第5章5.3第1课时 公式二、公式三和公式四PPT课件(人教版)

[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角， 所以α－75°是第四象限角．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
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解得sinα－75°＝－5 2626，
cosα－75°＝
26 26
或sinα－75°＝52626， (舍) cosα－75°＝－ 2266.
并能灵活应用．(难点)
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自主预习 探新知
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1．公式二 (1)角 π＋α 与角 α 的终边关于原点对称．如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin α ， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
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2．公式三 (1)角－α与角α的终边关于 x 轴对称．如图所示． (2)公式：sin(－α)＝ －sin α ， cos(－α)＝ cos α ， tan(－α)＝ －tan α .
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2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有 关？
提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α.(其中 k∈Z)
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【例3】 设k为整数，化简： ssiinn[kkπ＋－1απc＋osα[]kc－os1kππ＋－αα]. [思路点拨] 本题常用的解决方法有两种： ①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论； ②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ， 可使用配角法．
＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝sin
α＋cos 2
α2－1＝m22－1.]
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(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角， ∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75° ＝－ 1－－132＝－2 3 2， ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝2 3 2.
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1．例2(2)条件不变，求cos(255°－α)的值． [解] cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)] ＝－cos(α－75°)＝13.
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2．将例2(2)的条件“cos(α－75°)＝－13”改为“tan(α－75°)＝－ 5”，其他条件不变，结果又如何？
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[解] (1)原式＝－ctaonsαπ－sinα－sinαπc－osα－ α＝ta－n αc·ossinαα·s·icnoαs α＝－tan α. (2)原式 ＝sicno4s×18306°0＋°＋αα·[－·cossin3× 18306°＋0°－α]α ＝s－incαo·scoαs·－sinαα ＝－cocsosαα＝－1.
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[解] 法一：(分类讨论)当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，则原式＝
ssiinn[22mmπ＋－1απc＋osα[]2cmos－21mππ－ ＋αα]＝sinsin－πα＋cαoscoπs＋αα＝－－sinsiαnα－cocsoαs α＝－1；
当 k 为奇数时，设 k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
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第五章 三角函数
5.3 诱导公式 第1课时 公式二、公式三和公式四
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学习目标
核心素养
1.了解公式二、公式三和公式四的
推导方法．
1.借助公式进行运算，培养数学运
2．能够准确记忆公式二、公式三和 算素养．
公式四．(重点、易混点)
2．通过公式的变形进行化简和证
3．掌握公式二、公式三和公式四， 明，提升逻辑推理素养.
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝5 2626.
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解决条件求值问题的两技巧 1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之 间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系. 2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变 形向已知式转化. 提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
－
2 2
＝
22＋21
2－2.]
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给值(式)求值问题
【例2】 (1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋
α)·cos(180°－α)等于( )
A.m22－1
B.m22＋1
C.1－2m2
D．－m22＋1
(2)已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
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利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1“负化正”——用公式一或三来转化； 2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； 3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； 4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
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1．计算：(1)cosπ5＋cos25π＋cos35π＋cos45π； (2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．
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[思路点拨] (1) 化简已知和所求三角函数式 → 根据sin α±cos α，sin αcos α的关系求值
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－13，α为第四象限角
→
求sinα－75° → 用sin180°＋α＝－sin α求值
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(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ 23.
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(2)法一：cos－316π＝cos316π ＝cos4π＋76π＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－ 23. 法二：cos－316π＝cos－6π＋56π ＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－ 23. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
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三角函数式化简的常用方法 1合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依据所给 式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. 2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 提醒：注意分类讨论思想的应用.
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2．化简：(1)tan2π－coαssαin－－π2siπn－5απ－coαs6π－α； (2)csoins－1 414800°°＋－αα··csoins1－0α8－0°1－80α°.
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利用诱导公式化简问题 [探究问题] 1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有 关？ 提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定． 当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
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1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角 函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行：
任意负角的 三角函数
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2．tan－43π等于(
)
A．－
3 3
B.
3 3
C．－ 3
D. 3
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C [tan－43π＝tan－2π＋23π＝ 2π tan 3
＝tanπ－π3＝－tanπ3＝－ 3.]
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3．已知tan α＝3，则tan(π＋α) ＝________.
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3 [tan(π＋α)＝tan α＝3.]
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3.sin
cos－585° 495°＋sin－570°
2－2 [原式＝
cos360°＋225°
的值等于________．
sin360°＋135°－sin360°＋210°
＝sin180°－co4s51°8－0°＋sin451°80°＋30°
＝ sin
45－°－cos－4s5i°n 30°＝
法二：(配角法)由于 kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，
故 cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－
sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝－－sinsiknπk＋π＋αα[－cocsoskπkπ＋＋αα ]＝－1.
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[解] (1)原式＝cosπ5＋cos45π＋cos25π＋cos35π ＝cosπ5＋cosπ－π5＋cos25π＋cosπ－25π ＝cosπ5－cosπ5＋cos25π－cos25π＝0. (2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2) ×360°＋114°] ＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°) ＝sin 66°－sin 66°＝0.
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3．公式四 (1)角 π－α 与角 α 的终边关于 y 轴对称．如图所示． (2)公式：sin(π－α)＝ sin α ， cos(π－α)＝ －cos α ， tan(π－α)＝ －tan α .
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思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？ (2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？ 提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求 α≠kπ＋π2，k∈Z. (2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
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给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数值：
(1)sin 1 320°；(2)cos－361π；(3)tan(－945°)． [解] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°
＋60°)＝－sin 60°＝－ 23. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
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4．求值：(1)sin23π＝________.
3 (1) 2
(2)cos－76π＝________.
sinπ－π3
(2)－
3 2
[(1)sin
2π 3
＝
＝sinπ3＝ 23.
(2)cos－76π＝cos76π＝cosπ＋π6
＝－cosπ6＝－ 23.]
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合作探究 提素养
用 三―― 公 或→式 一
任意正角的 三角函数
用―公―式→一
0～2π的角 的三角函数
用 二―― 公 或→式 四
锐角的三 角函数
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当堂达标 固双基
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1．思考辨析 (1)公式二～四对任意角α都成立．( ) (2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( ) (3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．( ) [提示] (1)错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋π2，k∈Z. (2)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)， 故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的． (3)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C， 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C. [答案] (1)× (2)× (3)√
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栏目α)＝35，且α是第
B [因为 sin(π＋α)＝－sin α＝
四象限角，那么cos(α－π)的值是
35，所以 sin α＝－35.
()
又 α 是第四象限角，所以 cos α
A.45
B．－45
＝45，
C．±45
D.35
所以 cos(α－π)＝cos(π－α)＝－ cos α＝－45.]
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1．如果 α，β 满足 α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( )
①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β；
⑤tan α＝－tan β.
A．1
B．2
C．3
D．4
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C [因为α＋β＝π，所以sin α＝sin(π－β)＝sin β， 故①正确，②错误； cos α＝cos(π－β)＝－cos β， 故③正确，④错误； tan α＝tan(π－β)＝－tan β，⑤正确． 故选C.]