2017年湖南省邵阳市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2017年湖南省邵阳市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|x2﹣9＞0}，B={x|2＜x≤5}，则A∩B=（）
A．（3，5]B．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪[5，+∞）D．（﹣∞，2]∪（3，+∞）
2．=（）
A． B． C．D．
3．在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，则x≤1的概率为（）
A．B．C．D．
4．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，，，则B=（）
A．B． C．或D．
5．点A（2，1）到抛物线y2=ax准线的距离为1，则a的值为（）
A．或B．或C．﹣4或﹣12 D．4或12
6．若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则φ的最小值是（）
A．B． C．D．
7．几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）
A．2 B．C．D．
8．某变量x，y，z满足约束条件则z=3x﹣y的最大值为（）
A．﹣2 B．10 C．3 D．9
9．已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，
则下列结论成立的是（）
A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1 10．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）
A．10 B．17 C．19 D．36
11．若x，y∈R+，且x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）
A．5 B．C．D．
12．设x0为函数f（x）=sinπx的零点，且满足，则这样的零点有（）
A．18个B．19个C．20个D．21个
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设，向量，，若，则tanθ=．
14．已知A（﹣1，4），B（3，﹣2），以AB为直径的圆的标准方程为．
15．已知函数f （x ）=lnx ﹣3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是 ．
16．设函数y=f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点（a ，b ）为函数y=f （x ）图象的对称中心，研究函数f （x ）=x 3+sinx +2的图象的某一个对称点，并利用对称中心的上述定义，可得到= ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在等差数列{a n }中，a 2=1，a 5=4． （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）设
，求数列{b n }的前n 项和S n ．
18．如图所示，在三棱锥A ﹣BCD 中，A 在平面BCD 内的投影恰为BD 的中点，CD ⊥BD ，AD ⊥AB ，延长DA 至P ，使DA=AP ． （1）求证：PB ⊥平面BCD ； （2）若
，求三棱锥P ﹣ABC 的体积．
19．空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．
现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求这60天中属轻度污染的天数； （2）求这60天空气质量指数的平均值；
（3）将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第五组．从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为x ，y ，求事件|x ﹣y |≤150的概率． 20．已知椭圆，过右焦点F 2的直线l 交椭圆于M ，N 两点． （1）若
，求直线l 的方程；
（2）若直线l 的斜率存在，在线段OF 2上是否存在点P （a ，0），使得，
若存在，求出a 的范围，若不存在，请说明理由．
21．已知函数，直线l：y=（k﹣2）x﹣k+1，且k∈Z．
（1）若，使得f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围；
（2）设a=0，当x＞1时，函数f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．
（1）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（2）若把曲线C1上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．
23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|3x+a|．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥5；
（2）若存在x0满足f（x0）+2|x0﹣2|＜3，求实数a的取值范围．
2017年湖南省邵阳市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|x2﹣9＞0}，B={x|2＜x≤5}，则A∩B=（）
A．（3，5]B．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪[5，+∞）D．（﹣∞，2]∪（3，+∞）
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A、根据交集的定义写出A∩B．
【解答】解：集合A={x|x2﹣9＞0}={x|x＜﹣3或x＞3}，
B={x|2＜x≤5}，
则A∩B={x|3＜x≤5}=（3，5]．
故选：A．
2．=（）
A． B． C．D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：=．
故选：B．
3．在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，则x≤1的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：∵在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，
∴x≤1的概率P==，
故选：A．
4．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，，，则B=（）
A．B． C．或D．
【考点】正弦定理．
【分析】由已知及正弦定理可求sinB==，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．
【解答】解：∵a=3，，，
∴由正弦定理可得：sinB===，
∵a＞b，B为锐角，
∴B=．
故选：A．
5．点A（2，1）到抛物线y2=ax准线的距离为1，则a的值为（）
A．或B．或C．﹣4或﹣12 D．4或12
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的准线方程，根据距离列出方程解出a的值．
【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣，
∴点A（2，1）到抛物线y2=ax准线的距离为|2+|=1
解得a=4或a=﹣12．
故选C．
6．若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得的图
象关于y轴对称，则φ的最小值是（）
A．B． C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】将f（x）化简只有一个函数名，通过变换后图象关于y轴对称建立关系，可得φ的最小值．
【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=图象向左平移φ可得：sin（2x+2φ）图象关于y轴对称，
即2φ=（k∈Z）
解得：φ=．
∵φ＞0，
当k=0时，φ的值最小值为．
故选C．
7．几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）
A．2 B．C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个长方体，切去了一个边长为1，高也是1的正四棱锥，其体积等于长方体减去正四棱锥的体积．
【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个长方体，切去了一个边长为1，高也是1的正四棱锥，
（如图），长方体ABCD﹣A′B′C′D′切去ABCD﹣S正四棱锥．
1×2=2，
长方体的体积为V
长方体=1×
正四棱锥的体积为
该几何体的体积．
故选D
8．某变量x，y，z满足约束条件则z=3x﹣y的最大值为（）
A．﹣2 B．10 C．3 D．9
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A（3，﹣1），
化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，
由图可知，当直线y=3x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×3﹣（﹣1）=10．
故选：B．
9．已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，
则下列结论成立的是（）
A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．
【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，
当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，
当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，
故选：D．
10．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）
A．10 B．17 C．19 D．36
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
k=2，s=0
满足条件k＜10，第一次循环，s=2，k=3，
满足条件k＜10，第二次循环，s=5，k=5，
满足条件k＜10，第二次循环，s=10，k=9，
满足条件k＜10，第二次循环，s=19，k=17，
不满足条件k＜10，退出循环，输出s的值为19．
故选：C．
11．若x，y∈R+，且x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）
A．5 B．C．D．
【考点】基本不等式．
【分析】将方程变形+=1，代入可得3x+4y=（3x+4y）（+）=++
×3，然后利用基本不等式即可求解．
【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0，
∴+=1，
∴3x+4y=（3x+4y）（+）=++×3≥+2 =5，
当且仅当=即x=2y=1时取等号，
故选：A．
12．设x0为函数f（x）=sinπx的零点，且满足，则这样的零点有（）
A．18个B．19个C．20个D．21个
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】根据函数零点的定义，先求出x0的值，进行求出f（x0+）的值，然后解不等式即可．
【解答】解：∵x0为函数f（x）=sinπx的零点，∴sinπx0=0，即πx0=kπ，k∈Z，则x0=k，
若k是偶数，则f（x0+）=1，若k是奇数，则f（x0+）=﹣1，
当k是偶数时，则由|x0|+f（x0+）＜11得即|k|＜﹣1+11=10，
当k是奇数时，则由|x0|+f（x0+）＜11得|x0|＜﹣f（x0+）+11，
即|k|＜1+11=12，则共21个，
故选：D，
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设，向量，，若，则tanθ=
．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出tanθ的值．
【解答】解：设，向量，，
若，则•=0
﹣cosθ+2si nθ=0
∴=tanθ=．
故答案为：．
14．已知A（﹣1，4），B（3，﹣2），以AB为直径的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=13．
【考点】圆的标准方程．
【分析】因为线段AB为所求圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段AB的中点即为所求圆的圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出圆心C与点A之间的距离即为所求圆的半径，根据求出的圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：设圆心为C，∵A（﹣1，4），B（3，﹣2），
∴圆心C的坐标为（1，1）；
∴|AC|==，即圆的半径r=，
则以线段AB为直径的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=13．
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=13．
15．已知函数f（x）=lnx﹣3x，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x+y+1=0．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，﹣3）和斜率写出切线的方程即可．
【解答】解：由函数f（x）=lnx﹣3x知f′（x）=﹣3，把x=1代入得到切线的斜率k=﹣2，
∵f（1）=﹣3，
∴切线方程为：y+3=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0．
故答案为2x+y+1=0
16．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究函数f（x）=x3+sinx+2的图象的某一个对称点，并利用对称中心的上述定义，可
得到=42．
【考点】函数的值．
【分析】由已知得f（x）=x3+sinx+2的对称点为（0，2），从而f（x）+f（﹣x）
=4，f（0）=2，由此能求出的值．【解答】解：∵f（x）=x3+sinx+2的对称点为（0，2），
∴f（x）+f（﹣x）=4，f（0）=2，
∴
=4×10+2=42．
故答案为：42．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在等差数列{a n }中，a 2=1，a 5=4． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；
（2）设
，求数列{b n }的前n 项和S n ．
【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式． 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出． （2）利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）由题意知，a 5﹣a 2=3d=3，∴d=1， ∴a n =n ﹣1（n ∈N*）．
（2）由（1）得
，
∴数列{b n }是以1为首项，公比为2的等比数列，
∴．
18．如图所示，在三棱锥A ﹣BCD 中，A 在平面BCD 内的投影恰为BD 的中点，CD ⊥BD ，AD ⊥AB ，延长DA 至P ，使DA=AP ． （1）求证：PB ⊥平面BCD ； （2）若
，求三棱锥P ﹣ABC 的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）由题设知△ABD 是等腰直角三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，又由DA=AP ，得△PAB ≌△DAB ，可得∠PBD=90°，由面面垂直的性质可得PB ⊥平面BCD ；
（2）取BD 的中点O ，解直角三角形可得
，
，再由V P ﹣ABC =V P ﹣BCD ﹣
V A ﹣BCD 求得三棱锥P ﹣ABC 的体积．
【解答】（1）证明：由题设知△ABD 是等腰直角三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，
又由DA=AP ，得△PAB ≌△DAB ， ∴∠PBD=90°，又平面PBD ⊥平面BCD ， ∴PB ⊥平面BCD ；
（2）解：取BD 的中点O ，则，
，
∴
=．
19．空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．
现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求这60天中属轻度污染的天数；
（2）求这60天空气质量指数的平均值；
（3）将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第五组．从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为x，y，求事件|x﹣y|≤150的概率．
【考点】几何概型；频率分布直方图．
【分析】（1）（2）根据频率分布直方图，计算即可；
（3）求出从9天中抽出2天的一切可能结果的基本事件有36种，由|x﹣y|≤150知两天只能在同一组中，而两天在同一组中的基本事件有18种，从而求出满足条件的概率即可．
【解答】解：（1）依题意知，轻度污染即空气质量指数在151～200之间，共有0.003×50×60=9天．
（2）由直方图知60天空气质量指数
的平均值为
．
（3）第一组和第五组的天数分别为60×0.1=6天，60×0.05=3天，
则从9天中抽出2天的一切可能结果的基本事件有36种，
由|x﹣y|≤150知两天只能在同一组中，而两天在同一组中的基本事件有18种，
用M表示|x﹣y|≤150这一事件，则概率．
20．已知椭圆，过右焦点F2的直线l交椭圆于M，N两点．
（1）若，求直线l的方程；
（2）若直线l的斜率存在，在线段OF2上是否存在点P（a，0），使得，若存在，求出a的范围，若不存在，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）当直线l的斜率不存在时，不合题意；当直线l的斜率存在时，设
直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程为，得（5k2+4）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，由此能求出直线l的方程．
（2）求出MN的中点Q，假设存在点P（a，0），使得
，则k PQ•k MN=﹣1，由此能求出存在点P且．
【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，
，，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），
直线l的方程为y=k（x﹣1），①
又椭圆的方程为，②
由①②可得（5k2+4）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，（*）
∴，，
∴，
∴，解得k2=2，
∴，即直线l的方程为或．
（2）由（1）可知y1+y2=k（x1+x2），
设MN的中点为，即Q，
假设存在点P（a，0），使得，则k PQ•k MN=﹣1，
解得，
当k=0时，M，N为椭圆长轴的两个端点，则点P与原点重合，
当k≠0时，，
综上所述，存在点P且．
21．已知函数，直线l：y=（k﹣2）x﹣k+1，且k∈Z．
（1）若，使得f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围；
（2）设a=0，当x＞1时，函数f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）问题转化为，令，x∈[e，e2]，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可；
（2）问题转化为，令，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出k的最大整数值即可．
【解答】解：（1）由题意可得，即，
令，x∈[e，e2]，
∴，
令h'（x）＞0，解得0＜x＜e，
∴h（x）在x∈[e，e2]上递减，
∴当x=e时，，
∴，即a的取值范围是．
（2）由题意可知xlnx＞x（k﹣2）﹣k+1在x∈（1，+∞）上恒成立，
即，
令，
∴，
令φ（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），，
∴φ（x）在x∈（1，+∞）上递增，又φ（3）=1﹣ln3＜0，φ（4）=2﹣ln4＞0，∴存在唯一实数x0∈（3，4），使得φ（x0）=0，即x0﹣lnx0﹣2=0，（*）
∴h（x）在x∈（1，x0）上递减，在x∈（x0，+∞）上递增，
∴h（x）min=h（x0）=，
∴k＜h（x）min，又k∈Z，∴k的最大值为4．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（1）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（2）若把曲线C1上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用sin2θ+cos2θ=1消去参数可得曲线C1的普通方程，与直线l联立方程组求解A，B坐标，两点之间的距离公式可得|AB的长度．
（2）由题意得曲线C2的参数方程为（θ是参数），设点
，点到直线的距离公式，利用三角函数的有界限，可得距离的最大值．
【解答】解：（1）由题意，消去参数t，得直线l的普通方程为，
根据sin2θ+cos2θ=1消去参数，曲线C1的普通方程为x2+y2=1，
联立得解得A（1，0），，
∴|AB|=1．
（2）由题意得曲线C2的参数方程为（θ是参数），设点
，
∴点P到直线l的距离=，
当时，．
∴曲线C2上的一个动点它到直线l的距离的最大值为．
23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|3x+a|．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥5；
（2）若存在x0满足f（x0）+2|x0﹣2|＜3，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）将a的值带入f（x），通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
（2）根据绝对值的性质求出（f（x0）+2|x0﹣2|）min＜3，即|a+6|＜3，求出a 的范围即可．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x﹣2|+|3x+1|，
①当x≥2时，不等式等价于x﹣2+3x+1≥5，解得，即x≥2；
②当时，不等式等价于2﹣x+3x+1≥5，解得x≥1，即1≤x＜2；
③当时，不等式等价于2﹣x﹣3x﹣1≥5，解得x≤﹣1，即x≤﹣1．
综上所述，原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}．
（2）由f（x0）+2|x0﹣2|＜3，即3|x0﹣2|+|3x0+a|＜3，
得|3x0﹣6|+|3x0+a|＜3，
又|3x0﹣6|+|3x0+a|≥|（3x0﹣6）﹣（3x0+a）|=|6+a|，
∴（f（x0）+2|x0﹣2|）min＜3，即|a+6|＜3，
解得﹣9＜a＜﹣3．
2017年3月11日。