江苏省南京市秦淮区2019—2020学年九年级下学期第二阶段质量监测数学试题

江苏省南京市秦淮区2019—2020学年九年级下学期第二阶段
质量监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1 ） A ．
32
B ．32
-
C ．32
±
D ．
8116
2．若圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，那么该圆锥的高是（ ）
A ．1
B C ．5
D ．7
3．数据76，78，80，82，84的方差是（ ） A ．2.4
B ．4
C ．4.8
D ．8
4．在平面直角坐标系中，将函数y ＝－x 2的图像先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图像的函数表达式是（ ） A ．2(1)5y x =-++ B ．2(1)5y x =--+ C ．2(1)5y x =-+-
D ．2(1)5y x =---
5．若x ＝－1是不等式2x ＋m ≤0的解，则m 的值不可能．．．是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠BAC ＝80°，∠ABC 和∠ACD 的平分线相交于点E ，连接AE ，则∠CAE 的度数是（ ）
A ．35°
B ．40°
C ．50°
D ．55°
二、填空题
7__________． 8．计算(－a )3÷(－a 2)的结果是_________．
9．若分式2x x
x
-的值为0，则x 的值是___________．
10．某校初中女子篮球队共有11名队员，她们的年龄情况如下：
则该篮球队队员年龄的中位数是_______岁．
11．在平面直角坐标系中，将反比例函数
6
y
x
的图像沿着x轴折叠，得到的图像的函
数表达式是_________．
12．结合下图，“∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．”在这个推理过程中所使用的几何定理是_______．
13．依次连接菱形各边中点所得到的四边形是．
14．如图，将⊙O的内接三角形ABC绕点B顺时针旋转40°后得到△A'BC'，其中点C' 恰好落在⊙O上，则∠A的度数是______°．
15．在半径为2的圆中，弦AB、AC的长度分别是2、则弦BC的长度是______．16．如图，过正方形ABCD的中心O的直线分别交DC、AB于点E、F，将该正方形沿直线EF折叠，点A、D分别落在点A′、D′ 的位置，连接A′C．若AB＝8，DE＝1，则A′C 的长是_____．
三、解答题
17．解方程组22123
x y x y -=⎧⎪
⎨+=⎪⎩
18．解不等式组10
2(2)2x x x -+⎧⎨+>+⎩
19．如图，点E 、F 分别在ABCD 的边AB 、CD 的延长线上，且BE ＝DF ，连接AC 、EF 、AF 、CE ，AC 与EF 交于点O ． （1）求证：AC 、EF 互相平分；
（2）若EF 平分∠AEC ，判断四边形AECF 的形状并证明．
20．在一个不透明的袋子中有1个红球，2个白球和若干个黑球．小明将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中并摇匀，在多次重复以上操作后，小明统计了摸到红球的频率，并绘制了如下折线统计图：
（1）袋子中一共有 个球；
（2）若从该袋中同时摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率．
21．某水果店购进A 、B 两种不同产地的苹果，分别花费了540元和500元，其中A 种苹果的进货单价比B 种苹果的进货单价低10%，A 种苹果的进货数量比B 种苹果的进货数量多20千克．求A 种苹果的进货单价．
22．“科技兴国”．科技企业在社会生产生活中的地位越来越重要．调查某科技企业五年以来的研发成本和年度利润率，将相关数据绘制成如下统计图和统计表：
（1）2021年度该企业总成本是 亿元； （2）求该企业五年以来的年平均研发成本；
（3）根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，写出两个不同类型的结论． 23．如图，某野外生态考察小组早晨7点整从A 营地出发，准备前往正东方向的B 营地，由于一条南北向河流的阻挡（图中阴影部分），他们需要从C 处过桥．经过测量得知，A 、B 之间的距离为13 km ，∠A 和∠B 的度数分别是37°和53°，桥CD 的长度是0.5 km ，图中的区域CDFE 近似看做一个矩形区域． （1）求CE 的长；
（2）该考察小组希望到达B 营地的时间不迟于中午12点，则他们的行进速度至少是多少？（结果保留1位小数）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
24．已知二次函数2223y x mx m =-++（m 是常数） （1）求证：不论m 为何值，该函数的图像与x 轴没有公共点；
（2）把该函数的图像沿x 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x 轴只有一个公共点？
25．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，CD BD =，过点D 作EF ⊥AC ，垂足为E ，交AB 的延长线于点F ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；
（2）若AE ＝1，∠F ＝30°，则⊙O 半径长为 ．
26．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）的函数图像分别为图②中的线段AB、AC．
（1）求线段AB、AC对应的函数表达式；
（2）已知该手机正常使用时耗电量为10%／h，在用快速充电器将其充满电后，正常使用a h，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电—耗电—充电”的时间恰好是6h，求a的值．
27．数学概念
如图①，AE是△ABC的角平分线，D是直线BC上一点，如果点D满足DA＝DE，那么点D叫做△ABC的边BC上的“阿氏点”．
概念理解
（1）在图②中，利用直尺和圆规作△ABC的边BC上的“阿氏点”，用字母D表示（不写作法，保留作图痕迹）；
性质探究
（2）在（1）中，求证：△DAB∽△DCA；
知识运用
（3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点E，以D为圆心，
DA为半径的圆恰好经过点C，且与BD交于点F．①求证：点D是△ABE的边BE上的“阿氏点”；
②若BE
5
2
，DE＝2，AE＝3，则⊙D和⊙O的半径长分别为，．
参考答案1．A
【解析】
分析：根据平方与开平方互为逆运算，可得答案.
详解3
2
，
故选A.
点睛：本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个.
2．B
【分析】
圆锥的母线、底部圆的半径、圆锥的高，这三个线段组成了一个直角三角形，其中圆锥的母线为直角三角形的斜边，其余两个线段为直角三角形的直角边，利用勾股定理便可求出圆锥的高．
【详解】
解：∵圆锥的母线、底部圆的半径、圆锥的高，这三个线段组成了一个直角三角形，其中圆锥的母线为直角三角形的斜边，其余两个线段为直角三角形的直角边，且母线长为4，底部圆的半径为3，
∴根据勾股定理，圆锥的高为：，
故选：B．
【点睛】
本题主要考察了圆锥中母线、底部圆半径、圆锥的高之间的数量关系，其中圆锥的母线为直角三角形的斜边，其余两个线段为直角三角形的直角边，这三个线段中任意知道两个线段的长度，即可求得剩余的线段的长度．
3．D
【分析】
先求出平均数，再根据方差公式即可求解．
【详解】
平均数为7678808284
5
++++
=80，
∴方差为
()()()()()
22222
768078808080828084805
-+-+-+-+-=8
故选D ． 【点睛】
此题主要考查方差、平均数，解题的关键是熟知方差公式的运用． 4．B 【分析】
直接根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】
二次函数图象的平移规律：对于2
(0)y ax a =≠，函数图象向右（或向左）平移h 个单位得到的图象的函数表达式为2
()y a x h =-（或2
()y a x h =+）；函数图象向上（或向下）平移k 个单位得到的图象的函数表达式为2y ax k =+（或2y ax k =-） 则所求的函数表达式为2
(1)5y x =--+ 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟记二次函数图象的平移规律是解题关键． 5．D 【分析】
把1x =-代入不等式求出m 的范围即可判断． 【详解】
将1x =-代入2x ＋m ≤0，得：20m -+≤， 解得：2m ≤， ∴m 的值不可能是3， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．C 【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到∠BAC=2∠BEC，过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EF=FH，EG=EH，然后求出EF=EG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE是∠CAF的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】
解：∵∠ABC与∠ACD的角平分线相交于点E，
∴∠CBE=1
2
∠ABC，∠ECD=
1
2
∠ACD，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠ABC+∠BAC，∠ECD=∠BEC+∠CBE，
∴1
2
∠ACD=∠BEC+
1
2
∠ABC，
∴1
2
（∠ABC+∠BAC）=∠BEC+
1
2
∠ABC，
整理得，∠BAC=2∠BEC，
∵∠BAC=80°，
∴∠BEC=40°，
过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，∵BE平分∠ABC，∴EF=EH，
∵CE平分∠ACD，∴EG=EH，
∴EF=EG，
∴AE是∠CAF的平分线，
∴∠CAE=1
2
（180°-∠BAC）=
1
2
（180°-80°）=50°．
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判
定定理，难点在于作辅助线并判断出AE 是ABC 外角的平分线．
7 【解析】
分析：先根据二次根式的乘法法则进行计算，然后化简后合并即可.
详解
=
故答案为.
点睛：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍. 8．.a 【分析】
先处理符号，再按照同底数幂的除法进行运算即可得到答案． 【详解】 解：()(
)3
2
3
2.a a a
a a -÷-=÷=
故答案为：.a 【点睛】
本题考查的同底数幂的除法运算，掌握运算法则是解题的关键． 9．1 【分析】
要使该分式有意义，且分式的值为0，则要使分母不为0，分子为0，即2x -x=0，且x ≠0，即可求出x 的值． 【详解】
解：∵要使该分式有意义，且分式的值为0， ∴分母不为0，分子为0，即2x -x=0，且x ≠0， 解得：x=1，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．
10．14
【分析】
中位数指的是将样本中的变量值按照顺序从小到大排列（或从大到小排列），居于中间位置的数，因为本题中共有11个样本，所以中位数指的就是将年龄按照从小到大排列，第6个样本所对应的年龄值．
【详解】
解：∵中位数指的是将样本中的变量值按照顺序从小到大排列（或从大到小排列），居于中间位置的数，本题中共有11个样本，
∴中位数指的就是将年龄按照从小到大排列，第6个样本所对应的年龄值，即队员年龄的中位数为14岁，
故答案为：14．
【点睛】
本题考察了中位数的求解，知道中位数的概念，就可以马上解出该题．
11．
6
y
x =-．
【分析】
根据关于x轴对称点的规律，可得反比例函数的解析式．【详解】
∵反比例函数
6
y
x
=的图像沿着x轴折叠，
∴
6
y
x
-=，即
6
y
x
=-．
故答案为：
6
y
x =-．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，以及关于x、y轴对称点的坐标的特点．如（a，b）关于x轴对称点的坐标（a，-b），关于y轴对称点的坐标（-a，b）．
12．三角形的内角和定理
【分析】
由AB＝AC，则∠B＝∠C=60°，则由三角形的内角和定理，得∠A=60°，即可得到答案．【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C=60°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，（三角形的内角和定理）
∴∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：三角形的内角和定理．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的性质定理进行证明．
13．矩形
【解析】
连接AC、BD交于O，
∵E、F. G、H分别是AB、AD、CD、BC的中点，
∴EF∥BD，FG∥AC，HG∥BD，EH∥AC，
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EF∥BD，EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH 是矩形，
故答案为矩形．
14．110.︒
【分析】
利用旋转的性质求解BC C '∠，连接,CC '利用圆的内接四边形的性质可得答案．
【详解】
解：由题意得：40,,ABA CBC BC BC '''∠=∠=︒=
连接,CC '
70,BCC BC C ''∴∠=∠=︒
四边形ABC C '为圆的内接四边形，
180,A BC C '∴∠+∠=︒
110.A ∴∠=︒
故答案为：110.︒
【点睛】
本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．4或2．
【分析】
本题需要考虑对弦AB 、AC 所在位置进行分类讨论，可利用余弦定理求出∠OAB =60°、∠OAC=30°，若弦AB 、AC 位于圆心的两侧时，则∠BAC=∠OAB+∠OAC=90°，则BC 为圆的直径；若弦AB 、AC 位于圆心的同一侧时，则∠BAC=∠OAB-∠OAC=30°，证四边形OABC 为菱形，BC 的长度也可求得．
【详解】
解：①如下图所示，当弦AB 、AC 位于圆心的两侧时，分别将圆心O 点与A 、B 、C 相连，作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，
∵圆的半径为2，故OA=OB=OC=2，且AB=2， ∴AOB 是等边三角形，∠OAB=60°，
在等腰三角形AOC 中，OE 为AC 边上的高，OE 也是AC 边的中线，
∴AE=CE=12AEO=90°，AE cos OAE=OA ∠， ∴∠OAE=30°，则∠BAC=∠OAB+∠OAC=60°+30°=90°，
∴弦BC 为圆的直径，BC=4；
②如下图所示，当弦AB 、AC 位于圆心的同一侧时，分别将圆心O 点与A 、B 、C 相连，
同①中的分析相同，AOB 是等边三角形，∠OAB=60°，
且∠OAC=30°，OA=OC ，故AOC 是等腰三角形，∠AOC=120°，
又∵∠AOC+∠OAB=180°，平行线间同旁内角互补，
∴OC //AB ，且OC=OB=OA ，故四边形OABC 为菱形，
∴BC=OA=2，
故答案为：4或2．
【点睛】
此题主要考查垂径定理、三角函数、圆周角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论． 16．85
．
【分析】
连接AC、BD与EF交于点O，作EM⊥BD于M′，连接OA′，AA′交EF于N．求出Rt△EMO
的三边，由△AA′C∽△OME，可得A C AC
EM OE
'
=，即可解决问题；
【详解】
如图，连接AC、BD与EF交于点O，作EM⊥BD于M，连接OA′，AA′交EF于N．
∵DB是正方形ABCD的对角线，
∴∠BDE=45°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴，
∴OM=
2
，
在Rt△OME中，5
OE===，
∵OA=OA′=OC，
∴∠AA′C=90°，
∵∠DOA=90°，
∴∠EOM+∠AON=90°，
∵∠OAN+∠AON=90°，
∴∠EOM=∠CAA′，
∵∠AA′C=∠OME，
∴△AA′C∽△OME，
∴A C AC EM OE '
=，
5
'=， ∴CA ′=85
． 故答案为：
85． 【点睛】
本题考查正方形的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
17．20
x y =⎧⎨=⎩ 【分析】
将原方程整理后再运用加减消元法求解即可．
【详解】 解：把方程22123
x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩变形为：22326x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得，4x=8，
解得，x=2
把x=2代入①得，2-2y=2，
解得，y=0，
所以，方程组的解为：20x y =⎧⎨=⎩
． 【点睛】
此题主要考查了解二元一次方程组，主要思想是“转化思想”，主要方法是：代入消元法和加减消元法．
18．21x -<≤．
【分析】
先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解．
【详解】
102(2)2x x x -+≥⎧⎨+>+⎩①②
解不等式①得1x ≤
解不等式②得2x >-
则不等式组的解为21x -<≤．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
19．（1）证明见解析；（2）四边形AECF 是菱形，证明见解析．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得出AB ∥CD ，AB=CD ，再根据,BE DF =证明,AE CF = 即可得出结论．
（2）证明,CE CF =结合（1）问的结论可得答案．
【详解】
证明：（1） 在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB=CD ，，
∵BE=DF ，
∴AE=CF ，
∵AE ∥CF ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AC 、EF 互相平分．
（2）四边形AECF 是菱形，理由如下：
//,AE CF
,AEF EFC ∴∠=∠
EF 平分∠AEC ，
,AEF FEC ∴∠=∠
,EFC FEC ∴∠=∠
,CE CF ∴=
∴ AECF 是菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 20．（1）5；（2）
1.10
【分析】
（1）根据摸到红球的频率稳定在0.2左右，可以得到摸到红球的概率，从而可以求得总的球数．
（2）利用画树状图可得答案．
【详解】
解：（1）设袋子中黑球的个数有x 个，则 11,125
x =++ 2,x ∴=
将检验x=2是原方程的解
∴1+2+2=5
∴ 袋子里一共有5个球，
故答案为：5.
（2）画树状图如下：
所有的等可能的结果有20种，其中两次摸到白球的有2种，
所有从该袋中同时摸出2个球，摸出的2个球都是白球的概率为：
21.2010
= 【点睛】
本题考查的是用频率来估计概率，同时考查画树状图或列表的方法求概率，掌握以上知识是解题的关键．
21．4.5元
【分析】
设B种苹果的单价为x元，则A种苹果的单价为0.9x元，根据数量＝总价÷单价结合用540元购买的A种苹果比用500元购买的B种苹果多20千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
设B种苹果的单价为x元，则A种苹果的单价为0.9x元，
依题意，得：540500
20 0.9x x
-=，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意，
∴0.9x＝4.5．
答：A种苹果的单价为4.5元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（1）17；（2）2.46亿元；（3）见解析
【分析】
（1）根据2021年的研发成本及其占比即可求出2021年度该企业总成本；
（2）根据平均数的定义即可求解；
（3）根据统计图即可写出两条结论．
【详解】
（1）依题意可得2021年度该企业总成本是5.1÷（1-70%）=17（亿元）
故答案为：17；
（2）该企业五年以来的年平均研发成本为0.5 1.22 3.5 5.1
2.46
5
++++
=（亿元）；
（3）依题意可得结论：该企业五年以来的年平均研发成本逐年增加；随着研发成本增加，年利润率也是增加的．
【点睛】
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知扇形统计图的特点．
23．（1）CE的长为6km；（2）他们的行进速度至少是3.6/
km h．
【分析】
（1）设CE xkm =，先根据矩形的性质可得0.5EF CD km ==，CE DF xkm ==，CE EF ⊥，DF EF ，再解直角三角形分别求出43AE x =，34
BF x =，然后根据线段的和差列出等式，求解即可得；
（2）先根据题（1）的结论求出AE 、BF 、DF 的长，再利用勾股定理分别求出AC 、BD 的长，然后根据速度的计算公式列出不等式，求解即可得．
【详解】
（1）设CE xkm =
四边形CDFE 是矩形
0.5EF CD km ∴==，CE DF xkm ==，CE EF ⊥，DF EF 在Rt ACE △中，tan CE A AE =，即tan 37x AE
=︒ 解得4()tan 370.753x x AE x km =≈=︒ 在Rt BDF 中，9037BDF B ∠=︒-∠=︒，tan BF BDF DF ∠=，即tan 37BF x =︒ 解得3tan 370.75()4BF x x x km =︒≈=
又AE EF BF AB ++=
430.51334
x x ∴++= 解得6()x km =
故CE 的长为6km ；
（2）由（1）可知，483AE x km ==，3942
BF x km ==，6DF x km ==
则10()AC km ===
157.5()2
BD km ==== 设他们的行进速度为/ykm h 由题意得：127AC CD BD y ++≤-，即100.57.55y ++≤
解得 3.6(/)y km h ≥
答：他们的行进速度至少是3.6/km h ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用、勾股定理等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．
24．（1）证明见解析；（2）3.
【分析】
（1）求出根的判别式，即可得出答案.
（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
【详解】
（1）∵()()
222224134412120m m m m ∆=--⨯⨯+=--=-＜， ∴方程22230x mx m -++=没有实数解.
∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点.
（2）∵()222233y x mx m x m =-++=-+，
∴把函数2223y x mx m =-++的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数()23y x m =-+的图象，它的顶点坐标是（m ，0）.
∴这个函数的图象与x 轴只有一个公共点.
∴把函数2223y x mx m =-++的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．
【点睛】
本题考查了1.抛物线与x 轴的交点问题；2.一元二次方程根的判别式；3.二次函数图象与平移变换．
25．（1）证明过程见解析；（2）⊙O 的半径为
23
，过程见解析． 【分析】
（1）添辅助线，连接OD ，∠BOD 为BD 的圆心角，∠FAE 为BC 的圆周角，且1BD=BC 2
，可知∠BOD=∠FAE ，根据同位角相等，两直线平行的公理，得OD //AE ，所以∠ODF=90°，即直线EF 为⊙O 的切线；
（2）设半径OD=r ，在Rt △ODF 和Rt △AEF ，∠F=30°，30°所对直角边为斜边一半，所以OF=2r ，AF=3r=2，则半径可求得．
【详解】
解：（1）如图所示，连接OD ，
∵1CD=BD=BC 2
，∠BOD 为BD 的圆心角，∠FAE 为BC 的圆周角， ∴∠BOD=∠FAE ，
又∵同位角相等，两直线平行，∴OD //AE ，
∵EF ⊥AE ，∴∠AEF=90°，故∠ODF=90°，
∴直线EF 为⊙O 的切线．
（2）由（1）可知：∠AEF=∠ODF=90°，且∠F=30°，
在Rt △ODF 中，设半径OD=r ，30°所对直角边为斜边一半，则OF=2r ，
∵AF=AO+OF=r+2r=3r ，且AE=1，
∴AF=2AE=2，∴r=
23， 故⊙O 的半径为
23． 【点睛】
本题考察了切线的证明、圆周角定理以及含30°的直角三角形边长的计算，并运用到了同位角相等，两直线平行的公理，掌握以上定理就能解决类似的问题．
26．（1）AB 为：0.40.2,E t =+ AC 为：21,155
E t =
+（2）16.7 【分析】
（1）利用待定系数法直接求解析式即可；
（2）根据题意列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设AB 为：,E kt b =+
把()()0,0.2,2,1代入得：
210.2
k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：0.40.2k b =⎧⎨=⎩
∴ AB 为：0.40.2,E t =+
设AC 为：,E mt n =+
把()()0,0.2,6,1代入得：
610.2m n n +=⎧⎨=⎩
解得：2150.2
m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩
AC ∴为：21,155
E t =+ （2）由题意得：()2110%621,15a a -+
--= 128,101515
a a ∴+= 解得：16.7
a = 【点睛】
本题考查的一次函数的实际应用，同时考查一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
27．（1）见详解；（2）见详解；（3）①见详解；②3
；16
．
【分析】
（1）根据题意，作∠BAC的角平分线，交BC于点E，作AE的垂直平分线，交直线BC于点D，连接AD，即可得到答案．
（2）由DA＝DE，得到∠AED=∠EAD，然后证明∠B=∠CAD，即可得到结论成立；
（3）①连接AF，由DA=DF=DC，则∠AFD=∠FAD，∠ABD=∠CAD，然后得到∠BAF=∠FAC，即可得到结论成立；
②由（2）可知，易证△DAB∽△DEA，则DA DB
DE DA
，即可求出DA的长度；作DG⊥AC，
则点G是AC的中点，连接OG，OA，由垂径定理，得到OG⊥AC，然后求出AC的长度，然后得到DG的长度，利用勾股定理，即可求出OA的长度．
【详解】
解：（1）如图：根据题意，作∠BAC的角平分线，交BC于点E，作AE的垂直平分线，交直线BC于点D，连接AD．
（2）如（1）图，
∵DA＝DE，
∴∠AED=∠EAD，
∵∠AED=∠B+∠BAE，∠EAD=∠EAC+∠CAD，
又AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAC，
∴∠B=∠CAD，
∵∠ADC=∠CDA，
∴△DAB∽△DCA；
（3）证明：①连接AF，如图：
∵DA=DF=DC ，
∴∠AFD=∠FAD ，∠ABD=∠CAD ，
∵∠AFD=∠ABD+∠BAF ，∠FAD=∠CAD+∠FAC ，
∴∠BAF=∠FAC ，
∴AF 平分∠BAE ，
在△ABE 中，AF 平分∠BAE ，DF=DA ，
∴点D 是△ABE 的边BE 上的“阿氏点”；
②由（2）可知，
∵∠ABD=∠CAD ，∠ADE=∠EDA ，
∴△DAB ∽△DEA ， ∴DA DB DE DA =，即5222DA DA
+=， ∴3DA =（负值已舍去）；
如图，作DG ⊥AC ，连接OG ，OA ，
∵DA=DC ，
∴点G 是AC 的中点，
由垂径定理，则OG ⊥AC ，
易证△AED ∽△BEC ， ∴AE DE BE CE =，即3252
CE =， ∴53
CE =， ∴514333
AC AE CE =+=+=， ∴111472233
AG AC ==⨯=， 在△ADG 中，利用勾股定理，则
3
DG ===，
在Rt △AOG 中，设OA=OD=r ，则OG=r -
， 由勾股定理，得222OG AG OA +=，
∴2227(()3
r r +=，
解得：16r =
∴⊙D 和⊙O 的半径长分别为3和16
；
故答案为：3；
16
． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，以及作图的基本步骤，解题的关键是熟练掌握题意，掌握所学的知识对题目进行分析，正确作出辅助线，从而进行解题．。