角三角形；
C. 因为52+72≠92，所以三条线段不能组成直角三角形；
D. 因为62+102≠122，所以三条线段不能组成直角三角形；
故选：A.
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，难度不大
8．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质：邻角互补，求解即可．
【详解】
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=60°，
∴∠B=120°，
故选C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，属于基础性题目．
9．C
【解析】
【分析】
根据一次函数y=x+m 的图象必过一、三象限，可判断出选项B 、D 不符合题意，然后针对A 、C 选项，先根据一次函数的性质判断出m 取值，再根据反比例函数的性质判断出m 的取值，二者一致的即为正确答案．
【详解】
一次函数y=x+m 中，k=1>0，所以函数图象必过一、三象限，观察可知B 、D 选项不符合题意；
A 、由函数y=x+m 的图象可知m ＜0，由函数y=
m x
的图象可知m ＞0，相矛盾，故错误； C 、由函数y=x+m 的图象可知m>0，由函数y=m x 的图象可知m ＞0，正确， 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 10．B
【解析】
【分析】
设从A 地到B 地的路程为S ，甲走完全程所用时间为t 甲，乙走完全程所用时间为t 乙，根据题意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可。

【详解】
解：设从到达目的地路程为S ，甲走完全程所用时间为t 甲，乙走完全程所用时间为t 乙，由题意得，
11()222S S S a b t a b ab
+=+=甲 而对于乙:1122a t b t S ⨯+⨯=乙乙 解得：2S t a b
=+乙 2
4()t ab t a b =+乙甲∴
所以2
4()t ab t a b =+乙甲＜1 所以t 甲＞t 乙，即甲先到达，故答案为B .
【点睛】
本题考查了根据实际问题列代数式，列代数式首先要弄清语句中各种数量的意义及其相互关系，本题解题的关键是表示出甲乙所用时间，并选择适当的方法比较出二者的大小.
二、填空题
11．1
【解析】
试题解析：由B 点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B 点向上平移了2个单位，
由A 点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A 点向右平移了2个单位，
由此得线段AB 的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
所以点A 、B 均按此规律平移，
由此可得a=2，b=2，
故a-b=1．
【点睛】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
12．17.1．
【解析】
【分析】
根据矩形的性质由∠ADF 求出∠CDF ，再由等腰三角形的性质得出∠ECD 即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADF=21°，
∴∠CDF=∠ADC ﹣∠ADF=90°﹣21°=61°，
∵DF=DC ，
∴∠ECD=18057.52
︒-∠=︒CDF ， 故答案为：17.1．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠CDF ．是一道中考常考的简单题． 13．3：1
【分析】 根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得112AOB S EF S AB ，213BOC S GH S BC ，再由点O 是▱ABCD 的对角线交点，根据平行四边形的性质可得S △AOB ＝S △BOC ＝
14S ▱ABCD ，从而得出S 1与S 1之间的关系．
【详解】
解：∵112AOB S EF S AB ，213BOC S GH S BC ， ∴S 1＝12
S △AOB ，S 1＝13S △BOC ． ∵点O 是▱ABCD 的对角线交点，
∴S △AOB ＝S △BOC ＝14
S ▱ABCD ， ∴S 1：S 1＝12：13
＝3：1， 故答案为：3：1．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，平行四边形的性质，根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出112AOB S EF S AB ，213BOC S GH S BC 是解答本题的关键． 14．62x -<<-或04x <<
【解析】
【分析】
根据表可求出反比例函数与一次函数的交点，然后根据交点及表格中对应的函数值即可求出等式8k x
ax b -<+<
的解集. 【详解】 根据表格可知，当x=-2和x=4时，两个函数值相等，
∴y ax b =+与k y x
=的交点为（-2，-4），（4,2）， 根据图表可知，要使8k x ax b -<+<
，则62x -<<-或04x <<. 故答案为：62x -<<-或04x <<.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解答本题的关键.
15．2
【解析】
【分析】
先由含30°角的直角三角形的性质,得出BC,再由三角形的中位线定理得出DE即可. 【详解】
因为，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
所以，
11
84
22
BC AB
==⨯=,
因为，DE是中位线，
所以，
11
42
22
DE BC
==⨯=.
故答案为2
【点睛】
本题考核知识点：直角三角形，三角形中位线. 解题关键点：熟记直角三角形性质，三角形中位线性质. 16．a≤2
【解析】
【分析】
根据求一元一次不等式组解集的口诀，即可得到关于a的不等式，解出即可.
【详解】
由题意得a≤2.
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，解答本题的关键是熟练掌握求一元一次不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大找不到（无解）.
17．8-
【解析】
【分析】
连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义
得到1
2
|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】
解：连结OA，如图
∵AB ⊥y 轴，
∴OC ∥AB ，
∴S △OAB ＝S △ABC ＝4，
而S △OAB ＝
12|k|， ∴12
|k|＝4， ∵k ＜0，
∴k ＝﹣8
故答案为﹣8
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数y ＝
k x
图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
三、解答题
18．（1）见解析；（2）见解析；()24,2B -；（3）见解析；()34,4B --.
【解析】
【分析】
（1）图形的平移时，我们只需要把三个顶点ABC,按照点的平移方式，平移得到新点111A B C ，然后顺次连接各点即为平移后的111A B C ∆.
（2）首先只需要画出B ，C 旋转后的对应点2B ，2C ，然后顺次连接各点即为旋转过后的22AB C ∆，然后写出2B 坐标即可；
（3）首先依次画出点ABC 关于原点O 成中心对称的对应点333A B C ，然后顺次连接各点即可得到333A B C ∆，然后写出3B 坐标即可.
【详解】
解：（1）111A B C ∆如图所示；
（2）22AB C ∆如图所示，由图可知()24,2B -；
（3）333A B C ∆如图所示，由图可知()34,4B --.
【点睛】
本题的解题关键是：根据图形平移、旋转、中心对称的性质，找到对应点位置，顺次连接对应点即是变化后的图形；这里需要注意的是运用点的平移时，横坐标满足“左（移）减右（移）加”，纵坐标满足“下（移）减上（移）加；旋转时找准旋转中心和旋转角度，再进行画图.
19．（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出
∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；
（2）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出
∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可．
【详解】
（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，
∵∠B＝90°，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°
∵CF是正方形的∠C外角的平分线，
∴∠ECF=90°+45°=135°
∴∠AME＝∠ECF，
∵AB＝BC，BM＝BE，
∴AM＝EC，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF,
在△AME和△ECF中
MAE CEF
AM EC
AME ECF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：取AB中点M，连接EM，
∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，∴AM＝CE＝BE，
∴∠BME＝∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AME和△ECF中
MAE CEF
AM EC
AME ECF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴EM＝CF，
∵AB＝2，点E是边BC的中点，
∴BM＝BE＝1，
∴CF＝ME＝2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，关键是推出△AME≌△ECF．20．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)画一个边长为3、4、5的直角三角形即可；
(2)画一个边长为2、22、10的直角三角形即可.
【详解】
解：(1)三边分别是3、4、5，如下图：
(2)三边分别是2、22、10，如下图：
故答案：（1）图形见解析；（2）图形见解析.
【点睛】
本题考查了有理数、无理数、勾股定理.
21．（1）见解析；（2）矩形ABCD的面积＝1．
【解析】
【分析】
（1）根据对边平行得四边形OCED是平行四边形，由原矩形对角线相等且互相平分得OC=OD，所以四边形OCED是菱形；
（2）根据三角形面积公式和矩形的面积等于4个△DEC的面积解答即可．
【详解】
（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED 是平行四边形，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC ＝BD ，OD ＝
12BD ，OC ＝12AC ， ∴OC ＝OD ，
∴▱OCED 是菱形；
（2）∵点E 到CD 的距离为2，CD ＝3，
∴△DEC 的面积＝12332
⨯⨯= ， ∴矩形ABCD 的面积＝4×3＝1．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，是常考题型，难度不大；需要熟练掌握矩形、菱形的边、角、对角线的关系，不能互相混淆.
22．（1）12x =22x =.（2）113x =
，21x =.（3）原方程无解 【解析】
【分析】
（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
（1）解：1a =，4b =-，1c =，
224(4)411120b ac -=--⨯⨯=>，
44
2212
x ±±∴===±⨯
12x ∴=+22x =.
（2）解：原方程可变形为
(2 1)(2 1)0x x x x -+--=，
即(3 1)(1)0x x --=.
3 10x -=或1x -=0. 所以113
x =，21x =. （3）解：方程两边同时乘(1)(1)x x +-，得
24(1)(1)(1)x x x =+-+-.
解这个方程，得1x =.
检验：当1x =时，(1)(1)0x x +-=，1x =是增根，原方程无解.
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
23．（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析
【解析】
【分析】
（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）根据三角形面积公式作图即可．
【详解】
（1）如图所示，111A B C ∆即为所求．
（2）如图所示，222A B C ∆即为所求．
（3）如图所示，直线CD 即为所求．
【点睛】
本题考查了方格作图的问题，掌握中心对称的性质、旋转的性质、三角形面积公式是解题的关键． 24．y=﹣2x ﹣1．
【解析】
试题分析：先根据y+1与x 成正比例关系，假设函数解析式，再根据已知的一对对应值，求得系数k 即可．
解：∵y+1与x 成正比例，
∴设y+1=kx （k≠0），
∵当x=3时，y=﹣12，
∴﹣12+1=3k ，
解得k=﹣2
∴y+1=﹣2x，
∴函数关系式为y=﹣2x﹣1．
25．详见解析.
【解析】
【分析】
(1)、直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；(1)、利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．
【详解】
(1)、∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；
(1)、由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，
QB1+BE1=QE1，则EF1=BE1+DF1．
考点：(1)、旋转的性质；(1)、正方形的性质．。