高考数学考点38抛物线试题解读与变式(2021学年)

2018版高考数学考点３8 抛物线试题解读与变式
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考点38 抛物线
【考纲要求】
（1)了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; （2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.； （3)了解抛物线的简单应用; （4）理解数形结合的思想. 【命题规律】
抛物线是历年高考命题的重点热点,考查抛物线的定义、标准方程，常与求参数和最值等问题相结合；考查抛物线的几何性质,常考查焦点弦及内接三角形问题；多与平面向量交汇考查抛物线的定义、方程与几何性质．
预计2018年高考对抛物线的考查会以抛物线的定义与标准方程、几何性质、直线与抛物线位置关系三个为考点为主,在客观题中进行考查,难度中等偏低.也可能以解答题出现在大题,综合考查直线与抛物线的位置关系及与其它知识的交汇． 【典型高考试题变式】 （一)抛物线的定义及应用
【例1】【２014全国新课标Ⅰ卷】已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，Ｐ是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=,则=QF ( ） Ａ.2
7 B ．3 C.2
5 D.2 【答案】B
【解析】如图所示，因为FQ PF 4=，故
3
4
PQ PF
=
,过点Q 作QM l ⊥，垂足为Ｍ，则//QM x 轴，所以
3
4
4
MQ PQ PF
==
,所以3MQ =,由抛物线定义知,3QF MQ ==，选B.
【方法技巧归纳】涉及到抛物线上的点到焦点（准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解，如根据抛物线定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解.
【变式1】【变为利用定义求焦点到坐标轴的距离】若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为１0,则M 到y 轴的距离是＿___＿__. 【答案】9
【解析】设抛物线的焦点为F ,则||10MF =,于是由抛物线的定义知|10|1M x MF +==，所以9M x =,即为M 到y 轴的距离.
【变式2】【变为求多条线段和】如果1P ，2P ,…,n P 是抛物线C ：24y x =上的点,它们的横坐标依次为1x ,2x ,…，n x ，F 是抛物线C 的焦点,若1210n x x x +++=,则
1
2n PF P F P F +++=( ）
A.10n + Ｂ.20n + Ｃ.210n + D ．220n + 【答案】A
（二)抛物线的方程
【例２】【２０1３全国新课标Ⅱ卷】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F,点M 在C 上，|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(０，2)，则Ｃ的方程为（ )
Ａ.24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C.24y x =或216y x = D.22y x =或216y x = 【答案】C
【解析】由题意知：(,0)2
p F ，准线方程为2p x =-
，则由抛物线的定义知，52
M p
x =-，设以MF 为直径的圆的圆心为5(,)22M y ,所以圆方程为22525
()()224
M y x y -+-=，又因为点(０，2），所以
4M y =,又因为点M 在C 上,所以162(5)2
p
p =-，解得2p =或8p =，所以抛物线Ｃ的方程为
24y x =或216y x =,故选C.
【方法技巧归纳】求抛物线的标准方程应注意以下几点:(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种;(２)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；（3）要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离,利用它的几何意义来解决问题.
【变式1】【变为利用抛物线的性质求方程】过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点,,A B C ,若2BC BF =，且3AF =,则抛物线的方程为( ） Ａ．2y x = B ．22y x = C ．23y x = Ｄ．24y x = 【答案】Ｃ
【变
式2】【变为与双曲线交汇条件下求抛物线的方程】过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与双
曲线2
2
18
y x -=的一条渐近线平行,并交其抛物线于A B 、两点,若AF BF >,且3AF =，则抛物线方程为( )
A.2y x = B ．22y x = Ｃ.24y x = D.28y x = 【答案】C
【解析】设抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭ ,双曲线的一条渐近线方程为22y x = ，所以设直线
为222p y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ ,设()00,A x y ,根据032p AF x =+= ,解得： 032p x =- ,因为AF BF > ,
所以02p x >
, ()0223y p =- ,即()283232p p p ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭ ，解得: 2p = 或4p = （舍)，即抛物线方程为24y x = ，故选C ． （三）抛物线的几何性质
【例3】【2016新课标Ⅰ卷】以抛物线Ｃ的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于Ｄ,Ｅ两点．已知|AB|＝42，|ＤＥ|=25,则C 的焦点到准线的距离为 A.2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】Ｂ
【方法技巧归纳】(1）涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离，常可相互转化;（2)
应用抛物线几何性质解题时,常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
【变式1】【变为抛物线通径的应用】已知点00(,)P x y 在抛物线W :24y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等,则0x 的值为( ) Ａ.12
B ．1 C.32
D.２ 【答案】B
【解析】因为点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，所以点P 是抛物线W 通径的一个端点,所以012
p
x =
=,故选B ． 【变式2】【变为利用抛物线的对称性的应用】已知抛物线22(0)y px p =>，过点()4,0C -作抛物线的两条切线,CA CB ，,A B 为切点，若直线AB 经过抛物线22y px =的焦点，CAB ∆的面积为
24,则p =_＿＿___.
A.24y x =
B.24y x =- C ．28y x = D.28y x =- 【答案】Ｄ
【解析】(1）由抛物线的对称性知,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1422422CAB p S p ∆⎛⎫
=+⨯= ⎪⎝⎭,解得
4p =,直线AB 方程为2x =,所以所求抛物线标准方程为28y x =-，故选D.
（四)直线与抛物线的位置关系
【例4】【2015新课标Ⅰ卷】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：2
4
x y =与直线y kx a =+(a ＞0）交
与,M N 两点.
（１）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.
【答案】（10y a --=0y a ++=；(2)存在.
【解析】(１)由题设可得)M a ,()N a -,或()M a -，)N a ．
∵1
2y x '=,故24
x y =在x =22a 处的导数值为a ,
曲线C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-,即0ax y a --=．
故2
4
x y =在x ＝—22a 处的导数值为—a ,
曲线C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+,即0ax y a ++=． 故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=.
【方法技巧归纳】(１)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,解题时一般要用到判别式或根与系数的关系；(２)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点．对于抛物线22(0)y px p =>来说,若过抛物线的焦点,则可直接使用公式12AB x x p =++；若不过焦点,则必须用一般弦长公式()()221212||14AB k x x x x ⎡⎤=
++-⎣⎦
【变式1】【变为非探索性问题即证明定点问题】过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,且,A B 两点的纵坐标之积为4-.
（1）求抛物线C 的方程;
（2）已知点D 的坐标为(4,0),若过D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线于P 点，求证:直线AP 与x 轴交于一定点．
【答案】(１）24y x =;(２）1(,0)4
．
【解析】(1）抛物线的焦点为(,0)2
p F ，故可设直线AB 的方程为2
p x my =+， 由222p x my y px ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩
,得2220y pmx p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ,则212y y p =-，∴24p -=-，由0p >,可得2p =. ∴抛物线C 的方程为24y x =．
(2）【方法１】依题意,直线BD 与x 轴不垂直,∴24x ≠． ∴直线BD 的方程可表示为2
2(4)4
y y x x =
--,① ∵抛物线C 的准线方程为1x =-,② 由①,②联立方程组可求得P 的坐标为2
25(1,)4
y x --
-, 由(1）可得124y y =-,∴P 的坐标可化为1
2
15(1,)1y y --,∴1
12
1121151411
AP
y y y y k x y --==---，
∴直线AP 的方程为1
112
1
4()1y y y x x y -=
--, 令0y =,可得22211111111
4444
y y x x y --=-
=-=,∴直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4． 【变式２】【变为探索点的位置】已知抛物线C 的标准方程为)0(22>=p px y ,M 为抛物线C 上一动点，)0)(0,(≠a a A 为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当Ａ为抛物线
C 的焦点且直线M Ａ与其对称轴垂直时,△MON 的面积为18．
(1)求抛物线Ｃ的标准方程;
(2）记AN
AM t 1
1+
=
，若t 值与Ｍ点位置无关，则称此时的点Ａ为“稳定点”,试求出所有“稳定点”,若没有，请说明理由.
【答案】(1)212y x =；（２)无关,证明见解析. 【解析】（Ⅰ)由题意,2
11||||2182222
MON
p p S OA MN p =⋅⋅=⋅⋅==△, 6p =∴, 抛物线C 的标准方程为212y x =. (Ⅱ)设1122()()M x y N x y ，，，,
设直线ＭN 的方程为x my a =+，联立2
12x my a
y x
=+⎧⎨
=⎩得212120y my a --=, ∴2144480m a ∆=+>， 1212y y m +=， 1212y y a =-， 由对称性,不妨设0m >，
(ⅰ）0a <时，12120y y a =->∵， 12y y ∴，同号,
又11||||t AM AN =
+=
222
122222
2212()111441111()11441y y m t m y y m a a m +⎛⎫
===- ⎪+++⎝⎭
∴, 不论
a 取何值，t 均与m 有关
,即0a <时,A 不是“稳定点”； (ⅱ)0a >时，12120y y a =-<∵, 12y y ∴，异号. 又11||||t AM AN =
+=
2
2122212()11()y y t m y y -=+∴2
12122212()411()y y y y m y y +-=+2
221144481144m a m a +=•+22111311a a m ⎛⎫
- ⎪=+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭
, ∴仅当1
103
a -=，即3a =时,t 与m 无关,
【数学思想】
1.函数思想的渗透
由于抛物线问题中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量,它们之间往
往构成函数关系,从而可用函数的思想方法来解决,如求距离、面积、角度的最值及取值范围等．
２．方程思想的渗透
求抛物线的标准方程一般结合待定系数法,通过建立方程(组）来解决;判断直线与双曲线的位置关系和求相关参数的值常常须建立关于参数的方程来解决;解决直线与抛物线的位置关系问题往往须转化为二次方程来解决．
３.分类讨论思想的渗透
若题中的涉及到抛物线曲线类型或点、直线、曲线的相互间的位置变化不明确时，常常需要进行分类讨论解答． ４.转化与化归思想
转化与化归思想在双曲线问题的解决中可谓无处不在,特别是利用定义抛物线上的点到焦点的距离与焦点到准线的距离相互转化，往往能使问题得到快速的解决. 【处理集合问题注意点】
1.利用抛物线定义判断动点的轨迹时易忽视定义中定点F 不在定直线l 上;
2.求抛物线的方程或利用抛物线的性质时,易忽视抛物线的焦点位置;
３．求与抛物线相关的最值问题或取值范围问题时，易忽视抛物线方程中变量的取值范围; ４．应用抛物线的定义时，易忽视参数p 的意义;易忽视抛物线方程的标准形式.
5．解答直线与抛物线位置关系综合题时,易忽视直线与抛物线对称轴平行的情况中，造成考虑问题不全面或不进行严密的推导而导致错误. 【典例试题演练】
１．【20１7届陕西省渭南市高三下学期第二次教学质量检测(二模)】抛物线21
8
y x 的焦点到准线的距离为( )
A.2
B.12 C ．14
D.4 【答案】D
【解析】抛物线变标准式28x y =,可知4p =,焦点到准线的距离为p,故选D ．
2．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2０18届高三上学期第一次联考】抛物线
214y x =的焦点到双曲线2213
x y -=的渐近线的距离为（ ）
A.12
Ｂ． C.1
【答案】B
【解析】抛物线焦点为(0，1）,
渐近线为0x =,
=
,故选Ｂ.
3.【2017届河北武邑中学高三理上学期调研四】若抛物线22y x =上一点M 到它的焦点F 的距离为32
，O 为坐标原点，则MFO ∆的面积为( ）
C.12 D ．14
【答案】Ｂ
【解析】∵抛物线22y x =上一点M 到它的焦点F 的距离为3
2
,∴13
22
x +=，∴1x =，∴1x =
时，y =MFO ∆
的面积为11224
⨯,故选:B ． ４．【2017湖南省长沙市长郡中学、衡阳八中等十校联考二】若抛物线22y px =的焦点到双曲线2218x y p
-=
的渐进线的距离为p ,则抛物线的标准方程为（ )
A.216y x = Ｂ．28y x = C.216y x =或216y x =- D ．28y x =或28y x =- 【答案】A
【解析】由题意,得抛物线2
2y px =的焦点,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
到双曲线2218x y p -=
±=
4
p =
,解得8p =,即抛物线的标准方程为216y x =,故选Ａ．
5．【２０17届重庆市第一中学高三文1２月月考】已知点()5,0A ,抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上,若点F 恰好在PA 的垂直平分线上,则PA 的长度为( ） A.4 B ．3 C ．22 D ．2 【答案】A
6.【2017河南省豫南九校质量考评八】设抛物线24x y =的焦点为F ，过点F 作斜率为k 的直线
l 与抛物线相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点M ，
若4MF =,则直线l 的方程为( ）
A.221y x =+
B.31y x =+
C.21y x + D ．232y x =+ 【答案】Ｂ
【解析】由题意可知()0,1F ，直线:1l y kx =+代入抛物线方程24x y =并化简可得244x kx =+,即2440x kx --=,则124x x k +=-,故点()22,21P k k -+,由题设()22,M k k -，由抛物线的定义可知214MF k =+=,解之得3k =±l 的方程为31y x +，故选Ｂ．
7．【201７河北省衡水中学押题卷I 】焦点为F 的抛物线C : 28y x =的准线与x 轴交于点A ,点M 在抛物线C 上,则当
MA MF
取得最大值时,直线MA 的方程为( ）
A.2y x =+或2y x =-- Ｂ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+ D.22y x =-+ 【答案】A
【解析】过M 作MP 与准线垂直,垂足为P ，则
11
cos cos MA MA MF
MP
AMP MAF ==
=
∠∠,则当MA MF
取得最大值时， MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为
()2y k x =+与28y x =联立,消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k =-=,得1k =±.则直线方程为2y x =+或2y x =--,故选A ．
8．【2０１7三湘名校教育联盟大联考三】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上的一点到双曲线
的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线2y ax =上的两点()()1122,,,A x y B x y 关于直线y x m =+对
称,且121
2
x x =-,则m 的值为（ )
Ａ．32 B.5
2
C.2
D.3
【答案】A
【解析】由题可知()()2
2
11
22,2,,2A x x B x x ,中点坐标为22121222,22x x x x ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
．,A B 关于直线
y x m =+对称，则AB 中点在直线上，且直线AB 与直线y x m =+垂直.可得
2222
12122121
2222,122x x x x x x m x x ++-=+=--．可化为221212121,22x x x x m x x ++=++=-,又1212x x =-，
可得()2
221212125
24x x x x x x +=+-=，则2212123
22
x x m x x +=+-
=,故选A . ９.【20１7湖南省长沙市长郡中学５月模拟】已知24y x =抛物线,焦点记为F ，过点F 作直线
l 交抛物线于,A B 两点，则2
AF BF
-
的最小值为（ )
Ａ．2 Ｂ.5
6
Ｃ．3-Ｄ
.2 【答案】A
【解析】因为()1,0F ,设直线():1AB y k x =-,代入24y x =可得()2222240k x k x k -++=,设()()1122,,,A x y B x y ,则121x x =,由抛物线的定义可得1212222
111
x x AF x BF x x +-=+-=++，则2
AF BF
-
=2
22
2
22
2211
111
x x x x x +=-+++，令
21x t
-=,则
21
x t =+,所以
221
122AF t
BF t t -
=+
++=
1
111112222
2t t
≥
+
+
+++=(
)
2
21=-，故选Ａ.
1０．【昭通市20１7届高三复习备考统一检测(第二次)】已知抛物线26y x =上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍,则该点的横坐标为______＿___. 【答案】3
2
【解析】设该点的横坐标为0x ，由题及抛物线的定义可得000033
+
+2222
p x x x x ==⇒=． １１.【江西省新余市201７届高三高考全真模拟】已知点()()121,,9,A y B y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，210y y >>,点F 是它的焦点，若5BF AF =,则212y y +的值为__＿＿
＿＿＿＿_＿. 【答案】1０
【解析】由抛物线的定义可得1,922p p AF BF =+
=+,依据题设可得595222
p p p +=+⇒=,则22
122414,49366y y y =⨯==⨯=⇒=(舍去负值)，故21210y y +=
1２.【20１7届天津河西区第二次模拟】已知F 是抛物线24y x =的焦点,,A B 是该抛物线上的两点,3AF BF +=,则线段ＡB 的中点到y 轴的最短距离为_＿_＿＿_． 【答案】5
4
13．
【２017甘肃高台县一中检测三】设抛物线22y x =的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线与A B 、，则||4||AF BF +的最小值为__________＿. 【答案】92
【解析】设抛物线22y x =的焦点为1
(,0)2
F 当AB x ⊥轴时，||4||145AF BF +=+=，当直线AB 有
斜率时,可设直线AB 的方程为1
()2
y k x =-,代入抛物线方程得22224(42)0k x k x k -++=，设
1122(,),(,)A x y B x y ，则212121
42,4
x x k x x +=+=
，1212115||4||4()4222AF BF x x x x +=+++=++
≥
5922=，当且仅当1241x x ==即1211,4x x ==时||4||AF BF +有最小值9
2
.
14.【江西省抚州市2０1７届高三4月模拟】已知直线22y x =-与抛物线28y x =交于,A B 两点,
抛物线的焦点为F ,则·
FA FB 的值为_＿___＿＿＿__． 【答案】-１１
【解析】设()()()1122,,,,2,0A x y B x y F ，将22y x =-代入28y x =可得24848x x x -+=,即
2410x x -+=，所以12124,1x x x x +==,则()()1222x x --=()121224x x x x -++=1843-+=-，又
112222,22y x y x =-=-，故()()1212411y y x x =--＝()()12124141418x x x x --+=-+=-,由于
()112,FA x y =-,()222,FB x y =-,则()()1212223811FA FB x x y y ⋅=--+=--=-．
１5．【甘肃省肃南县第一中学20１7届高三下学期期中考试】已知抛物线2:2(0)C x py p =>，过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点,且16MN =. （1）求抛物线C 的方程;
（2）已知动圆P 的圆心在抛物线C 上,且过定点()0,4D ，若动圆P 与x 轴交于A 、B 两点，且DA DB <，求
DA DB
的最小值。

【答案】(Ｉ）28x y =；
1.
【解析】由222P y x x py =+=⎧
⎪
⎨⎪⎩
，得2220x py p =-= 12122,3,x x p y y p ∴+=∴+=
12416,4MN y y p p p ∴=++==∴= ∴抛物线C 时,方程28x y =
(2）设动圆圆心()()()0012:,,,0,,0P x y A x B x ，则2
008x y =，
且圆()()()2
2
2
20000:4P x x y y x y -+-=+-,令0y =,整理得: 22
002160x x x x -+-=,
解得10204,4x x x x =-=+，
∴
()()2
2
0000
2
22
00000416832161832832
416
x DA x x x DB
x x x x x -+-+=
=
=-++++++, 当00x =时,
1DA DB
=,
当00x ≠
时，
000
00
1632
1,0,8232
8DA x x DB
x x x =-
>∴+
≥++
， 16
132221,
211882
DA DB
≥-=-=--<+，
所以DA DB
的最小值为21-．
１6．【2017山西省太原市届三模】已知动点C 到点()1,0F 的距离比到直线2x =-的距离小1,动点C 的轨迹为E . （1)求曲线E 的方程；
(2)若直线:(0)l y kx m km =+<与曲线E 相交于A , B 两个不同点,且5OA OB ⋅=，证明：直线l 经过一个定点．
【答案】(1)24y x =;(2)见解析.
（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由2
,{
4y kx m y x
=+=得()222240k x km x m +-+=，
∴ 12242km
x x k -+=
, 2122m x x k
⋅=. 5OA OB ⋅=， ∴ 1212x x y y += ()()2
2
12121=k x x km x x m ++++
22
45m km
k +=,
∴ 22450m km k +-=， ∴ m k =或5m k =-．
0km <， m k =舍去, ∴ 5m k =-,满足()1610km ∆=->，
∴直线l 的方程为()5y k x =-，∴直线l 必经过定点()5,0.
1７.【201７云南省毕业生复习统一检测二】已知抛物线E 的顶点为原点O ,焦点为圆
22430F x y x +-+=：的圆心F .经过点F 的直线l 交抛物线E 于,A D 两点，交圆F 于,B C 两点，
,A B 在第一象限，,C D 在第四象限.
(１）求抛物线E 的方程;
（2)是否存在直线l ，使2BC 是AB 与CD 的等差中项?若存在，求直线l 的方程;若不存在，请说明理由．
【答案】(１)28y x =；（2)240x y --=或240x y +-=. 【解析】（1)根据已知设抛物线E 的方程为22(0)y px p =>．
∵圆F 的方程为()2
221x y -+=,∴圆心F 的坐标为()2,0F ，半径1r =. ∴p
22
=，解得4p =，∴抛物线E 的方程为28y x =.
当2k =±时， ()22224840k x k x k -++=化为2640x x -+=, ∵()2
64140∆=--⨯⨯>,∴2640x x -+=有两个不相等实数根． ∴2k =±满足题意，即直线()22y x =±-满足题意．
∴存在满足要求的直线l ,它的方程为240x y --=或240x y +-=.
18．【20１７届三省高三上学期百校大联考】已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线3x my =+与E 交于A ，B 两点,且6OA OB =,其中O 为坐标原点. （1）求抛物线E 的方程；
（2)已知点C 的坐标为(－３，0）,记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ,2k ，证明：2
22
12112m k k +-为定值.
【答案】（1）2y x =,(２)见解析.
【解析】(1)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程组223
y px x my ⎧=⎨=+⎩，消元得2260y pmy p --=，
所以122y y pm +=,126y y p =-.
又2121212122
()9664y y OA OB x x y y y y p p
=+=+=-=,所以1
2p =,从而2y x =． （2)因为1111136
y y k x my =
=
++，22
22236y y k x my ==++， 所以
1116m k y =+，22
16
m k y =+, 因此
222222*********()()2m m m m k k y y +-=+++-2
2221212
1111212()36()2m m m y y y y =++++- 22
2121212
22
1212
()2212362y y y y y y m m m y y y y ++-=++- 又122y y pm m +==，1263y y p =-=-,
所以222
2221211622123622439
m m m m m m k k -++-==+⨯+⨯-=
即
2
22
12
112m k k +-为定值． １9．【2０17河北省衡水中学二摸】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D 。

(1)若当点A 的横坐标为3,且ADF ∆为等腰三角形,求C 的方程；
(2)对于（1)中求出的抛物线C ,若点()001,02D x x ⎛
⎫≥ ⎪⎝
⎭,记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴
于点P ,且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -,并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围. 【答案】(１)24y x =（
2)2d ⎫
∈⎪⎪
⎣⎭
． 【解析】(1) 由题知,0,322p p F FA ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()3,0,D p FD +的中点坐标为33,024p ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，则
33324
p
+=,解得2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠,则()22,E x y -． 由204y x x my x ==+⎧⎨⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>，
121204,4y y m y y x +==-.
设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-. 由题知//PE PA ,所以()()21210P P x x y y x x -+-=，
即()()2
21212211221211244
P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==,显然1240y y m +=≠,所以1204P y y
x x ==-,
即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()
12
22
12114
y y y y +=-,
所以()2
1212124,416y y y y y y -=∴+-=， 即22000161616,1,1m x m x x
+==-<
，又因为012
x
≥， 所以01
1,2x d ≤<===
()2
2
224
,2,2
t
t x t d t
t t
-
⎛
=∈=-==-
⎝⎦
,
易知()42
f t t
t
=-在
⎛
⎝⎦
上是减函数，所以2
d
⎫
∈⎪⎪
⎣⎭。

以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

物质生活极大丰富,科学技术飞速发展,这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。

很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了，但只要你依然有着这样一份小小的坚持，你就会不断成长进步，当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候,阅读一文或者做一道题却让我们静下心来,回归自我。

用学习来激活我们的想象力和思维,建立我们的信仰，从而保有我们纯粹的精神世界，抵御外部世界的袭扰。

Thｅ abｏve ｉs tｈe whole conｔenｔ oｆｔｈｉs articlｅ, Ｇorky said： "ｔhe book iｓ thｅ laｄdｅｒ of human ｐrｏgress." I hoｐe yｏu ｃaｎmａke ｐrｏgｒess ｗith tｈe heｌp ｏｆｔhｉs ｌadder． Mater ｉal ｌifｅiｓ extrｅmelｙrｉｃh, scｉence and ｔechｎｏlｏｇｙ aｒe deｖｅｌoping rapidｌｙ, ａll ｏf ｗｈich ｇrａduaｌｌy cｈange tｈe way ｏf peoｐlｅ's ｓｔuｄy and ｌeisuｒe. Maｎy pｅoｐle are no lonｇer eaｇer to puｒｓｕｅ a documeｎt, but as long as yｏｕｓｔilｌｈa ｖe suｃｈ a sｍall persisｔｅnce, you wilｌｃｏnｔinｕe to grow and p ｒogress. Wｈｅn thｅｃｏmpｌeｘworld leaｄs us tｏ chasｅ ouｔ，ｒeaｄｉnｇan article or doiｎg a ｐrｏbｌeｍｍａkｅs us ｃalｍdown a ｎｄｒeｔurｎｔo oｕrselｖｅs. Ｗiｔｈ lｅarning, wｅ caｎａctｉｖate our ｉmagｉnａtion and thｉｎkｉnｇ, estａｂlｉｓh our bｅｌiｅｆ, ｋ
2018版高考数学考点38 抛物线试题解读与变式
eep our ｐuｒe ｓｐｉriｔual wｏｒlｄ anｄreｓisｔｔｈｅ attacｋｏｆｔhe exterｎal wｏrｌｄ.
21。