湖南省浏阳一中高二数学上学期第一次阶段性测试 文.doc

上学期高二第一次阶段性测试数学试题（文科）
一、选择题（本大题8个小题，每题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）
1．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{1,2,3}，N ＝{2,5}，则M∩(∁U N)等于( )
A ．{2}
B ．{2,3}
C ．{3}
D ．{1,3}
2.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是（ ）
（A ）()1 ,3 （B ）⎪⎭
⎫ ⎝⎛21 ,23 （C ）⎪⎭⎫
⎝⎛-21 ,23 （D ）()3 ,1
3．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,
1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛4,2π
4．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
(x>0)2 (x ＝0)
0 (x<0)
，则f(f(f(－2)))的值为( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
5.极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p 错误！不能通过编辑域代码创建对象。

0）表示的图形是（ ）
（A ）两个圆 （B ）两条直线
（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 6．函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域是
（ ）
A ．),3
1(+∞- B ．)1,3
1(- C ．)3
1,31(- D ．)3
1,(--∞
7.参数方程⎪
⎪⎨⎧
-==1
112
t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）。

A B C D
8．直线l 的参数方程为()x a t
t y b t
=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，
则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ）
A ．1t
B ．12t
C 1
D 1 二、填空题（每小题5分，共35分）
9．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，集合B ＝{a ，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.
10. 已知x ∈[0,1],则函数y=x x --+12的值域是 。

．
11.在同一平面直角坐标系中，直线22=-y x 变成直线42='-'y x 的伸缩变换是 。

12. 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2
213
x y +=上的一个动点，则S x y
=+的最大值为 .
13. 函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．
14.在极坐标系中，若直线l 的方程是1)6
sin(=+π
θρ，点P 的坐标为(2,)π，则点P 到直
线l 的距离=d ．
15.在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：
当时，；
当时，。

则函数的最大值等于
（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）
三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程．） 16．（本小题满分12分）
记关于x 的不等式x －a
x ＋1
<0 (a ＞0)．的解集为P ，不等式|x －1|≤1的解集为Q.
(1)求a ＝3，求P ；
(2)若Q ⊆P ，求正数a 的取值范围． 17．（本小题满分12分）
已知曲线C 的极坐标方程 是ρ=1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标
系，直线l 的参数方程为t t y t x (232,21⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+=+=为参数）。

（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨
⎧='='y
y x x ,
2得到曲线C '，设曲线C '上任一点为),(y x M ，
求y x 32+的最小值。

18. （本小题满分12分）
某公司生产一种电子仪器的固定成本为00元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝⎩⎪⎨
⎪⎧
400x －12x 2 (0≤x≤400)80 000 (x>400)
.其中x 是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
19. （本小题满分12分）
已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点D 的极坐标是)23,1(π，曲线C 的极坐标方程为θ
ρcos 12
-=
．
（I ）求点D 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；
（II ）若经过点D 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求||||DB DA ⋅的最小值．
（本小题满分13分）
已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）. （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.
21. （本小题满分14分）
已知二次函数()f x 有两个零点0和2-，且()f x 最小值是1-，函数()g x 与()f x 的图象
关于原点对称；
（1）求()f x 和()g x 的解析式；
（2）若()()()h x f x g x λ=-在区间[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围。

答案（文科）
一、选择题（本大题8个小题，每题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）
1.D
2.B
3.A
4.C
5.C
6.B
7.D
8.C 二、填空题（每小题5分，共35分）
9．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，集合B ＝{a ，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝__{1,2,5}______. 10. 已知x ∈[0,1],则函数y=x x --+12的值域是 [3,12-] 。

11.在同一平面直角坐标系中，直线22=-y x 变成直线42='-'y x 的伸缩变换是
⎩⎨⎧='='y
y x
x 4 。

12. 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213
x y +=上的一个动点，则S x y
=+的最大值为 2 .
13．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是__[0，3
2]______．
14.在极坐标系中，若直线l 的方程是1)6
sin(=+π
θρ，点P 的坐标为(2,)π，则点P 到直
线l 的距离=d ．2
15.在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：
当时，；
当时，。

则函数的最大值等于 6
（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）
三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程．） 16．（本小题满分12分）
记关于x 的不等式x －a
x ＋1
<0 (a ＞0)．的解集为P ，不等式|x －1|≤1的解集为Q.
(1)求a ＝3，求P ；
(2)若Q ⊆P ，求正数a 的取值范围．
解：(1)由x －3
x ＋1
<0得P ＝{x|－1<x<3}．
(2)Q ＝{x||x －1|≤1}＝{x|0≤x≤2} 由a>0得P ＝{x|－1<x<a}， 又Q ⊆P ，所以a>2.
即a 的取值范围是(2，＋∞)． 17．（本小题满分12分）
已知曲线C 的极坐标方程 是ρ=1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标
系，直线l 的参数方程为t t y t x (232,21⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+=+=为参数）。

（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y
y x x ,
2得到曲线C '，设曲线C '上任一点为),(y x M ，
求y x 32+的最小值。

解：（1）0323:=-+-y x l
1:22=+y x C
（2分）
（2）⎪⎩⎪⎨
⎧
'
=
'
=
∴⎩⎨⎧='='y y x x y y x x 22 代入C 得
14
:22
=+'∴y x C
（5分）
设椭圆的参数方程θθθ
(sin cos 2⎩
⎨⎧==y x 为参数）
（7分）
则)6
sin(4sin 32cos 232π
θθθ+=+=+y x
（9分）
则y x 32+的最小值为-4。

（10分）
18. （本小题满分12分）
某公司生产一种电子仪器的固定成本为00元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝⎩⎪⎨
⎪⎧
400x －12x 2 (0≤x≤400)80 000 (x>400)
.其中x 是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利
润)
解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为00＋100x ， 从而f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
－12
x 2＋300x －20 000 (0≤x≤400)
60 000－100x (x>400)
.
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12
(x －300)2
＋25 000，
∴当x ＝300时，有最大值25 000；
当x>400时，f(x)＝60 000－100x 是减函数， f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x ＝300时，f(x)的最大值为25 000.
∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元． 19. （本小题满分12分）
已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点D 的极坐标是)23,1(π，曲线C 的极坐标方程为θ
ρcos 12
-=
．
（I ）求点D 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；
（II ）若经过点D 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求||||DB DA ⋅的最小值． 解：（I ）点D 的直角坐标是)1,0(-， …………（2分）
∵θ
ρcos 12
-=
，∴2cos +=θρρ，即222)2(+=+x y x ，…………（4分）
化简得曲线C 的直角坐标方程是442+=x y ； …………（5分）
（II ）设直线l 的倾斜角是α，则l 的参数方程变形为⎩
⎨⎧+-==αα
sin 1cos t y t x ，
…………（7分） 代入442+=x y ，得03)sin 2cos 4(sin 22=-+-t t ααα
设其两根为 21t t ，，则α
221sin 3
-=t t ， …………（8分） ∴α
2
21sin 3
||||||=
=⋅t t DB DA ． 当
90=α时，||||DB DA ⋅取得最小值3． …………（10分） （本小题满分13分）
已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）. （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.
解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f
.3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=①
由方程.09)42(06)(2
=++-=+a x a ax a x f 得 ②
因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2
=⋅-+-=∆a a a ， 即 .5
1
1.
01452-===--a a a a 或解得
由于5
1.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式
（Ⅱ）由a
a a a a x a a x a ax x f 1
4)21(3)21(2)(222
++-
+-=++-= 及.1
4)(,02a
a a x f a ++-
<的最大值为可得 由⎪⎩
⎪⎨
⎧<>++-
,0,01
42a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或
21. （本小题满分14分）
已知二次函数()f x 有两个零点0和2-，且()f x 最小值是1-，函数()g x 与()f x 的图象
关于原点对称；
（1）求()f x 和()g x 的解析式；
（2）若()()()h x f x g x λ=-在区间[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围。

解
(1) 依题意 设()2
(2)2 (0)f x ax x ax ax a =+=+>
()f x 图象的对称轴是1x =- ()11f ∴-=- 即21a a -=- 得1a =
()2
2f x x x ∴=+ ------------------------------ （3
分）
由函数()g x 的图象与()f x 的图象关于原点对称
2
()()2g x f x x x ∴=--=-+ --------------- （5分） （2）由（1）得 2
2
2
()2(2)(1)2(1)h x x x x x x x λλλ=+--+=++- （6分） ①当1λ=-时，()4h x x = 满足在区间[1,1]-上是增函数 ---------- （8分） ②当1λ<-时，()h x 图象对称轴是1
1
x λλ-=+ 则
1
11
λλ-≥+ ，又1λ<- 解得 1λ<- --------- （10分） ③当1λ>-时，同理 则需
1
11
λλ-≤-+ 又1λ>- 解得 10λ-<≤ ---------- （12分）
综上满足条件的实数λ的取值范围是 (,0]-∞ ----------- （14分）
.
5
3
5651)(2---=x x x f。