海南区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

海南区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设f（x）=e x+x﹣4，则函数f（x）的零点所在区间为（）
A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）
A．B．C．2 D．3
3．已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（）
A．为直角三角形B．为锐角三角形
C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能
4．设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b ﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（）
A．B．C．D．
5．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（）
A．5 B．4 C．4D．2
6．三个数60.5，0.56，log0.56的大小顺序为（）
A．log0.56＜0.56＜60.5B．log0.56＜60.5＜0.56
C．0.56＜60.5＜log0.56 D．0.56＜log0.56＜60.5
7．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（）
A．（﹣5，﹣10）B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）
8． 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A 1
C
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 10．sin （﹣510°）=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
11．若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）
A ．
＞
B ．＞
C ．|a|＞|b|
D ．a 2＞b 2
12．若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ）
A ．()()22210x y -++=
B ．()()22
214x y -++= C ．()()2
2
218x y -++= D ．()()2
2
2116x y -++=
二、填空题
13．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．
14．抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形面积为__________
15．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意的正整数n ，都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期为T 的周
期数列．已知数列{a n }满足：a1＞=m （m ＞a ），a n+1=
，现给出以下三个命题：
①若 m=，则a 5=2；
②若 a 3=3，则m 可以取3个不同的值；
③若 m=
，则数列{a n }是周期为5的周期数列．
其中正确命题的序号是 ．
16．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下：
①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x
f x e -<的解集为(0,)+∞；
②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1
(2)4(2),n n f f n N +*<∈；
④若()
()0f x f x x
'+
>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()x
e x
f x f x x
'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．
其中所有正确结论的序号是 ．
17．已知向量,满足42
=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .
【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.
18．已知函数f（x）=，则关于函数F（x）=f（f（x））的零点个数，正确的结论是．（写
出你认为正确的所有结论的序号）
①k=0时，F（x）恰有一个零点．②k＜0时，F（x）恰有2个零点．
③k＞0时，F（x）恰有3个零点．④k＞0时，F（x）恰有4个零点．
三、解答题
4天的用电量与当天气温．
（1）求线性回归方程；（）
（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．
20．在中，，，.
（1）求的值;
（2）求的值。

21．火车站北偏东方向的处有一电视塔,火车站正东方向的处有一小汽车,测得距离为31,
该小汽车从处以60的速度前往火车站,20分钟后到达处,测得离电视塔21,问小汽车到火车站还需多长时间？
22．选修4﹣4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数
方程为，（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．
（Ⅰ）求C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求弦长|AB|．
23．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．
24．已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n+1=（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{+}是等比数列；
（Ⅱ）令b n=，数列{b n}的前n项和为S n．
①证明：b n+1+b n+2+…+b2n＜
②证明：当n≥2时，S n2＞2（++…+）
海南区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：f（x）=e x+x﹣4，
f（﹣1）=e﹣1﹣1﹣4＜0，
f（0）=e0+0﹣4＜0，
f（1）=e1+1﹣4＜0，
f（2）=e2+2﹣4＞0，
f（3）=e3+3﹣4＞0，
∵f（1）•f（2）＜0，
∴由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）．
故选：C．
2．【答案】D
【解析】解：∵a=，c=2，cosA=，
∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，
∴解得：b=3或﹣（舍去）．
故选：D．
3．【答案】A
【解析】解：设A（x1，x12），B（x2，x22），
将直线与抛物线方程联立得，
消去y得：x2﹣mx﹣1=0，
根据韦达定理得：x1x2=﹣1，
由=（x1，x12），=（x2，x22），
得到=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，
则⊥，
∴△AOB为直角三角形．
故选A
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．
4．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
5．【答案】D
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，
则F（0，b，4），E（4，a，0），=（﹣x，b﹣y，0），
∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，
∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，
PE取最小值，
此时，P（2，2，4），E（4，2，0），
∴|PE|min==2．
故选：D．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
6．【答案】A
【解析】解：∵60.5＞60=1，
0＜0.56＜0.50=1，
log0.56＜log0.51=0．
∴log0.56＜0.56＜60.5．
故选：A
【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．
7．【答案】B
【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4，
故选B．
8．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，n=0
满足条件n＜i，s=2，n=1
满足条件n＜i，s=5，n=2
满足条件n＜i，s=10，n=3
满足条件n＜i，s=19，n=4
满足条件n＜i，s=36，n=5
所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，
有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
9．【答案】D.
第Ⅱ卷（共110分）
10．【答案】C
【解析】解：sin（﹣510°）=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣，故选：C．
11．【答案】A
【解析】解：∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b＞0，
∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，
可知：B，C，D都正确，
因此A不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】
考点：圆的方程.1111]
二、填空题
13．【答案】乙，丙
【解析】【解析】
甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。

故答案为：乙，丙。

14．【答案】
【解析】【知识点】抛物线双曲线
【试题解析】抛物线的准线方程为：x=2;
双曲线的两条渐近线方程为：
所以
故答案为：
15．【答案】①②．
【解析】解：对于①由a n+1=，且a1=m=＜1，
所以，＞1，，，∴a5=2 故①正确；
对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m．
若，则．
若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意．
所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个．
故②正确；
若a 1
=m=＞1，则
a2=，所
a3=＞1，
a4=
故在
a1=
时，数列{a n }是周期为3的周期数列，③错；
故答案为：①②
【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目
16．【答案】②④⑤
【解析】解析：构造函数()()x g x e f x =，()[()()]0x g x e f x f x ''=+>，()g x 在R 上递增， ∴()x f x e -<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<，∴①错误；
构造函数()()x f x g x e =
，()()
()0x
f x f x
g x e
'-'=>，()g x 在R 上递增，∴(2015)(2014)g g >， ∴(2015)(2014)f ef >∴②正确；
构造函数2()()g x x f x =，2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x >时，()0g x '>，∴
1(2)(2)n n g g +>，∴1(2)4(2)n n f f +>，∴③错误；
由()()0f x f x x '+>得()()0xf x f x x '+>，即()()0xf x x
'>，∴函数()xf x 在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递
减，∴函数()xf x 的极小值为0(0)0f ⋅=，∴④正确；
由()()x e xf x f x x '+=得2
()()x e xf x f x x
-'=，设()()x
g x e xf x =-，则()()()x
g x e f x xf x ''=--(1)x x x e e e x x x
=-=-，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，∴当
0x >时，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，∴⑤正确．
17．【答案】3
2π
【
解
析
】
18．【答案】 ②④
【解析】解：
①当k=0时，，当x≤0时，f（x）=1，则f（f（x））=f（1）==0，
此时有无穷多个零点，故①错误；
②当k＜0时，（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=kx+1≥1，
此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）当0＜x≤1时，，此时
f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；
（Ⅲ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1＞0，此时无零点．
综上可得，当k＜0时，函数有两零点，故②正确；
③当k＞0时，（Ⅰ）当x≤时，kx+1≤0，此时f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得：，满足；
（Ⅱ）当时，kx+1＞0，此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：
x=0，满足；
（Ⅲ）当0＜x≤1时，，此时f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；
（Ⅳ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1，令f（f（x））=0得：x=
＞1，满足；
综上可得：当k＞0时，函数有4个零点．故③错误，④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查复合函数的零点问题．考查了分类讨论和转化的思想方法，要求比较高，属于难题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由表可得：；
又；
∴，；
∴线性回归方程为：；
（2）根据回归方程：当x=10时，y=﹣2×10+50=30；
∴估计当气温为10℃时的用电量为30度．
【点评】考查回归直线的概念，以及线性回归方程的求法，直线的斜截式方程．20．【答案】
【解析】
解：（Ⅰ）在中，根据正弦定理，，
于是
（Ⅱ）在中，根据余弦定理，得
于是
所以
21．【答案】
【解析】
解:由条件=,设,
在中,由余弦定理得
.
=.
在中,由正弦定理,得（）
（分钟）
答到火车站还需15分钟.
22．【答案】
【解析】解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，得ρ2sin2θ=8ρcosθ．
∴y2=8x即为C的直角坐标方程；
（II）把直线l的参数方程，（t为参数），代入抛物线C的方程，整理为3t2﹣16t﹣64=0，
∴，．
∴|AB|=|t1﹣t2|==．
【点评】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线参数方程的参数的几何意义等是解题的关键．
23．【答案】
【解析】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
∴y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
（2）令x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，
∴f（﹣x）=﹣2x﹣x2，
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴在x∈[﹣2，0]，f（x）=2x+x2，
∴x∈[2，4]，那么x﹣4∈[﹣2，0]，那么f（x﹣4）=2（x﹣4）+（x﹣4）2=x2﹣6x+8，
由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x﹣4）=x2﹣6x+8，
∴当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8．
（3）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．
∴f（0）=0，f（1）=1，
当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8，
∴f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0﹣1+0=0，
∵y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
∴2016=4×504
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×0=0，
即求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0．
【点评】本题主要考查函数周期性的判断，函数奇偶性的应用，综合考查函数性质的应用．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵数列{a n}满足a1=﹣1，a n+1=（n∈N*），∴na n=3（n+1）a n+4n+6，
两边同除n（n+1）得，，
即，
也即，
又a1=﹣1，∴，
∴数列{+}是等比数列是以1为首项，3为公比的等比数列．
（Ⅱ）（ⅰ）证明：由（Ⅰ）得，=3n﹣1，∴，
∴，
原不等式即为：＜，
先用数学归纳法证明不等式：
当n≥2时，，
证明过程如下：
当n=2时，左边==＜，不等式成立
假设n=k时，不等式成立，即＜，
则n=k+1时，左边=
＜+
=＜，
∴当n=k+1时，不等式也成立．
因此，当n≥2时，，
当n≥2时，＜，
∴当n≥2时，，
又当n=1时，左边=，不等式成立
故b n+1+b n+2+…+b2n＜．
（ⅱ）证明：由（i）得，S n=1+，
当n≥2，=（1+）2﹣（1+）2
=
=2﹣，
，
…
=2•，
将上面式子累加得，﹣，
又＜
=1﹣
=1﹣，
∴，
即＞2（），
∴当n≥2时，S n2＞2（++…+）．
【点评】本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、累加法、裂项求和法、数学归纳法、放缩法的合理运用，综合性强，难度大，对数学思维能力的要求较高．。