2022-2023学年初中九年级上数学沪科版期中试卷(含解析)

2022-2023学年初中九年级上数学期中试卷
学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________
考试总分：115 分考试时间： 120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I（选择题）
一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分）
1. 已知3x=7y(y≠0)，则下列比例式成立的是( )
A.x3=y7
B.x7=y3
C.xy=37
D.x3=7y
2. 点A(−3,y1)、B(−1,y2)、C(1,y3)都在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3
B.y3<y2<y1
C.y3<y1<y2
D.y2<y1<y3
3. △ABC是由△DEF的每条边都扩大到原来的2倍得到的，则△ABC与△DEF的面积之比为()
A.1:2
B.2:1
C.1:4
D.4:1
4. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列结论正确的是（ ）
A.BPAB=√5−12
B.BPAB =0.618
C.PAAB =√5−12
D.APBP =√5−12
5.
如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不
正确的是（ ）
A.ABBP =ACCB
B.∠APB =∠ABC
C.APAB =ABAC
D.∠ABP =∠C
6. △ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′位似比是1:2，已知△ABC 的面积是10，则△A ′B ′C ′的面积是( )
A.10
B.20
C.40
D.80
7. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为CD 边中点，连接AE ，对角线BD 交AE 于点F ．已知EF =1，则线段AE 的长度为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
8. 下列抛物线中，与抛物线y =x 2−2x +4具有相同对称轴的是( )
A.y=4x2+2x+1
B.y=2x2+4x+1
C.y=x2−4x+2
D.y=2x2−4x+1
9. 已知y=ax2+k的图象上有三点A(−3,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)，且y2<y3<y1，则a的取值范围是( )
A.a>0
B.a<0
C.a≥0
D.a≤0
10. 如图，一个菱形的一条对角线长为7，面积为28，则该菱形的另一条对角线长为（ ）
A.8
B.10
C.12
D.14
卷II（非选择题）
二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）
11. 如果两个相似三角形的周长的比等于1:4，那么它们的面积的比等于________．
12. 抛物线y=(k−1)x2−x+1与x轴有交点，则k的取值范围是________.
13. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，若△ABD的周长为6，
则△DOE的周长为________.
14. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−12,0)，对称轴为直线x=1，下列5个结论：①abc<0；②a−2b+4c=0；③2a+b>0；④2c−3b<0；⑤a+b≤m(am+b)．其中正确的结论为________．（注：只填写正确结论的序号）
三、解答题（本题共计 9 小题，每题 5 分，共计45分）
16. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC且AD=BC，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且
AE=BF．求证∠ADE=∠BCF．
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都位于格点（网格线的交点）上，按要求完成下列任务．
(1)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1)；
(2)以点O为位似中心，在网格中出画出△A2B2C2，使得△ABC与△A2B2C2位似，且位似比
为1:3（点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）.
18. 如图，已知AB//CD//EF，它们依次交直线l1，l2于点A，D，F和点B，C，E，如
果AD=6，DF=3，BC=5，求BE的长.
19. 如图，反比例函数y=−8x与一次函数y=−x+2的图象交于A，B两点.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求△ABO的面积.
20. 如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且ADAC=13，AE=BE．
求证：
(1)△EAD∼△BCD；
(2)若ED=6cm，试求BD的长度.
21. 某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=−x+26．
(1)求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
(2)该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
(3)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产
能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
22. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C.
(1)试说明△BCA∼△BAD；
(2)若AB=6,BD=4，求CD的长.
23. 已知抛物线y=ax2−2ax−8(a≠0)经过点(−2,0)．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线l交抛物线于点A(−4,m),B(n,7)，n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围，
参考答案与试题解析
2022-2023学年初中九年级上数学期中试卷
一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分）
1.
【答案】
B
【考点】
比例的性质
【解析】
根据比例的性质：内项之积等于外项之积，即可求解．
【解答】
解：∵3x=7y(y≠0)，
∴x7=y3，xy=73，
比例式成立的是B选项．
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数的性质
【解析】
先根据反比例函数中k<0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】
解：∵反比例函数y=kx(k<0)中，k<0，
∴函数图象分别位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵−3<0，−1<0，
∴点(−3,y1)，(−1,y2)位于第二象限，
∴y1>0，y2>0，
∵−3<−1，
∴0<y 1<y 2．
∵1>0，
∴(1,y 3)在第四象限，
∴y 3<0，
∴y 3<y 1<y 2．
故选C ．
3.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】
解：∵△ABC 是由△DEF 的每条边都扩大到原来的2倍得到的，
∴△ABC 与△DEF 的相似比是2:1，
∴△ABC 与△DEF 的面积之比为4:1．
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
黄金分割
【解析】
根据黄金分割的定义即可进行判断．
【解答】
解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，
∴BPAP =APAB =√5−12，
从而可得A 、B 、D 错误；C 正确．
故选C ．
5.
【答案】
A
【考点】
相似三角形的判定
【解析】
根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似进行分析即可．
【解答】
解：A 、两组对应边的比相等，相等的角不是夹角，不能判断△ABP ∽△ACB ，故此选项符合题意；
B 、可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ABP ∽△ACB ，故此选项不符合题意；
C 、可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABP ∽△ACB ，故此选项不符合题意；
D 、可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ABP ∽△ACB ，故此选项不符合题意；故选：A ．
6.
【答案】
C
【考点】
位似的性质
【解析】
根据位似变换的性质得到△ABC ∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【解答】
解：∵△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，
且△ABC 与△A ′B ′C ′
位似比是1:2，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1:2，
∴S △ABC S △A ′B ′C ′=(12)2=14.
∵△ABC 的面积是10，
∴△A ′B ′C ′的面积是40.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
正方形的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
根据正方形的性质可得AB=CD，AB//CD，根据平行线的性质可
得∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，根据相似三角形的判定，可以得出△ABF∼△EOF，根据相似三角形的性质及E为CD中点，可得AFEF=ABED，根据EF=1可计算出AF的长，从而得出AE的长．
【解答】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABF=∠EDF，∠BAF=∠DEF，
∴△ABF∽△EDF，
∴AFEF=ABED.
∵E为CD中点，EF=1，
∴AFEF=2，
∴AF=2，
∴AE=AF+EF=3．
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
【解析】
根据对称轴方程分别确定各个抛物线的对称轴后即可作出判断．
【解答】
解：抛物线y=x 2−2x+4
的对称轴为x=1.
A，y=4x2+2x+1的对称轴为x=−14，不符合题意；B，y=2x2+4x+1的对称轴为x=−1，不符合题意；C，y=x2−4x+2的对称轴为x=2，不符合题意；D，y=2x2−4x+1的对称轴为x=1，符合题意.
故选D.
9.
【答案】
A
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
【解析】
先根据二次函数图象上点的坐标特征可计算出y1=9a+k，y2=a+k，y3=4a+k，再利用y2<y3<y1得a+k<4a+k<9a+k，然后解不等式即可得到a的取值范围．
【解答】
解：∵点A(−3,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)在抛物线y=ax 2+k
上，
∴y1=a⋅(−3)2+k=9a+k
，y2=a⋅1
2+k=a+k
，y3=a⋅2
2+k=4a+k
，
∵y2<y3<y1，
∴a+k<4a+k<9a+k，
∴a>0．
故选A.
10.
【答案】
A
【考点】
菱形的性质
【解析】
根据菱形的面积等于两条对角线长的积的一半，可求得．
【解答】
设菱形的另一条对角线长为x，
则×3×x＝28，
∴x＝8．
二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）
11.
【答案】
1:16
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
由两个相似三角形的周长的比等于1:4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．
【解答】
∵两个相似三角形的周长的比等于1:4，
∴它们的相似比为1:4，
∴它们的面积的比等于1:16．
12.
【答案】
k≤54且k≠1
【考点】
抛物线与x轴的交点
根的判别式
【解析】
直接利用根的判别式得到△＝(−1)2−4×(k−1)×1≥0
，再利用二次函数的意义得到k−1≠0，
然后解两不等式得到k的范围．【解答】
解：∵抛物线y=(k−1)x 2−x+1
与x轴有交点，
∴Δ=(−1)2−4×(k−1)×1≥0
，解得k≤54.
又∵k−1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤54且k≠1.
故答案为：k≤54且k≠1.
13.
【答案】
3
【考点】
相似三角形的性质与判定
平行四边形的性质
【解析】
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，BC=AD,DC=AB AO=CO，E点是AD的中点，可得OE是△ACD的中位线，可得OE=12CD，从而得到结果.
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
∴O是BD的中点，即DO=12DB.
又∵E是AD的中点，
∴DE=12DA，
∴DEDA=DODB=12.
∵∠ODE=∠BDA，
∴△EDO∼△ADB，
∴△DOE的周长=12△ABD的周长，
∴△DOE的周长=12×6=3.
故答案为：3.
14.
【答案】
②⑤
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】
解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c<0，故abc>0，故①错误，不符合题意；
②将点(−12,0)代入函数表达式得：a−2b+4c=0，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，故2a+b=0，故③错误，不符合题意；
④由②③得：a−2b+4c=0，b=−2a，则c=−5a4，故2c−3b=7a2>0，故④错误，不符合题意；
⑤当x=1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m(am+b)+c，故⑤正确，符合题意.
故答案为：②⑤.
三、解答题（本题共计 9 小题，每题 5 分，共计45分）
15.
【答案】
1000
【考点】
比例线段
【解析】
首先设A，B两地的实际距离为xcm，根据题意可得方程5x=120000，解此方程即可求得答案，注
意统一单位．
【解答】
设A，B两地的实际距离为xcm，
根据题意得：5x=120000，解得：x＝100000，∵100000cm＝1000m，
∴A，B两地的实际距离是1000m．
16.
【答案】
证明：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠CBF，
又AD=BC,AE=BF，
∴△DAE≅△CBF(SAS)，
∴∠ADE=∠BCF．
【考点】
相似三角形的性质与判定
平行四边形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠CBF，
又AD=BC,AE=BF，
∴△DAE≅△CBF(SAS)，
∴∠ADE=∠BCF．
17.
【答案】
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.
(2)如图，△A2B2C2即为所求.
【考点】
作图-轴对称变换
作图-位似变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.
(2)如图，△A2B2C2即为所求.
18.
【答案】
解：∵AB//CD//EF，
∴ADDF=BCCE，即63=5CE，
解得CE=2.5，
∴BE=BC+CE=5+2.5=7.5.
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
由平行可得到ADDF=BCCE，代入可求得CE，再根据线段的和可求得BE．【解答】
解：∵AB//CD//EF，
∴ADDF=BCCE，即63=5CE，
解得CE=2.5，
∴BE=BC+CE=5+2.5=7.5.
19.
【答案】
{y=−8x,y=−x+2,
解：(1)联立
解得{x=4,y=−2,或{x=−2,y=4,
∴A，B两点的坐标分别为A(−2,4)，B(4,−2)．
(2)∵直线y=−x+2与y轴的交点D的坐标是(0,2)，
∴S△AOD=12×2×2=2，S△BOD=12×2×4=4，
∴S△ABO=2+4=6.
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
三角形的面积
【解析】
（1）解由两个函数组成的方程组；
（2）S△AOB=S△AOD+S△BOD，求出D点坐标后易求其面积．【解答】
{y=−8x,y=−x+2,
解：(1)联立
解得{x=4,y=−2,或{x=−2,y=4,
∴A，B两点的坐标分别为A(−2,4)，B(4,−2)．
(2)∵直线y=−x+2与y轴的交点D的坐标是(0,2)，
∴S△AOD=12×2×2=2，S△BOD=12×2×4=4，
∴S△ABO=2+4=6.
20.
【答案】
(1)证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘，AB=AC=BC．
∵ADAC=13，∴ADCD=12．
∵AE=EB，∴AECB=12，
∴ADCD=AECB，
∴△EAD∼△BCD；
(2)∵△EAD∼△BCD，
∴EDBD=ADCD，
∴6BD=12，
∴BD=12cm.
【考点】
相似三角形的性质
相似三角形的判定
【解析】
由等边三角形ABC的性质推知∠A=∠B=∠C=60∘，AB=AC=BC．然后利用已知比例式和等量代换证得ADCD=AECB=12．
【解答】
(1)证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘，AB=AC=BC．
∵ADAC=13，∴ADCD=12．
∵AE=EB，∴AECB=12，
∴ADCD=AECB，
∴△EAD∼△BCD；
(2)∵△EAD∼△BCD，
∴EDBD=ADCD，
∴6BD=12，
∴BD=12cm.
21.
【答案】
解：(1)W1=(x−6)(−x+26)−80=−x 2+32x−236
．
(2)由题意：20=−x2+32x−236．
解得：x=16，
答：该产品第一年的售价是16元．
(3)由题意：∵销售量无法超过12万件，
∴y=−x+26≤12，
解得x≥14，
又∵售价不能超过第一年售价，
∴x≤16，
∴14≤x≤16.
W2=(x−5)(−x+26)−20=−x2+31x−150
=−(x−312)2+3614，
∵14≤x≤16，
∴x=14时，W2有最小值，最小值=88（万元），答：该公司第二年的利润W2至少为88万元．
【考点】
一元二次方程的应用——其他问题
根据实际问题列二次函数关系式
二次函数的最值
【解析】
（1）根据总利润=每件利润×销售量-投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题；【解答】
解：(1)W1=(x−6)(−x+26)−80=−x 2+32x−236
．
(2)由题意：20=−x2+32x−236．
解得：x=16，
答：该产品第一年的售价是16元．
(3)由题意：∵销售量无法超过12万件，
∴y=−x+26≤12，
解得x≥14，
又∵售价不能超过第一年售价，
∴x≤16，
∴14≤x≤16.
W2=(x−5)(−x+26)−20=−x2+31x−150
=−(x−312)2+3614，
∵14≤x≤16，
∴x=14时，W2有最小值，最小值=88（万元），
答：该公司第二年的利润W2至少为88万元．
22.
【答案】
(1)证明：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BCA∼△BAD.
(2)解：∵△BCA∼△BAD，
∴BABC=BDBA．
∵AB=6，BD=4，
∴6BC=46，
∴BC=9，
∴CD=BC−BD=9−4=5．
【考点】
相似三角形的性质
相似三角形的判定
【解析】
易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．【解答】
(1)证明：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BCA∼△BAD.
(2)解∵△BCA∼△BAD，
∴BABC=BDBA．
∵AB=6，BD=4，
∴6BC=46，
∴BC=9，
∴CD=BC−BD=9−4=5．
23.
【答案】
解：（1）把(−2,0)代入y=ax 2−2ax−8
，得4a+4a−8=0，
解得a=1，
抛物线的函数表达式为y=x 2−2x−8
，
配方得y=(x−1)2−9
，
顶点坐标为(1,−9)．（2）把x=−4代入y=x 2−2x−8
得y=(−4)
2−2×(−4)−8=16
∴m=16
把y=7代入函数解析式得7=x 2−2x−8
，
解得n=5或n=−3，
∵n为正数，
∴n=5，
∴点A坐标为 (−4,16) ，点B坐标为(5,7)，∵抛物线开口向上，顶点坐标为 (1,−9)，∴抛物线顶点在AB下方，
∴−4<x p<5,−9≤y P<16．
【考点】
二次函数综合题
抛物线与x轴的交点
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）把(−2,0)代入y=ax 2−2ax−8
，得4a+4a−8=0，
解得a=1，
抛物线的函数表达式为y=x 2−2x−8
，
配方得y=(x−1)2−9
，
顶点坐标为(1,−9)．（2）把x=−4代入y=x 2−2x−8
得y=(−4)
2−2×(−4)−8=16
∴m=16
把y=7代入函数解析式得7=x 2−2x−8
，
解得n=5或n=−3，
∵n为正数，
∴n=5，
∴点A坐标为 (−4,16) ，点B坐标为(5,7)，∵抛物线开口向上，顶点坐标为 (1,−9)，∴抛物线顶点在AB下方，
∴−4<x p<5,−9≤y P<16．。