学科思想专题对称思想讲义

对称思想
编审教师：高级教师白英彬
在物理中，对称性主要体现在物理现象的时间和空间性质的描述上，也就是说，很多物质和运动过程都有它对应的方面。

这种对应方面表现为现象的相同、形态上的对映、物质的正反面、结构上的重复、性质上的一致、规律性的不变等。

物理解题中的对称思想，就是从对称性的角度去分析物理条件、物理情景、物理过程、物理规律，从而利用对称性将复杂的模型转化为熟悉的模型。

结构对称
（2022·湖南月考）ab 是长为L 的均匀带电细杆，P 1、P 2是位于ab 所在直线上的两点，位置如图所示。

ab 上电荷产生的静电场在P 1处的场强大小为E 1，在P 2处的场强大小为E 2。

则以下说法正确的是（ ）
A ．两处的电场方向相同，E 1＜E 2
B ．两处的电场方向相反，E 1＜E 2
C ．两处的电场方向相同，E 1＞E 2
D ．两处的电场方向相反，
E 1＞E 2 关键信息：均匀带电细杆 → 电性未知，则可能带正电也可能带负电
ab 上电荷在P 1、P 2处的场强大小、方向的判断 → 微元法结合对称性 → 根据电场叠加原理分析场强的大小以及方向特点
解题思路：由于细杆均匀带电，我们取a 点关于P 1的对称点c ，根据微元法结合对称性以及电场叠加原理，则aP 1段与cP 1段关于P 1点的电场互相抵消，整个杆在P 1点的电场，仅仅相当于cb 部分在P 1所产生的电场。

而对于P 2点却是整个杆所产生的电场，相当于cb 部分和ac 部分所产生电场的叠加，进而比较P 1、P 2的场强大小以及方向。

如图，取a 点关于P 1的对称点为c ，如图所示
假设均匀细杆带正电，根据微元法结合对称性以及电场叠加原理可知：
在P 1点，aP 1与P 1c 产生的合场强为0，故P 1点场强为cb 杆产生的场强E 1，方向向左。

在P 2点，因P 1、P 2到cb 杆距离均为4
L ，即P 1、P 2处于cb 杆的对称位置。

故cb 杆在P 2处产生的场强与在P 1处产生的场强大小相等，为E 1，方向向右。

同时，ac 杆还在P 2处产生场强。

P 2点场强为cb 杆与ac 杆场强的叠加，大小为E 2＝E 1＋E ac ，方向向右。

故两点场强方向相反，大小满足：E 1＜E 2。

故选：B
（2022·辽宁月考）如图所示，一条长为L 的细线，上端固定，下端拴一质量为m 的带电小球。

将它置于一匀强电场中，电场强度大小为E ，方向是水平的。

已知当细线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。

如果使细线的偏角由α增大到φ，然后将小球由静止开始释放，则φ应为多大，才能使在细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？
根据受力分析可以判断小球带正电，由小球处于受力平衡状态可知，F ＝mg tan α＝qE 解得：tan α＝qE mg
① 由题意可知小球由静止释放过程中，重力做正功，电场力做负功，动能的变化量为零，根据动能定理有：mgL (1﹣cos φ)﹣EqL sin φ＝0
解得：tan 2
＝qE mg ② 联立①②式可得，φ＝2α。

由于重力和电场力均为恒力，这两个力的合力也是一个恒力，故可以认为这个合力为“等效重力”，当细线与竖直方向夹角为α时小球的位置为平衡位置，那么小球偏离平衡位置后的运动相当于在“等效重力”作用下的运动，根据运动的对称性（相当于单摆在平衡位置两侧的摆动具有对称性），细线偏离平衡位置两侧的角度都是α，所以小球静止释放的位置，细线应偏离竖直位置的角度为2α，即φ＝2α。

结构对称主要指某种几何形态的对称，往往出现在距离相等的静电场中或位移相等的运动过程中。

例如，在静电场中点电荷、等量异号（或同号电荷）电场的对称，部分均匀带电体电场的对称。

在静电场中找出其对称性，往往会出现电场强度的大小相等，方向相同（或相反）的情况，使得问题的求解变得简单。

电场中也经常存在运动的对称性。

例如，电场中的类竖直上抛运动，圆周运动、类单摆以及周期性交变电场导致的往复运动等。

中心对称
（智学精选）如图所示，质量为m 的物体放在弹簧上，在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.9倍，则下列说法正确的是（ ）
A ．物体对弹簧的最小压力为0.2mg
m 的物体，随弹簧一起振动（不分离），则振动的振幅将增大
C ．物体在振动过程中机械能守恒
D．要使物体在振动过程中不离开弹簧，则振幅不能超过10 9
A
关键信息：简谐运动→具有对称性，即最高点和最低点加速度大小相等，方向相反物体对弹簧的最大压力→出现在简谐运动的最低点
物体对弹簧的最小压力→出现在简谐运动的最高点
物体在振动过程中不离开弹簧→物体在最高点时，弹簧只能处于原长或压缩
状态（重点）
解题思路：由简谐运动的对称性可知物体在最高点和最低点的加速度大小相等，方向相反，故求出物体在最低点时的加速度，进而根据加速度大小相等进一步求出物体在最高点对弹簧的最小压力；欲使物体不脱离弹簧的临界是物体振到最高点时，物块与弹簧之间的压力恰好为零。

A、因为物体在竖直方向上做简谐运动，物体在最低点时对弹簧的压力最大，在最高点对弹簧的压力最小，在最低点根据牛顿第二定律有F N﹣mg＝ma，解得ag，由最高点和最低点相对平衡位置对称，加速度大小等值反向，所以最高点的加速度大小也为a′g，则在最高点时弹簧依旧处于压缩状态，由牛顿第二定律有mg﹣F N′＝ma′，故F N′＝mg﹣ma′mgmg，故A错误；
m的物体，随弹簧一起振动（不分离），根据牛顿第二定律有F N﹣(mm)g＝(mm)a′，加
速度将减小，由a＝
kx
m
-知，振动的振幅将减小，故B错误；
C、物体在振动过程中机械能不守恒，它与弹簧构成的系统机械能守恒，故C错误；
D、要使物体不脱离弹簧的临界是物体振到最高点时，物体与弹簧之间的压力恰好为零。

根据牛顿第二定律可知，此时的最大加速度为g，此时最高点恰在弹簧原长处。

由a＝
kx m -
知，当振幅为Ag＝
k
A
m
-。

设振动过程中不离开弹簧时其最大振幅不能超过A′，在最高点
有g＝
k
A
m
'
-，由此可得A′＝
10
9
A，故D正确；
故选：D。

（2022•山西月考）如图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动。

若从O 点开始计时，经过5s质点第一次经过M点；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需要的时间是（）
A ．6s
B ．8s
C ．20s
D ．24s
设题图中a 、b 两点为质点振动过程的最大位移处，从O 点开始计时，假设质点从O 点向右运动，从O 到M 过程历时5s ，M →b →M 运动过程历时2s ，根据简谐运动的特点可知：4
T ＝6s ，所以简谐运动的周期为：T ＝24s 。

则质点第三次经过M 点还需要的时间为： Δt ＝T ﹣2s ＝(24﹣2)s ＝22s
从O 点开始计时，假设质点从O 点向左运动，O →a →O →M 运动过程历时5s ，M →b →M 运动过程历时2s ，则：2T ＋4
T ＝(5＋1)s ＝6s ，所以简谐运动的周期为：T ＝8s 则质点第三次经过M 点还需要的时间：
Δt ′＝T ﹣2s ＝(8﹣2)s ＝6s
故A 正确，BCD 错误。

故选：A
相对于某一位置的对称性称之为中心对称。

最常见的是简谐运动，质点沿某一直线或弧线，以某一中心位置做往复运动。

简谐运动相对于特定平衡位置的位移、速度、加速度具有空间的轴对称性。

对于时间间隔Δt ＝nT （n ＝1，2，…），简谐运动具有时间平移对称性。

解题过程中，往往可以结合x 、v 、a 与t 的对称性来进行求解。

时间反演
（2022•辽宁皇姑区模拟）高铁站台上，5位旅客在各自车厢候车线处候车，若动车每节车厢长为l ，动车进站时做匀减速直线运动。

站在2号候车线处的旅客发现1号车厢经过他所用的时间为t ，动车停下时该旅客刚好在2号车厢门口（2号车厢最前端），如图所示，则（ ）
A ．动车从经过5号候车线处的旅客开始到停止运动，经历的时间为t
B ．动车从经过5号候车线处的旅客开始到停止运动，平均速度为l t
C ．1号车厢头部经过5号候车线处的旅客时的速度为
4l t
D ．动车的加速度大小为2l t 关键信息：每节车厢长为l → 位移等分
进站时做匀减速直线运动到停下 → 逆过程为初速度为0的匀加速直线运动
解题思路：采用逆向思维，认为动车是从1号候车处开始做初速度为零的匀加速直线运动，
且运动过程中位移等分，可利用位移关系、速度关系以及平均速度关系进行相关计算。

A ．采用逆向思维，动车反向做初速度为0的匀加速直线运动，由题意可知动车第1节车厢最前端经过2号旅客的位移为l ，时间为t ，有
l ＝12
at 2 动车第1节车厢最前端经过5号旅客的位移为4l ，时间为t 5，有
4l ＝2512
at 解得：t 5＝2t ，故A 错误；
B ．动车第1节车厢最前端从经过5号旅客到停下总位移为4l ，用时2t ，则平均速度为 422l l v t t
==，故B 错误； C ．设1号车厢头部经过5号候车线处的旅客时的速度为v 5，则有
4l ＝502
v +×2t 解得：v 5＝4l t
，故C 正确； D ．动车从经过5号候车线处的旅客开始到停止运动过程，有：0＝v 5﹣a ·2t
解得：a ＝
52v t ＝22l t
，故D 错误； 故选：C
（2022•广西江南区月考）如图甲所示，两消防员在水平地面A 、B 两处使用相同口径的喷水枪对高楼着火点进行灭火。

出水轨迹简化为如图乙所示，假设均能垂直击中竖直楼面上的同一位置点P 。

不计空气阻力，则（ ）
A ．A 处水枪喷出的水在空中运动时间较长
B ．B 处水枪喷出的水击中墙面的速度较大
C ．A 处水枪喷口喷出水的初速度较大
D ．B 处水枪喷口每秒喷出水的体积较大
A 、两喷水枪喷出的水从A 到P 、
B 到P 的运动可分别看成从P 到A 、P 到B 的平抛运动，因二者高度相同，故水枪喷出的水在空中运动时间相同，故A 错误；
B 、因两喷水枪喷出的水运动时间相同，根据x ＝vt 可知，A 处喷水枪喷出水的水平速度大，所以A 处水枪喷出的水击中墙面的速度较大，故B 错误；
C 、逆过程为平抛运动，因水枪喷出的水在空中运动时间相同，故在A 、B 两点处的竖
直分运动v y＝gt相同，又因A处喷水枪的水平速度大，将速度进行合成可得A处水枪喷口喷出水的初速度较大，C正确；
D、由于A处水枪喷口喷出水的初速度较大，所以A处水枪喷口每秒喷出的水多，体积较大，故D错误；
故选：C
时间反演对称是指运动的可逆性，即把一个过程用摄像机拍下来，然后把胶卷倒过来放映，假如看上去运动规律（当然不是指“现象”）与顺放时一样，就叫做“时间反演对称”。

体现的是一种逆向思维，例如，末速度是0的匀减速直线运动利用时间反演可以看成是初速度为0的匀加速直线运动；斜抛运动到最高点的过程利用时间反演可以看成平抛运动。

镜像对称（空间反演）
（2022•河南月考）如图，空间中有两个竖直墙壁MN和PQ，竖直虚线OA为两墙壁连线的中垂线，M、O、P三点等高，将一小球从O点水平向左抛出，小球与墙壁发生两次弹性碰撞之后恰好落在地面上的A点，每次碰撞时间极短，碰撞前后，水平方向速度大小不变，竖直方向速度不变，小球从O点运动到B的时间为t1，从B点运动到C点的时间为t2，从C点运动到A点所用的时间为t3；O、B之间的高度差为h1，B、C之间的高度差为h2，C、A之间的高度差为h3，不计空气阻力和摩擦阻力，则（）A．t1∶t2∶t3＝1∶2∶1，h1∶h2∶h3＝1∶7∶8
B．t1∶t2∶t3＝1∶2∶1，h1∶h2∶h3＝1∶8∶7
C．t1∶t2∶t3＝1∶2∶3，h1∶h2∶h3＝1∶8∶7
D．t1∶t2∶t3＝1∶2∶3，h1∶h2∶h3＝1∶7∶8
关键信息：弹性碰撞→小球碰撞前后速度大小不变，方向存在对称性，导致轨迹存在镜像对称
虚线OA为两墙壁连线的中垂线→水平位移
1
2
OB BC CA x x x
==
水平抛出、不计空气阻力和摩擦阻力→平抛运动
解题思路：根据镜像对称，做出小球平抛运动的运动轨迹。

根据三点间的水平距离求出时间之比。

再根据竖直方向自由落体运动规律求三点的高度之比。

设两墙壁之间的距离为2L ，小球在水平方向做匀速直线运动，有t 1＝0L v ，t 2＝02L v ，t 3＝0
L v ，所以t 1∶t 2∶t 3＝1∶2∶1 小球在竖直方向做自由落体运动，有h 1＝2112
gt ， h 1＋h 2＝12g (t 1＋t 2)2， h 1＋h 2＋h 3＝12
g (t 1＋t 2＋t 3)2，即：h 1∶h 1＋h 2∶h 1＋h 2＋h 3＝21t ∶(t 1＋t 2)2∶(t 1＋t 2＋t 3)2＝1∶9∶16， 化简得：h 1∶h 2∶h 3＝1∶8∶7，所以选项B 正确，ACD 错误。

故选：B
（2022•江苏阜宁县模拟）某同学用下图实验装置观察光现象：平面镜水平放置，单色线光源S 垂直于纸面放置，S 发出的光有一部分直接入射到竖直放置的光屏上，一部分通过平面镜反射后再到光屏上，则（ ）
A ．光现象为干涉现象，光屏上的条纹与平面镜垂直
B ．光现象为衍射现象，光屏上的条纹与平面镜平行
C ．将光屏沿水平方向远离平面镜，相邻条纹间距增大
D ．将光源沿竖直方向靠近平面镜，相邻条纹间距减小
将光路补充完整，如下图所示：
AB 、平面镜的反射光相当于从S 的像点S ′发出的光，所以该装置类似于双缝干涉装置，所以能在光屏上观察到与镜面平行的干涉条纹，故AB 错误；
C 、若光屏沿水平方向远离平面镜，相当于双缝与光屏间距离L 增大，根据双缝干涉现
象中相邻亮（暗）条纹的间距公式Δx ＝L d
λ，可知屏上的两个相邻条纹间的距离增大，故C 正确；
D 、若将线光源S 沿竖直方向靠近平面镜，相当于减小了两束干涉光（双缝）的间距d ，
根据Δx ＝L d
λ可知屏上的两个相邻条纹间的距离增大，故D 错误； 故选：C
物体和它在平面镜中的像具有的对称性称为镜像对称，镜像对称是一种空间反演，它的重要特点是：物和像大小相同，上下关系不变，左右关系相反。

平面镜成像、小球的弹性碰撞、声波的反射、点电荷与无限大金属平板之间的电场线分布等都存在这种特征。

解题过程中往往可以使用镜像对称将复杂的模型转化为熟悉的模型。