初二数学四边形专题学习

初二数学平行四边形
一、考点、热点回顾
考点1：平行四边形的性质和判定
考点讲解：
平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、角相等和直线平行的根据之一．
1．平行四边形的定义。

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”．
四边形的边角按位置关系可分为两类：
对边（没有公共端点的两条边）
邻边（有一个公共端点的两条边）
对角（没有公共边的两个角）
邻角（有一条公共边的两个角）
对角线：不相邻的两个顶点连成的线段．
2．两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．
3．平行四边形的性质：
文字表达：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
图形如图1－4－1
符号语言表达：
四边形ABCD是平行四边形
4．平行四边形的判定：
文字表达：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
图形如图l－4－2：
符号语言表达：
AB∥CD.BC∥AD⇒四边形ABCD是平行四边形
AB=CD，BC=AD⇒四边形ABCD是平行四边形．
AB平行且相等CD或BC平行且相等AD⇒四边形ABCD是平行四边形．
OA=OC，OB=OD⇒四边形ABCD是平行四边形．
∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB⇒边形ABCD是平行四边形．
【例1】（2010成都）已知四边形ABCD，有以下四个条件：①//
AB CD；②AB CD
=；
③//
BC AD；④BC AD
=．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（）
（A）6种（B）5种（C）4种（D）3种
考点2：矩形、菱形、正方形的性质和判定
考点讲解：
l．菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．
2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．
③四条边都相等的四边形是菱形．
3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．
4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．
5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
6．正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．
7．平行四边形与特殊平行四边形的关系
【例2】（2010年盐城市中考题）如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD ＝8，则此菱形的边长为（）
A．5 B．6 C．8 D．10
注：任意多边形的外角和都为360°，一个n边形从一个顶点出发有3
n-条对角线。

所有对角线的条数
()3
2
n n-。

【例3】（2010年福建德化）下列多边形中，不能铺满地面的是（）
A、正三边形
B、正四边形
C、正五边形
D、正六边形
【例4】（2010 成都）已知四边形ABCD，有以下四个条件：①//
AB CD；②AB CD
=；
③//
BC AD；④BC AD
=．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为
A
B
C
D
（例2）
平行四边形的选法种数共有（ ）
（A ）6种 （B ）5种 （C ）4种 （D ）3种
【例5】（2010年浙江金华中考题）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ， 对角线AC ⊥BC ，∠B ＝60º，BC ＝2cm ，则梯形ABCD 的面积为（ ） A ．33cm 2 B ．6 cm 2 C ．36cm 2
D ．12 cm 2
二、典型例题 1、 基础强化
（1）、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。

（2）、如图⑴已知O 是□ABCD 的对角线交点，AC ＝24，BD ＝38，AD ＝14，那么△OBC 的周长等于＿＿＿＿＿。

（3）、在平行四边形ABCD 中，∠C ＝∠B+∠D,则∠A ＝＿＿＿，∠D ＝＿＿＿。

（4）、一个平行四边形的周长为70cm ，两边的差是10cm ，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm 。

（5）、已知菱形的一条对角线长为12cm ，面积为30cm 2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm 。

（6）、菱形ABCD 中，∠A ＝60o ，对角线BD 长为7cm ，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm 。

（7）2，那么它的面积＿＿＿＿＿＿。

（8）、如果矩形ABCD 的两条对角线相交于O,∠AOB ＝60o ,AB ＝8,则矩形对角线的长＿＿。

（9）、（2010安徽芜湖）下列命题中是真命题的是（）-
A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C ．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D ．两边相等的平行四边形是菱形 （10）、（2010 天津）下列命题中正确的是（ ）
（A ）对角线相等的四边形是菱形 （B ）对角线互相垂直的四边形是菱形 （C ）对角线相等的平行四边形是菱形（D ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 A
D C
O ⑴
A
B C
O
⑵
A
B
D
⑶ A
D
B
C
F
E
⑷
A
C
B
D
(第10题图)
C
B
A
（11）、（2010 北京） 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为
(A) 20 (B) 16 (C) 12 (D) 10。

（12）、（2010四川眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，
则∠ABC 的度数为
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
（13）、（2010 江苏淮安）若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是( ). A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
2、 拓展变式
【例1】如图，□ABCD 中，AC.BD 为对角线，BC =6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面
积为（ ）．
A ．3
B ．6
C ．12
D ．24
【例2】如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边
形ABCD 的面积为8，则BE =（ ）
A ．2
B ．3
C ．22
D ．23
【例3】（2010 青岛）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，
折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm2．
A D C
A
B
C
F
E
'
A 第13题图
（'B ）
D A
B
C
D
【例4】（2010安徽芜湖）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是
__________．
【例5】（2010 株洲）已知一个n边形的内角和是1080︒，则n=．
【例6】（2010 哈尔滨）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为度．
【例7】（2010 浙江舟山）如图, 在ABC
∆中, D是BC边上的一点, E是AD的中点, 过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F, 且BD
AF=, 连接BF.
(1) 求证: D是BC的中点;
(2) 如果AC
AB=, 试判断四边形AFBD的形状, 并证明你的结论.。

【例8】（2010 株洲）（本题满分6分）如图，已知平行四
边形ABCD，DE是ADC
∠的角平分线，交BC于点
E．
（1）求证：CD CE
=；
（2）若BE CE
=，80
B
∠=︒，求DAE
∠的度数．
E
D
C
B
A
A B
C
D
E F
【例9】（2010 益阳）如图7，在菱形ABCD 中，∠A=60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，
过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．
(1) 求∠ABD 的度数；
(2)求线段BE 的长．
【例10】（2010 沈阳） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别
为边AB 、AD 的中点，连接EF 、OE 、OF 。

求证：四边形AEOF 是菱形。

3、巩固训练
【例1】（2010 中山）如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE 。

已知∠BAC =30º，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF 。

（1）试证明AC =EF ； （2）求证：四边形ADFE 是平行四边形。

4、思维与能力提升
D B O
607
图 A
B
C
D
E
F
O
【例3】（2010年重庆潼南）如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△AB E ≌△DAF ；
（2）若∠AGB =30°，求EF 的长.
三、习题练习
一、选择题
1.在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ） A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1
2.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8
3.在□ABCD 中，∠A 、∠B 的度数之比为5∶4，则∠C 等于（ ） A.60° B.80° C.100° D.120°
4.□ABCD 的周长为36 cm ，AB =
7
5
BC ，则较长边的长为（ ） A.15 cm B.7.5 cm C.21 cm D.10.5 cm 二、填空题
6.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =______，∠C =______，∠D =______.
7.在□ABCD 中，AB =3，BC =4，则□ABCD 的周长等于_______.
8.平行四边形的周长等于56 cm ，两邻边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为_______.
9.在□ABCD 中，∠A +∠C =270°，则∠B =______，∠C =______. 三、解答题
11.平行四边形的周长为36 cm ，一组邻边之差为4 cm ，求平行四边形各边的长.
12.如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，MN 是过O 点的直线，交BC 于M ，交AD 于N ，BM =2，AN =2.8，求BC 和AD 的长.
A B
D E F
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补充练习
一、选择题
1.能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（）
A.一组对角相等
B.两条对角线互相垂直且相等
C.两组对边分别相等
D.一组对边平行
2.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A.AB=CD，AD∥BC
B.AB=CD，AB∥CD
C.AB∥CD，AD∥BC
D.AB=CD，AD=BC
3.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）
A.88°，108°，88°
B.88°，104°，108°
C.88°，92°，92°
D.88°，92°，88°
4.四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（）
A.∠A+∠C=180°
B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180°
D.∠A+∠D=180°
5.以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题
6.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，要判别它是平行四边形，从四边形的角的关系看应满足______；从对角线看应满足_______.
7.将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为______.
8.四边形ABCD中，AD=BC，BD为对角线，∠ADB=∠CBD，则AB与CD的关系是_______.
9.□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF 是_______.
三、解答题
1、如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）P A=PQ．
P
A D
Q
2、（2010 长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
四、课后反馈
教学进度：
学生掌握情况：
存在问题及改进措施：
E
B
D
A
C
F
A F D
E
B C。