2020全国中考数学试卷分类汇编—专题4 一元一次方程及其应用

一元一次方程及其应用
一.选择题
1. 2020年青海省根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A. 22
86(5)22x x ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B. 22
86(5)22x x ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C. 2286(5)x x ππ⨯=⨯⨯+
D. 22865x ππ⨯=⨯⨯
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可.
【详解】解：大量筒中的水的体积为：2
82x π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，
小量筒中的水的体积为：2
6(5)2x π⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎝⎭， 则可列方程为：2
286(5)22x x ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选A.
【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆
柱的体积公式列出方程即可.
2. （2020•山东东营市•3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，
路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（）
A. 96里
B. 48里
C. 24里
D. 12里【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可设第一天所走的路程为x，用含x的式子分别把这六天的路程表示出来，相加等于总路程378，解此方程即可．
【详解】解：设第一天的路程为x里
∴
x x x x x
x+++++=378 2481632
解得x=192
∴第三天的路程为x192
==48 44
故答案选B
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，通过每日路程之和等于总路程建立一元一次方程是解题的关键．
3. （2020•四川省凉山州•5分）解方程：x﹣＝1+．
【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可．
【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），
去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，
移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，
合并同类项，得：﹣x＝﹣2，
系数化为1，得：x＝2．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．
4. （2020•四川省内江市•3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：
“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：
现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（）
A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5
C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5
【分析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，
依题意，得：x＝（x﹣5）﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二.填空题
1. 2020年内蒙古通辽市有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．
【答案】12
【解析】
【分析】
设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
【详解】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．
2. (2020•山东省泰安市•4分)方程组的解是．
【分析】用代入法或加减法求解二元一次方程组即可．
【解答】解：②－3×①，得2x＝24，∴x＝12．
把x＝12代入①，得12+y＝16，∴y＝4．∴原方程组的解为．故答案为．【点评】本题考查的是二元一次方程的解法．掌握二元一次方程组的代入法、加减法是解决本题的关键．
三.解答题
1. （2020•四川省攀枝花市•7分）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来
重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？
【分析】设这些学生共有x人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解．
【解答】解：设这些学生共有x人，
根据题意得，
解得x＝48．
答：这些学生共有48人．
【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，其关键是找出等量关系及表示原来和后来各多少组，难度一般．
2. （2020•山东东营市•8分）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
型号
价格(元/只)
甲乙
项目
成本124
售价186（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多
少万只？
（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）甲、乙两种型号口罩的产量分别为15万只和5万只；（2）从而安排生产甲种型号的口罩17万只，乙种型号的口罩3万只时，获得最大利润，最大利润为108万元. 【解析】 【分析】
（1）设甲种型号口罩的产量是x 万只，则乙种型号口罩的产量是()20x -万只，根据该公司三月份的销售收入为300万元列出一元一次方程，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；
（2）根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司四月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过216万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．
【详解】()1设甲种型号口罩的产量是x 万只，则乙种型号口罩的产量是()20x -万只， 根据题意得：()18620300,x x +-= 解得：15,x = 则2020155,x -=-=
则甲、乙两种型号口罩的产量分别为15万只和5万只；
()2设甲种型号口罩的产量是y 万只，则乙种型号口罩的产量是()20y -万只，
根据题意得：()12420216,y y +-≤ 解得:17y ≤.
设所获利润为w 万元，
则()()()181********,w y y y =-+--=+ 由于40>，所以w 随y 的增大而增大，
y=时，w最大，
即当17
w=>+=.
此时41740108
从而安排生产甲种型号的口罩17万只，乙种型号的口罩3万只时，获得最大利润，最大利润为108万元
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
3.（2020•安徽省•10分）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超
市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份a x a﹣x
2020年4月份 1.1a 1.43x 1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a，x的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；
（2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代数式表示），再将其代入中即可求出结论．
【解答】解：（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元．
故答案为：1.04（a﹣x）．
（2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），
解得：x＝，
∴＝＝＝0.2．
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4.（2020•四川省泸州市•7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两
种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
【分析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程30x+20（30﹣x）＝800，然后解方程求出x，再计算30﹣x 即可；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，
根据题意得30x+20（30﹣x）＝800，
解得x＝20，
则30﹣x＝10，
答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，
根据题意得30﹣x≤3x，解得x≥7.5，
w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，
∵10＞0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．。